SSC Math Mymensingh Board 2025 Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

$\log_{2}\dfrac{1}{4} = \log_{2}2^{-2}$

$= -2\log_{2}2 = -2 \times 1 = -2$

ব্যাখ্যা: লগের সূত্র $\log_{a}M^{r} = r\log_{a}M$ এবং $\log_{a}a = 1$।

উত্তর: ক) $-2$

2. $\sqrt{3x - 3} + 1 = 0$ সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি?

ক) $\{\dfrac{3}{4}\}$     খ) $\{1\}$     গ) $\{\dfrac{4}{3}\}$     ঘ) $\{3\}$

সমাধান:

$\sqrt{3x - 3} + 1 = 0$, বা $\sqrt{3x - 3} = -1$

বর্গমূলের মান (মূল মান) কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না; তাই $\sqrt{3x - 3} = -1$ সত্য হয় এমন কোনো বাস্তব $x$ নেই।

যাচাই: $x = 1$ হলে বামপক্ষ $= 0 + 1 = 1$, $x = 3$ হলে $\sqrt{6} + 1$, $x = \dfrac{4}{3}$ হলে $1 + 1 = 2$ — কোনোটিই $0$ নয়।

সুতরাং সমাধান সেট $\emptyset$

ব্যাখ্যা: বর্গমূলের মান অঋণাত্মক, তাই $\sqrt{\ldots} = -1$ অসম্ভব; সমাধান সেট ফাঁকা সেট।

উত্তর: সঠিক উত্তর $\emptyset$ (কোনো বিকল্পে নেই)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের সঠিক উত্তর কোনো বিকল্পে নেই। বইয়ের উত্তরমালায়ও এর জন্য “*” চিহ্ন দিয়ে নোটে বলা হয়েছে, সঠিক উত্তর $\emptyset$।

3. একটি রম্বসের– i. প্রতিসাম্য রেখা 2টি ii. ঘূর্ণনকেন্দ্র কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু iii. ঘূর্ণন প্রতিসমতার কোণ $90\degree$ — নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

i. রম্বসের প্রতিসাম্য রেখা দুইটি (দুই কর্ণ বরাবর) — সঠিক।

ii. রম্বসের ঘূর্ণনকেন্দ্র কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু — সঠিক।

iii. রম্বসের ঘূর্ণন প্রতিসমতার কোণ $180\degree$ (অর্ধঘূর্ণনে নিজের উপর পড়ে); $90\degree$ হয় বর্গের ক্ষেত্রে — ভুল।

ব্যাখ্যা: রম্বস শুধু অর্ধঘূর্ণনে (ঘূর্ণন প্রতিসমতার ক্রম $2$) নিজের উপর পড়ে।

উত্তর: ক) i ও ii

4. $\sin 3A = \operatorname{\operatorname{cosec} } 3A$ হলে $A$-এর মান কত?

ক) $10\degree$     খ) $15\degree$     গ) $30\degree$     ঘ) $60\degree$

সমাধান:

$\sin 3A = \operatorname{\operatorname{cosec} } 3A = \dfrac{1}{\sin 3A}$

বা $\sin^{2}3A = 1$, অর্থাৎ $\sin 3A = 1$ [সূক্ষ্মকোণের জন্য]

বা $\sin 3A = \sin 90\degree$, বা $3A = 90\degree$

$\therefore A = 30\degree$

ব্যাখ্যা: $\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ এবং $\sin 90\degree = 1$।

উত্তর: গ) $30\degree$

5. $\triangle ABC$-এ $AC = BC$ এবং $\angle A = 25\degree$ হলে $\angle ACB$ = কত?

ক) $25\degree$     খ) $50\degree$     গ) $130\degree$     ঘ) $155\degree$

সমাধান:

$AC = BC$ বলে $\angle B = \angle A = 25\degree$ [সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান]

$\angle ACB = 180\degree - (25\degree + 25\degree) = 130\degree$

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180\degree$।

উত্তর: গ) $130\degree$

6. $a^{x} = b^{y}$ এর ক্ষেত্রে– i. $\log_{a} b^{\frac{y}{x}} = 1$ ii. $\log_{a} b = \dfrac{x}{y}$ iii. $\log_{a} b = \dfrac{y}{x}$ — নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

$a^{x} = b^{y}$; উভয় পক্ষে $\log_{a}$ নিয়ে $x = y\log_{a} b$

তাই $\log_{a} b = \dfrac{x}{y}$ — ii সঠিক, iii ভুল।

i. $\log_{a} b^{\frac{y}{x}} = \dfrac{y}{x} \log_{a} b = \dfrac{y}{x} \times \dfrac{x}{y} = 1$ — সঠিক।

ব্যাখ্যা: $a^{x} = b^{y}$ হলে $\log_{a} b = \dfrac{x}{y}$।

উত্তর: ক) i ও ii

তথ্য: নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৭ ও ৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: $\sin A = \dfrac{1}{x}$ এবং $\cos B = \dfrac{1}{y}$

7. $\cot A$ এর মান নিচের কোনটি?

ক) $\sqrt{x - 1}$     খ) $\sqrt{x^{2} + 1}$     গ) $\sqrt{x^{2} - 1}$     ঘ) $\sqrt{x + 1}$

সমাধান:

$\sin A = \dfrac{1}{x}$; তাই সমকোণী ত্রিভুজে লম্ব $= 1$, অতিভুজ $= x$

ভূমি $= \sqrt{x^{2} - 1^{2}} = \sqrt{x^{2} - 1}$

$\cot A$ = ভূমি ÷ লম্ব

$\cot A = \dfrac{\sqrt{x^{2} - 1}}{1} = \sqrt{x^{2} - 1}$

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $\cos A = \sqrt{1 - \sin^{2}A} = \dfrac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$, তাই $\cot A = \dfrac{\cos A}{\sin A} = \sqrt{x^{2} - 1}$।

উত্তর: গ) $\sqrt{x^{2} - 1}$

8. $y = \sqrt{2}$ হলে $\operatorname{\operatorname{cosec} }^{2}B - \cos^{2}B$ এর মান কোনটি?

ক) $\dfrac{-3}{2}$     খ) $\dfrac{-1}{2}$     গ) $\dfrac{1}{2}$     ঘ) $\dfrac{3}{2}$

সমাধান:

$\cos B = \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \cos 45\degree$, তাই $B = 45\degree$

$\operatorname{\operatorname{cosec} }^{2}45\degree - \cos^{2}45\degree = (\sqrt{2})^{2} - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}$

$= 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$

ব্যাখ্যা: $\cos 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ এবং $\operatorname{\operatorname{cosec} } 45\degree = \sqrt{2}$।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{3}{2}$

9. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য $2a$ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক) $\dfrac{a^{2}}{2}$     খ) $a^{2}$     গ) $2a^{2}$     ঘ) $4a^{2}$

সমাধান:

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে সমান বাহু দুইটিই সমকোণ সংলগ্ন; একটি লম্ব, অপরটি ভূমি।

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^{2}$ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা।

উত্তর: গ) $2a^{2}$

10. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা হলে বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ $110\degree$ বহিঃস্থ বিন্দুতে উৎপন্ন কোণের মান কত ডিগ্রি?

ক) $60\degree$     খ) $70\degree$     গ) $90\degree$     ঘ) $120\degree$

সমাধান:

স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব; তাই চতুর্ভুজে (কেন্দ্র, দুই স্পর্শবিন্দু, বহিঃস্থ বিন্দু) দুইটি কোণ $90\degree$ করে।

বহিঃস্থ বিন্দুতে কোণ $= 360\degree - (90\degree + 90\degree + 110\degree) = 70\degree$

ব্যাখ্যা: কেন্দ্রস্থ কোণ ও বহিঃস্থ বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ পরস্পর সম্পূরক: $110\degree + 70\degree = 180\degree$।

উত্তর: খ) $70\degree$

11. $\dfrac{2a}{y} = \dfrac{m^{2} + n^{2}}{mn}$ হলে $\dfrac{\sqrt{a - y}}{\sqrt{a + y}}$ = ?

ক) $\dfrac{m - n}{m + n}$     খ) $\dfrac{m + n}{m - n}$     গ) $\sqrt{\dfrac{m - n}{m + n}}$     ঘ) $\sqrt{\dfrac{m + n}{m - n}}$

সমাধান:

$\dfrac{a}{y} = \dfrac{m^{2} + n^{2}}{2mn}$

যোজন-বিয়োজন করে, $\dfrac{a + y}{a - y} = \dfrac{m^{2} + n^{2} + 2mn}{m^{2} + n^{2} - 2mn} = \dfrac{(m + n)^{2}}{(m - n)^{2}}$

উল্টে $\dfrac{a - y}{a + y} = \dfrac{(m - n)^{2}}{(m + n)^{2}}$

বর্গমূল নিয়ে, $\dfrac{\sqrt{a - y}}{\sqrt{a + y}} = \dfrac{m - n}{m + n}$

ব্যাখ্যা: অনুপাতের যোজন-বিয়োজন সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে; এখানে $m > n$ ধরা হয়েছে।

উত্তর: ক) $\dfrac{m - n}{m + n}$

12. একটি দালান হতে $9\sqrt{3}$ মিটার দূরে দাগানোর শীর্ষের অবনতি কোণ $30\degree$ হলে দালানের উচ্চতা কত মিটার?

ক) $3\sqrt{3}$     খ) $9$     গ) $9\sqrt{3}$     ঘ) $36$

সমাধান:

দালানের উচ্চতা $h$ মিটার ধরি; ভূমিতে $9\sqrt{3}$ মিটার দূরের বিন্দুর অবনতি কোণ $30\degree$

একান্তর কোণ বলে ঐ বিন্দুতে উন্নতি কোণও $30\degree$: $\tan 30\degree = \dfrac{h}{9\sqrt{3}}$

বা $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{h}{9\sqrt{3}}$

$\therefore h = 9$

ব্যাখ্যা: $\tan 30\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$; উচ্চতা $=$ দূরত্ব $\times \tan 30\degree$।

উত্তর: খ) $9$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১২ নং প্রশ্নের একটি শব্দ (“দাগানোর”) বইয়ে স্পষ্ট ছাপা নেই। সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমির সম্পর্ক $\tan 30\degree$ ধরে নির্ণীত উত্তর $9$ বইয়ের উত্তরের (খ) সাথে মেলে।

তথ্য: নিচের তথ্যের আলোকে ১৩ ও ১৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: $11\sqrt{2}$ সে.মি. ব্যাসের একটি বৃত্তে একটি চতুর্ভুজ অন্তর্লিখিত আছে।

13. বৃত্তটির অর্ধপরিধি কত সে.মি. (প্রায়)?

ক) $190.07$     খ) $97.74$     গ) $48.87$     ঘ) $24.44$

সমাধান:

ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{11\sqrt{2}}{2}$ সে.মি. $= 7.778$ সে.মি. (প্রায়)

অর্ধপরিধি $= \pi r = 3.1416 \times 7.778$

$= 24.44$ সে.মি. (প্রায়)

ব্যাখ্যা: বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r$; তাই অর্ধপরিধি $= \pi r$।

উত্তর: ঘ) $24.44$

14. অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজটি একটি বর্গ হলে– i. কর্ণের দৈর্ঘ্য $11\sqrt{2}$ সে.মি. ii. বাহুর দৈর্ঘ্য $11\sqrt{2}$ সে.মি. iii. ক্ষেত্রফল $121$ বর্গ সে.মি. — নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

বর্গ বৃত্তে অন্তর্লিখিত হলে বর্গের কর্ণ বৃত্তের ব্যাস; তাই কর্ণ $= 11\sqrt{2}$ সে.মি. — i সঠিক।

বাহু $a$ হলে কর্ণ $= a\sqrt{2}$; $a\sqrt{2} = 11\sqrt{2}$ হলে $a = 11$ সে.মি.; তাই ii ভুল।

ক্ষেত্রফল $= a^{2} = 11^{2} = 121$ বর্গ সে.মি. — iii সঠিক।

ব্যাখ্যা: বর্গের কর্ণ $= \sqrt{2} \times$ বাহু।

উত্তর: খ) i ও iii

15. $4$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা কত সে.মি.?

ক) $2\sqrt{3}$     খ) $2\sqrt{5}$     গ) $4\sqrt{3}$     ঘ) $5\sqrt{2}$

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা $= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times$ বাহু

$= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3}$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: উচ্চতা শীর্ষ থেকে ভূমির মধ্যবিন্দুতে লম্ব; পিথাগোরাসের সূত্র: $\sqrt{4^{2} - 2^{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$।

উত্তর: ক) $2\sqrt{3}$

16. ইংরেজি বর্ণ O-এর ঘূর্ণন কোণ কত?

ক) $0\degree$     খ) $90\degree$     গ) $180\degree$     ঘ) $360\degree$

সমাধান:

ইংরেজি বর্ণ $O$ একটি বৃত্ত বা উপবৃত্তের মতো আকৃতির।

প্রদত্ত বিকল্পগুলোর মধ্যে বইয়ের উত্তরমালা অনুযায়ী সঠিক উত্তর $0\degree$।

ব্যাখ্যা: বইয়ের উত্তরমালার কী অনুযায়ী উত্তর (ক)।

উত্তর: ক) $0\degree$ (বইয়ের উত্তরমালা অনুযায়ী)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১৬ নং প্রশ্নের বইয়ের উত্তর (ক) $0\degree$ ছাপা আছে। তবে ইংরেজি বর্ণ $O$ সাধারণত $180\degree$ ঘূর্ণনে নিজের উপর পড়ে (ঘূর্ণন প্রতিসমতার ক্রম $2$), তাই এখানে (গ) $180\degree$ হওয়ার সম্ভাবনা আছে; এটি বইয়ের সম্ভাব্য উত্তর-ভুল বা ভিন্ন সংজ্ঞা হতে পারে। পরীক্ষায় নিজের পাঠ্যবইয়ের সংজ্ঞা মিলিয়ে নিন।

তথ্য: নিচের তথ্যের আলোকে ১৭ ও ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $441$।

17. নিচের কোনটি সঠিক?

ক) $(1 + 2 + 3 + \ldots + n)^{2} = 441$     খ) $(1 + 2 + 3 + \ldots + n^{2}) = 441$     গ) $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \ldots + n^{2} = 441$     ঘ) $1 + 2 + 3 + \ldots + n = 441$

সমাধান:

প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \ldots + n^{3} = 441$

সূত্র: $1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = (1 + 2 + 3 + \ldots + n)^{2}$

তাই $(1 + 2 + 3 + \ldots + n)^{2} = 441$

ব্যাখ্যা: ঘনের সমষ্টি সর্বদা প্রথম $n$ স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির বর্গের সমান।

উত্তর: ক) $(1 + 2 + 3 + \ldots + n)^{2} = 441$

18. $n$ এর মান নিচের কোনটি?

ক) $5$     খ) $6$     গ) $7$     ঘ) $8$

সমাধান:

১৭ নং থেকে $(1 + 2 + \ldots + n)^{2} = 441 = 21^{2}$

তাই $1 + 2 + \ldots + n = 21$, বা $\dfrac{n(n + 1)}{2} = 21$

বা $n^{2} + n - 42 = 0$, বা $(n + 7)(n - 6) = 0$

$n > 0$ বলে $n = 6$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} + 6^{3} = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 = 441$।

উত্তর: খ) $6$

19. কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ—

ক) সূক্ষ্মকোণ     খ) সমকোণ     গ) স্থূলকোণ     ঘ) পূরককোণ

সমাধান:

অধিচাপ হলো অর্ধবৃত্তের চেয়ে বড় চাপ; এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $180\degree$-এর চেয়ে ছোট।

বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক; তাই এটি $90\degree$-এর চেয়ে ছোট, অর্থাৎ সূক্ষ্মকোণ।

ব্যাখ্যা: অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ, উপচাপে স্থূলকোণ এবং অধিচাপে সূক্ষ্মকোণ।

উত্তর: ক) সূক্ষ্মকোণ

তথ্য: নিচের উদ্দীপকের আলোকে ২০ ও ২১ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: $8, 15, 4, 6, 0, 4, 10, 9$

20. উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

ক) $6$     খ) $7$     গ) $8$     ঘ) $9$

সমাধান:

মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই: $0, 4, 4, 6, 8, 9, 10, 15$

পদসংখ্যা $n = 8$ (জোড়), তাই মধ্যক হলো মাঝের দুই পদ (৪র্থ ও ৫ম) এর গড়:

মধ্যক $= \dfrac{6 + 8}{2} = 7$

ব্যাখ্যা: জোড় সংখ্যক পদ থাকলে মাঝের দুইটি পদের (এখানে ৪র্থ ও ৫ম) গড়ই মধ্যক।

উত্তর: খ) $7$

21. উপাত্তগুলোর গড় কত?

ক) $7$     খ) $8$     গ) $9$     ঘ) $5.6$

সমাধান:

মানগুলোর যোগফল $= 8 + 15 + 4 + 6 + 0 + 4 + 10 + 9 = 56$

গড় $= \dfrac{56}{8} = 7$

ব্যাখ্যা: গড় $=$ সব মানের যোগফল $\div$ মানের সংখ্যা।

উত্তর: ক) $7$

22. $A = \{5, a, b, c\}$ এবং $B = \{3, c, d\}$ হয় তবে $(A \setminus B)$ এর প্রকৃত উপসেট কতটি?

ক) $3$     খ) $7$     গ) $8$     ঘ) $15$

সমাধান:

$A \setminus B = \{5, a, b\}$ [$c$ উভয় সেটে আছে বলে বাদ]

উপাদান সংখ্যা $n = 3$, তাই মোট উপসেট $= 2^{3} = 8$

প্রকৃত উপসেট $= 2^{3} - 1 = 7$

ব্যাখ্যা: $n$ উপাদানবিশিষ্ট সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা $2^{n} - 1$ (সেটটি নিজে বাদ)।

উত্তর: খ) $7$

23. $0.\dot{1} + 0.0\dot{1}$ = কত?

ক) $\dfrac{11}{90}$     খ) $\dfrac{11}{99}$     গ) $\dfrac{1}{100}$     ঘ) $\dfrac{11}{100}$

সমাধান:

$0.\dot{1} = \dfrac{1}{9}$

$0.0\dot{1}$-কে $x$ ধরলে $10x = 0.\dot{1} = \dfrac{1}{9}$, তাই $x = \dfrac{1}{90}$

যোগফল $= \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{90} = \dfrac{10 + 1}{90} = \dfrac{11}{90}$

ব্যাখ্যা: পুনরাবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশে রূপান্তর করে যোগ করা হয়েছে।

উত্তর: ক) $\dfrac{11}{90}$

24. নিম্নের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

ক) $\sqrt[3]{9}$     খ) $\sqrt[3]{16}$     গ) $\sqrt{125}$     ঘ) $\sqrt[3]{125}$

সমাধান:

(ক) $\sqrt[3]{9}$ — ৯ পূর্ণঘন নয়, তাই অমূলদ।

(খ) $\sqrt[3]{16}$ — ১৬ পূর্ণঘন নয়, তাই অমূলদ।

(গ) $\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ — অমূলদ।

(ঘ) $\sqrt[3]{125} = 5$ — মূলদ।

ব্যাখ্যা: পূর্ণ ঘনের ঘনমূল ও পূর্ণ বর্গের বর্গমূল মূলদ।

উত্তর: ঘ) $\sqrt[3]{125}$

25. $(x + y, 6) = (6, x - y)$ হলে $(x, y)$ নিচের কোনটি?

ক) $(3, 3)$     খ) $(0, 6)$     গ) $(12, 0)$     ঘ) $(6, 0)$

সমাধান:

ক্রমজোড় সমান হলে অনুরূপ উপাদান সমান: $x + y = 6$ ........ (i) এবং $x - y = 6$ ........ (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে, $2x = 12$, বা $x = 6$

(i) এ বসিয়ে, $6 + y = 6$, বা $y = 0$

$(x, y) = (6, 0)$

ব্যাখ্যা: দুইটি ক্রমজোড় সমান হলে তাদের প্রথম উপাদান দুইটি ও দ্বিতীয় উপাদান দুইটি পরস্পর সমান।

উত্তর: ঘ) $(6, 0)$

26. $m : n = 4 : 5$, $n : l = 5 : 4$ হলে $m : l$ = কত?

ক) $20 : 25$     খ) $25 : 20$     গ) $20 : 20$     ঘ) $16 : 25$

সমাধান:

$m : n = 4 : 5$ এবং $n : l = 5 : 4$; $n$-এর মান দুই জায়গায় $5$ করে সমান আছে

তাই $m : n : l = 4 : 5 : 4$

$m : l = 4 : 4 = 20 : 20$

ব্যাখ্যা: ধারাবাহিক অনুপাত বের করে $m : l$ নির্ণয় করা হয়েছে; গুণ করে পাই $m : l = (4 \times 5) : (5 \times 4) = 20 : 20$।

উত্তর: গ) $20 : 20$

27. $x + y = \sqrt{13}$ এবং $x - y = \sqrt{5}$ হলে $2xy$ = কত?

ক) $2$     খ) $4$     গ) $8$     ঘ) $18$

সমাধান:

$4xy = (x + y)^{2} - (x - y)^{2}$

$= (\sqrt{13})^{2} - (\sqrt{5})^{2} = 13 - 5 = 8$

$\therefore 2xy = \dfrac{8}{2} = 4$

ব্যাখ্যা: সূত্র: $(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4xy$।

উত্তর: খ) $4$

28. $f(x)$ এর একটি উৎপাদক $(2x + 5)$ হলে, নিচের কোনটির জন্য $f(x)$ শূন্য হবে?

ক) $f(-5)$     খ) $f(-2)$     গ) $f\left(\dfrac{-2}{5}\right)$     ঘ) $f\left(\dfrac{-5}{2}\right)$

সমাধান:

$(2x + 5)$ উৎপাদক হলে $2x + 5 = 0$ বসালে $f(x) = 0$ হয়

$2x + 5 = 0$, বা $x = -\dfrac{5}{2}$

অতএব $f\left(-\dfrac{5}{2}\right) = 0$

ব্যাখ্যা: উৎপাদক উপপাদ্য: $(ax + b)$ উৎপাদক হলে $f\left(-\dfrac{b}{a}\right) = 0$।

উত্তর: ঘ) $f\left(\dfrac{-5}{2}\right)$

29. $25p^{2} + 49q^{2}$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

ক) $-140pq$     খ) $-35pq$     গ) $35pq$     ঘ) $70pq$

সমাধান:

$25p^{2} = (5p)^{2}$ এবং $49q^{2} = (7q)^{2}$

পূর্ণবর্গ হতে হলে মধ্যপদ $2 \times 5p \times 7q = 70pq$ বা $-70pq$ হতে হবে

বিকল্পে $70pq$ আছে: $25p^{2} + 70pq + 49q^{2} = (5p + 7q)^{2}$

ব্যাখ্যা: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ আকারে আনার জন্য মধ্যপদ $2ab$ যোগ করা হয়েছে।

উত্তর: ঘ) $70pq$

30. $2x = y + 2$ সরলরেখাটির উপরস্থ বিন্দু কোনটি?

ক) $(0, 2)$     খ) $(0, -2)$     গ) $(1, -4)$     ঘ) $(-4, -1)$

সমাধান:

বিন্দু রেখার উপরে থাকলে এর স্থানাঙ্ক সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।

(ক) $(0, 2)$: $2 \times 0 = 0 \neq 2 + 2$ — নয়।

(খ) $(0, -2)$: $2 \times 0 = 0 = -2 + 2$ — সিদ্ধ করে।

(গ) $(1, -4)$: $2 = 2 \neq -4 + 2 = -2$ — নয়। (ঘ) $(-4, -1)$: $-8 \neq -1 + 2 = 1$ — নয়।

ব্যাখ্যা: যে বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণ সিদ্ধ করে সেটিই রেখার উপরে থাকে।

উত্তর: খ) $(0, -2)$

সৃজনশীল প্রশ্ন – সমাধান ও ব্যাখ্যা

বোর্ড পরীক্ষায় ক-বিভাগ (বীজগণিত) থেকে ২টি, খ-বিভাগ (জ্যামিতি) থেকে ২টি, গ-বিভাগ (ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি) থেকে ২টি এবং ঘ-বিভাগ (পরিসংখ্যান) থেকে ১টি, মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। এখানে সবগুলোর সমাধান দেওয়া হলো।

প্রশ্ন ১

$S = \{(x, y) : x \in A, y \in A$ এবং $2x - y = 1\}$, যেখানে $A = \{x \in Z : -2 \le x \le 2\}$, $P = 3 + 2\sqrt{2}$।

ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $(m - 1)a^{2} + m^{2}ab + (m + 1)b^{2}$ (২ নম্বর)

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= (m - 1)a^{2} + m^{2}ab + (m + 1)b^{2}$

$= (m - 1)a^{2} + \{(m^{2} - 1) + 1\}ab + (m + 1)b^{2}$

$= (m - 1)a^{2} + (m^{2} - 1)ab + ab + (m + 1)b^{2}$

$= (m - 1)a\{a + (m + 1)b\} + b\{a + (m + 1)b\}$ [$m^{2} - 1 = (m - 1)(m + 1)$]

$= \{a + (m + 1)b\}\{(m - 1)a + b\}$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\{a + (m + 1)b\}\{(m - 1)a + b\}$ গুণ করলে $(m - 1)a^{2} + ab + (m^{2} - 1)ab + (m + 1)b^{2} = (m - 1)a^{2} + m^{2}ab + (m + 1)b^{2}$ পাওয়া যায়।

উত্তর: $(a + mb + b)(ma - a + b)$

খ) $S$ অন্বয়কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে এর ডোমেন নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $S = \{(x, y) : x \in A, y \in A$ এবং $2x - y = 1\}$; এখানে $A = \{x \in Z : -2 \le x \le 2\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

$S$-এর বর্ণনাকারী শর্ত থেকে $2x - y = 1$, বা $y = 2x - 1$

প্রত্যেক $x \in A$-এর জন্য $y$-এর মান নির্ণয় করি:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = 2x - 1$	$-5$	$-3$	$-1$	$1$	$3$

কিন্তু $-5, -3, 3 \notin A$, তাই $(-2, -5), (-1, -3), (2, 3) \notin S$

$\therefore S = \{(0, -1), (1, 1)\}$

ডোমেন $= \{0, 1\}$

উত্তর: $S = \{(0, -1), (1, 1)\}$ এবং ডোমেন $= \{0, 1\}$

গ) প্রমাণ কর যে, $P\sqrt{P} + \dfrac{1}{P\sqrt{P}} = 10\sqrt{2}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $P = 3 + 2\sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} + 1$

বা $P = (\sqrt{2})^{2} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + (1)^{2} = (\sqrt{2} + 1)^{2}$

$\therefore \sqrt{P} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^{2}} = \sqrt{2} + 1$

$\dfrac{1}{\sqrt{P}} = \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1} = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$

$\therefore \sqrt{P} + \dfrac{1}{\sqrt{P}} = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2}$

বামপক্ষ $= P\sqrt{P} + \dfrac{1}{P\sqrt{P}} = (\sqrt{P})^{3} + \left(\dfrac{1}{\sqrt{P}}\right)^{3}$

$= \left(\sqrt{P} + \dfrac{1}{\sqrt{P}}\right)^{3} - 3 \cdot \sqrt{P} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{P}}\left(\sqrt{P} + \dfrac{1}{\sqrt{P}}\right)$

$= (2\sqrt{2})^{3} - 3 \times 2\sqrt{2}$

$= 16\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ = ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: সূত্র: $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3ab(a + b)$।

উত্তর: বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ২

$P = \dfrac{3 \cdot 2^{x} - 4 \cdot 2^{x - 2}}{2^{x} - 2^{x - 1}}$, $Q = \dfrac{2^{x + 1} - 2^{x - 1}}{3 \cdot 2^{x} - 4 \cdot 2^{x - 2}}$, $R = \dfrac{3^{x + 3} - 5 \cdot 3^{x + 1}}{3^{x + 2} \div 3}$ এবং $8p^{-1} = a^{-1} + b^{-1}$।

ক) $A : B = \dfrac{1}{2}$, $B : C = \dfrac{3}{4}$ এবং $C : D = \dfrac{5}{6}$ হলে $A : B : C : D$ = কত? (২ নম্বর)

সমাধান:

$A : B = \dfrac{1}{2} = 1 : 2 = (1 \times 15) : (2 \times 15) = 15 : 30$ [উভয়পক্ষে $15$ দ্বারা গুণ করে]

$B : C = \dfrac{3}{4} = 3 : 4 = (3 \times 10) : (4 \times 10) = 30 : 40$ [উভয়পক্ষে $10$ দ্বারা গুণ করে]

$C : D = \dfrac{5}{6} = 5 : 6 = (5 \times 8) : (6 \times 8) = 40 : 48$ [উভয়পক্ষে $8$ দ্বারা গুণ করে]

$\therefore A : B : C : D = 15 : 30 : 40 : 48$

ব্যাখ্যা: $B$, $C$ এর মান সমান করতে ঠিক করে নেওয়া হয়েছে: $B = 30$, $C = 40$।

উত্তর: $15 : 30 : 40 : 48$

খ) প্রমাণ কর যে, $PQR \times \dfrac{25^{x + 1}}{(5^{x - 1})^{x + 1}} \div \dfrac{5^{x + 1}}{(5^{x})^{x - 1}} = 300$। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

$P$ এর মান: $P = \dfrac{3 \cdot 2^{x} - 4 \cdot 2^{x - 2}}{2^{x} - 2^{x - 1}} = \dfrac{3 \cdot 2^{x} - 2^{x}}{2^{x - 1}(2 - 1)} = \dfrac{2 \cdot 2^{x}}{2^{x - 1}} = 2 \cdot 2 = 4$

$Q$ এর মান: $Q = \dfrac{2^{x - 1}(2^{2} - 1)}{3 \cdot 2^{x} - 2^{x}} = \dfrac{3 \cdot 2^{x - 1}}{2 \cdot 2^{x}} = \dfrac{3}{4}$

$R$ এর মান: $R = \dfrac{3^{x + 3} - 5 \cdot 3^{x + 1}}{3^{x + 2} \div 3} = \dfrac{3^{x + 1}(3^{2} - 5)}{3^{x + 1}} = 4$

$\therefore PQR = 4 \times \dfrac{3}{4} \times 4 = 12$

এখন, $\dfrac{25^{x + 1}}{(5^{x - 1})^{x + 1}} = \dfrac{5^{2x + 2}}{5^{x^{2} - 1}} = 5^{2x + 3 - x^{2}}$

এবং $\dfrac{5^{x + 1}}{(5^{x})^{x - 1}} = \dfrac{5^{x + 1}}{5^{x^{2} - x}} = 5^{2x + 1 - x^{2}}$

প্রথমটিকে দ্বিতীয়টি দ্বারা ভাগ করে, $5^{(2x + 3 - x^{2}) - (2x + 1 - x^{2})} = 5^{2} = 25$

অতএব বামপক্ষ $= 12 \times 25 = 300$ = ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: সূত্র: $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$, $(a^{m})^{n} = a^{mn}$।

উত্তর: বামপক্ষ $= 300$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর, $\dfrac{p + 4a}{p - 4a} + \dfrac{p + 4b}{p - 4b} = 2$ যেখানে $a \neq b$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $8p^{-1} = a^{-1} + b^{-1}$

বা $\dfrac{8}{p} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a + b}{ab}$

বা $\dfrac{p}{8} = \dfrac{ab}{a + b}$, বা $p = \dfrac{8ab}{a + b}$

বা $\dfrac{p}{4a} = \dfrac{2b}{a + b}$

যোজন-বিয়োজন করে, $\dfrac{p + 4a}{p - 4a} = \dfrac{2b + a + b}{2b - a - b} = \dfrac{3b + a}{b - a}$ ........ (i)

আবার, $p = \dfrac{8ab}{a + b}$, বা $\dfrac{p}{4b} = \dfrac{2a}{a + b}$

যোজন-বিয়োজন করে, $\dfrac{p + 4b}{p - 4b} = \dfrac{2a + a + b}{2a - a - b} = \dfrac{3a + b}{a - b}$ ........ (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে, $\dfrac{p + 4a}{p - 4a} + \dfrac{p + 4b}{p - 4b} = \dfrac{3b + a}{b - a} + \dfrac{3a + b}{a - b}$

$= \dfrac{3b + a}{b - a} - \dfrac{3a + b}{b - a} = \dfrac{3b + a - 3a - b}{b - a}$

$= \dfrac{2b - 2a}{b - a} = \dfrac{2(b - a)}{b - a} = 2$

উত্তর: $\dfrac{p + 4a}{p - 4a} + \dfrac{p + 4b}{p - 4b} = 2$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৩

(i) $3 + 5 + 7 + \ldots$ ধারাটির ১ম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $168$।

(ii) একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ এবং অষ্টম পদ $\dfrac{4\sqrt{2}}{27}$।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের তিনটি অংশই এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এগুলো আমাদের সমাধান।

ক) ১ম $20$টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

প্রথম $n$টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $= \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^{2}$

$n = 20$ হলে, সমষ্টি $= \left(\dfrac{20 \times 21}{2}\right)^{2} = (210)^{2} = 44100$

উত্তর: $44100$

খ) (i)নং ধারাটি হতে $n$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ $a = 3$, সাধারণ অন্তর $d = 5 - 3 = 2$

$S_{n} = \dfrac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} = \dfrac{n}{2}\{6 + 2(n - 1)\} = \dfrac{n}{2}(2n + 4) = n(n + 2)$

প্রশ্নমতে, $n(n + 2) = 168$

বা $n^{2} + 2n - 168 = 0$

বা $n^{2} + 14n - 12n - 168 = 0$

বা $n(n + 14) - 12(n + 14) = 0$, বা $(n + 14)(n - 12) = 0$

$n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বলে $n = 12$ ($n = -14$ গ্রহণযোগ্য নয়)

ব্যাখ্যা: যাচাই: $12 \times 14 = 168$।

উত্তর: $n = 12$

গ) (ii)নং ধারাটির ১ম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$

৩য় পদ $ar^{2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ........ (i) এবং ৮ম পদ $ar^{7} = \dfrac{4\sqrt{2}}{27}$ ........ (ii)

(ii) ÷ (i): $r^{5} = \dfrac{4\sqrt{2}}{27} \times \sqrt{3} = \dfrac{4\sqrt{6}}{27}$

$(\sqrt{6})^{5} = 36\sqrt{6}$ ও $3^{5} = 243$ বলে $\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)^{5} = \dfrac{36\sqrt{6}}{243} = \dfrac{4\sqrt{6}}{27}$

তাই $r = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ এবং $r^{2} = \dfrac{2}{3}$

(i) থেকে, $a = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$S_{10} = \dfrac{a(1 - r^{10})}{1 - r}$, যেখানে $r^{10} = (r^{2})^{5} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{5} = \dfrac{32}{243}$

$= \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(1 - \dfrac{32}{243}\right)}{1 - \dfrac{\sqrt{6}}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{211}{243} \times \dfrac{3}{3 - \sqrt{6}}$

$= \dfrac{211\sqrt{3}}{162(3 - \sqrt{6})} = \dfrac{211\sqrt{3}(3 + \sqrt{6})}{162 \times 3}$

$= \dfrac{211(3\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{486} = \dfrac{211(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{162}$ $\approx 4.098$

ব্যাখ্যা: $r^{5}$ জানা থাকায় $r$ বাস্তব সংখ্যা হলে $r$ ধনাত্মক হবে (বিজোড় ঘাত)।

উত্তর: $S_{10} = \dfrac{211(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{162} \approx 4.098$

প্রশ্ন ৪

$\triangle ABC$ এর $D$ এবং $E$ যথাক্রমে $AB$ ও $AC$ এর মধ্যবিন্দু এবং $\angle B$ ও $\angle C$ এর সমদ্বিখণ্ডক দুইটি $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের তিনটি অংশই এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এগুলো আমাদের সমাধান।

ক) প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের যেকোনো একটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান। (২ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করায় বহিঃস্থ কোণ $\angle ACD$ উৎপন্ন হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে $\angle ACD = \angle A + \angle B$।

প্রমাণ: $\angle ACD + \angle ACB = 180\degree$ ........ (i) [রৈখিক যুগল কোণ]

আবার, $\angle A + \angle B + \angle ACB = 180\degree$ ........ (ii) [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি]

(i) ও (ii) থেকে, $\angle ACD + \angle ACB = \angle A + \angle B + \angle ACB$

$\therefore \angle ACD = \angle A + \angle B$ (প্রমাণিত)

উত্তর: $\angle ACD = \angle A + \angle B$ (প্রমাণিত)

খ) প্রমাণ কর যে, $DE \parallel BC$ এবং $DE = \dfrac{1}{2}BC$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$-এর $D$ ও $E$ যথাক্রমে $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $DE \parallel BC$ এবং $DE = \dfrac{1}{2}BC$।

অঙ্কন: $DE$-কে $F$ পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $EF = DE$ হয় এবং $F, C$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ-১: $\triangle ADE$ ও $\triangle CFE$-এ $AE = CE$ [$E$ মধ্যবিন্দু], $DE = FE$ [অঙ্কন] এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle AED = \angle CEF$ [বিপ্রতীপ কোণ]

তাই $\triangle ADE \cong \triangle CFE$ [বাহু-কোণ-বাহু]

সুতরাং $AD = CF$ এবং $\angle DAE = \angle FCE$

ধাপ-২: $\angle DAE$ ও $\angle FCE$ একান্তর কোণ (ছেদক $AC$), এরা সমান; তাই $AB \parallel CF$, অর্থাৎ $BD \parallel CF$

ধাপ-৩: $AD = BD$ [$D$ মধ্যবিন্দু] এবং $AD = CF$; তাই $BD = CF$

ধাপ-৪: $BD \parallel CF$ এবং $BD = CF$; তাই $DBCF$ একটি সামান্তরিক; অতএব $DF \parallel BC$ এবং $DF = BC$

ধাপ-৫: $D, E, F$ একই সরলরেখায়, তাই $DE \parallel BC$

আবার $DF = 2DE$ [$EF = DE$]; তাই $2DE = BC$, অর্থাৎ $DE = \dfrac{1}{2}BC$ (প্রমাণিত)

উত্তর: $DE \parallel BC$ এবং $DE = \dfrac{1}{2}BC$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $\angle BOC = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle A$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$-এ $\angle B$ ও $\angle C$-এর সমদ্বিখণ্ডক $BO$ ও $CO$ পরস্পর $O$ বিন্দুতে মিলিত। প্রমাণ করতে হবে $\angle BOC = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle A$।

প্রমাণ: $BO$ ও $CO$ সমদ্বিখণ্ডক বলে $\angle OBC = \dfrac{1}{2}\angle B$ এবং $\angle OCB = \dfrac{1}{2}\angle C$

$\triangle BOC$-এ $\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180\degree$

বা $\angle BOC = 180\degree - (\angle OBC + \angle OCB)$

বা $\angle BOC = 180\degree - \dfrac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

আবার $\triangle ABC$-এ $\angle B + \angle C = 180\degree - \angle A$

$\therefore \angle BOC = 180\degree - \dfrac{1}{2}(180\degree - \angle A) = 180\degree - 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle A = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle A$ (প্রমাণিত)

উত্তর: $\angle BOC = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle A$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৫

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে $3$ সে.মি., $5$ সে.মি. ও $6$ সে.মি.।

ক) $4.5$ সে.মি. কর্ণবিশিষ্ট একটি বর্গ আঁক। (২ নম্বর)

সমাধান:

অঙ্কনের বিবরণ:

১. $BD = 4.5$ সে.মি. রেখাংশ আঁকি।

২. $BD$-এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি, যা $BD$-কে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. $O$ কে কেন্দ্র করে $OB$ (বা $OD$) এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি, যা লম্বদ্বিখণ্ডককে $A$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. $A, B$, $B, C$, $C, D$ ও $D, A$ যোগ করি।

তাহলে $ABCD$-ই উদ্দিষ্ট বর্গ।

যুক্তি: কর্ণদ্বয় সমান ($AC = BD = 4.5$ সে.মি.), পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে; তাই $ABCD$ বর্গ।

উত্তর: $ABCD$ বর্গ অঙ্কিত হলো (কর্ণ $4.5$ সে.মি.)

খ) ত্রিভুজটির বহির্বৃত্ত অঙ্কন কর (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, একটি ত্রিভুজ $ABC$-এর বাহুগুলো যথাক্রমে $AB = 3$ সে.মি., $BC = 5$ সে.মি. ও $AC = 6$ সে.মি.। $\triangle ABC$-এর বহির্বৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

১. $BA$ বাহুকে $Y$ এবং $BC$ বাহুকে $X$ পর্যন্ত বর্ধিত করি।

২. $\angle ACX$-এর সমদ্বিখণ্ডক $CM$ এবং $\angle CAY$-এর সমদ্বিখণ্ডক $AL$ আঁকি। $AL$ ও $CM$ পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. $O$ বিন্দু থেকে $BX$-এর উপর $OP$ লম্ব আঁকি।

৪. $O$ কে কেন্দ্র করে $OP$-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। এটি $\triangle ABC$-এর $AC$ বাহুকে স্পর্শ করে।

সুতরাং অঙ্কিত বৃত্তই $AC$ বাহুকে স্পর্শ করিয়ে $\triangle ABC$-এর বহির্বৃত্ত।

উত্তর: $AC$ বাহুর বহির্বৃত্ত অঙ্কিত হলো (চিত্র দ্রষ্টব্য)

গ) ত্রিভুজটির পরিসীমা যদি রম্বসের পরিসীমা হয় ও একটি কোণ $75\degree$ হয়, তবে রম্বসটি আঁক। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক) (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, একটি রম্বসের পরিসীমা $p = 3 + 5 + 6 = 14$ সে.মি. এবং একটি কোণ $\angle z = 75\degree$ দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

১. যেকোনো রশ্মি $PF$ থেকে $p$-এর সমান $PE = 14$ সে.মি. কেটে নিই।

২. $PE$-কে $G$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি, যেন $PG = \dfrac{1}{2}p$ হয়। আবার $PG$-কে $Q$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি, যেন $PQ = \dfrac{1}{4}p = 3.5$ সে.মি. হয়।

৩. $PQ$-এর $P$ বিন্দুতে $\angle z$-এর সমান $\angle QPX = 75\degree$ আঁকি।

৪. $PX$ রশ্মি থেকে $\dfrac{1}{4}p$-এর সমান $PS = 3.5$ সে.মি. কেটে নিই। $Q$ ও $S$ কে কেন্দ্র করে $\dfrac{1}{4}p$-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে $\angle QPS$-এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। তারা পরস্পরকে $R$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৫. $Q, R$ ও $S, R$ যোগ করি।

তাহলে $PQRS$-ই উদ্দিষ্ট রম্বস।

যুক্তি: $PQ = PS = QR = SR = 3.5$ সে.মি.; চার বাহু সমান বলে $PQRS$ রম্বস এবং পরিসীমা $= 4 \times 3.5 = 14$ সে.মি.

উত্তর: $PQRS$ রম্বস অঙ্কিত হলো (প্রতি বাহু $3.5$ সে.মি., একটি কোণ $75\degree$)

প্রশ্ন ৬

উপরের চিত্রে, $O$ বৃত্তের কেন্দ্র। $E$ বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু; $EA$ ও $ED$ বৃত্তের স্পর্শক এবং $ABCD$ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ।

ক) প্রমাণ কর, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (২ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $ABCD$ বৃত্তে $AB$ ব্যাস এবং $CD$ ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে, $AB > CD$, অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

অঙ্কন: $O, C$ এবং $O, D$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ-১: $OA = OB = OC = OD$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

এখন $\triangle OCD$-এ $OC + OD > CD$ [ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা $OA + OB > CD$, বা $AB > CD$

অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

উত্তর: $AB > CD$ (প্রমাণিত)

খ) প্রমাণ কর যে, $\angle ABC + \angle ADC = 180\degree$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের $\angle ABC$ ও $\angle ADC$ দুইটি বিপরীত কোণ। প্রমাণ করতে হবে $\angle ABC + \angle ADC = 180\degree$।

অঙ্কন: $O, A$ এবং $O, C$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ-১: একই চাপ $ABC$-এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ $\angle AOC$ এবং বৃত্তস্থ $\angle ADC$।

[একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

$\therefore \angle AOC = 2\angle ADC$

আবার একই চাপ $ADC$-এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ $\angle AOC$ এবং বৃত্তস্থ $\angle ABC$।

[একই কারণে] $\therefore$ প্রবৃদ্ধ $\angle AOC = 2\angle ABC$

ধাপ-২: $\angle AOC +$ প্রবৃদ্ধ $\angle AOC = 2(\angle ABC + \angle ADC)$ [ধাপ-১ থেকে]

কিন্তু $\angle AOC +$ প্রবৃদ্ধ $\angle AOC =$ চার সমকোণ $= 360\degree$

বা $2(\angle ABC + \angle ADC) = 360\degree$

$\therefore \angle ABC + \angle ADC = 180\degree$ (প্রমাণিত)

উত্তর: $\angle ABC + \angle ADC = 180\degree$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $OE$ রেখাংশ স্পর্শ জ্যা $AD$ এর সমদ্বিখণ্ডক। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $E$ থেকে অঙ্কিত $AE$ ও $DE$ স্পর্শক বৃত্তকে $A$ ও $D$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। স্পর্শ-জ্যা $AD$ রেখা $OE$-কে $N$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে $OE$ রেখাংশ স্পর্শ-জ্যা $AD$-এর সমদ্বিখণ্ডক।

অঙ্কন: $O, A$ এবং $O, D$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ-১: $OA$ ও $OD$ উভয়ই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ; তাই $\angle EAO = \angle EDO = 90\degree$

সমকোণী $\triangle AEO$ ও $\triangle DEO$-এর মধ্যে $AE = DE$ [বহিঃস্থ বিন্দু থেকে স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং $OA = OD$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

$\therefore \triangle AEO \cong \triangle DEO$ [অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]

$\therefore \angle AOE = \angle DOE$

ধাপ-২: এখন $\triangle DON$ ও $\triangle AON$-এ $OD = OA$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], $ON$ সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle DON = \angle AON$

অতএব $\triangle DON \cong \triangle AON$ [বাহু-কোণ-বাহু]

$\therefore DN = AN$ এবং $\angle DNO = \angle ANO$

কিন্তু কোণদ্বয় সন্নিহিত বলে প্রত্যেকেই এক সমকোণ। সুতরাং $ON$ ও $DA$ লম্বদ্বিখণ্ডক।

অর্থাৎ $OE$ রেখাংশ স্পর্শ-জ্যা $AD$-এর সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

উত্তর: $OE$ রেখাংশ $AD$-এর সমদ্বিখণ্ডক (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৭

$f(x) = \sin x$ এবং $A = \operatorname{\operatorname{cosec} }\theta - 1$, $B = \operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + 1$।

ক) $3B = 2\sqrt{3} + 3$ হলে, $\tan\theta$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $3B = 2\sqrt{3} + 3$

বা $3(\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + 1) = 2\sqrt{3} + 3$ [$B = \operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + 1$]

বা $\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + 1 = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} + \dfrac{3}{3}$

বা $\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + 1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}} + 1$

বা $\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \operatorname{\operatorname{cosec} } 60\degree$

বা $\theta = 60\degree$

$\therefore \tan\theta = \tan 60\degree = \sqrt{3}$

উত্তর: $\tan\theta = \sqrt{3}$

খ) যদি $\{f(x)\}^{4} + \{f(x)\}^{2} = 1$ হয় তবে প্রমাণ কর যে, $\left\{\dfrac{f(x)}{f(90\degree - x)}\right\}^{4} - \left\{\dfrac{f(x)}{f(90\degree - x)}\right\}^{2} = 1$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$; তাই $f(90\degree - x) = \sin(90\degree - x) = \cos x$

$\therefore \dfrac{f(x)}{f(90\degree - x)} = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x$

এখানে $\{f(x)\}^{4} + \{f(x)\}^{2} = 1$, অর্থাৎ $\sin^{4}x + \sin^{2}x = 1$

বা $\sin^{4}x = 1 - \sin^{2}x = \cos^{2}x$

বা $\dfrac{\sin^{4}x}{\cos^{4}x} = \dfrac{\cos^{2}x}{\cos^{4}x}$ [উভয়পক্ষকে $\cos^{4}x$ দ্বারা ভাগ করে]

বা $\tan^{4}x = \dfrac{1}{\cos^{2}x} = \sec^{2}x$

বা $\tan^{4}x = 1 + \tan^{2}x$

বা $\tan^{4}x - \tan^{2}x = 1$

অর্থাৎ $\left\{\dfrac{f(x)}{f(90\degree - x)}\right\}^{4} - \left\{\dfrac{f(x)}{f(90\degree - x)}\right\}^{2} = 1$ (প্রমাণিত)

উত্তর: $\left\{\dfrac{f(x)}{f(90\degree - x)}\right\}^{4} - \left\{\dfrac{f(x)}{f(90\degree - x)}\right\}^{2} = 1$ (প্রমাণিত)

গ) $A^{2} + B = 4$ হলে $\theta$ এর মান বের কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $A^{2} + B = 4$

বা $(\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta - 1)^{2} + (\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + 1) = 4$ [$A = \operatorname{\operatorname{cosec} }\theta - 1$, $B = \operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + 1$]

বা $\operatorname{\operatorname{cosec} }^{2}\theta - 2\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + 1 + \operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + 1 - 4 = 0$

বা $\operatorname{\operatorname{cosec} }^{2}\theta - \operatorname{\operatorname{cosec} }\theta - 2 = 0$

বা $\operatorname{\operatorname{cosec} }^{2}\theta - 2\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + \operatorname{\operatorname{cosec} }\theta - 2 = 0$

বা $\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta(\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta - 2) + 1(\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta - 2) = 0$

বা $(\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta - 2)(\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + 1) = 0$

$\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta - 2 = 0$ হলে $\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta = 2 = \operatorname{\operatorname{cosec} } 30\degree$, অতএব $\theta = 30\degree$

অথবা $\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta + 1 = 0$ হলে $\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta = -1$; $\theta$ সূক্ষ্মকোণ ধরলে $\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta > 1$, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়।

নির্ণেয় $\theta = 30\degree$

উত্তর: $\theta = 30\degree$

প্রশ্ন ৮

(i) $75$ মিটার উঁচু একটি খুঁটি ঝড়ে ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে $30\degree$ কোণ করে ভূমি স্পর্শ করেছে।

(ii) $P$ ও $Q$ দুইটি স্থানের মধ্যবর্তী কোনো স্থানে একটি বেলুন উড়ছে। বেলুনের অবস্থানে $P$ ও $Q$ এর অবনতি কোণ যথাক্রমে $30\degree$ ও $60\degree$ এবং $PQ = 750$ মিটার।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের তিনটি অংশই এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এগুলো আমাদের সমাধান।

ক) কোনো মিনারের দৈর্ঘ্য $20$ মিটার ও উন্নতি কোণ $30\degree$ হলে মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, মিনারের উচ্চতা $AB = 20$ মিটার এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য $BC = x$ মিটার; উন্নতি কোণ $\angle ACB = 30\degree$।

$\tan 30\degree = \dfrac{AB}{BC}$

বা $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{20}{x}$

বা $x = 20\sqrt{3}$

বা $x = 20 \times 1.732 = 34.64$

উত্তর: ছায়ার দৈর্ঘ্য $20\sqrt{3} \approx 34.64$ মিটার

খ) (i) নং ব্যবহার করে, খুঁটিটির ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, $AB = 75$ মিটার উঁচু খুঁটিটি $C$ বিন্দুতে ভেঙে ভাঙা অংশ $CA$ হয়ে $Aʹ$ বিন্দুতে ভূমি স্পর্শ করেছে। দণ্ডায়মান অংশ $BC = x$ মিটার, ভাঙা অংশ $CA = l$ মিটার; তাহলে $x + l = 75$। $\angle BCA = 30\degree$ এবং $\angle B = 90\degree$।

$\cos 30\degree = \dfrac{BC}{CA} = \dfrac{x}{l}$

বা $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{x}{l}$

বা $x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}l$

এখন $x + l = 75$ থেকে, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}l + l = 75$

বা $l\left(\dfrac{\sqrt{3} + 2}{2}\right) = 75$

বা $l = \dfrac{150}{2 + \sqrt{3}} = 150(2 - \sqrt{3})$ [হরকে মূলদ করে]

বা $l = 150 \times 0.2679 = 40.19$

ব্যাখ্যা: এখানে ধরা হয়েছে, ভাঙা অংশ ও দণ্ডায়মান অংশের মধ্যবর্তী কোণ $30\degree$। যদি ভাঙা অংশ ভূমির সাথে $30\degree$ কোণ করে ধরা হয়, তাহলে $\sin 30\degree = \dfrac{x}{l}$ থেকে $l = 2x$ এবং $3x = 75$, অর্থাৎ $l = 50$ মিটার।

উত্তর: ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $150(2 - \sqrt{3}) \approx 40.19$ মিটার

গ) (ii) নং ব্যবহার করে, ভূমি থেকে বেলুনের উচ্চতা নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, বেলুন $A$ বিন্দুতে আছে এবং ভূমি $PQ$ থেকে তার উচ্চতা $AB = h$ মিটার; $B$ বিন্দু $PQ$ এর উপর। অবনতি কোণ $P$ বিন্দুতে $30\degree$ ও $Q$ বিন্দুতে $60\degree$ বলে $\angle APB = 30\degree$ এবং $\angle AQB = 60\degree$ [একান্তর কোণ]।

সমকোণী $\triangle APB$-এ $\tan 30\degree = \dfrac{h}{PB}$

বা $PB = h\cot 30\degree = h\sqrt{3}$

সমকোণী $\triangle AQB$-এ $\tan 60\degree = \dfrac{h}{QB}$

বা $QB = h\cot 60\degree = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$

$PB + QB = PQ = 750$

বা $h\sqrt{3} + \dfrac{h}{\sqrt{3}} = 750$

বা $h\cdot\dfrac{3 + 1}{\sqrt{3}} = 750$

বা $h = \dfrac{750\sqrt{3}}{4} = 187.5\sqrt{3}$

বা $h = 187.5 \times 1.732 = 324.76$

উত্তর: বেলুনের উচ্চতা $\dfrac{750\sqrt{3}}{4} \approx 324.76$ মিটার

প্রশ্ন ৯

একটি আয়তাকার কাঠের বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে $9$ সে.মি., $7$ সে.মি. এবং $5$ সে.মি.। এর ভিতরের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $142$ বর্গ সে.মি.। আবার একটি বেলনের আয়তন বাক্সের বাইরের আয়তনের সমান।

ক) ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য $5$ সে.মি. ও $6$ সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $45\degree$ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin 45\degree$ বর্গ সে.মি.

$= 15 \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ বর্গ সে.মি.

$= 10.607$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

উত্তর: ক্ষেত্রফল $\approx 10.607$ বর্গ সে.মি.

খ) বাক্সটির পুরুত্ব সমান হলে তার পুরুত্ব নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, কাঠের পুরুত্ব $x$ সে.মি.। বাক্সের বাইরের দৈর্ঘ্য $9$, প্রস্থ $7$ ও উচ্চতা $5$ সে.মি.।

তাহলে বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য $a = 9 - 2x$, প্রস্থ $b = 7 - 2x$ এবং উচ্চতা $c = 5 - 2x$ সে.মি.।

আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $= 2(ab + bc + ca)$

$= 2\{(9 - 2x)(7 - 2x) + (7 - 2x)(5 - 2x) + (5 - 2x)(9 - 2x)\}$

$= 2\{(63 - 32x + 4x^{2}) + (35 - 24x + 4x^{2}) + (45 - 28x + 4x^{2})\}$

$= 2(143 - 84x + 12x^{2})$ বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে, $2(12x^{2} - 84x + 143) = 142$

বা $12x^{2} - 84x + 143 = 71$

বা $12x^{2} - 84x + 72 = 0$

বা $x^{2} - 7x + 6 = 0$

বা $x^{2} - 6x - x + 6 = 0$

বা $x(x - 6) - 1(x - 6) = 0$

বা $(x - 1)(x - 6) = 0$

$\therefore x = 1$ অথবা $x = 6$

বাক্সের বাইরের উচ্চতা $5$ সে.মি.; তাই পুরুত্ব $6$ সে.মি. হতে পারে না ($5 - 2 \times 6 < 0$)।

উত্তর: নির্ণেয় পুরুত্ব $1$ সে.মি.

গ) বেলনের উচ্চতা তার ভূমির ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বাক্সের বাইরের আয়তন $= 9 \times 7 \times 5 = 315$ ঘন সে.মি.

ধরি, বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ $r$ সে.মি.; তাহলে বেলনের উচ্চতা $h = 2r$ সে.মি.।

প্রশ্নমতে, বেলনের আয়তন = বাক্সের বাইরের আয়তন

বা $\pi r^{2}h = 315$

বা $\pi r^{2} \cdot 2r = 315$

বা $2\pi r^{3} = 315$

বা $r^{3} = \dfrac{315}{2\pi}$

$\therefore r = \sqrt[3]{\dfrac{315}{2 \times 3.1416}} = 3.69$

বেলনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r(r + h)$

$= 2\pi r(r + 2r)$

$= 6\pi r^{2}$

$= 6 \times 3.1416 \times (3.69)^{2}$

$= 256.66$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

উত্তর: সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $\approx 256.66$ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন ১০

নিচে একটি গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো:

শ্রেণি	51–55	56–60	61–65	66–70	71–75	76–80
গণসংখ্যা	8	12	20	10	6	4

ক) $14, 9, 7, 10, 12, 11, 6, 13$ উপাত্তের মধ্যক নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, $6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14$

এখানে, $n = 8$, যা জোড় সংখ্যা।

মধ্যক = (৪র্থ পদ + ৫ম পদ) ÷ ২

$= \dfrac{10 + 11}{2} = \dfrac{21}{2} = 10.5$

উত্তর: মধ্যক $= 10.5$

খ) সারণি থেকে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	মধ্যবিন্দু $x_i$	গণসংখ্যা $f_i$	ধাপ বিচ্যুতি $u_i = \dfrac{x_i - a}{h}$	$f_iu_i$
51–55	53	8	−2	−16
56–60	58	12	−1	−12
61–65	63 ← a	20	0	0
66–70	68	10	1	10
71–75	73	6	2	12
76–80	78	4	3	12
মোট		n = 60		Σf_iu_i = 6

এখানে, $a = 63$, $h = 5$, $n = 60$, $\sum f_iu_i = 6$

নির্ণেয় গড়, $\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_iu_i}{n} \times h$

$= 63 + \dfrac{6}{60} \times 5$

$= 63 + 0.5$

$= 63.5$

উত্তর: গড় $= 63.5$

গ) বর্ণনাসহ প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যবিন্দু	গণসংখ্যা
51–55	53	8
56–60	58	12
61–65	63	20
66–70	68	10
71–75	73	6
76–80	78	4

এখন ছক কাগজে $x$-অক্ষ বরাবর প্রতি $1$ ঘরকে শ্রেণি মধ্যবিন্দুর $5$ একক এবং $y$-অক্ষ বরাবর প্রতি $1$ ঘরকে গণসংখ্যার $5$ একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করি। প্রথম শ্রেণির আগের মধ্যবিন্দু $48$ এবং শেষ শ্রেণির পরের মধ্যবিন্দু $83$-এ গণসংখ্যা $0$ ধরে বিন্দুগুলো সরলরেখা দিয়ে যোগ করলে গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়। মূলবিন্দু থেকে $48$ পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে ভাঙা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

উত্তর: গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কিত হলো (চিত্র দ্রষ্টব্য)

প্রশ্ন ১১

কোনো বিদ্যালয়ের $70$ জন শিক্ষার্থীর ওজনের (কেজি) গণসংখ্যা সারণি নিম্নরূপ:

শ্রেণি	40–43	44–47	48–51	52–55	56–59	60–63	64–67
গণসংখ্যা	5	7	18	15	14	8	3

ক) প্রদত্ত সারণি হতে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ক্রমযোজিত গণসংখ্যার সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
40–43	5	5
44–47	7	12
48–51	18	30
52–55	15	45
56–59	14	59
60–63	8	67
64–67	3	70
মোট	n = 70

উত্তর: ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি উপরে দেখানো হলো

খ) গণসংখ্যা নিবেশন সারণি হতে প্রচুরক নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

উদ্দীপকের সারণি থেকে, সর্বাধিক গণসংখ্যা $18$ আছে $(48–51)$ শ্রেণিতে।

$\therefore$ প্রচুরক শ্রেণি $(48–51)$

এখানে, $L = 48$, $f_1 = 18 - 7 = 11$, $f_2 = 18 - 15 = 3$, $h = 4$

প্রচুরক $= L + \dfrac{f_1}{f_1 + f_2} \times h$

$= 48 + \dfrac{11}{11 + 3} \times 4$

$= 48 + \dfrac{11}{14} \times 4$

$= 51.14$

ব্যাখ্যা: এখানে শ্রেণির নিম্নসীমা $L = 48$ (শ্রেণির লিখিত নিম্নমান) ধরা হয়েছে, যা বইয়ের নিয়ম অনুযায়ী।

উত্তর: প্রচুরক $= 51.14$

গ) বর্ণনাসহ প্রদত্ত উপাত্তের অজিভ রেখা আঁক। (৪ নম্বর)

সমাধান:

(ক) এর ক্রমযোজিত গণসংখ্যার সারণি ব্যবহার করে, $x$-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের $1$ ঘরকে শ্রেণি ব্যবধানের উচ্চসীমার $1$ একক এবং $y$-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের $1$ ঘরকে ক্রমযোজিত গণসংখ্যার $2$ একক ধরে প্রদত্ত উপাত্তের অজিভ রেখা আঁকা হলো। মূলবিন্দু থেকে $39$ পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে ছেদ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

উত্তর: অজিভ রেখা অঙ্কিত হলো (চিত্র দ্রষ্টব্য)