SSC Math Sylhet Board 2025 Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

(ক) $\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}$ — অমূলদ।

(খ) $\sqrt{\dfrac{98}{49}} = \sqrt{2}$ — অমূলদ।

(গ) $\sqrt{\dfrac{100}{144}} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$ — মূলদ।

(ঘ) $\dfrac{\sqrt{200}}{2} = \dfrac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ — অমূলদ।

ব্যাখ্যা: যে সংখ্যাকে $\dfrac{p}{q}$ (যেখানে $q \neq 0$) আকারে প্রকাশ করা যায় তা মূলদ।

উত্তর: গ) $\sqrt{\dfrac{100}{144}}$

2. $a, b, c$ বাস্তব সংখ্যা এবং $a < b$ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) $ac > bc$, যেখানে $c > 0$     খ) $ac > bc$, যেখানে $c < 0$     গ) $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$, যেখানে $c < 0$     ঘ) $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$, যেখানে $c > 0$

সমাধান:

অসমতার উভয় পক্ষকে ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অসমতার দিক অপরিবর্তিত থাকে।

ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অসমতার দিক উল্টে যায়।

$c < 0$ হলে $a < b$ থেকে $ac > bc$ এবং $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$ হয়।

তাই (খ) সঠিক; (ক) ও (ঘ) ভুল ($c > 0$-তে $ac < bc$, $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$); (গ) ভুল।

ব্যাখ্যা: ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন বদলে যায়।

উত্তর: খ) $ac > bc$, যেখানে $c < 0$

3. $f(x) = x^2 - 4x + a$ হলে $a$ এর কোন মানের জন্য $f(-1) = 8$ হবে?

ক) 3     খ) 5     গ) 11     ঘ) 13

সমাধান:

$f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + a = 1 + 4 + a = 5 + a$

প্রশ্নমতে $5 + a = 8$

বা $a = 3$

ব্যাখ্যা: $x = -1$ বসিয়ে $f(-1)$ বের করে $8$-এর সাথে সমান ধরা হয়েছে।

উত্তর: ক) 3

4. $P \times Q = \{(x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3), (z, 1), (z, 2), (z, 3)\}$ হলে— i. $P = \{x, y, z\}$ ii. $Q = \{1, 2, 3\}$ iii. $P \times Q = \{(a, b) : a \in P$ এবং $b \in Q\}$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদান $x, y, z$ সবসময় $P$-এর, তাই $P = \{x, y, z\}$। (i) সত্য।

দ্বিতীয় উপাদান $1, 2, 3$ সবসময় $Q$-এর, তাই $Q = \{1, 2, 3\}$। (ii) সত্য।

কার্তেসীয় গুণজের সংজ্ঞা অনুযায়ী $P \times Q = \{(a, b) : a \in P$ এবং $b \in Q\}$। (iii) সত্য।

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

5. $a = 2 - \sqrt{3}$ হলে $a^2 - \dfrac{1}{a^2}$ এর মান কোনটি?

ক) $-8\sqrt{3}$     খ) $4$     গ) $10$     ঘ) $8\sqrt{3}$

সমাধান:

$\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = 2 + \sqrt{3}$

$a - \dfrac{1}{a} = (2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$

$a + \dfrac{1}{a} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$

$a^2 - \dfrac{1}{a^2} = \left(a + \dfrac{1}{a}\right)\left(a - \dfrac{1}{a}\right) = 4 \times (-2\sqrt{3}) = -8\sqrt{3}$

ব্যাখ্যা: $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে।

উত্তর: ক) $-8\sqrt{3}$

6. $p + q = 5$ ও $pq = 6$ হলে $p^2 - pq + q^2$ এর মান কোনটি?

ক) 7     খ) 13     গ) 19     ঘ) 37

সমাধান:

$p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq = 5^2 - 2 \times 6 = 25 - 12 = 13$

$p^2 - pq + q^2 = 13 - 6 = 7$

ব্যাখ্যা: $(p + q)^2 = p^2 + q^2 + 2pq$ থেকে $p^2 + q^2$ বের করা হয়েছে।

উত্তর: ক) 7

7. $p > 0, q > 0$ এবং $p \neq 1, q \neq 1$ হলে— i. $-p^0 = 1$ ii. $\log_p q \times \log_q p = 1$ iii. $\log_p(\sqrt[3]{p} \cdot \sqrt{p}) = \dfrac{5}{6}$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i) $p^0 = 1$, তাই $-p^0 = -1 \neq 1$ — মিথ্যা।

(ii) $\log_p q \times \log_q p = \dfrac{\log q}{\log p} \times \dfrac{\log p}{\log q} = 1$ — সত্য।

(iii) $\sqrt[3]{p} \cdot \sqrt{p} = p^{1/3} \cdot p^{1/2} = p^{5/6}$, তাই $\log_p p^{5/6} = \dfrac{5}{6}$ — সত্য।

ব্যাখ্যা: (ii) ও (iii) সত্য।

উত্তর: গ) ii ও iii

8. $0.000512$ এর সঠিক বৈজ্ঞানিক আকার নিচের কোনটি?

ক) $0.512 \times 10^{-3}$     খ) $5.12 \times 10^{-4}$     গ) $51.2 \times 10^{-5}$     ঘ) $512 \times 10^{-6}$

সমাধান:

বৈজ্ঞানিক আকারে সংখ্যাটি $a \times 10^n$ আকারে লেখা হয়, যেখানে $1 \le a < 10$।

$0.000512 = 5.12 \times 0.0001 = 5.12 \times 10^{-4}$

ব্যাখ্যা: দশমিক বিন্দুকে ডানে ৪ ঘর সরিয়ে $5.12$ পাওয়া যায়, তাই ঘাত $-4$।

উত্তর: খ) $5.12 \times 10^{-4}$

9. $\dfrac{p - 2}{p - 1} = 2 - \dfrac{1}{p - 1}$ এর সমাধান সেট কোনটি?

ক) $\emptyset$     খ) $\{-1\}$     গ) $\{1\}$     ঘ) $\{5\}$

সমাধান:

উভয় পক্ষকে $(p - 1)$ দিয়ে গুণ করে (শর্ত $p \neq 1$): $p - 2 = 2(p - 1) - 1$

বা $p - 2 = 2p - 3$

বা $p = 1$

কিন্তু $p = 1$ হলে হর $p - 1 = 0$ হয়, যা গ্রহণযোগ্য নয়।

ব্যাখ্যা: সমীকরণের একমাত্র সম্ভাব্য মান $p = 1$ হরকে শূন্য করে, তাই সমাধান সেট ফাঁকা।

উত্তর: ক) $\emptyset$

10. চিত্রে $\dfrac{1}{2}(\angle ABE + \angle ACF)$ = কত?

ক) $260\degree$     খ) $130\degree$     গ) $80\degree$     ঘ) $65\degree$

সমাধান:

চিত্রে $AB = AC$ এবং $\angle ABC = 50\degree$; তাই $\angle ACB = 50\degree$ (সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিকোণ সমান)।

$\angle ABE = 180\degree - 50\degree = 130\degree$

$\angle ACF = 180\degree - 50\degree = 130\degree$

$\dfrac{1}{2}(130\degree + 130\degree) = 130\degree$

ব্যাখ্যা: $EF$ সরলরেখা, তাই $B$ ও $C$ বিন্দুতে সরল কোণ $180\degree$ থেকে ভূমিকোণ বাদ দিয়ে বহিঃকোণ পাওয়া যায়।

উত্তর: খ) $130\degree$

11. একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা যাবে?

ক) রম্বস     খ) বর্গ     গ) আয়ত     ঘ) সামান্তরিক

সমাধান:

বর্গের চারটি বাহু সমান এবং কর্ণ প্রতিটি কোণকে সমান $45\degree$ করে ভাগ করে।

একটি কর্ণ $d$ জানা থাকলে বাহু $= \dfrac{d}{\sqrt{2}}$ নির্ণয় করা যায় এবং কোণ $90\degree$; তাই বর্গ আঁকা সম্ভব।

রম্বস, আয়ত ও সামান্তরিক আঁকতে একটি কর্ণ ছাড়াও অন্য উপাত্ত (যেমন বাহু বা অপর কর্ণ বা কোণ) লাগে।

ব্যাখ্যা: বর্গ আঁকতে শুধু একটি কর্ণই যথেষ্ট।

উত্তর: খ) বর্গ

12. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং 10 সেমি হলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি?

ক) 5     খ) 6     গ) 8     ঘ) 14

সমাধান:

ধরি, তৃতীয় বাহু $x$ সেমি। ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়।

$10 - 4 < x < 10 + 4$ অর্থাৎ $6 < x < 14$।

প্রদত্ত বিকল্পের মধ্যে $6 < x < 14$ শর্ত পূরণ করে শুধু $8$।

ব্যাখ্যা: (ক) $5$ ও (খ) $6$ হলে $4 + 5 = 9 < 10$ এবং $4 + 6 = 10$ — ত্রিভুজ হয় না; (ঘ) $14$ হলে $4 + 10 = 14$ — ত্রিভুজ হয় না।

উত্তর: গ) 8

13. কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণের মান কোনটি হবে?

ক) $60\degree$     খ) $75\degree$     গ) $90\degree$     ঘ) $100\degree$

সমাধান:

উপচাপ হলো অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ছোট চাপ।

অর্ধবৃত্তস্থ কোণ $90\degree$ এবং বৃহৎ চাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। ক্ষুদ্র চাপ (উপচাপ)-এ অন্তর্লিখিত কোণ $90\degree$-এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ স্থূলকোণ।

প্রদত্ত বিকল্পে স্থূলকোণ শুধু $100\degree$।

ব্যাখ্যা: উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ।

উত্তর: ঘ) $100\degree$

14. চিত্রে $PQ = 30$ সেমি, $OP = 17$ সেমি, $\angle PSQ = 120\degree$। $\angle POQ$ এর মান কত?

ক) $60\degree$     খ) $90\degree$     গ) $120\degree$     ঘ) $240\degree$

সমাধান:

$S$ বিন্দুটি ক্ষুদ্র চাপ $PQ$-এর উপর অবস্থিত; তাই $\angle PSQ$ বৃত্তস্থ কোণ, যা বৃহৎ চাপ $PQ$-এর উপর দণ্ডায়মান।

ঐ চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ $= 2 \times 120\degree = 240\degree$।

অতএব সাধারণ $\angle POQ = 360\degree - 240\degree = 120\degree$।

ব্যাখ্যা: একই চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

উত্তর: গ) $120\degree$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নের তথ্য সামান্য অসঙ্গত: $OP = 17$ ও $PQ = 30$ হলে $\angle POQ \approx 123.9\degree$ হয়, আর $\angle POQ = 120\degree$ হলে $PQ = 17\sqrt{3} \approx 29.4$ সেমি হতো। উত্তর নির্ণয়ে বৃত্তস্থ কোণ $120\degree$ থেকে পাওয়া $\angle POQ = 120\degree$ ধরা হয়েছে, যা বইয়ের উত্তরের সাথে মেলে।

15. চিত্রে $RS$ এর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 8 সেমি     খ) 9 সেমি     গ) 15 সেমি     ঘ) 17 সেমি

সমাধান:

$O$-এর কেন্দ্র থেকে জ্যা $PQ$-এর উপর লম্ব $OR$ জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে; তাই $PR = \dfrac{30}{2} = 15$ সেমি।

সমকোণী $\triangle OPR$-এ $OR = \sqrt{OP^2 - PR^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ সেমি।

$OS = OP = 17$ সেমি (ব্যাসার্ধ); তাই $RS = OS - OR = 17 - 8 = 9$ সেমি।

ব্যাখ্যা: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উত্তর: খ) 9 সেমি

16. $3, 8, 6, 0, 5, 8, 3, 7$ উপাত্তগুলোর— i. গাণিতিক গড় 5 ii. মধ্যক 5.5 iii. প্রচুরক 3 ও 8। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

পদসংখ্যা $n = 8$; যোগফল $3 + 8 + 6 + 0 + 5 + 8 + 3 + 7 = 40$; গড় $= \dfrac{40}{8} = 5$। (i) সত্য।

মানের ক্রমে সাজালে $0, 3, 3, 5, 6, 7, 8, 8$। পদসংখ্যা জোড়, তাই মধ্যক হলো ৪র্থ ও ৫ম পদের গড় $= \dfrac{5 + 6}{2} = 5.5$। (ii) সত্য।

$3$ ও $8$ প্রতিটি দুইবার করে আছে, অন্য কোনো মান দুইবারের বেশি নেই; তাই প্রচুরক $3$ ও $8$। (iii) সত্য।

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

17. সারণির (শ্রেণিব্যাপ্তি $45 - 49, 50 - 54, 55 - 59, 60 - 64, 65 - 69, 70 - 74$-এর গণসংখ্যা যথাক্রমে $4, 8, 10, 20, 12, 6$) আলোকে $f_1 + f_2$ এর মান কত?

ক) 10     খ) 12     গ) 18     ঘ) 20

সমাধান:

সর্বোচ্চ গণসংখ্যা $20$, তাই প্রচুরক শ্রেণি $60 - 64$।

$f_1 = 20 - 10 = 10$ (আগের শ্রেণির গণসংখ্যা $10$)।

$f_2 = 20 - 12 = 8$ (পরের শ্রেণির গণসংখ্যা $12$)।

$f_1 + f_2 = 10 + 8 = 18$

ব্যাখ্যা: প্রচুরক নির্ণয়ে $f_1$, $f_2$ হলো প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যার সাথে আগের ও পরের শ্রেণির গণসংখ্যার পার্থক্য।

উত্তর: গ) 18

18. $\sin(30\degree - \theta) = 0$ হলে $\cos \theta$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     খ) $\dfrac{1}{2}$     গ) $1$     ঘ) $0$

সমাধান:

$\sin(30\degree - \theta) = 0 = \sin 0\degree$

বা $30\degree - \theta = 0\degree$

বা $\theta = 30\degree$

$\cos \theta = \cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

ব্যাখ্যা: সাইনের মান শূন্য হয় $0\degree$ কোণের জন্য।

উত্তর: ক) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

19. চিত্রে $ABCDE$ একটি সুষম পঞ্চভুজ যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি। $\angle BAE$ এর পরিমাণ কত?

ক) $54\degree$     খ) $72\degree$     গ) $108\degree$     ঘ) $120\degree$

সমাধান:

সুষম $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ $= \dfrac{(2n - 4) \times 90\degree}{n}$

$n = 5$ বসিয়ে $\angle BAE = \dfrac{(10 - 4) \times 90\degree}{5} = \dfrac{540\degree}{5} = 108\degree$

ব্যাখ্যা: পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি $540\degree$; সুষম বলে প্রতিটি সমান।

উত্তর: গ) $108\degree$

20. চিত্রের সুষম পঞ্চভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গসেন্টিমিটার?

ক) 6.88     খ) 14.53     গ) 16.18     ঘ) 27.53

সমাধান:

সুষম $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{na^2}{4} \cot \dfrac{180\degree}{n}$

এখানে $n = 5$, $a = 4$; ক্ষেত্রফল $= \dfrac{5 \times 4^2}{4} \cot 36\degree = 20 \times 1.3764 = 27.53$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: $\cot 36\degree \approx 1.3764$।

উত্তর: ঘ) 27.53

21. চিত্রে $BD$ এর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 4 সেমি     খ) 51 সেমি     গ) 56 সেমি     ঘ) 57 সেমি

সমাধান:

সমকোণী $\triangle ABC$-এ $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ সেমি।

সমকোণী $\triangle ACD$-এ $CD = \sqrt{AD^2 - AC^2} = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35$ সেমি।

$BD = BC + CD = 16 + 35 = 51$ সেমি।

ব্যাখ্যা: দুটি সমকোণী ত্রিভুজে পীথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয়েছে।

উত্তর: খ) 51 সেমি

22. $2 - 2 + 2 - 2 + \ldots$ ধারাটির— i. $(2n + 2)$ তম পদের মান $-2$ ii. $(2n + 1)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি 1 iii. পদ সংখ্যা অসীম। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

ধারাটির জোড় ক্রমের পদগুলো $-2$ এবং বিজোড় ক্রমের পদগুলো $2$; $(2n + 2)$ জোড় সংখ্যা, তাই (i) সত্য।

$(2n + 1)$ (বিজোড়) সংখ্যক পদের সমষ্টি $= 2$, $1$ নয়। (ii) মিথ্যা।

শেষ পদ উল্লেখ নেই ($\ldots$ আছে), তাই পদসংখ্যা অসীম। (iii) সত্য।

ব্যাখ্যা: কেবল (i) ও (iii) সত্য।

উত্তর: খ) i ও iii

23. চিত্রে $BC \parallel DE$, $CE$ = কত?

ক) 3.5     খ) 4.2     গ) 4.5     ঘ) 8.5

সমাধান:

চিত্রে $AD = 4$, $DB = 3$, $AE = 6$।

$BC \parallel DE$ হওয়ায় $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ (ত্রিভুজের সমানুপাতিক উপপাদ্য)।

বা $\dfrac{4}{3} = \dfrac{6}{CE}$

বা $CE = \dfrac{6 \times 3}{4} = 4.5$

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান্তরাল রেখা অপর দুই বাহুকে সমান অনুপাতে ভাগ করে।

উত্তর: গ) 4.5

24. একটি ঘড়ি 30% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। এর ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কোনটি?

ক) $10 : 3$     খ) $10 : 7$     গ) $7 : 10$     ঘ) $3 : 10$

সমাধান:

ধরি, ক্রয়মূল্য $= 100$ টাকা।

ক্ষতি $= 30$ টাকা, তাই বিক্রয়মূল্য $= 100 - 30 = 70$ টাকা।

ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য $= 100 : 70 = 10 : 7$

ব্যাখ্যা: ক্ষতি হলে বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের চেয়ে কম হয়।

উত্তর: খ) $10 : 7$

25. $3x - 4y = 1$ ও $9x + py = 3$ সমীকরণ জোড়টি $p$ এর মান কত হলে তাদের অসংখ্য সমাধান থাকবে?

ক) $-36$     খ) $-12$     গ) $12$     ঘ) $36$

সমাধান:

অসংখ্য সমাধান থাকার শর্ত: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$।

এখানে $\dfrac{3}{9} = \dfrac{-4}{p} = \dfrac{1}{3}$ (সরলীকৃত $\dfrac{1}{3}$)।

$\dfrac{-4}{p} = \dfrac{1}{3}$ থেকে $p = -12$।

ব্যাখ্যা: দুটি সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করলে অসংখ্য সমাধান থাকে।

উত্তর: খ) $-12$

26. $A : B = 2 : 3$, $B : C = 1 : 2$ এবং $C : D = 3 : 2$ হলে $A : D$ = কত?

ক) $1 : 2$     খ) $2 : 2$     গ) $2 : 3$     ঘ) $1 : 3$

সমাধান:

$B : C = 1 : 2 = 3 : 6$; তাই $A : B : C = 2 : 3 : 6$।

$C : D = 3 : 2 = 6 : 4$; তাই $A : B : C : D = 2 : 3 : 6 : 4$।

$A : D = 2 : 4 = 1 : 2$

ব্যাখ্যা: $B$ ও $C$ সাধারণ রাখার জন্য অনুপাতগুলোকে সমান করা হয়েছে।

উত্তর: ক) $1 : 2$

27. চিত্রে— i. $AB = 2$ ii. $\operatorname{\operatorname{cosec} } A = 2$ iii. $\cos(A + B) = 1$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

সমকোণী $\triangle ABC$-এ $BC = 1$, $AC = \sqrt{3}$; তাই $AB = \sqrt{1 + 3} = 2$। (i) সত্য।

$\operatorname{\operatorname{cosec} } A = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{2}{1} = 2$। (ii) সত্য।

$\angle C = 90\degree$ হলে $A + B = 90\degree$; তাই $\cos(A + B) = \cos 90\degree = 0 \neq 1$। (iii) মিথ্যা।

ব্যাখ্যা: (i) ও (ii) সত্য।

উত্তর: ক) i ও ii

28. $\sin B$ এর মান কোনটি?

ক) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$     খ) $\sqrt{2}$     গ) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     ঘ) $1$

সমাধান:

পূর্বের প্রশ্ন থেকে $AB = 2$, $AC = \sqrt{3}$।

$\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

ব্যাখ্যা: $B$ কোণের বিপরীত বাহু $AC$, অতিভুজ $AB$।

উত্তর: গ) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

29. চিত্রে $BD$ এর দৈর্ঘ্য কত?

ক) $20\sqrt{3}$ মি.     খ) $40\sqrt{3}$ মি.     গ) 60 মি.     ঘ) 80 মি.

সমাধান:

সমকোণী $\triangle ABC$-এ $\tan 60\degree = \dfrac{AC}{BC}$ বা $\sqrt{3} = \dfrac{AC}{20}$ বা $AC = 20\sqrt{3}$ মি.।

সমকোণী $\triangle ACD$-এ $\angle DAC = 60\degree$; $\tan 60\degree = \dfrac{CD}{AC}$ বা $\sqrt{3} = \dfrac{CD}{20\sqrt{3}}$ বা $CD = 60$ মি.।

$BD = CD + BC = 60 + 20 = 80$ মি.

ব্যাখ্যা: দুই সমকোণী ত্রিভুজে ট্যানজেন্ট ব্যবহার করা হয়েছে।

উত্তর: ঘ) 80 মি.

30. $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle A = \angle B + \angle C$, $\angle B = 2x\degree$, $\angle C = x\degree$ হলে $x$ এর মান কত?

ক) $15\degree$     খ) $30\degree$     গ) $45\degree$     ঘ) $60\degree$

সমাধান:

$\angle A = \angle B + \angle C = 2x\degree + x\degree = 3x\degree$।

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180\degree$: $3x + 2x + x = 180$

বা $6x = 180$ বা $x = 30$

ব্যাখ্যা: এতে $\angle A = 90\degree$ হয়, যা সমকোণী ত্রিভুজের শর্ত পূরণ করে।

উত্তর: খ) $30\degree$

সৃজনশীল প্রশ্ন – সমাধান ও ব্যাখ্যা

বোর্ড পরীক্ষায় ক-বিভাগ (বীজগণিত) থেকে ২টি, খ-বিভাগ (জ্যামিতি) থেকে ২টি, গ-বিভাগ (ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি) থেকে ২টি এবং ঘ-বিভাগ (পরিসংখ্যান) থেকে ১টি, মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। এখানে সবগুলোর সমাধান দেওয়া হলো।

প্রশ্ন ১

$A = \{x \in N : x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $1 < x < 7\}$ এবং $g(x) = \dfrac{6x - 3}{5x + 2}$।

ক) $C = \{a, b\}$, $D = \{1, 2\}$ হলে $C \times D$ নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $C = \{a, b\}$ এবং $D = \{1, 2\}$।

$C \times D = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)\}$

উত্তর: $C \times D = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)\}$

খ) $P(A)$ নির্ণয় করে দেখাও যে, $A$ সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ কে সমর্থন করে। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $A = \{x \in N : x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $1 < x < 7\}$; $1$-এর চেয়ে বড় ও $7$-এর চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা $2, 3, 5$।

$\therefore A = \{2, 3, 5\}$

$A$-এর সকল উপসেট নিয়ে গঠিত $P(A) = \{\{2\}, \{3\}, \{5\}, \{2, 3\}, \{2, 5\}, \{3, 5\}, \{2, 3, 5\}, \emptyset\}$

এখানে $A$-এর উপাদান সংখ্যা $n = 3$ এবং $P(A)$-এর উপাদান সংখ্যা $= 8 = 2^3 = 2^n$।

$\therefore P(A)$-এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ কে সমর্থন করে। (দেখানো হলো)

উত্তর: $P(A)$-এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ কে সমর্থন করে (দেখানো হলো)

গ) $\dfrac{g(x^{-1}) + 3}{g(x^{-1}) - 3} = -1$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $g(x) = \dfrac{6x - 3}{5x + 2}$; তাই $g(x^{-1}) = \dfrac{6x^{-1} - 3}{5x^{-1} + 2} = \dfrac{\dfrac{6}{x} - 3}{\dfrac{5}{x} + 2}$

বা $g(x^{-1}) = \dfrac{6 - 3x}{5 + 2x} = \dfrac{3(2 - x)}{5 + 2x}$ [লব ও হরকে $x$ দ্বারা গুণ করে]

বা $\dfrac{g(x^{-1})}{3} = \dfrac{2 - x}{5 + 2x}$

যোজন-বিয়োজন করে, $\dfrac{g(x^{-1}) + 3}{g(x^{-1}) - 3} = \dfrac{(2 - x) + (5 + 2x)}{(2 - x) - (5 + 2x)} = \dfrac{7 + x}{-3x - 3}$

প্রশ্নমতে $\dfrac{7 + x}{-3x - 3} = -1$

বা $7 + x = 3x + 3$

বা $2x = 4$

$\therefore x = 2$

উত্তর: $x = 2$

প্রশ্ন ২

$m + n = \sqrt{11}$, $m - n = \sqrt{5}$, $x = 3 + \sqrt{5}$।

ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $p^2 - 2pq + 4q - 4$। (২ নম্বর)

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= p^2 - 2pq + 4q - 4$

$= p^2 - 4 - 2pq + 4q$

$= p^2 - 2^2 - 2q(p - 2)$

$= (p + 2)(p - 2) - 2q(p - 2)$

$= (p - 2)(p + 2 - 2q)$

উত্তর: $(p - 2)(p - 2q + 2)$

খ) $(m^4 n^2 + m^2 n^4)$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= m^2 n^2 (m^2 + n^2) = (mn)^2 (m^2 + n^2)$

$mn = \left(\dfrac{m + n}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{m - n}{2}\right)^2 = \dfrac{11}{4} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

$m^2 + n^2 = \dfrac{(m + n)^2 + (m - n)^2}{2} = \dfrac{11 + 5}{2} = 8$

রাশিটির মান $= \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \times 8 = \dfrac{9}{4} \times 8 = 18$

ব্যাখ্যা: সংখ্যায় যাচাই: $m = \dfrac{\sqrt{11} + \sqrt{5}}{2} \approx 2.776$, $n = \dfrac{\sqrt{11} - \sqrt{5}}{2} \approx 0.540$; $m^4 n^2 \approx 17.35$, $m^2 n^4 \approx 0.66$, যোগফল $\approx 18.0$।

উত্তর: মান $18$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় এই অংশের উত্তর $9$ ছাপা আছে। শেষ ধাপে $m^2 + n^2 = \dfrac{(m + n)^2 + (m - n)^2}{2} = 8$ হওয়ার কথা, কিন্তু বইয়ে $\dfrac{16}{4} = 4$ ধরা হয়েছে (২-এর বদলে ৪ দিয়ে ভাগ)। ফলে $9$ এসেছে; সঠিক মান $18$, যা সংখ্যায় যাচাই করেও মিলেছে। (এটি সম্ভাব্য বইয়ের ভুল)

গ) দেখাও যে, $\dfrac{x^6 - 64}{x^3} = 64\sqrt{5}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x = 3 + \sqrt{5}$; তাই $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{3 + \sqrt{5}} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{9 - 5} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{4}$

বা $\dfrac{4}{x} = 3 - \sqrt{5}$

$\therefore x - \dfrac{4}{x} = (3 + \sqrt{5}) - (3 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$

বামপক্ষ $= \dfrac{x^6 - 64}{x^3} = x^3 - \dfrac{64}{x^3} = x^3 - \left(\dfrac{4}{x}\right)^3$

$= \left(x - \dfrac{4}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \dfrac{4}{x} \left(x - \dfrac{4}{x}\right)$

$= (2\sqrt{5})^3 + 3 \times 4 \times 2\sqrt{5}$

$= 8 \times 5\sqrt{5} + 24\sqrt{5} = 40\sqrt{5} + 24\sqrt{5} = 64\sqrt{5}$ (ডানপক্ষ)।

ব্যাখ্যা: সূত্র: $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$।

উত্তর: $\dfrac{x^6 - 64}{x^3} = 64\sqrt{5}$ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ৩

$13 + 11 + 9 + \ldots$ সমান্তর ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $-72$ এবং একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ এবং তৃতীয় পদ $\dfrac{1}{8\sqrt{2}}$।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

ক) সূত্র প্রয়োগ করে $1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 9^2$ ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

$n = 9$ বসিয়ে, সমষ্টি $= \dfrac{9 \times 10 \times 19}{6} = \dfrac{1710}{6} = 285$

উত্তর: সমষ্টি $285$

খ) $n$-এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ $a = 13$, সাধারণ অন্তর $d = 11 - 13 = -2$।

$S_n = \dfrac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$ এবং $S_n = -72$; তাই $\dfrac{n}{2}\{2 \times 13 + (n - 1)(-2)\} = -72$

বা $n(13 - (n - 1)) = -72$ বা $n(14 - n) = -72$

বা $n^2 - 14n - 72 = 0$

বা $n^2 - 18n + 4n - 72 = 0$

বা $n(n - 18) + 4(n - 18) = 0$

বা $(n - 18)(n + 4) = 0$

$n = 18$ অথবা $n = -4$; পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = 18$

উত্তর: $n = 18$

গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

প্রথম পদ $a = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ এবং তৃতীয় পদ $ar^2 = \dfrac{1}{8\sqrt{2}}$।

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot r^2 = \dfrac{1}{8\sqrt{2}}$

বা $r^2 = \dfrac{1}{8}$

বা $r = \pm \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

$r = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ হলে দ্বিতীয় পদ $= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{4}$; ধারাটি $\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8\sqrt{2}} + \ldots$

$r = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ হলে ধারাটি $\dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8\sqrt{2}} - \ldots$

উত্তর: নির্ণেয় ধারা $\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8\sqrt{2}} + \ldots$ (অথবা $\dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8\sqrt{2}} - \ldots$)

প্রশ্ন ৪

$a = 6$ সেমি, $c = 2$ সেমি এবং $\angle x = 25\degree$।

ক) একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $5$ সেমি হলে ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

অঙ্কনের ধাপ:

১. যেকোনো রশ্মি $BE$ থেকে $BC = 5$ সেমি কেটে নিই।

২. $B$ ও $C$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে $5$ সেমি ব্যাসার্ধ নিয়ে $BC$-এর একই পাশে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি; চাপ দুটি পরস্পরকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. $A, B$ এবং $A, C$ যোগ করি।

তাহলে $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ, কারণ $AB = AC = BC = 5$ সেমি।

উত্তর: $\triangle ABC$ হলো $5$ সেমি বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ।

খ) কোনো ত্রিভুজের ভূমি $a$, ভূমি সংলগ্ন সূক্ষ্মকোণ $\angle x$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $c$ হলে ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি $a = 6$ সেমি, ভূমি সংলগ্ন সূক্ষ্মকোণ $\angle x = 25\degree$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $c = 2$ সেমি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

১. যেকোনো রশ্মি $BE$ থেকে ভূমি $a$-এর সমান করে $BC = 6$ সেমি কেটে নিই। $B$ বিন্দুতে $\angle x$-এর সমান $\angle EBF = 25\degree$ আঁকি।

২. $BF$ থেকে $c$-এর সমান করে $BD = 2$ সেমি অংশ কেটে নিই।

৩. $C, D$ যোগ করি। $CD$ রেখাংশের যে পাশে $F$ বিন্দু আছে সেই পাশে $C$ বিন্দুতে $\angle FDC$-এর সমান করে $\angle DCA$ আঁকি। $CA$ রশ্মি $BF$ রশ্মিকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

যুক্তি: $\angle ADC = \angle ACD$ বলে $AC = AD$; তাই $AB - AC = AB - AD = BD = c = 2$ সেমি।

উত্তর: $\triangle ABC$ উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।

গ) ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle x$, উচ্চতা $c$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $(a + c)$ হলে ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle x = 25\degree$, উচ্চতা $c = 2$ সেমি এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $s = a + c = 6 + 2 = 8$ সেমি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

১. যেকোনো রশ্মি $BE$ নিই।

২. $B$ বিন্দুতে $BE$-এর সাথে $\angle x = 25\degree$ কোণ করে $\angle EBM$ আঁকি।

৩. $BM$ থেকে $BN = s = 8$ সেমি কেটে নিই।

৪. $B$ বিন্দুতে $BE$-এর উপর $BF$ লম্ব আঁকি এবং $BF$ থেকে $BD = c = 2$ সেমি কেটে নিই।

৫. $D$ বিন্দুতে $BE$-এর সমান্তরাল $DH$ আঁকি; $DH$ রেখা $BM$-কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৬. $A$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে $AN$-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি; চাপটি $BE$-কে $C$ ও $C\prime$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৭. $A, C$ এবং $A, C\prime$ যোগ করি।

তাহলে $\triangle ABC$ বা $\triangle ABC\prime$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

যুক্তি: $A$-এর উচ্চতা $c$ (কারণ $DH \parallel BE$) এবং $AC = AN$, তাই $AB + AC = AB + AN = BN = 8$ সেমি।

উত্তর: $\triangle ABC$ বা $\triangle ABC\prime$ উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।

প্রশ্ন ৫

$L$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $MNQP$ চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। চিত্রে $MN = NQ$।

ক) কোনো বৃত্তের পরিধি $16\pi$ মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ মিটার। তাহলে পরিধি $= 2\pi r$ মিটার।

প্রশ্নমতে $2\pi r = 16\pi$

বা $r = \dfrac{16\pi}{2\pi} = 8$

উত্তর: ব্যাসার্ধ $8$ মিটার

খ) $MN = NQ$ হলে, প্রমাণ কর যে, $MN$ ও $NQ$ জ্যাদ্বয় কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: চিত্রে $L$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $MN$ ও $NQ$ বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, $MN$ ও $NQ$ জ্যাদ্বয় বৃত্তের কেন্দ্র $L$ থেকে সমদূরবর্তী।

অঙ্কন: $L$ থেকে $NQ$ এবং $NM$ জ্যা-এর উপর যথাক্রমে $LU$ এবং $LV$ লম্ব আঁকি। $L, N$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ-১. $LU \perp NQ$ ও $LV \perp NM$; সুতরাং $NU = QU$ এবং $NV = MV$ [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে]।

$\therefore NU = \dfrac{1}{2}NQ$ এবং $NV = \dfrac{1}{2}NM$

ধাপ-২. কিন্তু $NQ = NM$ [দেওয়া আছে]; তাই $NU = NV$।

ধাপ-৩. এখন সমকোণী $\triangle NLU$ ও $\triangle NLV$-এর মধ্যে অতিভুজ $NL$ সাধারণ এবং $NU = NV$।

$\therefore \triangle NLU \cong \triangle NLV$ [অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]

$\therefore LU = LV$।

ধাপ-৪. $LU$ ও $LV$ কেন্দ্র $L$ থেকে যথাক্রমে $NQ$ ও $NM$ জ্যা-এর দূরত্ব।

$\therefore MN$ ও $NQ$ জ্যাদ্বয় বৃত্তের কেন্দ্র $L$ থেকে সমদূরবর্তী। (প্রমাণিত)

উত্তর: $MN$ ও $NQ$ কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী (প্রমাণিত)

গ) $MQ$ ও $NP$ কর্ণদ্বয় পরস্পর $R$ বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ কর যে, $\angle MLN + \angle QLP = 2\angle MRN$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $L$ কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তে $MNQP$ একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। এর $MQ$ ও $NP$ কর্ণদ্বয় $R$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle MLN + \angle QLP = 2\angle MRN$।

অঙ্কন: $L, M; L, N; L, Q$ এবং $L, P$ যোগ করা হলো।

প্রমাণ:

ধাপ-১. $MN$ চাপের উপর অবস্থিত $\angle MLN = 2\angle MPN$ [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]।

ধাপ-২. $QP$ চাপের উপর অবস্থিত $\angle QLP = 2\angle PMQ$ [একই কারণে]।

ধাপ-৩. $\angle MLN + \angle QLP = 2(\angle MPN + \angle PMQ) = 2(\angle MPR + \angle PMR)$ [ধাপ (১) ও (২) থেকে]।

ধাপ-৪. $\triangle PMR$-এর বহিঃস্থ $\angle MRN$ = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি $(\angle MPR + \angle PMR)$।

$\therefore \angle MLN + \angle QLP = 2\angle MRN$ (প্রমাণিত)

উত্তর: $\angle MLN + \angle QLP = 2\angle MRN$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৬

চিত্রে $\triangle MNP$ একটি ত্রিভুজ এবং $R$ ও $S$ যথাক্রমে $MN$ ও $MP$-এর মধ্যবিন্দু; $O$ বিন্দুটি $NP$-এর উপর অবস্থিত।

ক) বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $(x + 60)\degree$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $(x + 5)\degree$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

$\therefore (x + 60)\degree = 2 \times (x + 5)\degree$

বা $x + 60 = 2x + 10$

বা $x - 2x = 10 - 60$

বা $-x = -50$

$\therefore x = 50$

উত্তর: $x = 50\degree$

খ) প্রমাণ কর যে, $RS = \dfrac{1}{2}NP$। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle MNP$-এ $R, MN$-এর মধ্যবিন্দু এবং $S, MP$-এর মধ্যবিন্দু। $R, S$ যোগ করা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, $RS = \dfrac{1}{2}NP$।

অঙ্কন: $RS$-কে $T$ পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $ST = RS$ হয়। $P, T$ যোগ করি।

প্রমাণ:

$\triangle MRS$ ও $\triangle PST$-এ $MS = PS$ [$S, MP$-এর মধ্যবিন্দু], $RS = ST$ [অঙ্কন] এবং $\angle MSR = \angle PST$ [বিপ্রতীপ কোণ]।

$\therefore \triangle MRS \cong \triangle PST$ [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা]

$\therefore PT = MR = NR$ [$R, MN$-এর মধ্যবিন্দু] এবং $\angle MRS = \angle PTS$; এরা একান্তর কোণ, তাই $PT \parallel NR$।

$PT$ ও $NR$ সমান ও সমান্তরাল, তাই $NRTP$ একটি সামান্তরিক। অতএব $RT = NP$।

$RS = \dfrac{1}{2}RT = \dfrac{1}{2}NP$ [কারণ $RS = ST$]। (প্রমাণিত)

উত্তর: $RS = \dfrac{1}{2}NP$ (প্রমাণিত)

গ) $MO$ রেখাংশ $\angle NMP$-এর সমদ্বিখণ্ডক হলে, প্রমাণ কর যে, $MN : MP = NO : OP$। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle MNP$-এ $MO$, $\angle NMP$-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং এটি $NP$-কে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $MN : MP = NO : OP$।

অঙ্কন: $P$ বিন্দু দিয়ে $OM$-এর সমান্তরাল করে $PQ$ আঁকি; $PQ$ রেখা $NM$-এর বর্ধিতাংশকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ:

ধাপ-১. $\triangle NPQ$-এ $MO \parallel PQ$; তাই $\dfrac{NO}{OP} = \dfrac{NM}{MQ}$ ........ (i) [ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান্তরাল রেখা অপর দুই বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে]।

ধাপ-২. $MO \parallel PQ$ এবং $NQ$ ছেদক; তাই $\angle NMO = \angle MQP$ [অনুরূপ কোণ]।

ধাপ-৩. $MP$ ছেদক হওয়ায় $\angle OMP = \angle MPQ$ [একান্তর কোণ]।

ধাপ-৪. $\angle NMO = \angle OMP$ [$MO$ সমদ্বিখণ্ডক]; তাই $\angle MQP = \angle MPQ$।

$\therefore MQ = MP$ ........ (ii) [সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান]

ধাপ-৫. (i) ও (ii) থেকে $\dfrac{NO}{OP} = \dfrac{MN}{MP}$, অর্থাৎ $MN : MP = NO : OP$। (প্রমাণিত)

উত্তর: $MN : MP = NO : OP$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৭

$3 \operatorname{\operatorname{cosec} }(A + B) = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{3} \cot(A - B) = 3$, $a = \sec \theta$, $b = \operatorname{\operatorname{cosec} } \theta$।

ক) $c = 30\degree$ হলে দেখাও যে, $\cos^2 2c = 1 - \sin^2 2c$। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $c = 30\degree$।

বামপক্ষ $= \cos^2 2c = \cos^2(2 \times 30\degree) = \cos^2 60\degree = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$

ডানপক্ষ $= 1 - \sin^2 2c = 1 - \sin^2(2 \times 30\degree) = 1 - \sin^2 60\degree = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

উত্তর: $\cos^2 2c = 1 - \sin^2 2c$ (দেখানো হলো)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে অংশটি $\cos^2 2c = 1 - 2\sin^2 2c$ ছাপা আছে; কিন্তু বইয়ের সমাধানে $1 - \sin^2 2c$ ধরে দেখানো হয়েছে ($2$ সহগ থাকলে ডানপক্ষ $-\dfrac{1}{2}$ হয় এবং মেলে না)। আমরা বইয়ের সমাধান অনুসরণ করেছি।

খ) $(A, B)$ নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $3 \operatorname{\operatorname{cosec} }(A + B) = 2\sqrt{3}$

বা $\operatorname{\operatorname{cosec} }(A + B) = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \operatorname{\operatorname{cosec} } 60\degree$

$\therefore A + B = 60\degree$ ........ (i)

আবার $\sqrt{3} \cot(A - B) = 3$

বা $\cot(A - B) = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} = \cot 30\degree$

$\therefore A - B = 30\degree$ ........ (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে $2A = 90\degree$, তাই $A = 45\degree$।

(i) এ $A = 45\degree$ বসিয়ে $B = 60\degree - 45\degree = 15\degree$।

উত্তর: $(A, B) = (45\degree, 15\degree)$

গ) $a^2 + b^2 = 4$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর, যখন $\theta$ সূক্ষ্মকোণ। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a = \sec \theta$, $b = \operatorname{\operatorname{cosec} } \theta$ এবং $a^2 + b^2 = 4$।

$\sec^2 \theta + \operatorname{\operatorname{cosec} }^2 \theta = 4$

বা $\dfrac{1}{\cos^2 \theta} + \dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 4$

বা $\dfrac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 4$

বা $\dfrac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 4$

বা $\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \dfrac{1}{4}$

বা $\sin \theta \cos \theta = \dfrac{1}{2}$ [$\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই ধনাত্মক মূল]

বা $2 \sin \theta \cos \theta = 1$ বা $\sin 2\theta = 1 = \sin 90\degree$

বা $2\theta = 90\degree$

$\therefore \theta = 45\degree$

যাচাই: $\sec^2 45\degree + \operatorname{\operatorname{cosec} }^2 45\degree = 2 + 2 = 4$ ✓

ব্যাখ্যা: বইয়ে $\sin^4 \theta$ পর্যন্ত বিস্তার করে $(2\sin^2 \theta - 1)^2 = 0$ থেকে একই ফল $\theta = 45\degree$ এসেছে।

উত্তর: $\theta = 45\degree$

প্রশ্ন ৮

(i) চিত্রে $AD = BD$; $B$-তে সমকোণ, $\angle BDC = 60\degree$ এবং $CB = 12\sqrt{3}$ মিটার। (ii) ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে একটি দালানের ছাদের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ $45\degree$। ওই বিন্দু থেকে $16$ মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি কোণ হয় $30\degree$।

ক) কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য $3$ সেমি ও $4$ সেমি এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $30\degree$ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ত্রিভুজের দুই বাহু $a = 3$ সেমি, $b = 4$ সেমি এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ $\theta = 30\degree$।

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}ab \sin \theta = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 30\degree = 6 \times \dfrac{1}{2} = 3$ বর্গ সেমি।

উত্তর: ক্ষেত্রফল $3$ বর্গ সেমি

খ) $AB$-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

চিত্রে $\triangle BCD$ সমকোণী (সমকোণ $B$-তে), $\angle BDC = 60\degree$ এবং $BC = 12\sqrt{3}$ মিটার।

$\tan \angle BDC = \dfrac{BC}{BD}$ বা $\tan 60\degree = \dfrac{12\sqrt{3}}{BD}$

বা $\sqrt{3} = \dfrac{12\sqrt{3}}{BD}$

বা $BD = 12$ মিটার।

$AD = BD = 12$ মিটার (দেওয়া আছে)।

$AB = AD + BD = 12 + 12 = 24$ মিটার।

উত্তর: $AB = 24$ মিটার

গ) দালানটির উচ্চতা নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

ধরি, দালানের উচ্চতা $h$ মিটার এবং ভূতলের বিন্দু $P$ থেকে দালানের পাদবিন্দুর দূরত্ব $x$ মিটার; $P$ থেকে $16$ মিটার পিছিয়ে গিয়ে বিন্দু $Q$।

$P$ বিন্দুতে উন্নতি কোণ $45\degree$: $\tan 45\degree = \dfrac{h}{x}$ বা $1 = \dfrac{h}{x}$ বা $x = h$ ........ (i)

$Q$ বিন্দুতে উন্নতি কোণ $30\degree$: $\tan 30\degree = \dfrac{h}{x + 16}$ বা $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{h}{x + 16}$

বা $x + 16 = \sqrt{3} h$

(i) থেকে $x = h$ বসিয়ে $h + 16 = \sqrt{3} h$

বা $h(\sqrt{3} - 1) = 16$

বা $h = \dfrac{16}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{16(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{16(\sqrt{3} + 1)}{2} = 8(\sqrt{3} + 1)$

$= 8 \times 2.732 = 21.86$ মিটার (প্রায়)

উত্তর: দালানের উচ্চতা $8(\sqrt{3} + 1) \approx 21.86$ মিটার

প্রশ্ন ৯

(i) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি $18\pi$ সেমি। বৃত্তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি বর্গ অঙ্কন করা হলো। (ii) ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে $11$ সেমি, $9$ সেমি ও $5$ সেমি। বাক্সটি সমভাবে পুরু এবং এর ভিতরের সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $222$ বর্গ সেমি।

ক) একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $\sqrt{3}$ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের বাহু $a = \sqrt{3}$ সেমি।

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{3})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 3 = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ বর্গ সেমি।

উত্তর: ক্ষেত্রফল $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ বর্গ সেমি

খ) বর্গটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি $18\pi$ সেমি। ধরি, ব্যাসার্ধ $r$ সেমি; তাহলে পরিধি $= 2\pi r$।

প্রশ্নমতে $2\pi r = 18\pi$ বা $r = \dfrac{18\pi}{2\pi} = 9$।

বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi \times 9^2 = 81\pi$ বর্গ সেমি।

ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহু $a$ সেমি; তাহলে ক্ষেত্রফল $= a^2$ বর্গ সেমি।

প্রশ্নমতে $a^2 = 81\pi$ বা $a = \sqrt{81\pi} = 9\sqrt{\pi}$ বা $a = 15.9521$

উত্তর: বর্গের বাহু $\approx 15.9521$ সেমি

গ) বাক্সটির কাঠের পুরুত্ব নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বাক্সের বাইরের দৈর্ঘ্য $11$ সেমি, প্রস্থ $9$ সেমি, উচ্চতা $5$ সেমি। ধরি, কাঠের পুরুত্ব $x$ সেমি।

ভিতরের দৈর্ঘ্য $= (11 - 2x)$ সেমি, প্রস্থ $= (9 - 2x)$ সেমি, উচ্চতা $= (5 - 2x)$ সেমি।

ভিতরের সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $= 2\{(11 - 2x)(9 - 2x) + (9 - 2x)(5 - 2x) + (5 - 2x)(11 - 2x)\}$

$= 2(99 - 40x + 4x^2 + 45 - 28x + 4x^2 + 55 - 32x + 4x^2)$

$= 2(12x^2 - 100x + 199)$

প্রশ্নমতে $2(12x^2 - 100x + 199) = 222$

বা $12x^2 - 100x + 199 = 111$

বা $12x^2 - 100x + 88 = 0$

বা $3x^2 - 25x + 22 = 0$

বা $3x^2 - 22x - 3x + 22 = 0$

বা $x(3x - 22) - 1(3x - 22) = 0$

বা $(3x - 22)(x - 1) = 0$

$3x - 22 = 0$ হলে $x = \dfrac{22}{3}$; এটি গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ পুরুত্ব বাক্সের উচ্চতার অর্ধেকের ($2.5$ সেমি) বেশি হতে পারে না।

$x - 1 = 0$ হলে $x = 1$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 1$ হলে ভিতরের মাপ $9, 7, 3$, তাই সমগ্রপৃষ্ঠ $= 2(63 + 21 + 27) = 222$ বর্গ সেমি ✓।

উত্তর: কাঠের পুরুত্ব $1$ সেমি

প্রশ্ন ১০

কোনো বিদ্যালয়ে ১০ম শ্রেণির নির্বাচনী পরীক্ষায় গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা সারণি নিম্নরূপ:

শ্রেণিব্যাপ্তি	31–40	41–50	51–60	61–70	71–80
গণসংখ্যা	5	7	9	14	7

ক) মধ্যক শ্রেণির মধ্যমান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
31–40	5	5
41–50	7	12
51–60	9	21
61–70	14	35
71–80	7	42

সমাধান:

মোট গণসংখ্যা $n = 42$; তাই মধ্যক পদ $= \dfrac{n}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$তম পদ।

২১তম পদ $51 - 60$ শ্রেণিতে অবস্থিত (ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $21$)।

মধ্যক শ্রেণির মধ্যমান $= \dfrac{51 + 60}{2} = \dfrac{111}{2} = 55.5$

উত্তর: মধ্যক শ্রেণির মধ্যমান $55.5$

খ) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে উপাত্তের গড় নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

কল্পিত গড় $a = 55.5$ (মধ্যক শ্রেণির মধ্যমান), শ্রেণিব্যাপ্তি $h = 10$, $u_i = \dfrac{x_i - a}{h}$। সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	মধ্যবিন্দু $x_i$	গণসংখ্যা $f_i$	$u_i = \dfrac{x_i - a}{h}$	$f_i u_i$
31–40	35.5	5	-2	-10
41–50	45.5	7	-1	-7
51–60	55.5 ← $a$	9	0	0
61–70	65.5	14	1	14
71–80	75.5	7	2	14
মোট		$n = 42$		$\sum f_i u_i = 11$

গাণিতিক গড় $\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_i u_i}{n} \times h$

$= 55.5 + \dfrac{11}{42} \times 10 = 55.5 + 2.62 = 58.12$

উত্তর: গড় $\approx 58.12$

গ) বর্ণনাসহ প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

শ্রেণিব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যবিন্দু	গণসংখ্যা
31–40	35.5	5
41–50	45.5	7
51–60	55.5	9
61–70	65.5	14
71–80	75.5	7

সমাধান:

ছক কাগজে $x$-অক্ষ বরাবর প্রতি ১ ঘরকে শ্রেণি মধ্যবিন্দুর ২ একক এবং $y$-অক্ষ বরাবর প্রতি ১ ঘরকে গণসংখ্যার ১ একক ধরা হলো; মূলবিন্দু থেকে $25.5$ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো আছে বোঝাতে $x$-অক্ষে ভাঙা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

প্রথম শ্রেণির আগের কল্পিত শ্রেণির মধ্যমান $25.5$ এবং শেষ শ্রেণির পরের কল্পিত শ্রেণির মধ্যমান $85.5$; এ দুটির গণসংখ্যা $0$ ধরা হয়।

বিন্দুগুলো $(25.5, 0), (35.5, 5), (45.5, 7), (55.5, 9), (65.5, 14), (75.5, 7), (85.5, 0)$ স্থাপন করে পর্যায়ক্রমে সরলরেখা দিয়ে যোগ করলে গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়।

উত্তর: গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কিত হলো (চিত্র দ্রষ্টব্য)

প্রশ্ন ১১

নবম শ্রেণির ৩০ জন শিক্ষার্থীর বিজ্ঞান বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা সারণি নিম্নে দেওয়া হলো:

শ্রেণিব্যাপ্তি	36–40	41–45	46–50	51–55	56–60	61–65
গণসংখ্যা	3	4	12	6	3	2

ক) ১ হতে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$।

মোট পদসংখ্যা $8$ (জোড়), তাই মধ্যক হলো ৪র্থ ও ৫ম পদের গড়: $\dfrac{7 + 11}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$

উত্তর: মধ্যক $9$

খ) প্রদত্ত উপাত্তের প্রচুরক নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

গণসংখ্যা সর্বাধিক $12$; এটি $46 - 50$ শ্রেণিতে আছে। তাই প্রচুরক শ্রেণি $46 - 50$।

এখানে $L = 46$, $f_1 = 12 - 4 = 8$, $f_2 = 12 - 6 = 6$, $h = 5$।

প্রচুরক $= L + \dfrac{f_1}{f_1 + f_2} \times h$

$= 46 + \dfrac{8}{8 + 6} \times 5$

$= 46 + \dfrac{20}{7} = 46 + 2.86 = 48.86$

উত্তর: প্রচুরক $\approx 48.86$

গ) বর্ণনাসহ প্রদত্ত উপাত্তের অজিভ রেখা অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
36–40	3	3
41–45	4	7
46–50	12	19
51–55	6	25
56–60	3	28
61–65	2	30

সমাধান:

ছক কাগজে $x$-অক্ষ বরাবর প্রতি ১ ঘরকে শ্রেণিব্যবধানের উচ্চসীমার ১ একক এবং $y$-অক্ষ বরাবর প্রতি ১ ঘরকে ক্রমযোজিত গণসংখ্যার ১ একক ধরা হলো; মূলবিন্দু থেকে $35$ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো আছে বোঝাতে $x$-অক্ষে ভাঙা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

বিন্দুগুলো $(35, 0), (40, 3), (45, 7), (50, 19), (55, 25), (60, 28), (65, 30)$ স্থাপন করে মসৃণভাবে যোগ করলে অজিভ রেখা পাওয়া যায়।

উত্তর: অজিভ রেখা অঙ্কিত হলো (চিত্র দ্রষ্টব্য)