SSC Math Dinajpur Board 2025 Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

(ক) $\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{21}} = \sqrt{\dfrac{7}{21}} = \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ — অমূলদ।

(খ) $\sqrt{\dfrac{2}{8}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$ — মূলদ।

(গ) $\sqrt{\dfrac{3}{27}} = \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{3}$ — মূলদ।

(ঘ) $\sqrt{\dfrac{5}{125}} = \sqrt{\dfrac{1}{25}} = \dfrac{1}{5}$ — মূলদ।

ব্যাখ্যা: লব ও হরের বর্গমূল ভাগ করে সরল করলে যার মান পূর্ণ বা ভগ্নাংশ হয় তা মূলদ; শুধু (ক)-এর ক্ষেত্রে $\sqrt{3}$ থেকে যায়, তাই সেটি অমূলদ।

উত্তর: ক) $\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{21}}$

2. $\log_{5}\left(\dfrac{1}{25}\right)$ এর মান কোনটি?

ক) $25$     খ) $5$     গ) $2$     ঘ) $-2$

সমাধান:

$\log_{5}\dfrac{1}{25} = \log_{5}5^{-2}$

$= -2\log_{5}5 = -2 \times 1 = -2$

ব্যাখ্যা: লগের সূত্র $\log_{a}M^{r} = r\log_{a}M$ এবং $\log_{a}a = 1$।

উত্তর: ঘ) $-2$

3. $x^{2} - \sqrt{7}x = 0$ এর সমাধান সেট নিচের কোনটি?

ক) $\{-7\}$     খ) $\{0\}$     গ) $\{\sqrt{7}\}$     ঘ) $\{0, \sqrt{7}\}$

সমাধান:

$x^{2} - \sqrt{7}x = 0$

বা $x(x - \sqrt{7}) = 0$

অতএব $x = 0$ অথবা $x - \sqrt{7} = 0$, অর্থাৎ $x = \sqrt{7}$

সমাধান সেট $\{0, \sqrt{7}\}$

ব্যাখ্যা: দ্বিঘাত সমীকরণকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে প্রতিটি উৎপাদককে শূন্য ধরলে মূল পাওয়া যায়।

উত্তর: ঘ) $\{0, \sqrt{7}\}$

তথ্য: নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: $a + b = \sqrt{6}$ এবং $a - b = 2$

4. $a^{2} + b^{2}$ = কত?

ক) $15$     খ) $10$     গ) $5$     ঘ) $2$

সমাধান:

$(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$

বা $(\sqrt{6})^{2} + 2^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$

বা $6 + 4 = 2(a^{2} + b^{2})$

বা $a^{2} + b^{2} = \dfrac{10}{2} = 5$

ব্যাখ্যা: সূত্র: $(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$।

উত্তর: গ) $5$

5. $4ab$ = কত?

ক) $2$     খ) $5$     গ) $8$     ঘ) $10$

সমাধান:

$4ab = (a + b)^{2} - (a - b)^{2}$

$= (\sqrt{6})^{2} - 2^{2} = 6 - 4 = 2$

ব্যাখ্যা: সূত্র: $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4ab$।

উত্তর: ক) $2$

6. $0.0124$ সংখ্যাটির– i. সামান্য ভগ্নাংশ $\dfrac{31}{2500}$ ii. বৈজ্ঞানিক আকার $1.24 \times 10^{-2}$ iii. সাধারণ লগের পূর্ণক $\bar{2}$ — নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

i. $0.0124 = \dfrac{124}{10000} = \dfrac{31}{2500}$ — সঠিক।

ii. $0.0124 = 1.24 \times 10^{-2}$ — সঠিক।

iii. বৈজ্ঞানিক আকারে 10-এর ঘাত $-2$, তাই সাধারণ লগের পূর্ণক $-2$ বা $\bar{2}$ — সঠিক।

ব্যাখ্যা: তিনটি বিবৃতিই সঠিক।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

7. সামান্তরিক অঙ্কনের জন্য নিচের কোন উপাত্তটি সঠিক?

ক) চারটি বাহু ও একটি কোণ     খ) দুইটি সংলগ্ন বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ     গ) চারটি বাহু ও একটি কর্ণ     ঘ) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

সমাধান:

দুইটি সংলগ্ন বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ জানা থাকলে বাকি দুই বাহু বিপরীত বাহুর সমান ও সমান্তরাল টেনে সামান্তরিকটি সম্পূর্ণ করা যায়।

সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান বলে চারটি বাহু দেওয়ার প্রয়োজন নেই; আবার তিন কোণ দিলেও বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ধারিত হয় না।

ব্যাখ্যা: দুই সংলগ্ন বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণই সামান্তরিক অঙ্কনের ন্যূনতম পর্যাপ্ত তথ্য।

উত্তর: খ) দুইটি সংলগ্ন বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ

8. $f(x) = x^{2} - 2x + 4$ হলে, $f(-3)$ এর মান কত?

ক) $19$     খ) $16$     গ) $4$     ঘ) $1$

সমাধান:

$f(-3) = (-3)^{2} - 2(-3) + 4$

$= 9 + 6 + 4 = 19$

ব্যাখ্যা: ফাংশনে $x$ এর জায়গায় $-3$ বসাতে হবে; ঋণাত্মক মান বসালে বন্ধনী ব্যবহার করা জরুরি।

উত্তর: ক) $19$

9. দুইটি সংখ্যার অনুপাত $4 : 7$ এবং এদের ল.সা.গু $140$ হলে বৃহত্তর সংখ্যাটি কত?

ক) $7$     খ) $28$     গ) $35$     ঘ) $140$

সমাধান:

সংখ্যা দুইটি $4k$ ও $7k$; $4$ ও $7$ পরস্পর মৌলিক বলে গ.সা.গু $= k$ এবং ল.সা.গু $= 28k$

প্রশ্নমতে $28k = 140$, বা $k = 5$

বৃহত্তর সংখ্যা $= 7k = 7 \times 5 = 35$

ব্যাখ্যা: দুইটি সংখ্যা $ak$ ও $bk$ হলে (যেখানে $a, b$ সহমৌলিক) ল.সা.গু $= abk$।

উত্তর: গ) $35$

তথ্য: নিচের চিত্রের আলোকে ১০ ও ১১ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: চিত্রে $ABCD$ হলো $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গ। $AC$ বৃত্তটির ব্যাস এবং $AC = 4\sqrt{2}$ সে.মি.

10. চিত্রানুসারে $x : y$ = কত?

ক) $3 : 4$     খ) $4 : 3$     গ) $9 : 16$     ঘ) $16 : 9$

সমাধান:

বর্গের প্রতিটি কোণ $90\degree$; চিত্রে $3x$ ও $4y$ বর্গের দুইটি কোণ, তাই $3x = 90\degree$ এবং $4y = 90\degree$

অর্থাৎ $3x = 4y$

বা $\dfrac{x}{y} = \dfrac{4}{3}$

অতএব $x : y = 4 : 3$

ব্যাখ্যা: বর্গের প্রতিটি কোণ সমকোণ; তাই $3x = 4y = 90\degree$ (এখানে $x = 30\degree$, $y = 22.5\degree$)।

উত্তর: খ) $4 : 3$

11. বৃত্তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

ক) $8\pi$ বর্গ সে.মি.     খ) $12\pi$ বর্গ সে.মি.     গ) $16\pi$ বর্গ সে.মি.     ঘ) $32\pi$ বর্গ সে.মি.

সমাধান:

$AC$ বৃত্তের ব্যাস, তাই $2r = 4\sqrt{2}$, বা $r = 2\sqrt{2}$ সে.মি.

ক্ষেত্রফল $= \pi r^{2} = \pi (2\sqrt{2})^{2} = 8\pi$ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা: বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^{2}$, যেখানে $r$ ব্যাসার্ধ।

উত্তর: ক) $8\pi$ বর্গ সে.মি.

12. পরিবৃত্তের কেন্দ্র– i. সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত ii. স্থূলকোণী ত্রিভুজের বহির্ভাগে অবস্থিত iii. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অবস্থিত — নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ত্রিভুজের ভিতরে থাকে — i সঠিক।

স্থূলকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ত্রিভুজের বাইরে থাকে — ii সঠিক।

সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে, অর্থাৎ অতিভুজের উপর থাকে — iii সঠিক।

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের কোণের ধরন অনুযায়ী পরিকেন্দ্রের অবস্থান বদলায়; তিনটি কথাই সঠিক।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

13. পরিসীমা ও একটি কোণ দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি অঙ্কন সম্ভব?

ক) আয়ত     খ) রম্বস     গ) সামান্তরিক     ঘ) ত্রিভুজ

সমাধান:

রম্বসের চারটি বাহু সমান; তাই পরিসীমাকে $4$ দিয়ে ভাগ করলে একটি বাহু পাওয়া যায়।

এক বাহু ও একটি কোণ জানা থাকলে রম্বসটি অঙ্কন করা যায়।

আয়ত, সামান্তরিক বা ত্রিভুজের ক্ষেত্রে শুধু পরিসীমা ও একটি কোণ থেকে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করা যায় না।

ব্যাখ্যা: রম্বসের সব বাহু সমান বলে পরিসীমা থেকেই বাহুর মাপ পাওয়া যায়।

উত্তর: খ) রম্বস

14. চিত্রে, $BCD$ বৃত্তের কেন্দ্র $O$ হলে, $BC$ = কত?

ক) 6 সে.মি.     খ) 5 সে.মি.     গ) $2\sqrt{5}$ সে.মি.     ঘ) $\sqrt{5}$ সে.মি.

সমাধান:

কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে; তাই $BE = EC$।

সমকোণী $\triangle OBE$-তে $OB = 3$, $OE = 2$; $BE = \sqrt{OB^{2} - OE^{2}} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ সে.মি.

অতএব $BC = 2 \times BE = 2\sqrt{5}$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উত্তর: গ) $2\sqrt{5}$ সে.মি.

15. চিত্রে, $\sin\theta$ = কত?

ক) $\dfrac{13}{12}$     খ) $\dfrac{12}{13}$     গ) $\dfrac{5}{12}$     ঘ) $\dfrac{5}{13}$

সমাধান:

পিথাগোরাসের সূত্র থেকে $AB = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = 5$

$\theta$ কোণের বিপরীত বাহু $AB = 5$, অতিভুজ $AC = 13$

$\sin\theta = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{5}{13}$

ব্যাখ্যা: $\sin\theta$ = লম্ব ÷ অতিভুজ।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{5}{13}$

16. $\sec(90\degree - \theta)$ = কত?

ক) $\cos\theta$     খ) $\sin\theta$     গ) $\cot\theta$     ঘ) $\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta$

সমাধান:

$\sec(90\degree - \theta) = \dfrac{1}{\cos(90\degree - \theta)} = \dfrac{1}{\sin\theta} = \operatorname{\operatorname{cosec} }\theta$

ব্যাখ্যা: পূরক কোণের সূত্র: $\cos(90\degree - \theta) = \sin\theta$।

উত্তর: ঘ) $\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta$

17. চিত্রে, $\angle MOP$ = কত?

ক) $70\degree$     খ) $110\degree$     গ) $160\degree$     ঘ) $180\degree$

সমাধান:

ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ দুইটি অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমষ্টির সমান।

$\angle MOP = \angle M + \angle N = 60\degree + 50\degree = 110\degree$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\angle MON = 180\degree - 60\degree - 50\degree = 70\degree$ এবং $\angle MOP = 180\degree - 70\degree = 110\degree$।

উত্তর: খ) $110\degree$

18. $\dfrac{2m}{y} = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{ab}$ হলে, $\dfrac{\sqrt{m + y}}{\sqrt{m - y}}$ = কত?

ক) $\dfrac{(a + b)^{2}}{(a - b)^{2}}$     খ) $\dfrac{(a - b)^{2}}{(a + b)^{2}}$     গ) $\dfrac{a - b}{a + b}$     ঘ) $\dfrac{a + b}{a - b}$

সমাধান:

$\dfrac{2m}{y} = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{ab}$, বা $\dfrac{m}{y} = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{2ab}$

যোজন-বিয়োজন করে, $\dfrac{m + y}{m - y} = \dfrac{a^{2} + b^{2} + 2ab}{a^{2} + b^{2} - 2ab} = \dfrac{(a + b)^{2}}{(a - b)^{2}}$

বর্গমূল নিয়ে, $\dfrac{\sqrt{m + y}}{\sqrt{m - y}} = \sqrt{\dfrac{(a + b)^{2}}{(a - b)^{2}}} = \dfrac{a + b}{a - b}$

ব্যাখ্যা: অনুপাতের যোজন-বিয়োজন: $\dfrac{p}{q} = \dfrac{r}{s}$ হলে $\dfrac{p + q}{p - q} = \dfrac{r + s}{r - s}$; এখানে $a > b$ ধরা হয়েছে।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{a + b}{a - b}$

19. ঘূর্ণন কেন্দ্রের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর অর্ধঘূর্ণন কোণ কত?

ক) $90\degree$     খ) $180\degree$     গ) $270\degree$     ঘ) $360\degree$

সমাধান:

পূর্ণঘূর্ণন $= 360\degree$

অর্ধঘূর্ণন $= \dfrac{360\degree}{2} = 180\degree$

ব্যাখ্যা: পূর্ণঘূর্ণনের অর্ধেক হলো অর্ধঘূর্ণন।

উত্তর: খ) $180\degree$

20. $3 + 5 + 7 + \ldots$ ধারাটির 21 টি পদের সমষ্টি কত?

ক) 43     খ) 46     গ) 483     ঘ) 966

সমাধান:

ধারাটি সমান্তর ধারা; প্রথম পদ $a = 3$, সাধারণ অন্তর $d = 5 - 3 = 2$, পদসংখ্যা $n = 21$

$S_{n} = \dfrac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$

$S_{21} = \dfrac{21}{2}\{2 \times 3 + 20 \times 2\} = \dfrac{21}{2} \times 46 = 483$

ব্যাখ্যা: সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টির সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।

উত্তর: গ) $483$

তথ্য: নিচের চিত্রের আলোকে ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: চিত্রে $BC > AB$ এবং $\angle ABC = 90\degree$

21. চিত্রানুসারে কোনটি সঠিক?

ক) $\sin\theta > 1$     খ) $\cos\theta > 1$     গ) $\tan\theta < 1$     ঘ) $\sec\theta < 1$

সমাধান:

সমকোণী $\triangle ABC$-তে $AC$ অতিভুজ, তাই $AC > BC > AB$

$\sin\theta = \dfrac{AB}{AC} < 1$, $\cos\theta = \dfrac{BC}{AC} < 1$ — (ক), (খ) ভুল।

$\tan\theta = \dfrac{AB}{BC} < 1$ (কারণ $AB < BC$) — (গ) সঠিক।

$\sec\theta = \dfrac{AC}{BC} > 1$ — (ঘ) ভুল।

ব্যাখ্যা: সমকোণী ত্রিভুজে $\sin$ ও $\cos$ সর্বদা $1$-এর চেয়ে ছোট, আর $\sec$ সর্বদা $1$-এর চেয়ে বড়; লম্ব ছোট হলে $\tan\theta < 1$।

উত্তর: গ) $\tan\theta < 1$

22. $\cot\theta$ = কত?

ক) $\dfrac{BC}{AC}$     খ) $\dfrac{AB}{AC}$     গ) $\dfrac{BC}{AB}$     ঘ) $\dfrac{AB}{BC}$

সমাধান:

$\theta$ কোণের সংলগ্ন বাহু $BC$ এবং বিপরীত বাহু $AB$

$\cot\theta$ = সংলগ্ন ÷ বিপরীত $= \dfrac{BC}{AB}$

ব্যাখ্যা: $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$।

উত্তর: গ) $\dfrac{BC}{AB}$

23. $x - 2y = 6$ এবং $x = 2$ হলে $y$ এর মান কত?

ক) $-6$     খ) $-2$     গ) $4$     ঘ) $12$

সমাধান:

$x = 2$ বসিয়ে, $2 - 2y = 6$

বা $-2y = 4$

বা $y = -2$

ব্যাখ্যা: একটি চলকের মান জানা থাকলে তা সমীকরণে বসিয়ে অপর চলকের মান পাওয়া যায়।

উত্তর: খ) $-2$

24. চিত্রে $ABCD$ একটি সামান্তরিক। $\triangle ABD$ এর ক্ষেত্রফল নিচের কোনটি?

ক) $\dfrac{1}{2}$ সামান্তরিক $ABCD$     খ) $\dfrac{1}{2}\triangle ABC$     গ) $\dfrac{1}{2}\triangle ADE$     ঘ) $\dfrac{1}{2}$ ট্রাপিজিয়াম $DEBC$

সমাধান:

সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিকক্ষেত্রকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

কর্ণ $BD$ সামান্তরিক $ABCD$-কে $\triangle ABD$ ও $\triangle CBD$-তে ভাগ করেছে, যাদের ক্ষেত্রফল সমান।

অতএব $\triangle ABD$ এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times$ সামান্তরিক $ABCD$ এর ক্ষেত্রফল

ব্যাখ্যা: সামান্তরিকের একটি কর্ণ তাকে সর্বসম দুই ত্রিভুজে ভাগ করে।

উত্তর: ক) $\dfrac{1}{2}$ সামান্তরিক $ABCD$

25. $3x = 4y$ এবং $2x = 3y - 1$ সমীকরণদ্বয়– i. পরস্পর সংগত ii. পরস্পর নির্ভরশীল iii. এর একটি সমাধান আছে — নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

সমীকরণদ্বয় $3x - 4y = 0$ ও $2x - 3y = -1$; এখানে $\dfrac{3}{2} \neq \dfrac{-4}{-3}$, অর্থাৎ $\dfrac{3}{2} \neq \dfrac{4}{3}$

অনুপাত সমান নয়, তাই সমীকরণদ্বয় সংগত ও স্বাধীন এবং এদের মাত্র একটি সমাধান আছে।

সমাধান: $x = \dfrac{4y}{3}$ বসিয়ে $\dfrac{8y}{3} = 3y - 1$, বা $y = 3$; তাই $x = 4$

i সঠিক, ii ভুল (নির্ভরশীল হলে অসংখ্য সমাধান থাকত), iii সঠিক।

ব্যাখ্যা: $\dfrac{a_{1}}{a_{2}} \neq \dfrac{b_{1}}{b_{2}}$ হলে সমীকরণজোড় সংগত ও স্বাধীন এবং একটিমাত্র সমাধান থাকে।

উত্তর: খ) i ও iii

26. রম্বসের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $6$ সে.মি. হলে, এর পরিসীমা কত?

ক) $6\sqrt{2}$ সেমি     খ) 12 সেমি     গ) 24 সেমি     ঘ) 36 সেমি

সমাধান:

রম্বসের চারটি বাহুই সমান।

পরিসীমা $= 4 \times 6 = 24$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: রম্বসের পরিসীমা $= 4 \times$ এক বাহুর দৈর্ঘ্য।

উত্তর: গ) 24 সেমি

27. $L = 61$, $f_{1} = 4$, $f_{2} = 3$ এবং $h = 10$ হলে প্রচুরক কত?

ক) $71.57$     খ) $71.43$     গ) $66.71$     ঘ) $65.29$

সমাধান:

প্রচুরক $= L + \dfrac{f_{1}}{f_{1} + f_{2}} \times h$

$= 61 + \dfrac{4}{4 + 3} \times 10 = 61 + \dfrac{40}{7}$

$= 61 + 5.71 = 66.71$ (প্রায়)

ব্যাখ্যা: প্রচুরকের সূত্রে $f_{1}$ ও $f_{2}$ যথাক্রমে প্রচুরক শ্রেণির ঠিক আগের ও পরের শ্রেণির গণসংখ্যার সঙ্গে প্রচুরক শ্রেণির পার্থক্য।

উত্তর: গ) $66.71$

28. চিত্রে, $\triangle PQR$ এর ক্ষেত্রফল কত?

ক) 18 বর্গ সে.মি.     খ) $18\sqrt{3}$ বর্গ সে.মি.     গ) 36 বর্গ সে.মি.     ঘ) $36\sqrt{3}$ বর্গ সে.মি.

সমাধান:

দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ জানা থাকলে ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}ab\sin C$

$\triangle PQR = \dfrac{1}{2} \times PQ \times QR \times \sin 30\degree$

$= \dfrac{1}{2} \times 8 \times 9 \times \dfrac{1}{2} = 18$ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}ab\sin C$; এখানে $\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}$।

উত্তর: ক) 18 বর্গ সে.মি.

29. দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে এদের অনুরূপ বাহুগুলো কী হবে?

ক) ব্যস্তানুপাতিক     খ) সমানুপাতিক     গ) সর্বসম     ঘ) সমান

সমাধান:

সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

এদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক; সর্বসম বা সমান হওয়ার কোনো প্রয়োজন নেই।

ব্যাখ্যা: দুই ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে সদৃশ হয়, আর সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক।

উত্তর: খ) সমানুপাতিক

30. উপাত্তের সর্বোচ্চ মান $78$, পরিসর $54$ হলে, সর্বনিম্ন মান কত?

ক) 25     খ) 26     গ) 35     ঘ) 36

সমাধান:

বইয়ের নিয়মে পরিসর = (সর্বোচ্চ মান − সর্বনিম্ন মান) + ১; সর্বনিম্ন মান $m$ ধরি।

$54 = (78 - m) + 1$

বা $78 - m = 53$

সর্বনিম্ন মান $= 78 - 53 = 25$

ব্যাখ্যা: পাঠ্যবইয়ে পরিসর = (সর্বোচ্চ − সর্বনিম্ন) + ১ ধরা হয়।

উত্তর: ক) 25

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৩০ নং প্রশ্নে পরিসর নির্ণয়ে বইয়ের নিয়ম (সর্বোচ্চ − সর্বনিম্ন) + ১ ধরা হয়েছে। শুধু অন্তর ধরলে সর্বনিম্ন মান ২৪ হতো, যা কোনো বিকল্পে নেই; তাই বইয়ের উত্তর (ক) ২৫ ই ঠিক।

সৃজনশীল প্রশ্ন – সমাধান ও ব্যাখ্যা

বোর্ড পরীক্ষায় ক-বিভাগ (বীজগণিত) থেকে ২টি, খ-বিভাগ (জ্যামিতি) থেকে ২টি, গ-বিভাগ (ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি) থেকে ২টি এবং ঘ-বিভাগ (পরিসংখ্যান) থেকে ১টি, মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। এখানে সবগুলোর সমাধান দেওয়া হলো।

প্রশ্ন ১

$A = \{x \in Z : -3 \le x < 3\}$

$B = \{x : x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x < 13\}$

$C = \{1, 3, 5, 7\}$, $D = \{6, 8\}$

$R = \{(x, y) : x \in A, y \in A$ এবং $y + 1 = 2x\}$

ক) যোগ কর: $10.\dot{5}\dot{2} + 7.\dot{2}\dot{5}$ (২ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান (এখানে $52$ ও $25$ পুনরাবৃত্ত ধরা হয়েছে)।

সমাধান:

$10.\dot{5}\dot{2} = 10 + 0.\dot{5}\dot{2} = 10 + \dfrac{52}{99} = \dfrac{990 + 52}{99} = \dfrac{1042}{99}$

$7.\dot{2}\dot{5} = 7 + 0.\dot{2}\dot{5} = 7 + \dfrac{25}{99} = \dfrac{693 + 25}{99} = \dfrac{718}{99}$

যোগফল $= \dfrac{1042}{99} + \dfrac{718}{99} = \dfrac{1760}{99} = \dfrac{160}{9}$

$= 17\dfrac{7}{9} = 17.\dot{7}$

ব্যাখ্যা: পুনরাবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে: দুই অঙ্ক পুনরাবৃত্ত হলে পুনরাবৃত্ত অংশকে $99$ দিয়ে ভাগ করতে হয়।

উত্তর: $17.\dot{7}$ (বা $\dfrac{160}{9}$)

খ) $(B \cup C) \times D$ এবং $P(B \cap C)$ নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $B = \{x : x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x < 13\}$; $13$-এর ছোট মৌলিক সংখ্যা $2, 3, 5, 7, 11$

$\therefore B = \{2, 3, 5, 7, 11\}$, $C = \{1, 3, 5, 7\}$ এবং $D = \{6, 8\}$

$B \cup C = \{2, 3, 5, 7, 11\} \cup \{1, 3, 5, 7\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 11\}$

$(B \cup C) \times D = \{1, 2, 3, 5, 7, 11\} \times \{6, 8\}$

$= \{(1, 6), (1, 8), (2, 6), (2, 8), (3, 6), (3, 8),$

$(5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8), (11, 6), (11, 8)\}$

আবার, $B \cap C = \{2, 3, 5, 7, 11\} \cap \{1, 3, 5, 7\} = \{3, 5, 7\}$

$B \cap C$-এর উপাদান সংখ্যা $3$, তাই উপসেট সংখ্যা $2^{3} = 8$

$\therefore P(B \cap C) = \{\{3, 5, 7\}, \{3, 5\}, \{3, 7\}, \{5, 7\}, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \emptyset\}$

ব্যাখ্যা: $n$ উপাদানবিশিষ্ট সেটের উপসেট সংখ্যা $2^{n}$; শূন্য সেট $\emptyset$ ও সেটটি নিজে এর অন্তর্ভুক্ত।

উত্তর: $(B \cup C) \times D$ এর $12$টি ক্রমজোড় ও $P(B \cap C)$ এর $8$টি উপাদান উপরে নির্ণীত হলো।

গ) $R$ অন্বয়টিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর এবং তার ডোমেন নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

$Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$; তাই $A = \{x \in Z : -3 \le x < 3\} = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}$

$R = \{(x, y) : x \in A, y \in A$ এবং $y + 1 = 2x\}$; সম্পর্কটি $y = 2x - 1$

প্রত্যেক $x \in A$-এর জন্য $y$-এর মান নির্ণয় করি:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = 2x - 1$	$-7$	$-5$	$-3$	$-1$	$1$	$3$

যেহেতু $-7, -5, 3 \notin A$, তাই $(-3, -7), (-2, -5), (2, 3) \notin R$

$\therefore R = \{(-1, -3), (0, -1), (1, 1)\}$

ডোমেন $= \{-1, 0, 1\}$

উত্তর: $R = \{(-1, -3), (0, -1), (1, 1)\}$ এবং ডোমেন $= \{-1, 0, 1\}$

প্রশ্ন ২

$y^{2} = 12 + 2\sqrt{35}$, $2p^{2} - p - 2 = 0$, যেখানে $y > 0, p > 0$।

ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $x^{2} - \dfrac{10}{3}xy + y^{2}$ (২ নম্বর)

সমাধান:

$x^{2} - \dfrac{10}{3}xy + y^{2} = x^{2} - 3xy - \dfrac{1}{3}xy + y^{2}$ [$-\dfrac{10}{3} = -3 - \dfrac{1}{3}$]

$= x(x - 3y) - \dfrac{y}{3}(x - 3y)$

$= (x - 3y)\left(x - \dfrac{y}{3}\right)$

ব্যাখ্যা: মাঝের পদ ভেঙে (মধ্যপদ বিভাজন) উৎপাদক বের করা হয়েছে; বইয়ে একই ফল উৎপাদক উপপাদ্যের সাহায্যে পাওয়া গেছে।

উত্তর: $(x - 3y)\left(x - \dfrac{y}{3}\right)$

খ) $y^{3} - \dfrac{8}{y^{3}}$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $y^{2} = 12 + 2\sqrt{35}$; $y > 0$

বা $y^{2} = 7 + 5 + 2\sqrt{7 \times 5} = (\sqrt{7})^{2} + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^{2}$

বা $y^{2} = (\sqrt{7} + \sqrt{5})^{2}$

$y > 0$ বলে $y = \sqrt{7} + \sqrt{5}$

$\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^{2} - (\sqrt{5})^{2}} = \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

তাই $\dfrac{2}{y} = \sqrt{7} - \sqrt{5}$

$y - \dfrac{2}{y} = (\sqrt{7} + \sqrt{5}) - (\sqrt{7} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$

প্রদত্ত রাশি $= y^{3} - \left(\dfrac{2}{y}\right)^{3} = \left(y - \dfrac{2}{y}\right)^{3} + 3 \cdot y \cdot \dfrac{2}{y}\left(y - \dfrac{2}{y}\right)$

$= (2\sqrt{5})^{3} + 6 \times 2\sqrt{5}$

$= 40\sqrt{5} + 12\sqrt{5} = 52\sqrt{5}$

ব্যাখ্যা: সূত্র: $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3ab(a - b)$; এখানে $a = y$, $b = \dfrac{2}{y}$, $ab = 2$।

উত্তর: $52\sqrt{5}$

গ) প্রমাণ কর যে, $p^{5} + \dfrac{1}{p^{5}} = \dfrac{29\sqrt{17}}{32}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $2p^{2} - p - 2 = 0$; বা $2p^{2} - 2 = p$

বা $2p - \dfrac{2}{p} = 1$ [উভয় পক্ষকে $p$ দ্বারা ভাগ করে]

বা $2\left(p - \dfrac{1}{p}\right) = 1$, অতএব $p - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{2}$ ........ (i)

$p^{2} + \dfrac{1}{p^{2}} = \left(p - \dfrac{1}{p}\right)^{2} + 2 = \dfrac{1}{4} + 2 = \dfrac{9}{4}$ ........ (ii)

$\left(p + \dfrac{1}{p}\right)^{2} = \left(p - \dfrac{1}{p}\right)^{2} + 4 = \dfrac{1}{4} + 4 = \dfrac{17}{4}$

$p > 0$ বলে $p + \dfrac{1}{p} = \dfrac{\sqrt{17}}{2}$ ........ (iii)

$p^{3} + \dfrac{1}{p^{3}} = \left(p + \dfrac{1}{p}\right)^{3} - 3 \cdot p \cdot \dfrac{1}{p}\left(p + \dfrac{1}{p}\right)$

$= \dfrac{17\sqrt{17}}{8} - \dfrac{3\sqrt{17}}{2} = \dfrac{5\sqrt{17}}{8}$ ........ (iv)

(ii) ও (iv) গুণ করে, $\left(p^{2} + \dfrac{1}{p^{2}}\right)\left(p^{3} + \dfrac{1}{p^{3}}\right) = \dfrac{9}{4} \times \dfrac{5\sqrt{17}}{8}$

বা $p^{5} + p + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{5}} = \dfrac{45\sqrt{17}}{32}$

বা $p^{5} + \dfrac{1}{p^{5}} = \dfrac{45\sqrt{17}}{32} - \left(p + \dfrac{1}{p}\right) = \dfrac{45\sqrt{17}}{32} - \dfrac{\sqrt{17}}{2}$ [(iii) থেকে]

বা $p^{5} + \dfrac{1}{p^{5}} = \dfrac{45\sqrt{17} - 16\sqrt{17}}{32} = \dfrac{29\sqrt{17}}{32}$

উত্তর: $p^{5} + \dfrac{1}{p^{5}} = \dfrac{29\sqrt{17}}{32}$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৩

(i) একটি সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $q^{2}$ এবং $q$ তম পদ $p^{2}$।

(ii) একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ $\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ এবং নবম পদ $\dfrac{8}{27\sqrt{3}}$।

ক) দুইটি সংখ্যার অনুপাত $4 : 5$, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু $3$ হলে তাদের ল.সা.গু নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, সংখ্যা দুইটি $4x$ ও $5x$

তাদের গ.সা.গু $= x$ এবং ল.সা.গু $= 20x$ ($4$ ও $5$ সহমৌলিক)

প্রশ্নমতে, $x = 3$

তাই ল.সা.গু $= 20 \times 3 = 60$

উত্তর: $60$

খ) (i)নং ধারার $(p + q)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$

প্রশ্নমতে, $a + (p - 1)d = q^{2}$ ........ (i) এবং $a + (q - 1)d = p^{2}$ ........ (ii)

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে, $(p - q)d = q^{2} - p^{2} = -(p - q)(p + q)$

$p \neq q$ বলে $d = -(p + q)$

(i) এ বসিয়ে, $a = q^{2} - (p - 1)d = q^{2} + (p - 1)(p + q)$

$= q^{2} + p^{2} + pq - p - q$

$S_{p + q} = \dfrac{p + q}{2}\{2a + (p + q - 1)d\}$

$= \dfrac{p + q}{2}\{2p^{2} + 2q^{2} + 2pq - 2p - 2q - (p + q)^{2} + (p + q)\}$

$= \dfrac{p + q}{2}\{2p^{2} + 2q^{2} + 2pq - (p + q) - p^{2} - 2pq - q^{2}\}$

$= \dfrac{p + q}{2}(p^{2} + q^{2} - p - q)$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $p = 1, q = 2$ হলে ধারাটি $4, 1, -2, \ldots$ এবং প্রথম $3$ পদের সমষ্টি $= 3$; সূত্র থেকেও $\dfrac{3 \times (1 + 4 - 1 - 2)}{2} = 3$ পাওয়া যায়।

উত্তর: $S_{p + q} = \dfrac{(p + q)(p^{2} + q^{2} - p - q)}{2}$

গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

মনে করি, প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$

পঞ্চম পদ $ar^{4} = \dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ ........ (i) এবং নবম পদ $ar^{8} = \dfrac{8}{27\sqrt{3}}$ ........ (ii)

(ii) ÷ (i): $r^{4} = \dfrac{8}{27\sqrt{3}} \times \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{4}{9}$

বা $r^{2} = \dfrac{2}{3}$ ($r^{2} > 0$); তাই $r = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \pm \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

(i) থেকে, $a = \dfrac{2}{3\sqrt{3}} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

দ্বিতীয় পদ $ar = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

তৃতীয় পদ $ar^{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

ব্যাখ্যা: $r^{4}$ জানা থাকলে $r^{2}$ ধনাত্মক নেওয়া হয়, কিন্তু $r$ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক দুটিই হতে পারে; তাই দুটি ধারাই গ্রহণযোগ্য।

উত্তর: $r = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ হলে ধারাটি $\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} + \ldots$; $r = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ হলে ধারাটি $\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} - \ldots$

প্রশ্ন ৪

(i) $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $PQ$ এবং $RS$ দুইটি জ্যা। $OM \perp PQ$ এবং $ON \perp RS$।

(ii) $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু $P$ হতে $PE$ এবং $PF$ দুইটি স্পর্শক।

ক) $6$ সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস $= 6$ সে.মি.

তাই ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{6}{2} = 3$ সে.মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^{2} = 3.1416 \times (3)^{2}$ বর্গ সে.মি.

$= 28.2744$ বর্গ সে.মি.

উত্তর: $28.2744$ বর্গ সে.মি.

খ) যদি $PQ = RS$ হয়, প্রমাণ কর যে, $OM = ON$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $PQ$ ও $RS$ দুইটি জ্যা, $OM \perp PQ$, $ON \perp RS$ এবং $PQ = RS$। প্রমাণ করতে হবে $OM = ON$।

অঙ্কন: $O, R$ এবং $O, P$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ-১: $ON \perp RS$ ও $OM \perp PQ$; সুতরাং $RN = SN$ এবং $PM = QM$ [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

অতএব $RN = \dfrac{1}{2}RS$ এবং $PM = \dfrac{1}{2}PQ$

ধাপ-২: কিন্তু $RS = PQ$ [দেওয়া আছে]; তাই $RN = PM$

ধাপ-৩: এখন $\triangle ORN$ ও $\triangle OPM$ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে অতিভুজ $OR =$ অতিভুজ $OP$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং $RN = PM$ [ধাপ-২]

তাই $\triangle ORN \cong \triangle OPM$ [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]

অতএব $ON = OM$, অর্থাৎ $OM = ON$ (প্রমাণিত)

উত্তর: $OM = ON$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $OP$ রেখাংশ স্পর্শ-জ্যা $EF$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত দুইটি স্পর্শক $PE$ ও $PF$ বৃত্তকে $E$ ও $F$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। $E, F$ যোগ করায় স্পর্শ-জ্যা $EF$ পাওয়া গেল। $P, O$ যোগ করা হলো; $OP$ রেখা $EF$-কে $C$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, $OP$ রেখাংশ স্পর্শ-জ্যা $EF$-এর লম্বদ্বিখণ্ডক।

অঙ্কন: $O, E$ এবং $O, F$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ-১: $PE = PF$ [বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে স্পর্শবিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান]

ধাপ-২: $\triangle OEP$ ও $\triangle OFP$-এ $PE = PF$, $OE = OF$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং $OP$ সাধারণ বাহু

তাই $\triangle OEP \cong \triangle OFP$ [তিন বাহু পরস্পর সমান]

সুতরাং $\angle EOP = \angle FOP$, অর্থাৎ $\angle EOC = \angle FOC$ ........ (i)

ধাপ-৩: $\triangle OEC$ ও $\triangle OFC$-এ $OE = OF$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], $OC$ সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle EOC = \angle FOC$ [(i) থেকে]

তাই $\triangle OEC \cong \triangle OFC$ [বাহু-কোণ-বাহু]

অতএব $EC = FC$ ........ (ii) এবং $\angle OCE = \angle OCF$

ধাপ-৪: কিন্তু এরা রৈখিক যুগল কোণ বলে প্রত্যেকেই সমকোণ: $\angle OCE = \angle OCF = 90\degree$, অর্থাৎ $OC \perp EF$ ........ (iii)

ধাপ-৫: (ii) ও (iii) থেকে পাই, $EC = FC$ অর্থাৎ $C$ স্পর্শ-জ্যা $EF$-এর মধ্যবিন্দু এবং $OP \perp EF$

অতএব $OP$ রেখাংশ স্পর্শ-জ্যা $EF$-এর লম্বদ্বিখণ্ডক (প্রমাণিত)

উত্তর: $OP$ রেখাংশ $EF$-এর লম্বদ্বিখণ্ডক (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৫

$\triangle PQR$ ও $\triangle DEF$ সদৃশকোণী। $PM$ রেখাংশ $\triangle PQR$-এর অন্তঃস্থ $\angle P$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে $QR$ বাহুকে $M$ বিন্দুতে ছেদ করে।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের তিনটি অংশই এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এগুলো আমাদের সমাধান।

ক) $11$ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে $5 : 3$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

অঙ্কনের বিবরণ:

১. $AB = 11$ সে.মি. রেখাংশ আঁকি এবং $A$ বিন্দুতে $AB$-এর সাথে একটি সূক্ষ্মকোণ করে $AX$ রশ্মি আঁকি।

২. $AX$ রশ্মি থেকে সমান দৈর্ঘ্যের $5 + 3 = 8$টি অংশ কাটি: $AA_{1} = A_{1}A_{2} = \ldots = A_{7}A_{8}$।

৩. $A_{8}, B$ যোগ করি।

৪. $A_{5}$ বিন্দু দিয়ে $A_{8}B$-এর সমান্তরাল রেখা আঁকি (সমান অনুরূপ কোণ অঙ্কন করে), যা $AB$-কে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে $C$ বিন্দুই $AB$-কে $5 : 3$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে, অর্থাৎ $AC : CB = 5 : 3$।

যুক্তি: $A_{5}C \parallel A_{8}B$ বলে $\dfrac{AC}{CB} = \dfrac{AA_{5}}{A_{5}A_{8}} = \dfrac{5}{3}$

যাচাই: $AC = 11 \times \dfrac{5}{8} = 6.875$ সে.মি. এবং $CB = 11 \times \dfrac{3}{8} = 4.125$ সে.মি.

উত্তর: $C$ বিন্দু $AB$-কে $5 : 3$ অনুপাতে বিভক্ত করেছে ($AC = 6.875$ সে.মি., $CB = 4.125$ সে.মি.)

খ) $\triangle PQR$ এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, $QM : MR = QP : PR$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এ $PM$ হলো $\angle P$-এর সমদ্বিখণ্ডক, অর্থাৎ $\angle QPM = \angle MPR$; $PM$ রেখা $QR$-কে $M$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে $QM : MR = QP : PR$।

অঙ্কন: $R$ বিন্দু দিয়ে $PM$-এর সমান্তরাল $RN$ আঁকি, যা $QP$-এর বর্ধিতাংশকে $N$ বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ:

ধাপ-১: $PM \parallel NR$ এবং $QN$ ছেদক; তাই $\angle QPM = \angle PNR$ [অনুরূপ কোণ]

ধাপ-২: $PM \parallel NR$ এবং $PR$ ছেদক; তাই $\angle MPR = \angle PRN$ [একান্তর কোণ]

ধাপ-৩: $\angle QPM = \angle MPR$ [দেওয়া আছে]; তাই $\angle PNR = \angle PRN$; অতএব $PN = PR$ ........ (i) [সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান]

ধাপ-৪: $\triangle QNR$-এ $PM \parallel NR$; তাই $\dfrac{QM}{MR} = \dfrac{QP}{PN}$ [সমান্তরাল রেখার সমানুপাতিক সূত্র]

ধাপ-৫: (i) থেকে $PN = PR$ বসিয়ে, $\dfrac{QM}{MR} = \dfrac{QP}{PR}$, অর্থাৎ $QM : MR = QP : PR$ (প্রমাণিত)

উত্তর: $QM : MR = QP : PR$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $\triangle PQR : \triangle DEF = QR^{2} : EF^{2}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$ ও $\triangle DEF$ সদৃশকোণী, অর্থাৎ $\angle P = \angle D$, $\angle Q = \angle E$, $\angle R = \angle F$। প্রমাণ করতে হবে $\triangle PQR : \triangle DEF = QR^{2} : EF^{2}$।

অঙ্কন: $P$ থেকে $QR$-এর উপর $PS \perp QR$ এবং $D$ থেকে $EF$-এর উপর $DT \perp EF$ আঁকি।

প্রমাণ:

ধাপ-১: $\triangle PQR$-এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times QR \times PS$ এবং $\triangle DEF$-এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times EF \times DT$

তাই $\dfrac{\triangle PQR}{\triangle DEF} = \dfrac{QR}{EF} \times \dfrac{PS}{DT}$ ........ (i)

ধাপ-২: $\triangle PQS$ ও $\triangle DET$-এ $\angle Q = \angle E$ এবং $\angle PSQ = \angle DTE = 90\degree$; তাই ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী (সদৃশ)

অতএব $\dfrac{PS}{DT} = \dfrac{PQ}{DE}$

ধাপ-৩: সদৃশ $\triangle PQR$ ও $\triangle DEF$-এর অনুরূপ বাহুর অনুপাত সমান: $\dfrac{PQ}{DE} = \dfrac{QR}{EF}$; তাই $\dfrac{PS}{DT} = \dfrac{QR}{EF}$

ধাপ-৪: (i)-এ বসিয়ে, $\dfrac{\triangle PQR}{\triangle DEF} = \dfrac{QR}{EF} \times \dfrac{QR}{EF} = \dfrac{QR^{2}}{EF^{2}}$

অর্থাৎ $\triangle PQR : \triangle DEF = QR^{2} : EF^{2}$ (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত অনুরূপ বাহুর বর্গের অনুপাতের সমান।

উত্তর: $\triangle PQR : \triangle DEF = QR^{2} : EF^{2}$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৬

একটি ত্রিভুজের ভূমি $a = 6$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন সূক্ষ্মকোণ $\angle x = 45\degree$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $d = 2$ সে.মি.।

ক) পেন্সিল কম্পাস ব্যবহার করে $105\degree$ কোণ অঙ্কন কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

অঙ্কনের বিবরণ:

১. $A$ বিন্দু নিয়ে $AX$ রশ্মি আঁকি এবং উল্টো দিকে বর্ধিত করে $AY$ আঁকি (এতে $\angle XAY = 180\degree$)।

২. $A$ কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি, যা $AX$ ও $AY$-কে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. $P$ ও $Q$ কেন্দ্র করে সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে (ব্যাসার্ধ $PQ$-এর অর্ধেকের চেয়ে বড়) দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি, যারা পরস্পরকে ছেদ করে; ছেদবিন্দু ও $A$ যোগ করে $AE \perp XY$, অর্থাৎ $\angle XAE = 90\degree$ পাই।

৪. $Q$ কে কেন্দ্র করে ধাপ-২-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ঐ বৃত্তচাপকে $F$ বিন্দুতে কাটি এবং $AF$ যোগ করি; এখন $\angle YAF = 60\degree$, অর্থাৎ $\angle XAF = 120\degree$।

৫. $\angle EAF = 30\degree$-এর সমদ্বিখণ্ডক $AB$ আঁকি।

এখন $\angle XAB = 90\degree + 15\degree = 105\degree$

উত্তর: $\angle XAB = 105\degree$ অঙ্কিত হলো (চিত্র দ্রষ্টব্য)

খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি $a = 6$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle x = 45\degree$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $d = 2$ সে.মি.। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

১. যেকোনো রশ্মি থেকে ভূমি $a$-এর সমান করে $BC = 6$ সে.মি. কেটে নিই।

২. $BC$ রেখাংশের $B$ বিন্দুতে $\angle x$-এর সমান করে $\angle CBF = 45\degree$ আঁকি।

৩. $BF$ রশ্মি থেকে $d$-এর সমান $BD = 2$ সে.মি. অংশ কেটে নিই।

৪. $C, D$ যোগ করি।

৫. $DC$ রেখাংশের যে পাশে $F$ বিন্দু আছে, সেই পাশে $C$ বিন্দুতে $\angle FDC$-এর সমান $\angle DCA$ আঁকি; $CA$ রশ্মি $BF$ রশ্মিকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

যুক্তি: $\angle ADC = \angle DCA$ বলে $AD = AC$; তাই $AB - AC = AB - AD = BD = d = 2$ সে.মি.

উত্তর: $\triangle ABC$ উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ (অঙ্কিত)

গ) $\dfrac{a}{2}$ সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তে এমন দুইটি স্পর্শক আঁক যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $45\degree$। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্র এবং $\dfrac{a}{2} = 3$ সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা হলো। এই বৃত্তে এমন দুইটি স্পর্শক আঁকতে হবে যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $45\degree$ হয়।

অঙ্কনের বিবরণ:

১. $OA$ যেকোনো ব্যাসার্ধ নিই এবং $\angle AOB = 135\degree$ আঁকি; $OB$ রশ্মি বৃত্তকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।

২. $OB$ রেখার উপর $B$ বিন্দুতে এবং $OA$ রেখার উপর $A$ বিন্দুতে দুইটি লম্ব টানি। লম্বদ্বয় $C$ বিন্দুতে মিলিত হলে $AC$ ও $BC$-ই নির্ণেয় স্পর্শক।

যুক্তি: চতুর্ভুজ $OACB$-এ $\angle OAC = \angle OBC = 90\degree$ [ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব] এবং $\angle AOB = 135\degree$

তাই $\angle ACB = 360\degree - (90\degree + 90\degree + 135\degree) = 45\degree$

উত্তর: $AC$ ও $BC$ স্পর্শকদ্বয় অঙ্কিত হলো, যাদের অন্তর্ভুক্ত $\angle ACB = 45\degree$

প্রশ্ন ৭

$\sec A + \tan A = y$, $M = \tan\theta \cdot \sec\theta$, যখন $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

ক) $12\tan A = 5$ হলে, $\sin A \cdot \cos A$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $12\tan A = 5$, বা $\tan A = \dfrac{5}{12}$

সমকোণী $\triangle ABC$-এ $\angle B = 90\degree$, লম্ব $BC = 5$ ও ভূমি $AB = 12$

অতিভুজ $AC = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{169} = 13$

$\sin A = \dfrac{5}{13}$, $\cos A = \dfrac{12}{13}$

$\therefore \sin A \cdot \cos A = \dfrac{5}{13} \times \dfrac{12}{13} = \dfrac{60}{169}$

উত্তর: $\dfrac{60}{169}$

খ) দেখাও যে, $\sin A = \dfrac{y^{2} - 1}{y^{2} + 1}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\sec A + \tan A = y$

বা $\dfrac{1}{\cos A} + \dfrac{\sin A}{\cos A} = y$, বা $\dfrac{1 + \sin A}{\cos A} = y$

উভয় পক্ষ বর্গ করে, $\dfrac{(1 + \sin A)^{2}}{\cos^{2}A} = y^{2}$

বা $\dfrac{(1 + \sin A)^{2}}{1 - \sin^{2}A} = y^{2}$ [$\cos^{2}A = 1 - \sin^{2}A$]

বা $\dfrac{(1 + \sin A)^{2}}{(1 + \sin A)(1 - \sin A)} = y^{2}$

বা $\dfrac{1 + \sin A}{1 - \sin A} = \dfrac{y^{2}}{1}$

যোজন-বিয়োজন করে, $\dfrac{(1 + \sin A) - (1 - \sin A)}{(1 + \sin A) + (1 - \sin A)} = \dfrac{y^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

বা $\dfrac{2\sin A}{2} = \dfrac{y^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

$\therefore \sin A = \dfrac{y^{2} - 1}{y^{2} + 1}$ (দেখানো হলো)

উত্তর: $\sin A = \dfrac{y^{2} - 1}{y^{2} + 1}$ (দেখানো হলো)

গ) $M = \dfrac{2}{3}$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $M = \tan\theta \cdot \sec\theta = \dfrac{2}{3}$

বা $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \times \dfrac{1}{\cos\theta} = \dfrac{2}{3}$, বা $\dfrac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta} = \dfrac{2}{3}$

বা $3\sin\theta = 2\cos^{2}\theta = 2(1 - \sin^{2}\theta)$

বা $2\sin^{2}\theta + 3\sin\theta - 2 = 0$

বা $2\sin^{2}\theta + 4\sin\theta - \sin\theta - 2 = 0$

বা $2\sin\theta(\sin\theta + 2) - 1(\sin\theta + 2) = 0$

বা $(\sin\theta + 2)(2\sin\theta - 1) = 0$

$\sin\theta + 2 = 0$ হলে $\sin\theta = -2$, যা গ্রহণযোগ্য নয় (কারণ $-1 \le \sin\theta \le 1$)।

$2\sin\theta - 1 = 0$ হলে $\sin\theta = \dfrac{1}{2} = \sin 30\degree$

$\theta$ সূক্ষ্মকোণ হওয়ায় $\theta = 30\degree$

উত্তর: $\theta = 30\degree$

প্রশ্ন ৮

৫১ মিটার দীর্ঘ একটি গাছের গোড়া থেকে কিছু দূরে ভূতলের কোনো বিন্দু থেকে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ $60\degree$। ঐ বিন্দু থেকে $y$ মিটার পিছিয়ে গেলে শীর্ষের উন্নতি কোণ $30\degree$ হয়। আবার $P$ ও $Q$ দুইটি স্থানের মধ্যবর্তী কোনো স্থানে একটি বেলুন উড়ছে। বেলুনের অবস্থান থেকে $P$ ও $Q$ এর অবনতি কোণ যথাক্রমে $45\degree$ এবং $60\degree$।

ক) $\theta = 30\degree$ হলে, দেখাও যে, $\dfrac{\tan\theta}{\sec\theta + 1} = 2 - \sqrt{3}$। (২ নম্বর)

সমাধান:

$\theta = 30\degree$ হলে বামপক্ষ $= \dfrac{\tan 30\degree}{\sec 30\degree + 1}$

$= \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{\dfrac{2}{\sqrt{3}} + 1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

$= \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}$

$= \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$ = ডানপক্ষ

$\therefore \dfrac{\tan\theta}{\sec\theta + 1} = 2 - \sqrt{3}$ (দেখানো হলো)

উত্তর: $\dfrac{\tan\theta}{\sec\theta + 1} = 2 - \sqrt{3}$ (দেখানো হলো)

খ) $y$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

মনে করি, গাছটি $AB = 51$ মিটার; ভূতলের $C$ বিন্দু থেকে শীর্ষ $A$-এর উন্নতি কোণ $\angle ACB = 60\degree$। $C$ থেকে $y$ মিটার পিছিয়ে $D$ বিন্দুতে উন্নতি কোণ $\angle ADB = 30\degree$ (চিত্র দ্রষ্টব্য)।

$\triangle ABC$-এ $\tan 60\degree = \dfrac{AB}{BC}$, বা $\sqrt{3} = \dfrac{51}{BC}$

বা $BC = \dfrac{51}{\sqrt{3}} = 17\sqrt{3}$ মিটার

$\triangle ABD$-এ $\tan 30\degree = \dfrac{AB}{BD}$, বা $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{51}{BD}$

বা $BD = 51\sqrt{3}$ মিটার

$y = CD = BD - BC = 51\sqrt{3} - 17\sqrt{3} = 34\sqrt{3}$

$= 34 \times 1.732 = 58.89$ (প্রায়)

উত্তর: $y = 34\sqrt{3} \approx 58.89$ মিটার

গ) $PQ = 1000$ মিটার হলে, বেলুনের উচ্চতা নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান। এখানে $P, Q$ সমতল ভূমির দুইটি বিন্দু এবং বেলুনটি তাদের মধ্যবর্তী কোনো বিন্দুর ঠিক উপরে আছে ধরা হয়েছে।

সমাধান:

মনে করি, বেলুনটি ভূমি থেকে $h$ মিটার উচ্চতায় $B$ বিন্দুতে আছে। $B$ থেকে $PQ$-এর উপর লম্ব $BH$, অর্থাৎ $BH = h$ (চিত্র দ্রষ্টব্য)।

$B$ থেকে $P$ ও $Q$-এর অবনতি কোণ $45\degree$ ও $60\degree$; একান্তর কোণ বলে $\angle BPH = 45\degree$ ও $\angle BQH = 60\degree$

সমকোণী $\triangle BPH$-এ $\tan 45\degree = \dfrac{BH}{PH}$, বা $1 = \dfrac{h}{PH}$, তাই $PH = h$

সমকোণী $\triangle BQH$-এ $\tan 60\degree = \dfrac{BH}{QH}$, বা $\sqrt{3} = \dfrac{h}{QH}$, তাই $QH = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$

$PQ = PH + QH$, বা $1000 = h + \dfrac{h}{\sqrt{3}} = h\left(\dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}\right)$

বা $h = \dfrac{1000\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{1000\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \dfrac{1000(3 - \sqrt{3})}{2}$

$= 500(3 - \sqrt{3}) = 500 \times 1.268 = 634$ (প্রায়)

উত্তর: $h = 500(3 - \sqrt{3}) \approx 633.97$ মিটার

প্রশ্ন ৯

(i) $\triangle ABC$-এ $\angle C = 150\degree$, $AC = 20$ কি.মি. এবং $BC = 22$ কি.মি.

(ii) একটি বৃত্তের ব্যাস $24$ সে.মি.।

ক) একটি রম্বসের একটি কর্ণ $12$ মিটার এবং এর ক্ষেত্রফল $96$ বর্গমিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, রম্বসের একটি কর্ণ $a = 12$ মিটার এবং ক্ষেত্রফল $96$ বর্গমিটার

ধরি, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য $b$ মিটার

প্রশ্নমতে, $\dfrac{1}{2} \times a \times b = 96$

বা $\dfrac{1}{2} \times 12 \times b = 96$, বা $6b = 96$

$\therefore b = \dfrac{96}{6} = 16$

ব্যাখ্যা: রম্বসের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল।

উত্তর: অপর কর্ণ $16$ মিটার

খ) $AB$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

$A$ থেকে $BC$-এর বর্ধিতাংশের উপর $AD$ লম্ব আঁকি (চিত্র দ্রষ্টব্য)।

$\angle ACB + \angle ACD = 180\degree$, বা $150\degree + \angle ACD = 180\degree$, তাই $\angle ACD = 30\degree$

সমকোণী $\triangle ACD$-এ $\cos 30\degree = \dfrac{CD}{AC}$, বা $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{CD}{20}$, তাই $CD = 10\sqrt{3}$ কি.মি.

$BD = BC + CD = (22 + 10\sqrt{3})$ কি.মি.

আবার $\tan 30\degree = \dfrac{AD}{CD}$, বা $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{AD}{10\sqrt{3}}$, তাই $AD = 10$ কি.মি.

সমকোণী $\triangle ABD$-এ $AB^{2} = BD^{2} + AD^{2} = (22 + 10\sqrt{3})^{2} + 10^{2}$

$= (784 + 440\sqrt{3}) + 100 \approx 1546.1024 + 100 = 1646.1024$

$\therefore AB = \sqrt{1646.1024} \approx 40.5722$

উত্তর: $AB \approx 40.5722$ কি.মি.

গ) বৃত্তটির পরিধি একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমার সমান হলে এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস $= 24$ সে.মি.; তাই ব্যাসার্ধ $r = 12$ সে.মি.

বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r = 2 \times \pi \times 12 = 24\pi$ সে.মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^{2} = \pi (12)^{2} = 144\pi$ বর্গ সে.মি.

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ সে.মি.; তাই পরিসীমা $= 3a$

প্রশ্নমতে, $3a = 24\pi$, বা $a = 8\pi$

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(8\pi)^{2} = 16\sqrt{3}\pi^{2}$ বর্গ সে.মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল : ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= 144\pi : 16\sqrt{3}\pi^{2}$

$= 9 : \sqrt{3}\pi = 3\sqrt{3} : \pi$

উত্তর: $3\sqrt{3} : \pi$

প্রশ্ন ১০

নিচে একটি গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো:

শ্রেণিব্যাপ্তি	36–40	41–45	46–50	51–55	56–60	61–65	66–70
গণসংখ্যা	6	8	12	16	7	6	5

ক) সারণিটির মধ্যক শ্রেণির মধ্যমান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
36–40	6	6
41–45	8	14
46–50	12	26
51–55	16	42
56–60	7	49
61–65	6	55
66–70	5	60
মোট	$n = 60$

এখানে $\dfrac{n}{2} = \dfrac{60}{2} = 30$; অর্থাৎ $30$-তম পদ $(51 – 55)$ শ্রেণিতে অবস্থিত, তাই এটিই মধ্যক শ্রেণি।

মধ্যক শ্রেণির মধ্যমান $= \dfrac{51 + 55}{2} = 53$

উত্তর: $53$

খ) প্রদত্ত সারণি হতে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি (কল্পিত গড় $a = 53$, শ্রেণিব্যাপ্তি $h = 5$):

শ্রেণিব্যাপ্তি	মধ্যমান $x_{i}$	গণসংখ্যা $f_{i}$	$u_{i} = \dfrac{x_{i} - a}{h}$	$f_{i}u_{i}$
36–40	38	6	$-3$	$-18$
41–45	43	8	$-2$	$-16$
46–50	48	12	$-1$	$-12$
51–55	53 ← $a$	16	0	0
56–60	58	7	1	7
61–65	63	6	2	12
66–70	68	5	3	15
মোট		$n = 60$		$\sum f_{i}u_{i} = -12$

নির্ণেয় গড়, $\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_{i}u_{i}}{n} \times h$

$= 53 + \dfrac{-12}{60} \times 5$

$= 53 - 1 = 52$

উত্তর: $52$

গ) ‘ক’ এর সারণি হতে সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ প্রদত্ত উপাত্তের অজিভ রেখা অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

‘ক’ এর সারণি থেকে প্রতিটি শ্রেণির উচ্চসীমার বিপরীতে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা পাওয়া গেছে।

ছক কাগজে $x$-অক্ষ বরাবর শ্রেণিব্যবধানের উচ্চসীমা এবং $y$-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নেওয়া হলো; মূলবিন্দু থেকে $35$ পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে $x$-অক্ষে ছেদ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

প্রথম শ্রেণির আগের উচ্চসীমা $35$-এ ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $0$ ধরে বিন্দুগুলো (উচ্চসীমা, ক্রমযোজিত গণসংখ্যা): $(35, 0), (40, 6), (45, 14), (50, 26), (55, 42), (60, 49), (65, 55), (70, 60)$

বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে ক্রমান্বয়ে যোগ করলে অজিভ রেখা পাওয়া যায়।

উত্তর: অজিভ রেখা অঙ্কিত হলো (চিত্র দ্রষ্টব্য)

প্রশ্ন ১১

দশম শ্রেণির ৭০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি নিম্নরূপ:

প্রাপ্ত নম্বরের শ্রেণিব্যাপ্তি	45–49	50–54	55–59	60–64	65–69	70–74
গণসংখ্যা	6	8	16	20	13	7

ক) প্রচুরক শ্রেণির মধ্যবিন্দু নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সর্বাধিক $20$ জন শিক্ষার্থী গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের শ্রেণিসীমা $(60 – 64)$; অর্থাৎ প্রচুরক শ্রেণি $(60 – 64)$

প্রচুরক শ্রেণির মধ্যবিন্দু $= \dfrac{60 + 64}{2} = \dfrac{124}{2} = 62$

উত্তর: $62$

খ) প্রদত্ত সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মধ্যক নির্ণয়ের সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
45–49	6	6
50–54	8	14
55–59	16	30
60–64	20	50
65–69	13	63
70–74	7	70
মোট	$n = 70$

এখানে $n = 70$, তাই $\dfrac{n}{2} = \dfrac{70}{2} = 35$

অর্থাৎ মধ্যক হলো $35$-তম পদের মান। $35$-তম পদ $(60 – 64)$ শ্রেণিতে অবস্থিত; সুতরাং মধ্যক শ্রেণি $(60 – 64)$

এখানে $L = 60$, $F_{c} = 30$, $f_{m} = 20$, $h = 5$

মধ্যক $= L + \left(\dfrac{n}{2} - F_{c}\right) \times \dfrac{h}{f_{m}}$

$= 60 + (35 - 30) \times \dfrac{5}{20} = 60 + \dfrac{5}{4}$

$= 61.25$

উত্তর: $61.25$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের মধ্যক-সূত্র প্রয়োগে মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমা হিসেবে ছাপা শ্রেণিসীমা $L = 60$ ধরা হয়েছে। প্রকৃত শ্রেণিসীমা $59.5$ ধরলে মধ্যক $60.75$ হতো; উত্তর বইয়ের সাথে মিলিয়ে $61.25$ দেওয়া হলো।

গ) প্রদত্ত সারণি হতে সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যবিন্দু	গণসংখ্যা
45–49	47	6
50–54	52	8
55–59	57	16
60–64	62	20
65–69	67	13
70–74	72	7

ছক কাগজে $x$-অক্ষ বরাবর শ্রেণি মধ্যবিন্দু এবং $y$-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নেওয়া হলো; মূলবিন্দু থেকে $42$ পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে $x$-অক্ষে ভাঙা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

প্রথম শ্রেণির আগে $42$ এবং শেষ শ্রেণির পরে $77$ মধ্যবিন্দু ধরে এদের গণসংখ্যা $0$ নেওয়া হলো।

বিন্দুগুলো (মধ্যবিন্দু, গণসংখ্যা): $(42, 0), (47, 6), (52, 8), (57, 16), (62, 20), (67, 13), (72, 7), (77, 0)$

বিন্দুগুলো স্থাপন করে সরলরেখাংশ দ্বারা পরপর যোগ করলে গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়।

উত্তর: গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কিত হলো (চিত্র দ্রষ্টব্য)