SSC Math Chattogram Board 2025 Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

বর্গের বাহু $a = 10$ সে.মি.।

কর্ণ $= \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

ব্যাখ্যা: কর্ণ $10\sqrt{2}$ সে.মি.

উত্তর: গ) $10\sqrt{2}$

2. অজিভ রেখার লেখ আঁকতে $y$-অক্ষ বরাবর কোনটিকে ধরা হয়?

ক) ক্রমযোজিত গণসংখ্যা     খ) গণসংখ্যা     গ) শ্রেণির মধ্যবিন্দু     ঘ) শ্রেণির উচ্চসীমা

সমাধান:

অজিভ রেখায় $x$-অক্ষ বরাবর শ্রেণির উচ্চসীমা এবং $y$-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নেওয়া হয়।

ব্যাখ্যা: $y$-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা

উত্তর: ক) ক্রমযোজিত গণসংখ্যা

3. দুইটি– i. সদৃশ ত্রিভুজ সর্বদা সদৃশকোণী ii. সদৃশকোণী ত্রিভুজ সর্বদা সদৃশ iii. ত্রিভুজ সর্বসম হলে সেগুলো সদৃশ। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i     খ) ii     গ) i ও ii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলো সমান, তাই সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশকোণী। (i সত্য)

দুই ত্রিভুজের কোণগুলো পরস্পর সমান হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান, তাই সদৃশকোণী ত্রিভুজ সদৃশ। (ii সত্য)

সর্বসম ত্রিভুজের সব কোণ ও সব বাহু সমান; অনুপাত 1 : 1, তাই সদৃশ। (iii সত্য)

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

4. নিচের কোনটি বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক ভগ্নাংশ?

ক) $12.32\dot{7}8\dot{9}$     খ) $7.4302$     গ) $0.0\dot{4}$     ঘ) $4.\dot{3}42\dot{6}$

সমাধান:

যে দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর পরের সবগুলো অঙ্কই পৌনঃপুনিক, তাকে বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক ভগ্নাংশ বলে।

ক) $12.32\dot{7}8\dot{9}$: $3, 2$ পৌনঃপুনিক নয়, তাই মিশ্র। খ) $7.4302$: সসীম দশমিক। গ) $0.0\dot{4}$: $0$ পৌনঃপুনিক নয়, তাই মিশ্র।

ঘ) $4.\dot{3}42\dot{6} = 4.3426 3426 \ldots$: দশমিকের পরের সব অঙ্ক $3426$ আবর্তিত, তাই বিশুদ্ধ।

ব্যাখ্যা: ঘ) $4.\dot{3}42\dot{6}$ বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক।

উত্তর: ঘ) $4.\dot{3}42\dot{6}$

চিত্রে, $O$ বৃত্তটির কেন্দ্র; $PA$ ও $PB$ দুইটি স্পর্শক এবং $\angle AOB = 100\degree$।

5. $\angle APB$ = কত?

ক) $100\degree$     খ) $80\degree$     গ) $40\degree$     ঘ) $30\degree$

সমাধান:

স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব, তাই $\angle OAP = \angle OBP = 90\degree$।

চতুর্ভুজ $OAPB$-এর চার কোণের সমষ্টি $360\degree$।

$\angle APB = 360\degree - (90\degree + 90\degree + 100\degree) = 80\degree$

ব্যাখ্যা: $\angle APB = 80\degree$

উত্তর: খ) 80°

6. একটি খুঁটির দৈর্ঘ্য এবং তার ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হলে সূর্যের উন্নতি কোণ কত হবে?

ক) $0\degree$     খ) $30\degree$     গ) $45\degree$     ঘ) $90\degree$

সমাধান:

খুঁটি $h$, ছায়া $h$ হলে উন্নতি কোণ $\theta$ এর জন্য $\tan \theta = \dfrac{h}{h} = 1$

তাই $\theta = 45\degree$

ব্যাখ্যা: উন্নতি কোণ $45\degree$

উত্তর: গ) 45°

7. 9 সে.মি., 12 সে.মি. এবং 15 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক) 4.5     খ) 6     গ) 7.5     ঘ) 15

সমাধান:

$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী এবং অতিভুজ 15 সে.মি.।

সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু; পরিব্যাসার্ধ $= \dfrac{15}{2} = 7.5$

ব্যাখ্যা: পরিব্যাসার্ধ $7.5$ সে.মি.

উত্তর: গ) 7.5

8. কয়টি স্বতন্ত্র উপাত্ত জানা থাকলে একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়?

ক) একটি     খ) দুইটি     গ) চারটি     ঘ) পাঁচটি

সমাধান:

একটি চতুর্ভুজ আঁকতে স্বতন্ত্র 5টি উপাত্ত দরকার (যেমন চার বাহু ও একটি কর্ণ, অথবা চার বাহু ও একটি কোণ ইত্যাদি)।

ব্যাখ্যা: পাঁচটি

উত্তর: ঘ) পাঁচটি

$0.002345$ সংখ্যাটি বিবেচনা করে নিচের ৯ ও ১০নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

9. সংখ্যাটির সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

ক) 3     খ) 2     গ) $\bar{2}$     ঘ) $\bar{3}$

সমাধান:

$0.002345 = 2.345 \times 10^{-3}$

দশমিক বিন্দুর পরে প্রথম সার্থক অঙ্কের আগে 2টি শূন্য আছে। তাই পূর্ণক $= -(2 + 1) = -3 = \bar{3}$

ব্যাখ্যা: পূর্ণক $\bar{3}$

উত্তর: ঘ) $\bar{3}$

10. সংখ্যাটির সাধারণ লগের অংশক কত?

ক) 0.6289     খ) 0.002345     গ) 0.3701     ঘ) 0.6298

সমাধান:

$\log 0.002345 = \log(2.345 \times 10^{-3}) = \log 2.345 + (-3)$

$\log 2.345 = 0.3701$, তাই অংশক $= 0.3701$ (অংশক সবসময় ধনাত্মক)।

ব্যাখ্যা: অংশক $0.3701$

উত্তর: গ) 0.3701

11. 9, 7, 7, 15, 10, 15, 11, 8, 10, 9, 10 উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

ক) 15     খ) 10     গ) 9     ঘ) 7

সমাধান:

গণসংখ্যা: $7 → 2$ বার, $8 → 1$, $9 → 2$, $10 → 3$ বার, $11 → 1$, $15 → 2$।

সবচেয়ে বেশি 3 বার এসেছে $10$, তাই প্রচুরক $10$।

ব্যাখ্যা: প্রচুরক $10$

উত্তর: খ) 10

12. $\{x \in N : 6 < x < 10\}$ সেটের প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক) 7টি     খ) 8টি     গ) 15টি     ঘ) 16টি

সমাধান:

সেটটি $= \{7, 8, 9\}$, উপাদান সংখ্যা $n = 3$।

মোট উপসেট $2^3 = 8$; প্রকৃত উপসেট $= 2^3 - 1 = 7$

ব্যাখ্যা: প্রকৃত উপসেট $7$টি

উত্তর: ক) 7টি

13. $\sin 5A = \cos 5A$ হলে $A$ এর মান কত?

ক) $45\degree$     খ) $30\degree$     গ) $9\degree$     ঘ) $6\degree$

সমাধান:

$\sin 5A = \cos 5A$, বা $\tan 5A = 1 = \tan 45\degree$

তাই $5A = 45\degree$, বা $A = 9\degree$

ব্যাখ্যা: $A = 9\degree$

উত্তর: গ) 9°

14. $(x + 3y - z)^2$ = কত?

ক) $x^2 + 9y^2 + z^2 + 3xy - 6yz - 2zx$     খ) $x^2 + 9y^2 + z^2 + 6xy - 6yz - 2zx$     গ) $x^2 + 9y^2 + z^2 - 6xy - 6yz + 2zx$     ঘ) $x^2 + 9y^2 + z^2 + 6xy - 3yz - 2zx$

সমাধান:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ সূত্রে $a = x, b = 3y, c = -z$ বসিয়ে:

$x^2 + 9y^2 + z^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + 2 \cdot 3y \cdot (-z) + 2 \cdot (-z) \cdot x$

$= x^2 + 9y^2 + z^2 + 6xy - 6yz - 2zx$

ব্যাখ্যা: $x^2 + 9y^2 + z^2 + 6xy - 6yz - 2zx$

উত্তর: খ) $x^2 + 9y^2 + z^2 + 6xy - 6yz - 2zx$

15. $\triangle DEF$ এর $\angle E$ ও $\angle F$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। $\angle D = 100\degree$ হলে $\angle EOF$ = কত?

ক) $140\degree$     খ) $100\degree$     গ) $80\degree$     ঘ) $50\degree$

সমাধান:

$\angle E + \angle F = 180\degree - 100\degree = 80\degree$

$\angle OEF + \angle OFE = \dfrac{1}{2}(\angle E + \angle F) = 40\degree$

$\angle EOF = 180\degree - 40\degree = 140\degree$

(সূত্র: $\angle EOF = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle D = 90\degree + 50\degree = 140\degree$)

ব্যাখ্যা: $\angle EOF = 140\degree$

উত্তর: ক) 140°

16. $x = \sqrt{15} + \sqrt{16}$ হলে $x - \dfrac{1}{x}$ এর মান কত?

ক) $\sqrt{15}$     খ) $4$     গ) $2\sqrt{15}$     ঘ) $8$

সমাধান:

$x = \sqrt{15} + 4$

$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4 + \sqrt{15}} = \dfrac{4 - \sqrt{15}}{16 - 15} = 4 - \sqrt{15}$

$x - \dfrac{1}{x} = (4 + \sqrt{15}) - (4 - \sqrt{15}) = 2\sqrt{15}$

ব্যাখ্যা: $2\sqrt{15}$

উত্তর: গ) $2\sqrt{15}$

17. নিচের কোনগুলো ক্রমিক সমানুপাতী?

ক) 1, 2, 8     খ) 2, 3, 9     গ) 8, 12, 16     ঘ) 4, 6, 9

সমাধান:

$a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $b^2 = ac$।

ক) $2^2 = 4 \neq 1 \times 8$; খ) $3^2 = 9 \neq 2 \times 9 = 18$; গ) $12^2 = 144 \neq 8 \times 16 = 128$

ঘ) $6^2 = 36 = 4 \times 9$ ✓

ব্যাখ্যা: $4, 6, 9$ ক্রমিক সমানুপাতী।

উত্তর: ঘ) 4, 6, 9

18. কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ–

ক) সূক্ষ্মকোণ     খ) সমকোণ     গ) স্থূলকোণ     ঘ) প্রবৃদ্ধকোণ

সমাধান:

অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ, বৃহত্তর চাপে (অধিচাপে) অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।

উপচাপ (ক্ষুদ্রতর চাপ) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ছোট; উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ $= 180\degree -$ (অধিচাপস্থ সূক্ষ্মকোণ), তাই স্থূলকোণ।

ব্যাখ্যা: উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ।

উত্তর: গ) স্থূলকোণ

19. $p : q = 3 : 4$ এবং $p$ ও $q$ এর গ.সা.গু. 5 হলে, $p$ ও $q$ এর ল.সা.গু. কত?

ক) 60     খ) 45     গ) 15     ঘ) 5

সমাধান:

ধরি $p = 3k, q = 4k$। 3 ও 4 সহমৌলিক, তাই গ.সা.গু. $= k = 5$।

$p = 15, q = 20$। ল.সা.গু. $= 3 \times 4 \times 5 = 60$

ব্যাখ্যা: ল.সা.গু. $60$

উত্তর: ক) 60

20. $-3a + 3a - 3a + 3a - 3a + \ldots$ ধারাটির প্রথম $2n$ পদের সমষ্টি কত?

ক) $-3a$     খ) $0$     গ) $3a$     ঘ) $-6an$

সমাধান:

জোড় সংখ্যক পদ নিলে প্রতিটি পরপর দুইটি পদের যোগফল $-3a + 3a = 0$।

প্রথম $2n$ পদে $n$ জোড়া আছে, সমষ্টি $= n \times 0 = 0$

ব্যাখ্যা: সমষ্টি $0$

উত্তর: খ) 0

21. 10 সে.মি. এবং 14 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত হবে?

ক) 2 সে.মি.     খ) 4 সে.মি.     গ) 12 সে.মি.     ঘ) 24 সে.মি.

সমাধান:

ব্যাসার্ধ $5$ সে.মি. ও $7$ সে.মি.।

অন্তঃস্পর্শে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $= 7 - 5 = 2$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $2$ সে.মি.

উত্তর: ক) 2 সে.মি.

22. প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক– i. বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি $n^2$ ii. সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ iii. সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $\dfrac{n^3(n+1)^3}{8}$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) iii     খ) i ও ii     গ) i ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

i) প্রথম $n$ সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি $1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) = n^2$ (সত্য)।

ii) $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (সত্য)।

iii) $1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$, প্রশ্নের রাশিটি ভুল। (মিথ্যা)

ব্যাখ্যা: i ও ii সঠিক। (সম্ভাব্য সমস্যা: i নং বক্তব্যটি ‘প্রথম $n$ সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি’ ধরে সত্য ধরা হয়েছে।)

উত্তর: খ) i ও ii

চিত্রে, $\angle X$ এর মান কত? (ত্রিভুজের এক কোণ $50\degree$ এবং বহিঃস্থ কোণ $120\degree$)

23. চিত্রে, $\angle X$ এর মান কত?

ক) $50\degree$     খ) $60\degree$     গ) $70\degree$     ঘ) $130\degree$

সমাধান:

ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ $=$ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি।

$120\degree = 50\degree + \angle X$, তাই $\angle X = 70\degree$

ব্যাখ্যা: $\angle X = 70\degree$

উত্তর: গ) 70°

24. $S = \{(-1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 4)\}$ অন্বয়টির ডোমেন কত?

ক) $\{-1, 1, 2\}$     খ) $\{-1, 2\}$     গ) $\{1, 2, 3, 4\}$     ঘ) $\{-1, 1, 2, 3, 4\}$

সমাধান:

ডোমেন = ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানের সেট।

প্রথম উপাদানগুলো $-1, 1, 1, 2$, তাই ডোমেন $= \{-1, 1, 2\}$

ব্যাখ্যা: ডোমেন $\{-1, 1, 2\}$

উত্তর: ক) $\{-1, 1, 2\}$

25. সুষম অষ্টভুজের– i. ঘূর্ণনমাত্রা 8 (আট) ii. ঘূর্ণনকোণ $120\degree$ iii. প্রতিটি কোণ সমান। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

সুষম $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের ঘূর্ণনমাত্রা $n$, ঘূর্ণনকোণ $\dfrac{360\degree}{n}$।

সুষম অষ্টভুজে ঘূর্ণনমাত্রা $8$ (i সত্য); ঘূর্ণনকোণ $= \dfrac{360\degree}{8} = 45\degree$, $120\degree$ নয় (ii মিথ্যা); সুষম বহুভুজের সব কোণ সমান (iii সত্য)।

ব্যাখ্যা: i ও iii সঠিক।

উত্তর: খ) i ও iii

26. $\operatorname{\operatorname{cosec} } \theta = 2$ হলে $\cot \theta$ = কত?

ক) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$     খ) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$     গ) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     ঘ) $\sqrt{3}$

সমাধান:

$\operatorname{\operatorname{cosec} } \theta = 2 = \operatorname{\operatorname{cosec} } 30\degree$, তাই $\theta = 30\degree$।

$\cot \theta = \cot 30\degree = \sqrt{3}$

(বিকল্প: $\cot^2 \theta = \operatorname{\operatorname{cosec} }^2 \theta - 1 = 4 - 1 = 3$, তাই $\cot \theta = \sqrt{3}$)

ব্যাখ্যা: $\cot \theta = \sqrt{3}$

উত্তর: ঘ) $\sqrt{3}$

চিত্রানুযায়ী, $\triangle ABC$-এ $\angle C = 90\degree$, $\angle B = 30\degree$ এবং $AB = 20$ মিটার।

27. চিত্রানুযায়ী– i. $\angle BAC = 60\degree$ ii. $AC = 10$ মি. iii. $BC = 10\sqrt{3}$ মি.। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) ii ও iii     গ) i ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

$\angle BAC = 90\degree - 30\degree = 60\degree$ (i সত্য)

$\sin 30\degree = \dfrac{AC}{AB}$, বা $AC = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10$ (ii সত্য)

$\cos 30\degree = \dfrac{BC}{AB}$, বা $BC = 20 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ (iii সত্য)

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

28. $a^3 - 8a - 8$ কে $a + 1$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

ক) $-15$     খ) $-1$     গ) $0$     ঘ) $1$

সমাধান:

ভাগশেষ উপপাদ্য: $f(a)$ কে $a + 1$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $f(-1)$।

$f(-1) = (-1)^3 - 8(-1) - 8 = -1 + 8 - 8 = -1$

ব্যাখ্যা: ভাগশেষ $-1$

উত্তর: খ) $-1$

নিচের তথ্যের আলোকে ২৯ ও ৩০নং প্রশ্নের উত্তর দাও: চিত্রে বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 20 সে.মি.।

29. উপরের চিত্রে উৎপাদক রেখা কোনটি?

ক) $AB$     খ) $CD$     গ) $BC$     ঘ) $AD$

সমাধান:

আয়তক্ষেত্র $ABCD$-কে $CD$ বাহুর চারদিকে ঘুরালে বেলন তৈরি হয়; $CD$ বেলনের অক্ষ।

অক্ষের সমান্তরাল বাহু $AB$ ঘুরে বেলনের বক্রতল তৈরি করে, তাই $AB$ উৎপাদক রেখা।

ব্যাখ্যা: উৎপাদক রেখা $AB$

উত্তর: ক) $AB$

30. উপরের চিত্রের বেলনাকৃত বস্তুটির– i. ভূমির ক্ষেত্রফল $= 78.54 \text{ cm}^2$ ii. বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $= 628.32 \text{ cm}^2$ iii. আয়তন $= 1570.8 \text{ cm}^3$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i     খ) i ও ii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

$r = 5, h = 20$

i) ভূমির ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 25\pi = 78.54$ (সত্য)

ii) বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $= 2\pi rh = 2\pi \times 5 \times 20 = 200\pi = 628.32$ (সত্য)

iii) আয়তন $= \pi r^2 h = 25\pi \times 20 = 500\pi = 1570.8$ (সত্য)

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

সৃজনশীল প্রশ্ন – সমাধান ও ব্যাখ্যা

বোর্ড পরীক্ষায় ক-বিভাগ (বীজগণিত) থেকে ২টি, খ-বিভাগ (জ্যামিতি) থেকে ২টি, গ-বিভাগ (ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি) থেকে ২টি এবং ঘ-বিভাগ (পরিসংখ্যান) থেকে ১টি, মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। এখানে সবগুলোর সমাধান দেওয়া হলো।

প্রশ্ন ১

(i) $f(x) = \dfrac{3x - 4}{5x - 8}$ একটি ফাংশন। (ii) $S = \{(x, y) : x \in A, y \in A$ এবং $y - x = 1\}$, যেখানে $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$।

ক) $f(-3)$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $f(x) = \dfrac{3x - 4}{5x - 8}$

$f(-3) = \dfrac{3(-3) - 4}{5(-3) - 8} = \dfrac{-9 - 4}{-15 - 8} = \dfrac{-13}{-23} = \dfrac{13}{23}$

উত্তর: $f(-3) = \dfrac{13}{23}$

খ) $\dfrac{f\left(\dfrac{1}{x^2}\right) + 1}{f\left(\dfrac{1}{x^2}\right) - 1}$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $f(x) = \dfrac{3x - 4}{5x - 8}$, তাই $f\left(\dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{\frac{3}{x^2} - 4}{\frac{5}{x^2} - 8}$

(লব ও হরকে $x^2$ দিয়ে গুণ করে) $f\left(\dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{3 - 4x^2}{5 - 8x^2}$

যোজন-বিয়োজন করে: $\dfrac{f\left(\frac{1}{x^2}\right) + 1}{f\left(\frac{1}{x^2}\right) - 1} = \dfrac{(3 - 4x^2) + (5 - 8x^2)}{(3 - 4x^2) - (5 - 8x^2)}$

$= \dfrac{8 - 12x^2}{-2 + 4x^2}$

$= \dfrac{4(2 - 3x^2)}{2(2x^2 - 1)}$

$= \dfrac{2(2 - 3x^2)}{2x^2 - 1}$

উত্তর: নির্ণেয় মান $\dfrac{2(2 - 3x^2)}{2x^2 - 1}$

গ) $S$ অন্বয়টিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে তার রেঞ্জ নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $S = \{(x, y) : x \in A, y \in A$ এবং $y - x = 1\}$, যেখানে $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$।

প্রত্যেক $x \in A$ এর জন্য $y - x = 1$, বা $y = x + 1$ এর মান নির্ণয় করি:

x	−2	−1	0	1	2	3
y = x + 1	−1	0	1	2	3	4

এখানে $4 \notin A$, তাই $(3, 4) \notin S$।

অতএব $S = \{(-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3)\}$

রেঞ্জ $= \{-1, 0, 1, 2, 3\}$

উত্তর: $S = \{(-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3)\}$ এবং রেঞ্জ $= \{-1, 0, 1, 2, 3\}$

প্রশ্ন ২

$x^2 = 11 + 2\sqrt{30}$ এবং $y^2 + \dfrac{1}{y^2} = 38$, $y > 0$।

ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $a^3 - 9 + (a + 1)^3$। (২ নম্বর)

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= a^3 - 9 + (a + 1)^3 = (a^3 - 1) + \{(a + 1)^3 - 8\}$

$= (a - 1)(a^2 + a + 1) + \{(a + 1) - 2\}\{(a + 1)^2 + (a + 1) \cdot 2 + 2^2\}$

$= (a - 1)(a^2 + a + 1) + (a - 1)(a^2 + 2a + 1 + 2a + 2 + 4)$

$= (a - 1)(a^2 + a + 1) + (a - 1)(a^2 + 4a + 7)$

$= (a - 1)(a^2 + a + 1 + a^2 + 4a + 7)$

$= (a - 1)(2a^2 + 5a + 8)$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $(a - 1)(2a^2 + 5a + 8) = 2a^3 + 3a^2 + 3a - 8 = a^3 - 9 + (a + 1)^3$ ✓। (সম্ভাব্য ত্রুটি: বইয়ের উত্তরমালায় শেষ ধাপে $2a^2 + 5a + 6$ ছাপা আছে, যা সঠিক নয়; সঠিক রাশি $2a^2 + 5a + 8$।)

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক: $(a - 1)(2a^2 + 5a + 8)$

খ) প্রমাণ কর যে, $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 42\sqrt{6}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x^2 = 11 + 2\sqrt{30} = 6 + 2\sqrt{6 \times 5} + 5$

বা, $x^2 = (\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2$

তাই $x = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ ($x > 0$)

$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$

$x + \dfrac{1}{x} = (\sqrt{6} + \sqrt{5}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{6}$

বামপক্ষ $= x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} \left(x + \dfrac{1}{x}\right)$

$= (2\sqrt{6})^3 - 3 \times 2\sqrt{6} = 8 \times 6\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = 48\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = 42\sqrt{6}$ = ডানপক্ষ

উত্তর: $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 42\sqrt{6}$ (প্রমাণিত)

গ) $y^5 - \dfrac{1}{y^5}$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $y^2 + \dfrac{1}{y^2} = 38$ ... (i)

বা, $\left(y - \dfrac{1}{y}\right)^2 + 2 \cdot y \cdot \dfrac{1}{y} = 38$, বা $\left(y - \dfrac{1}{y}\right)^2 = 36$

তাই $y - \dfrac{1}{y} = \sqrt{36} = 6$ ($y > 0$ এবং এখানে $y > 1$)

$y^3 - \dfrac{1}{y^3} = \left(y - \dfrac{1}{y}\right)^3 + 3 \cdot y \cdot \dfrac{1}{y} \left(y - \dfrac{1}{y}\right) = 6^3 + 3 \times 6 = 234$ ... (ii)

(i) ও (ii) গুণ করে: $\left(y^2 + \dfrac{1}{y^2}\right)\left(y^3 - \dfrac{1}{y^3}\right) = 38 \times 234 = 8892$

বা, $y^5 - \dfrac{1}{y} + y - \dfrac{1}{y^5} = 8892$, বা $y^5 - \dfrac{1}{y^5} + \left(y - \dfrac{1}{y}\right) = 8892$

বা, $y^5 - \dfrac{1}{y^5} + 6 = 8892$, তাই $y^5 - \dfrac{1}{y^5} = 8886$

উত্তর: $y^5 - \dfrac{1}{y^5} = 8886$

প্রশ্ন ৩

(i) একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 28 এবং 18 তম পদ 58। (ii) একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ $\dfrac{1}{32}$ এবং অষ্টম পদ $\dfrac{1}{256}$।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); তাই (ক), (খ) ও (গ) তিনটিই আমাদের নিজেদের সমাধান।

ক) $5 + 9 + 13 + 17 + \ldots$ ধারাটির কোন পদ 353 তা নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ধারাটি সমান্তর: প্রথম পদ $a = 5$, সাধারণ অন্তর $d = 9 - 5 = 4$।

$n$ তম পদ $= a + (n - 1)d = 353$

বা, $5 + 4(n - 1) = 353$, বা $4(n - 1) = 348$

বা, $n - 1 = 87$, তাই $n = 88$

উত্তর: ধারাটির 88 তম পদ 353

খ) সমান্তর ধারাটির প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধরি, প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$।

12 তম পদ: $a + 11d = 28$ ... (i)

18 তম পদ: $a + 17d = 58$ ... (ii)

(ii) − (i): $6d = 30$, তাই $d = 5$

(i) এ $d = 5$ বসিয়ে: $a + 55 = 28$, তাই $a = -27$

$S_{15} = \dfrac{15}{2}[2a + (15 - 1)d] = \dfrac{15}{2}[2(-27) + 14 \times 5]$

$= \dfrac{15}{2}(-54 + 70) = \dfrac{15}{2} \times 16 = 120$

উত্তর: প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি $120$

গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধরি, প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$।

পঞ্চম পদ: $ar^4 = \dfrac{1}{32}$ ... (i)

অষ্টম পদ: $ar^7 = \dfrac{1}{256}$ ... (ii)

(ii) ÷ (i): $r^3 = \dfrac{1}{256} \times 32 = \dfrac{1}{8}$, তাই $r = \dfrac{1}{2}$

(i) এ বসিয়ে: $a \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{32}$, তাই $a = \dfrac{1}{2}$

ধারাটি: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \ldots$

উত্তর: ধারাটি $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots$; $a = \dfrac{1}{2}, r = \dfrac{1}{2}$

প্রশ্ন ৪

$\triangle PQR$-এ $QR$ বাহুর মধ্যবিন্দু $M$, $\angle Q$ এবং $\angle R$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); তাই (ক), (খ) ও (গ) তিনটিই আমাদের নিজেদের সমাধান।

ক) প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান। (২ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এর $QR$ বাহুকে $S$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। প্রমাণ করতে হবে $\angle PRS = \angle P + \angle Q$।

অঙ্কন: $R$ বিন্দু দিয়ে $QP$ এর সমান্তরাল $RT$ আঁকি।

প্রমাণ: $RT \parallel QP$ এবং $PR$ ছেদক, তাই $\angle PRT = \angle P$ (একান্তর কোণ)

আবার $QS$ ছেদক, তাই $\angle TRS = \angle Q$ (অনুরূপ কোণ)

যোগ করে: $\angle PRT + \angle TRS = \angle P + \angle Q$, অর্থাৎ $\angle PRS = \angle P + \angle Q$

উত্তর: বহিঃস্থ কোণ $=$ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি (প্রমাণিত)

খ) দেখাও যে, $PQ + PR > 2PM$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এ $M$ বিন্দু $QR$ এর মধ্যবিন্দু। দেখাতে হবে $PQ + PR > 2PM$।

অঙ্কন: $PM$ কে $N$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $MN = PM$ হয়। $R, N$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle PQM$ ও $\triangle NRM$-এ $QM = RM$ ($M$ মধ্যবিন্দু), $PM = NM$ (অঙ্কন) এবং $\angle PMQ = \angle NMR$ (বিপ্রতীপ কোণ)

সুতরাং $\triangle PQM \cong \triangle NRM$ (বাহু-কোণ-বাহু); তাই $RN = PQ$।

$\triangle PRN$-এ $PR + RN > PN$ [ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, $PR + PQ > 2PM$ [কারণ $RN = PQ$ ও $PN = 2PM$]

উত্তর: $PQ + PR > 2PM$ (দেখানো হলো)

গ) প্রমাণ কর যে, $\angle QOR = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle P$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এ $\angle Q$ ও $\angle R$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে $\angle QOR = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle P$।

প্রমাণ: $\triangle PQR$-এ $\angle P + \angle Q + \angle R = 180\degree$, তাই $\angle Q + \angle R = 180\degree - \angle P$

$\angle OQR = \dfrac{1}{2}\angle Q$ এবং $\angle ORQ = \dfrac{1}{2}\angle R$

$\triangle OQR$-এ $\angle QOR = 180\degree - (\angle OQR + \angle ORQ) = 180\degree - \dfrac{1}{2}(\angle Q + \angle R)$

$= 180\degree - \dfrac{1}{2}(180\degree - \angle P) = 180\degree - 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle P = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle P$

উত্তর: $\angle QOR = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle P$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৫

একটি সামান্তরিকের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য $p = 4$ সে.মি., $q = 6.5$ সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $45\degree$।

ক) $3.5$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গ অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক] (২ নম্বর)

সমাধান:

যেকোনো রশ্মি $AM$ হতে $AB = a = 3.5$ সে.মি. কেটে নিই। $A$ বিন্দুতে $AN \perp AB$ আঁকি।

$AN$ হতে $AD = a$ কেটে নিই।

$B$ ও $D$ কে কেন্দ্র করে $a$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি, যা $C$ বিন্দুতে মিলিত হয়।

$B, C$ এবং $D, C$ যোগ করি। তাহলে $ABCD$ ই নির্ণেয় বর্গ।

উত্তর: $ABCD$ বর্গ অঙ্কিত হলো (বাহু $3.5$ সে.মি.)

খ) সামান্তরিকটি অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, একটি সামান্তরিকের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $p = 4$ সে.মি., $q = 6.5$ সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle y = 45\degree$ দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন (১): যেকোনো রশ্মি $AM$ থেকে $AC = p = 4$ সে.মি. কেটে নিই। $AC$ এর মধ্যবিন্দু $O$ নির্ণয় করি।

(২): $O$ বিন্দুতে $\angle AOP = \angle y = 45\degree$ আঁকি।

(৩): $OP$ এর বিপরীত রশ্মি $OQ$ আঁকি।

(৪): কর্ণ $q$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করি। $OP$ এবং $OQ$ থেকে $\dfrac{1}{2}q$ এর সমান করে $OB$ এবং $OD$ অংশ কেটে নিই।

(৫): এখন $A, B$; $B, C$; $C, D$ এবং $D, A$ যোগ করি। তাহলে $ABCD$-ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।

ব্যাখ্যা: কারণ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে (সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য)।

উত্তর: $ABCD$ নির্ণেয় সামান্তরিক

গ) $p$ এর সমান বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু $p = 4$ সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কন (১): যেকোনো রশ্মি $BE$ থেকে $p = 4$ সে.মি. এর সমান করে $BC$ অংশ কেটে নিই।

(২): $B$ ও $C$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে $BC$ এর একই পাশে $p$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

(৩): $A, B$ এবং $A, C$ যোগ করি। তাহলে $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ।

(৪): $AB$ ও $AC$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে $MN$ ও $PQ$ আঁকি। মনে করি, তারা পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

(৫): $A, O$ যোগ করি। $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি, যা $A, B$ ও $C$ বিন্দু দিয়ে যায়।

তাহলে এই বৃত্তটিই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্ত।

উত্তর: নির্ণেয় পরিবৃত্ত অঙ্কিত হলো (কেন্দ্র $O$, ব্যাসার্ধ $OA$)

প্রশ্ন ৬

চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $PR$ এবং $QS$ জ্যা দুইটি পরস্পর $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক) প্রমাণ কর যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। (২ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $CD$ একটি ব্যাস এবং $\angle DBC$ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে $\angle DBC =$ এক সমকোণ।

অঙ্কন: $DC$ এর যে পাশে $B$ বিন্দু অবস্থিত, তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু $E$ নিই।

প্রমাণ (ধাপ-১): $DEC$ চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ $\angle DBC = \dfrac{1}{2}$ (কেন্দ্রস্থ সরলকোণ $\angle DOC$) [একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]

(ধাপ-২): কিন্তু সরলকোণ $\angle DOC =$ দুই সমকোণ।

তাই $\angle DBC = \dfrac{1}{2}($ দুই সমকোণ$) =$ এক সমকোণ।

উত্তর: অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। (প্রমাণিত)

খ) প্রমাণ কর যে, $\angle QPS = \dfrac{1}{2}\angle QOS$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $PQRS$ বৃত্তের একই উপচাপ $QS$-এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ $\angle QPS$ এবং কেন্দ্রস্থ $\angle QOS$। প্রমাণ করতে হবে $\angle QPS = \dfrac{1}{2}\angle QOS$।

অঙ্কন: ধরি, $PS$ রেখাংশ কেন্দ্রগামী নয়। এক্ষেত্রে $P$ বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ $PR$ আঁকি।

প্রমাণ (ধাপ-১): $\triangle POQ$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle QOR = \angle QPO + \angle PQO$ [বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]

(ধাপ-২): $\triangle POQ$-এ $OP = OQ$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

অতএব $\angle QPO = \angle PQO$ [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি সমান]

(ধাপ-৩): $\angle QOR = 2\angle QPO$ [ধাপ (১) ও (২) থেকে]

(ধাপ-৪): একইভাবে $\triangle POS$ থেকে $\angle SOR = 2\angle SPO$

(ধাপ-৫): ধাপ (৩) ও (৪) যোগ করে: $\angle QOR + \angle SOR = 2\angle QPO + 2\angle SPO$

অর্থাৎ $\angle QOS = 2(\angle QPO + \angle SPO) = 2\angle QPS$

তাই $\angle QPS = \dfrac{1}{2}\angle QOS$

উত্তর: $\angle QPS = \dfrac{1}{2}\angle QOS$ (প্রমাণিত)

গ) $P, O$ এবং $R, O$ যোগ করে প্রমাণ কর যে, $\angle POQ + \angle ROS = 2\angle PEQ$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তে $PQRS$ একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। এর $PR$ ও $QS$ কর্ণদ্বয় $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $P, O; Q, O; R, O$ এবং $S, O$ যোগ করা হলো। প্রমাণ করতে হবে $\angle POQ + \angle ROS = 2\angle PEQ$।

প্রমাণ (ধাপ-১): $\triangle PES$-এর বহিঃস্থ $\angle PEQ =$ অন্তঃস্থ $(\angle PSE + \angle EPS)$ [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]

(ধাপ-২): আবার, $PQ$ চাপের উপর অবস্থিত $\angle PSQ$ বৃত্তস্থ কোণ এবং $\angle POQ$ কেন্দ্রস্থ কোণ। তাই $\angle POQ = 2\angle PSQ$

(ধাপ-৩): আবার, $RS$ চাপের উপর অবস্থিত $\angle RPS$ বৃত্তস্থ কোণ এবং $\angle ROS$ কেন্দ্রস্থ কোণ। তাই $\angle ROS = 2\angle RPS$

(ধাপ-৪): $\angle POQ + \angle ROS = 2\angle PSQ + 2\angle RPS = 2(\angle PSQ + \angle RPS)$

$= 2(\angle PSE + \angle EPS)$ [$E$ বিন্দু $PR$ ও $QS$ এর উপর বলে]

$= 2\angle PEQ$ [ধাপ-১ থেকে]

উত্তর: $\angle POQ + \angle ROS = 2\angle PEQ$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৭

$\triangle ABC$-এ $\angle A = 1$ সমকোণ, $\sin B = \dfrac{1}{2}$ এবং $(\cos \theta + 5)\cos \theta - \sin^2 \theta = P$।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: মূল প্রশ্নপত্রে রাশিটি $(\cos \theta - 5)\cos \theta - \sin^2 \theta = P$ ছাপা আছে, কিন্তু উত্তরমালায় $(\cos \theta + 5)$ ধরেই সমাধান করা হয়েছে (‘−5’ ধরলে $P = 2$ এর জন্য সূক্ষ্মকোণ $\theta$ পাওয়া যায় না)। আমরাও উত্তরমালার ‘+5’ অনুযায়ী সমাধান করেছি।

ক) প্রমাণ কর যে, $\cot A \sqrt{1 - \cos^2 A} = \cos A$। (২ নম্বর)

সমাধান:

বামপক্ষ $= \cot A \sqrt{1 - \cos^2 A}$

$= \cot A \sqrt{\sin^2 A} = \cot A \cdot \sin A$

$= \dfrac{\cos A}{\sin A} \cdot \sin A = \cos A$ = ডানপক্ষ

উত্তর: $\cot A \sqrt{1 - \cos^2 A} = \cos A$ (প্রমাণিত)

খ) উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{2 - \sin^2 C} + \dfrac{1}{2 + \tan^2 C} = 1$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\sin B = \dfrac{1}{2} = \sin 30\degree$, তাই $\angle B = 30\degree$।

$\triangle ABC$-এ $\angle A = 90\degree$। $\angle A + \angle B + \angle C = 180\degree$ থেকে $\angle B + \angle C = 90\degree$।

তাই $\angle C = 90\degree - 30\degree = 60\degree$

বামপক্ষ $= \dfrac{1}{2 - \sin^2 60\degree} + \dfrac{1}{2 + \tan^2 60\degree}$

$= \dfrac{1}{2 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} + \dfrac{1}{2 + (\sqrt{3})^2}$

$= \dfrac{1}{2 - \dfrac{3}{4}} + \dfrac{1}{2 + 3} = \dfrac{1}{\dfrac{5}{4}} + \dfrac{1}{5}$

$= \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{5} = 1$ = ডানপক্ষ

উত্তর: $\dfrac{1}{2 - \sin^2 C} + \dfrac{1}{2 + \tan^2 C} = 1$ (প্রমাণিত)

গ) $P = 2$ হলে সমীকরণটির সমাধান কর; যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $P = 2$, অর্থাৎ $(\cos \theta + 5)\cos \theta - \sin^2 \theta = 2$

বা, $\cos^2 \theta + 5\cos \theta - \sin^2 \theta = 2$

বা, $\cos^2 \theta + 5\cos \theta - (1 - \cos^2 \theta) = 2$ [$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$]

বা, $\cos^2 \theta + 5\cos \theta - 1 + \cos^2 \theta - 2 = 0$

বা, $2\cos^2 \theta + 5\cos \theta - 3 = 0$

বা, $2\cos^2 \theta + 6\cos \theta - \cos \theta - 3 = 0$

বা, $2\cos \theta(\cos \theta + 3) - 1(\cos \theta + 3) = 0$

বা, $(\cos \theta + 3)(2\cos \theta - 1) = 0$

হয়, $\cos \theta + 3 = 0$, বা $\cos \theta = -3$ (গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ $\theta$ সূক্ষ্মকোণ ও $-1 \leq \cos \theta \leq 1$)

অথবা, $2\cos \theta - 1 = 0$, বা $\cos \theta = \dfrac{1}{2} = \cos 60\degree$, তাই $\theta = 60\degree$

উত্তর: $\theta = 60\degree$

প্রশ্ন ৮

(i) একটি ঘরের ছাদের কোনো বিন্দু থেকে ঐ বিন্দুর 15 মিটার দূরের ভূতলস্থ একটি বিন্দুর অবনতি কোণ $60\degree$। (ii) একটি গাছ ঝড়ে এমনভাবে ভেঙে গেল যে, এটির অবিচ্ছিন্ন ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে $30\degree$ কোণ করে গাছের গোড়া থেকে 11 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে।

ক) $\dfrac{1 - \tan^2 30\degree}{1 + \tan^2 30\degree}$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

$\tan 30\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, তাই $\tan^2 30\degree = \dfrac{1}{3}$

প্রদত্ত রাশি $= \dfrac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

উত্তর: মান $\dfrac{1}{2}$

খ) ঘরের উচ্চতা নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

ধরি, ঘরের উচ্চতা $AB = h$ মিটার। ছাদের $A$ বিন্দু থেকে ভূতলস্থ $C$ বিন্দুর অবনতি কোণ $60\degree$ এবং $BC = 15$ মিটার।

অনুভূমিক রেখা $\parallel BC$ বলে $\angle ACB = 60\degree$ (একান্তর কোণ)।

সমকোণী $\triangle ABC$-এ $\tan 60\degree = \dfrac{AB}{BC}$

বা, $\sqrt{3} = \dfrac{h}{15}$, তাই $h = 15\sqrt{3} = 25.98$ (প্রায়)

উত্তর: ঘরের উচ্চতা $15\sqrt{3} \approx 25.98$ মিটার

গ) সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

ধরি, গাছটি $T$ বিন্দুতে ভেঙে গিয়ে মাথা $G$ বিন্দুতে মাটি স্পর্শ করেছে। গোড়া $B$; $BG = 11$ মিটার; $\angle BTG = 30\degree$ এবং $\angle B = 90\degree$।

সমকোণী $\triangle BTG$-এ $\tan 30\degree = \dfrac{BG}{BT}$, বা $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{11}{BT}$, তাই $BT = 11\sqrt{3} \approx 19.05$

আবার $\sin 30\degree = \dfrac{BG}{TG}$, বা $\dfrac{1}{2} = \dfrac{11}{TG}$, তাই $TG = 22$

সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য $= BT + TG = 11\sqrt{3} + 22 \approx 19.05 + 22 = 41.05$

উত্তর: সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য $22 + 11\sqrt{3} \approx 41.05$ মিটার

প্রশ্ন ৯

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 16 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার। আয়তাকার ক্ষেত্রটিকে পরিবেষ্টিত করে একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্র আছে।

ক) একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ বর্গ সে.মি., যেখানে $a = 9$

$= \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 9^2 = \dfrac{81\sqrt{3}}{4} = 35.07$

উত্তর: ক্ষেত্রফল $35.07$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

খ) বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

$ABCD$ আয়তাকার ক্ষেত্রটি একটি বৃত্তে পরিবেষ্টিত। আয়তের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

আয়তের কর্ণ $BD = \sqrt{(AB)^2 + (AD)^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ মিটার

বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{20}{2} = 10$ মিটার

বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r = 2 \times 3.1416 \times 10 = 62.832$ মিটার

উত্তর: পরিধি $62.832$ মিটার

গ) আয়তাকার ক্ষেত্রটিকে এর বৃহত্তম বাহুর চতুর্দিকে ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

আয়তাকার ক্ষেত্রটিকে এর বৃহত্তম বাহুর চতুর্দিকে ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় সেটি একটি বেলন বা সিলিন্ডার।

যার উচ্চতা $h =$ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $= 16$ মিটার এবং ভূমির ব্যাসার্ধ $r =$ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $= 12$ মিটার।

বেলনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r(r + h) = 2 \times 3.1416 \times 12 \times (12 + 16) = 2111.1552$ বর্গমিটার

আয়তাকার ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $= 16 \times 12 = 192$ বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত $= 2111.1552 : 192 \approx 11 : 1$

উত্তর: অনুপাত $\approx 11 : 1$

প্রশ্ন ১০

নিচের সারণিটি লক্ষ কর:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	31–40	41–50	51–60	61–70	71–80	81–90
গণসংখ্যা	4	6	9	11	7	3

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নপত্রে ‘61–70’ শ্রেণিটি ছাপার ভুলে ‘61–701’ আছে; উত্তরমালা অনুযায়ী ‘61–70’ ধরা হয়েছে।

ক) প্রচুরক শ্রেণির মধ্যবিন্দু নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

প্রদত্ত সারণিতে গণসংখ্যা সর্বাধিক 11 আছে (61–70) শ্রেণিতে। তাই প্রচুরক শ্রেণি $61 – 70$।

প্রচুরক শ্রেণির মধ্যবিন্দু $= \dfrac{61 + 70}{2} = \dfrac{131}{2} = 65.5$

উত্তর: মধ্যবিন্দু $65.5$

খ) প্রদত্ত সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

মধ্যক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
31–40	4	4
41–50	6	10
51–60	9	19
61–70	11	30
71–80	7	37
81–90	3	40
	n = 40

সমাধান:

এখানে $n = 40$, তাই $\dfrac{n}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$

অর্থাৎ মধ্যক 20 তম পদের মান, যা (61–70) শ্রেণিতে অবস্থিত। এখানে $L = 61$, $n = 40$, $F_c = 19$, $h = 10$, $f_m = 11$

মধ্যক $= L + \left(\dfrac{n}{2} - F_c\right) \times \dfrac{h}{f_m}$

$= 61 + (20 - 19) \times \dfrac{10}{11} = 61 + \dfrac{10}{11}$

$= 61 + 0.91 = 61.91$

উত্তর: মধ্যক $61.91$ (প্রায়)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের নিয়মে নিম্নসীমা $L = 61$ ধরা হয়েছে; প্রকৃত নিম্নসীমা $60.5$ ধরলে মধ্যক $61.41$ হতো।

গ) বর্ণনাসহ প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কনের সারণি:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যবিন্দু	গণসংখ্যা
31–40	35.5	4
41–50	45.5	6
51–60	55.5	9
61–70	65.5	11
71–80	75.5	7
81–90	85.5	3

সমাধান:

ছক কাগজে $x$-অক্ষ বরাবর প্রতি 1 ঘরকে শ্রেণি মধ্যবিন্দুর 2 একক এবং $y$-অক্ষ বরাবর প্রতি 1 ঘরকে গণসংখ্যা 1 একক ধরে গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকা হলো। মূলবিন্দু থেকে 25.5 পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে ছেদ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

বিন্দুগুলো: $(35.5, 4), (45.5, 6), (55.5, 9), (65.5, 11), (75.5, 7), (85.5, 3)$; প্রথম শ্রেণির আগের মধ্যবিন্দু $25.5$ এবং শেষ শ্রেণির পরের মধ্যবিন্দু $95.5$ এ গণসংখ্যা শূন্য ধরে রেখাংশ দিয়ে যুক্ত করা হয়েছে।

উত্তর: গণসংখ্যা বহুভুজ চিত্রে দেখানো হলো

প্রশ্ন ১১

নিচে কোনো একটি শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	46–50	51–55	56–60	61–65	66–70	71–75	76–80
গণসংখ্যা	8	13	15	20	12	7	5

ক) $f_1 + f_2$ নির্ণয় কর; যেখানে প্রতীকগুলো প্রচলিত অর্থ বহন করে। (২ নম্বর)

সমাধান:

প্রদত্ত সারণিতে গণসংখ্যা সর্বাধিক 20 আছে (61–65) শ্রেণিতে, যা প্রচুরক শ্রেণি।

$f_1 = 20 - 15 = 5$

$f_2 = 20 - 12 = 8$

$f_1 + f_2 = 5 + 8 = 13$

উত্তর: $f_1 + f_2 = 13$

খ) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে প্রদত্ত উপাত্তের গড় নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি (অনুমিত গড় $a = 63$, শ্রেণিদৈর্ঘ্য $h = 5$):

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা f	মধ্যমান x	u = (x − a)/h	f·u
46–50	8	48	−3	−24
51–55	13	53	−2	−26
56–60	15	58	−1	−15
61–65	20	63 ← a	0	0
66–70	12	68	1	12
71–75	7	73	2	14
76–80	5	78	3	15
	n = 80			Σfu = −24

সমাধান:

গাণিতিক গড় $\bar{x} = a + \dfrac{\sum fu}{n} \times h$

$= 63 + \dfrac{-24}{80} \times 5$

$= 63 - 1.5 = 61.5$

উত্তর: গড় $61.5$

গ) বর্ণনাসহ প্রদত্ত উপাত্তের অজিভ রেখা অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

অজিভ রেখা অঙ্কনের সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
46–50	8	8
51–55	13	21
56–60	15	36
61–65	20	56
66–70	12	68
71–75	7	75
76–80	5	80

সমাধান:

$x$-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের 1 ঘরকে শ্রেণিব্যাপ্তির উচ্চসীমা 1 একক এবং $y$-অক্ষ বরাবর 1 ঘরকে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 2 একক ধরে প্রদত্ত উপাত্তের অজিভ রেখা আঁকা হলো। মূলবিন্দু থেকে 46 পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে ছেদ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

বিন্দুগুলো: $(45, 0), (50, 8), (55, 21), (60, 36), (65, 56), (70, 68), (75, 75), (80, 80)$; এদের সরলরেখাংশ দিয়ে যুক্ত করা হয়েছে।

উত্তর: অজিভ রেখা চিত্রে দেখানো হলো