SSC Math Barishal Board 2025 Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

$N$ হলো স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, অর্থাৎ $N = \{1, 2, 3, \ldots\}$।

$-2 \le x \le 6$ শর্তে $x$-এর স্বাভাবিক সংখ্যার মান $1, 2, 3, 4, 5, 6$।

সুতরাং $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ এবং উপাদান সংখ্যা ৬টি।

ব্যাখ্যা: স্বাভাবিক সংখ্যার সেটে ০ ও ঋণাত্মক সংখ্যা থাকে না, তাই $-2, -1, 0$ বাদ যায়।

উত্তর: গ) 6টি

2. চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $ABC$ বৃত্ত এবং $\angle ABC = 60\degree$। $\angle ACO$ = কত?

ক) $60\degree$     খ) $45\degree$     গ) $30\degree$     ঘ) $15\degree$

সমাধান:

চিত্রে $O$ ব্যাস $AB$-এর উপর অবস্থিত, তাই $AB$ ব্যাস।

অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ, তাই $\angle ACB = 90\degree$।

$\triangle ABC$-এ $\angle BAC = 180\degree - 90\degree - 60\degree = 30\degree$।

$OA = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $\angle ACO = \angle OAC = 30\degree$।

ব্যাখ্যা: সমদ্বিবাহু $\triangle OAC$-এর ভূমিসংলগ্ন কোণ দুটি সমান।

উত্তর: গ) $30\degree$

3. চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $ABC$ বৃত্ত এবং $\angle ABC = 60\degree$। $\sin \angle BAC$ = কত?

ক) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     খ) $1$     গ) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$     ঘ) $\dfrac{1}{2}$

সমাধান:

পূর্বের প্রশ্ন থেকে $\angle BAC = 30\degree$।

$\sin \angle BAC = \sin 30\degree = \dfrac{1}{2}$।

ব্যাখ্যা: $\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}$।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{1}{2}$

4. 6 মিটার দীর্ঘ একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য $6\sqrt{3}$ মিটার হলে, গাছের শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ কত?

ক) $0\degree$     খ) $30\degree$     গ) $45\degree$     ঘ) $60\degree$

সমাধান:

ধরি, উন্নতি কোণ $\theta$।

$\tan \theta = \dfrac{6}{6\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30\degree$

$\therefore \theta = 30\degree$

ব্যাখ্যা: উন্নতি কোণের ট্যানজেন্ট = গাছের উচ্চতা ÷ ছায়ার দৈর্ঘ্য।

উত্তর: খ) $30\degree$

5. একটি চতুর্ভুজ আঁকতে কোনটি প্রয়োজন?

ক) তিনটি বাহু ও একটি কর্ণ     খ) চারটি বাহু ও দুইটি কর্ণ     গ) তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ     ঘ) একটি বাহু ও তিনটি কোণ

সমাধান:

একটি চতুর্ভুজ আঁকতে সাধারণত ৫টি স্বাধীন উপাত্ত প্রয়োজন।

(ক) তিনটি বাহু ও একটি কর্ণ = ৪টি উপাত্ত, যথেষ্ট নয়।

(খ) চারটি বাহু ও দুইটি কর্ণ = ৬টি উপাত্ত, প্রয়োজনের চেয়ে বেশি।

(গ) তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ = ৫টি উপাত্ত, এ দিয়ে চতুর্ভুজ আঁকা যায়।

(ঘ) একটি বাহু ও তিনটি কোণ = ৪টি উপাত্ত, যথেষ্ট নয়।

ব্যাখ্যা: পাঠ্যবইয়ের নির্ধারিত শর্ত অনুযায়ী তিন বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত দুই কোণ দেওয়া থাকলে চতুর্ভুজ আঁকা যায়।

উত্তর: গ) তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ

6. চিত্রে $\theta$ কোণের মান কত?

ক) $30\degree$     খ) $45\degree$     গ) $60\degree$     ঘ) $90\degree$

সমাধান:

চিত্রে $\triangle ABC$ সমকোণী (সমকোণ $B$-তে), $AB = 8\sqrt{3}$ মি. এবং $AC = 16$ মি.।

$\sin \theta = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{8\sqrt{3}}{16} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60\degree$

$\therefore \theta = 60\degree$

ব্যাখ্যা: $\theta$ কোণের বিপরীত বাহু $AB$ এবং অতিভুজ $AC$, তাই সাইন ব্যবহার করা হয়েছে।

উত্তর: গ) $60\degree$

7. 8 সে.মি. ও 6 সে.মি. ব্যাসের দুইটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত?

ক) 4 সে.মি.     খ) 3 সে.মি.     গ) 2 সে.মি.     ঘ) 1 সে.মি.

সমাধান:

বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ $r_1 = \dfrac{8}{2} = 4$ সে.মি. ও $r_2 = \dfrac{6}{2} = 3$ সে.মি.।

অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $= r_1 - r_2 = 4 - 3 = 1$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: বহিঃস্পর্শ হলে দূরত্ব হতো $r_1 + r_2 = 7$ সে.মি.; অন্তঃস্পর্শে ব্যাসার্ধ দুটির বিয়োগফল নিতে হয়।

উত্তর: ঘ) 1 সে.মি.

8. একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য $x$ একক হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক) $a = 2x$     খ) $x = 2a$     গ) $x^2 = 2a^2$     ঘ) $a^2 = 2x^2$

সমাধান:

বর্গের কর্ণ বর্গকে দুটি সমকোণী ত্রিভুজে ভাগ করে; পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী

$x^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

ব্যাখ্যা: কর্ণই সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ।

উত্তর: গ) $x^2 = 2a^2$

9. $a, b, c, d$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে—
i. $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}$ ii. $\dfrac{c}{b} = \dfrac{d}{c}$ iii. $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d}$
নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

ক্রমিক সমানুপাতী হলে সংজ্ঞা অনুযায়ী $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d}$। অতএব (iii) সত্য।

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}$ বিপরীত করলে $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}$। অতএব (i) সত্য।

$\dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d}$ বিপরীত করলে $\dfrac{c}{b} = \dfrac{d}{c}$। অতএব (ii) সত্য।

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

10. $0.000534$ সংখ্যাটির লগের পূর্ণক কত?

ক) $\bar{4}$     খ) $\bar{5}$     গ) $4$     ঘ) $5$

সমাধান:

$0.000534 = 5.34 \times 10^{-4}$।

দশমিক বিন্দুর পরে প্রথম সার্থক অঙ্কের আগে ৩টি শূন্য আছে, তাই পূর্ণক $= -(3 + 1) = -4$, যা $\bar{4}$ লেখা হয়।

ব্যাখ্যা: সংখ্যা ১-এর চেয়ে ছোট হলে পূর্ণক ঋণাত্মক হয় এবং শূন্যের সংখ্যা ১ বাড়িয়ে নিতে হয়।

উত্তর: ক) $\bar{4}$

11. $x^2 - x = 6$ সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?

ক) $\{2, 3\}$     খ) $\{2, -3\}$     গ) $\{-2, 3\}$     ঘ) $\{-2, -3\}$

সমাধান:

$x^2 - x - 6 = 0$

বা $x^2 - 3x + 2x - 6 = 0$

বা $x(x - 3) + 2(x - 3) = 0$

বা $(x - 3)(x + 2) = 0$

$\therefore x = 3$ অথবা $x = -2$

ব্যাখ্যা: দ্বিঘাত সমীকরণকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে মূল নির্ণয় করা হয়েছে।

উত্তর: গ) $\{-2, 3\}$

12. শ্রেণিব্যাপ্তি $11 - 20, 21 - 30, 31 - 40, 41 - 50, 51 - 60$-এর গণসংখ্যা যথাক্রমে $4, 15, 20, 10, 7$। মধ্যক নির্ণয়ের ক্ষেত্রে $F_c$ এর মান কত?

ক) 19     খ) 20     গ) 28     ঘ) 39

সমাধান:

মোট গণসংখ্যা $n = 4 + 15 + 20 + 10 + 7 = 56$, তাই $\dfrac{n}{2} = 28$।

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: $4, 19, 39, 49, 56$।

$19 < 28 \le 39$, তাই মধ্যক শ্রেণি $31 - 40$।

মধ্যক শ্রেণির ঠিক আগের শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যাই $F_c = 19$।

ব্যাখ্যা: $F_c$ হলো মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা।

উত্তর: ক) 19

13. শ্রেণিব্যাপ্তি $11 - 20, 21 - 30, 31 - 40, 41 - 50, 51 - 60$-এর গণসংখ্যা যথাক্রমে $4, 15, 20, 10, 7$। প্রচুরক নির্ণয়ের ক্ষেত্রে $\dfrac{f_1}{f_1 + f_2}$ এর মান কত?

ক) 0.08     খ) 0.16     গ) 0.25     ঘ) 0.33

সমাধান:

সর্বোচ্চ গণসংখ্যা 20, তাই প্রচুরক শ্রেণি $31 - 40$।

$f_1 = 20 - 15 = 5$ এবং $f_2 = 20 - 10 = 10$।

$\dfrac{f_1}{f_1 + f_2} = \dfrac{5}{5 + 10} = \dfrac{1}{3} \approx 0.33$

ব্যাখ্যা: $f_1$ ও $f_2$ হলো প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যার সাথে আগের ও পরের শ্রেণির গণসংখ্যার পার্থক্য।

উত্তর: ঘ) 0.33

14. কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর যে বৃত্তচাপ কেন্দ্রে $60\degree$ কোণ তৈরি করে তার দৈর্ঘ্য কত?

ক) $\dfrac{5\pi}{3}$ সে.মি.     খ) $\dfrac{10\pi}{3}$ সে.মি.     গ) $\dfrac{25\pi}{3}$ সে.মি.     ঘ) $\dfrac{50\pi}{3}$ সে.মি.

সমাধান:

বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $= \dfrac{\theta}{360\degree} \times 2\pi r$

$= \dfrac{60\degree}{360\degree} \times 2\pi \times 10 = \dfrac{1}{6} \times 20\pi = \dfrac{10\pi}{3}$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: পূর্ণ বৃত্তের পরিধি $2\pi r$-এর $\dfrac{60}{360}$ অংশই নির্ণেয় চাপ।

উত্তর: খ) $\dfrac{10\pi}{3}$ সে.মি.

15. চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের দুটি স্পর্শক $PA$ ও $PB$। চিত্রানুসারে— i. $AB$ স্পর্শ জ্যা ii. $\triangle OAB$ সমবাহু ত্রিভুজ iii. $\triangle PAB$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i) $A, B$ স্পর্শবিন্দু, তাই $AB$ স্পর্শ জ্যা — সত্য।

(ii) $OA = OB$ (ব্যাসার্ধ), কিন্তু $OAPB$ চতুর্ভুজে $\angle OAP = \angle OBP = 90\degree$ ও $\angle APB = 45\degree$, তাই $\angle AOB = 360\degree - 90\degree - 90\degree - 45\degree = 135\degree$। কোণ $60\degree$ নয়, তাই সমবাহু নয় — মিথ্যা।

(iii) $PA = PB$ (বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান), তাই $\triangle PAB$ সমদ্বিবাহু — সত্য।

ব্যাখ্যা: কেবল (i) ও (iii) সত্য।

উত্তর: খ) i ও iii

16. একটি সুষম পঞ্চভুজের কৌণিক বিন্দুতে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে?

ক) $108\degree$     খ) $60\degree$     গ) $54\degree$     ঘ) $36\degree$

সমাধান:

পঞ্চভুজের বাহুসংখ্যা $n = 5$।

সুষম $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ $= \dfrac{(2n - 4) \times 90\degree}{n}$

$= \dfrac{(2 \times 5 - 4) \times 90\degree}{5} = \dfrac{6 \times 90\degree}{5} = 108\degree$

ব্যাখ্যা: সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি কোণ সমান এবং অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি $540\degree$; তাই $540\degree \div 5 = 108\degree$।

উত্তর: ক) $108\degree$

17. 18 এর $3\sqrt{2}$ ভিত্তিক লগ কত?

ক) 2     খ) 3     গ) 4     ঘ) 9

সমাধান:

$18 = 9 \times 2 = (3\sqrt{2})^2$ [কারণ $(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$]

$\log_{3\sqrt{2}} 18 = \log_{3\sqrt{2}} (3\sqrt{2})^2 = 2 \log_{3\sqrt{2}} (3\sqrt{2}) = 2 \times 1 = 2$

ব্যাখ্যা: $\log_a a = 1$ সূত্র ব্যবহৃত হয়েছে।

উত্তর: ক) 2

18. $ax + by = a^2; bx - ay = ab$ সহসমীকরণের $(x, y)$ = কত?

ক) $(a^2, b^2)$     খ) $(a, b)$     গ) $(0, a)$     ঘ) $(a, 0)$

সমাধান:

$ax + by = a^2$ ... (i) এবং $bx - ay = ab$ ... (ii)

(i) কে $a$ দ্বারা ও (ii) কে $b$ দ্বারা গুণ করে পাই, $a^2 x + aby = a^3$ এবং $b^2 x - aby = ab^2$।

যোগ করে, $(a^2 + b^2)x = a(a^2 + b^2)$ বা $x = a$।

(i) এ $x = a$ বসিয়ে, $a^2 + by = a^2$ বা $by = 0$ বা $y = 0$।

ব্যাখ্যা: সমাধান $(x, y) = (a, 0)$; (ii)-এ বসিয়ে মিলিয়ে দেখা যায়: $ba - 0 = ab$।

উত্তর: ঘ) $(a, 0)$

19. বার্ষিক 7% হার মুনাফায় 700 টাকার কত বছরের সরল মুনাফা 245 টাকা হবে?

ক) 5 বছর     খ) 4 বছর     গ) 3 বছর     ঘ) 1 বছর

সমাধান:

সরল মুনাফা $I = Pnr$, যেখানে $P = 700$, $r = \dfrac{7}{100}$, $I = 245$।

$245 = 700 \times n \times \dfrac{7}{100}$

বা $245 = 49n$

বা $n = \dfrac{245}{49} = 5$

ব্যাখ্যা: মুনাফার সূত্রে $n$ বের করা হয়েছে।

উত্তর: ক) 5 বছর

20. $-4 + 4 - 4 + \ldots$ ধারাটি সম্পর্কে— i. একটি গুণোত্তর ধারা ii. ধারাটির পঞ্চম পদ $-4$ iii. ধারাটির প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি $-4$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{4}{-4} = -1$ (সব ক্ষেত্রে সমান), তাই এটি গুণোত্তর ধারা। (i) সত্য।

পঞ্চম পদ $= -4 \times (-1)^{5-1} = -4 \times 1 = -4$। (ii) সত্য।

প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি $= -4 + 4 - 4 + 4 - 4 = -4$। (iii) সত্য।

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

21. $a + \dfrac{1}{a} = \sqrt{6}$ হলে $a^2 + \dfrac{1}{a^2}$ এর মান কত?

ক) 2     খ) 4     গ) 8     ঘ) 10

সমাধান:

$a^2 + \dfrac{1}{a^2} = \left(a + \dfrac{1}{a}\right)^2 - 2$

$= (\sqrt{6})^2 - 2 = 6 - 2 = 4$

ব্যাখ্যা: $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ সূত্রে $xy = a \times \dfrac{1}{a} = 1$।

উত্তর: খ) 4

22. $a + \dfrac{1}{a} = \sqrt{6}$ হলে $\left(a - \dfrac{1}{a}\right)^2$ = কত?

ক) 10     খ) 6     গ) 4     ঘ) 2

সমাধান:

$\left(a - \dfrac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \dfrac{1}{a^2} - 2$

পূর্বের প্রশ্ন থেকে $a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 4$; তাই $= 4 - 2 = 2$

ব্যাখ্যা: $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$।

উত্তর: ঘ) 2

23. নিচের কোন দৈর্ঘ্যের বাহুগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

ক) 2 সেমি, 3 সেমি, 6 সেমি     খ) 2 সেমি, 4 সেমি, 5 সেমি     গ) 3 সেমি, 5 সেমি, 8 সেমি     ঘ) 3 সেমি, 4 সেমি, 8 সেমি

সমাধান:

ত্রিভুজ আঁকতে যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড় হতে হবে।

(ক) $2 + 3 = 5 < 6$ — সম্ভব নয়।

(খ) $2 + 4 = 6 > 5$, $2 + 5 = 7 > 4$, $4 + 5 = 9 > 2$ — সম্ভব।

(গ) $3 + 5 = 8$, তৃতীয় বাহুর সমান, বড় নয় — সম্ভব নয়।

(ঘ) $3 + 4 = 7 < 8$ — সম্ভব নয়।

ব্যাখ্যা: শুধু খ-তেই ত্রিভুজের বাহুসংক্রান্ত শর্ত পূরণ হয়।

উত্তর: খ) 2 সেমি, 4 সেমি, 5 সেমি

24. $A = \{2, 3, 4\}$ ও $B = \{3, 4, 5\}$ হলে $A \setminus B$ = কত?

ক) $\{2\}$     খ) $\{5\}$     গ) $\{3, 4\}$     ঘ) $\{2, 3, 4, 5\}$

সমাধান:

$A \setminus B$ হলো $A$-এর সেই উপাদানগুলোর সেট যা $B$-তে নেই।

$A$-এর উপাদান $2, 3, 4$; এর মধ্যে $3, 4$ আছে $B$-তে, কিন্তু $2$ নেই।

$\therefore A \setminus B = \{2\}$

ব্যাখ্যা: বিয়োগ সেট $A - B$-কেই $A \setminus B$ লেখা হয়।

উত্তর: ক) $\{2\}$

25. $0.0\dot{1}\dot{2}$ = কত?

ক) $\dfrac{2}{165}$     খ) $\dfrac{11}{330}$     গ) $\dfrac{4}{33}$     ঘ) $\dfrac{11}{33}$

সমাধান:

$0.0\dot{1}\dot{2}$ একটি মিশ্র পৌনঃপুনিক ভগ্নাংশ; অনাবর্তিত অংশ $0$, আবর্তিত অংশ $12$।

$0.0\dot{1}\dot{2} = \dfrac{012 - 0}{990} = \dfrac{12}{990} = \dfrac{2}{165}$

ব্যাখ্যা: মিশ্র পৌনঃপুনিকে হর: যতটি অঙ্ক আবর্তিত ততটি ৯ ও যতটি অঙ্ক অনাবর্তিত ততটি ০ — এখানে $990$।

উত্তর: ক) $\dfrac{2}{165}$

26. $\tan(60\degree - \theta) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ হলে $\theta$ = কত?

ক) $45\degree$     খ) $30\degree$     গ) $15\degree$     ঘ) $0\degree$

সমাধান:

$\tan(60\degree - \theta) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30\degree$

বা $60\degree - \theta = 30\degree$

বা $\theta = 60\degree - 30\degree = 30\degree$

ব্যাখ্যা: $\tan 30\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$।

উত্তর: খ) $30\degree$

27. একটি বেলনের ভূমির ব্যাস 12 সেমি ও উচ্চতা 8 সেমি। বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক) 37.70 বর্গ সেমি     খ) 113.09 বর্গ সেমি     গ) 301.59 বর্গ সেমি     ঘ) 904.78 বর্গ সেমি

সমাধান:

ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{12}{2} = 6$ সেমি এবং উচ্চতা $h = 8$ সেমি।

বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $= 2\pi rh = 2 \times 3.1416 \times 6 \times 8 = 96 \times 3.1416 = 301.59$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $2\pi rh$।

উত্তর: গ) 301.59 বর্গ সেমি

28. একটি বেলনের ভূমির ব্যাস 12 সেমি ও উচ্চতা 8 সেমি। বেলনটির আয়তন কত?

ক) 113.09 ঘন সেমি     খ) 150.80 ঘন সেমি     গ) 452.38 ঘন সেমি     ঘ) 904.78 ঘন সেমি

সমাধান:

আয়তন $= \pi r^2 h = 3.1416 \times 6^2 \times 8 = 3.1416 \times 288 = 904.78$ ঘন সেমি।

ব্যাখ্যা: আয়তন $\pi r^2 h$, যেখানে $r = 6$, $h = 8$।

উত্তর: ঘ) 904.78 ঘন সেমি

29. $\log_x 4 = -2$ হলে, $x$ = কত?

ক) 2     খ) $\dfrac{1}{2}$     গ) $-\dfrac{1}{2}$     ঘ) $-2$

সমাধান:

$\log_x 4 = -2$ থেকে $x^{-2} = 4$

বা $\dfrac{1}{x^2} = 4$

বা $x^2 = \dfrac{1}{4}$

বা $x = \dfrac{1}{2}$ (ভিত্তি ধনাত্মক হতে হয়, তাই $-\dfrac{1}{2}$ গ্রহণযোগ্য নয়)

ব্যাখ্যা: লগের সংজ্ঞা: $\log_a b = c$ হলে $a^c = b$।

উত্তর: খ) $\dfrac{1}{2}$

30. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 2 ও সাধারণ অনুপাত $\dfrac{1}{2}$ হলে, ৩য় পদ কত?

ক) 4     খ) 2     গ) $\dfrac{1}{2}$     ঘ) $\dfrac{1}{4}$

সমাধান:

$n$-তম পদ $= ar^{n-1}$; ৩য় পদ $= 2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$

ব্যাখ্যা: পদগুলো: $2, 1, \dfrac{1}{2}, \dots$।

উত্তর: গ) $\dfrac{1}{2}$

সৃজনশীল প্রশ্ন – সমাধান ও ব্যাখ্যা

বোর্ড পরীক্ষায় ক-বিভাগ (বীজগণিত) থেকে ২টি, খ-বিভাগ (জ্যামিতি) থেকে ২টি, গ-বিভাগ (ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি) থেকে ২টি এবং ঘ-বিভাগ (পরিসংখ্যান) থেকে ১টি, মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। এখানে সবগুলোর সমাধান দেওয়া হলো।

প্রশ্ন ১

$f(x) = \dfrac{5x - 7}{2x - 3}$ এবং $A = m^3 + \dfrac{1}{m^3}$।

ক) $f(-2)$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $f(x) = \dfrac{5x - 7}{2x - 3}$

$f(-2) = \dfrac{5(-2) - 7}{2(-2) - 3} = \dfrac{-10 - 7}{-4 - 3} = \dfrac{-17}{-7} = \dfrac{17}{7}$

উত্তর: $f(-2) = \dfrac{17}{7}$

খ) $\dfrac{f(x) + 2}{f(x) - 1} = 2$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\dfrac{f(x) + 2}{f(x) - 1} = 2$

বা $f(x) + 2 = 2f(x) - 2$ [আড়গুণন করে]

বা $f(x) = 4$

অর্থাৎ $\dfrac{5x - 7}{2x - 3} = 4$

বা $5x - 7 = 8x - 12$

বা $3x = 5$

$\therefore x = \dfrac{5}{3}$

ব্যাখ্যা: বইয়ে যোজন-বিয়োজন প্রক্রিয়ায় একই ফল $x = \dfrac{5}{3}$ পাওয়া গেছে।

উত্তর: নির্ণেয় $x = \dfrac{5}{3}$

গ) $A = 52$ হলে, দেখাও যে, $m = 2 + \sqrt{3}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $A = m^3 + \dfrac{1}{m^3}$ এবং $A = 52$; তাই $m^3 + \dfrac{1}{m^3} = 52$

বা $m^6 + 1 = 52m^3$ [$m^3$ দ্বারা গুণ করে]

বা $m^6 - 52m^3 + 1 = 0$

বা $(m^3)^2 - 2 \cdot m^3 \cdot 26 + (26)^2 + 1 - (26)^2 = 0$

বা $(m^3 - 26)^2 = 676 - 1 = 675 = 225 \times 3 = (15\sqrt{3})^2$

বা $m^3 - 26 = 15\sqrt{3}$

বা $m^3 = 26 + 15\sqrt{3} = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3}$

বা $m^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = (2 + \sqrt{3})^3$

$\therefore m = 2 + \sqrt{3}$ (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: $m^3 - 26 = -15\sqrt{3}$ ধরলে $m = 2 - \sqrt{3}$ পাওয়া যায়, যা $2 + \sqrt{3}$-এর অন্যোন্যক। প্রশ্নে $m = 2 + \sqrt{3}$ দেখাতে বলায় ধনাত্মক মূল নেওয়া হয়েছে।

উত্তর: $m = 2 + \sqrt{3}$

প্রশ্ন ২

$P = \dfrac{13^{m+1}}{(13^m)^{m-1}} \div \dfrac{169^{m+1}}{(13^{m-1})^{m+1}}$ এবং $Q = \log_3(x^2 - 5x + 3)$।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

ক) $0.0235$ এর সাধারণ লগের পূর্ণক নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

$0.0235 = 2.35 \times 10^{-2}$

দশমিক বিন্দুর পরে প্রথম সার্থক অঙ্কের আগে ১টি শূন্য আছে, তাই পূর্ণক $= -(1 + 1) = -2$, অর্থাৎ $\bar{2}$।

উত্তর: নির্ণেয় পূর্ণক $\bar{2}$

খ) দেখাও যে, $P = 13^{-2}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

প্রথম ভগ্নাংশ: $\dfrac{13^{m+1}}{(13^m)^{m-1}} = \dfrac{13^{m+1}}{13^{m(m-1)}} = 13^{(m+1) - (m^2 - m)} = 13^{-m^2 + 2m + 1}$

দ্বিতীয় ভগ্নাংশ: $\dfrac{169^{m+1}}{(13^{m-1})^{m+1}} = \dfrac{(13^2)^{m+1}}{13^{(m-1)(m+1)}} = \dfrac{13^{2m+2}}{13^{m^2 - 1}} = 13^{(2m + 2) - (m^2 - 1)} = 13^{-m^2 + 2m + 3}$

$P = 13^{-m^2 + 2m + 1} \div 13^{-m^2 + 2m + 3}$

$= 13^{(-m^2 + 2m + 1) - (-m^2 + 2m + 3)}$

$= 13^{-2}$ (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: সূচকের নিয়ম: $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^m \div a^n = a^{m-n}$।

উত্তর: $P = 13^{-2}$

গ) $Q = 2$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $Q = \log_3(x^2 - 5x + 3) = 2$

লগের সংজ্ঞা থেকে $x^2 - 5x + 3 = 3^2 = 9$

বা $x^2 - 5x - 6 = 0$

বা $x^2 - 6x + x - 6 = 0$

বা $x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$

বা $(x - 6)(x + 1) = 0$

$\therefore x = 6$ অথবা $x = -1$

যাচাই: $x = 6$ হলে $36 - 30 + 3 = 9 > 0$ এবং $x = -1$ হলে $1 + 5 + 3 = 9 > 0$; দুটিই গ্রহণযোগ্য।

উত্তর: $x = 6, -1$

প্রশ্ন ৩

(i) $25 + 23 + 21 + \ldots - 9$ একটি সমান্তর ধারা। (ii) $4 + x + y + 256 + \ldots$ একটি গুণোত্তর ধারা।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

ক) $5 + p + 17 + \ldots$ সমান্তর ধারার $p$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সমান্তর ধারায় $p$ হলো $5$ ও $17$-এর মাঝের পদ, তাই $p = \dfrac{5 + 17}{2} = \dfrac{22}{2} = 11$।

ব্যাখ্যা: সমান্তর ধারায় প্রতিটি পদ তার আগের ও পরের পদের গড়ের সমান; সাধারণ অন্তর $d = 11 - 5 = 6$, পরের পদ $11 + 6 = 17$ মিলে যায়।

উত্তর: $p = 11$

খ) সমান্তর ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ $a = 25$, সাধারণ অন্তর $d = 23 - 25 = -2$ এবং শেষ পদ $l = -9$।

$n$-তম পদ $= a + (n - 1)d$ থেকে $-9 = 25 + (n - 1)(-2)$

বা $-34 = -2(n - 1)$ বা $n - 1 = 17$ বা $n = 18$

সমষ্টি $S_{18} = \dfrac{n}{2}(a + l) = \dfrac{18}{2}(25 - 9) = 9 \times 16 = 144$

উত্তর: সমষ্টি $144$

গ) গুণোত্তর ধারাটির ৮ম পদ নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ $a = 4$, ৪র্থ পদ $ar^3 = 256$।

$4 \cdot r^3 = 256$ বা $r^3 = 64 = 4^3$ বা $r = 4$।

(এখানে $x = 4 \times 4 = 16$, $y = 16 \times 4 = 64$, $64 \times 4 = 256$ মিলে যায়।)

৮ম পদ $= ar^{8-1} = 4 \times 4^7 = 4^8 = 65536$

উত্তর: ৮ম পদ $65536$

প্রশ্ন ৪

$S = 10$ সে.মি., $P = 7$ সে.মি., $\angle x = 55\degree$ এবং $\angle y = 65\degree$।

ক) একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণ যথাক্রমে $4x\degree$ এবং $2x\degree$ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুই কোণের সমষ্টি $90\degree$।

$4x\degree + 2x\degree = 90\degree$

বা $6x = 90$

বা $x = \dfrac{90}{6} = 15$

ক্ষুদ্রতম কোণ $= 2x\degree = 2 \times 15\degree = 30\degree$

উত্তর: ক্ষুদ্রতম কোণ $30\degree$

খ) এমন একটি ত্রিভুজ আঁক যার পরিসীমা $S$ এবং ভূমি সংলগ্ন দুটি কোণ $\angle x$ এবং $\angle y$। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুটি কোণ $\angle x = 55\degree$, $\angle y = 65\degree$ এবং পরিসীমা $S = 10$ সে.মি.। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

১. যেকোনো রশ্মি $DF$ থেকে পরিসীমা $S$-এর সমান করে $DE = 10$ সে.মি. কেটে নিই।

২. $D$ বিন্দুতে $\angle EDG = \dfrac{1}{2}\angle x = 27.5\degree$ এবং $E$ বিন্দুতে $\angle DEH = \dfrac{1}{2}\angle y = 32.5\degree$ আঁকি। $DG$ ও $EH$ রেখা দুটি পরস্পরকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. $A$ বিন্দুতে $\angle DAB = \angle EDA$ এবং $\angle EAC = \angle DEA$ আঁকি; কোণ দুটির বাহু $DE$-কে যথাক্রমে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. $A, B$ এবং $A, C$ যোগ করি। তাহলে $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

যুক্তি: $\angle DAB = \angle EDA$ বলে $BD = BA$ এবং $\angle EAC = \angle DEA$ বলে $CE = CA$। তাই $AB + BC + CA = DB + BC + CE = DE = 10$ সে.মি.। আবার $\triangle ABD$-এর বহিঃস্থ $\angle ABC = \angle BDA + \angle BAD = 2 \times 27.5\degree = 55\degree = \angle x$; একইভাবে $\angle ACB = 65\degree = \angle y$।

উত্তর: $\triangle ABC$ উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।

গ) কোনো সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় $\dfrac{S}{2}$ ও $P$ এবং কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $(\angle x - 5\degree)$। সামান্তরিকটি আঁক। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, সামান্তরিকের দুই কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $\dfrac{S}{2} = 5$ সে.মি. ও $P = 7$ সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle x - 5\degree = 55\degree - 5\degree = 50\degree$। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

১. যেকোনো রশ্মি $AM$ থেকে $AC = \dfrac{S}{2} = 5$ সে.মি. কেটে নিই। $AC$-এর মধ্যবিন্দু $O$ নির্ণয় করি।

২. $O$ বিন্দুতে $\angle AOR = 50\degree$ আঁকি এবং $RO$-কে বিপরীত দিকে $T$ পর্যন্ত বর্ধিত করি।

৩. $P$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করি, অর্থাৎ $\dfrac{1}{2}P = 3.5$ সে.মি. নিই এবং $OR$ ও $OT$ থেকে $OB = OD = 3.5$ সে.মি. কেটে নিই।

৪. $A, B; B, C; C, D; D, A$ যোগ করি। তাহলে $ABCD$-ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।

যুক্তি: $AC$ ও $BD$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে ($OA = OC$, $OB = OD$); যে চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে তা সামান্তরিক।

উত্তর: $ABCD$ উদ্দিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কিত হলো।

প্রশ্ন ৫

$\triangle PQR$-এ $\angle Q = 1$ সমকোণ এবং $T, PR$-এর মধ্যবিন্দু।

ক) $PR = 17$ সে.মি., $QR = 9$ সে.মি. হলে, $PQ$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

$\triangle PQR$ সমকোণী; সমকোণ $Q$ বিন্দুতে। পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী $PR^2 = PQ^2 + QR^2$।

বা $PQ^2 = PR^2 - QR^2 = 17^2 - 9^2 = 289 - 81 = 208$

$\therefore PQ = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \approx 14.42$ সে.মি.

উত্তর: $PQ = 4\sqrt{13}$ সে.মি. $(\approx 14.42$ সে.মি.$)$

খ) $\angle R = 2\angle P$ হলে, প্রমাণ কর যে, $PR = 2QR$। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশটি এসএসসি-২০২৬ এর সিলেবাস বহির্ভূত হওয়ায় বইয়ে সমাধান ছাপা নেই; এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\triangle PQR$-এ $\angle Q = 90\degree$ এবং $\angle R = 2\angle P$।

$\angle P + \angle R = 90\degree$ (সমকোণী ত্রিভুজে সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি)

বা $\angle P + 2\angle P = 90\degree$ বা $3\angle P = 90\degree$ বা $\angle P = 30\degree$

$\triangle PQR$-এ $\sin \angle P = \dfrac{QR}{PR}$ অর্থাৎ $\sin 30\degree = \dfrac{QR}{PR}$

বা $\dfrac{1}{2} = \dfrac{QR}{PR}$

বা $PR = 2QR$ (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: $\angle P = 30\degree$ হলে তার বিপরীত বাহু $QR$ অতিভুজ $PR$-এর অর্ধেক হয়।

উত্তর: $PR = 2QR$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $\triangle QRT$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এর $\angle Q = 1$ সমকোণ এবং $T, PR$-এর মধ্যবিন্দু। $Q$ ও $T$ যোগ করা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, $\triangle QRT$ সমদ্বিবাহু।

অঙ্কন: সমকোণী ত্রিভুজ $PQR$-এর একটি পরিবৃত্ত $PQRS$ আঁকি।

প্রমাণ: $PQRS$ বৃত্তটি $PQR$ সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্ত। অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ বলে অতিভুজ $PR$ ঐ বৃত্তের ব্যাস।

তাই বৃত্তের কেন্দ্র $PR$-এর মধ্যবিন্দু $T$।

$\therefore PT = RT = TQ$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

এখন $\triangle QRT$-এ $RT = TQ$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

$\therefore \triangle QRT$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)

উত্তর: $\triangle QRT$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৬

চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AC = BD$। জ্যা $AC$ ও $BD$ পরস্পরকে $M$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক) $11$ সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

বৃত্তের ব্যাস $11$ সে.মি.; তাই ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{11}{2} = 5.5$ সে.মি.।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.1416 \times (5.5)^2 = 3.1416 \times 30.25 = 95.0334$ বর্গ সে.মি.

উত্তর: ক্ষেত্রফল $\approx 95.03$ বর্গ সে.মি.

খ) দেখাও যে, $AM = BM$ এবং $CM = DM$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $AC$ ও $BD$ সমান জ্যা পরস্পরকে $M$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাতে হবে $AM = BM$ এবং $CM = DM$।

অঙ্কন: $O$ থেকে $AC$-এর উপর $OP$ এবং $BD$-এর উপর $OQ$ লম্ব টানি। $O, M$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ-১. $AC$ জ্যা-এর উপর কেন্দ্র থেকে লম্ব $OP$; তাই $AP = CP = \dfrac{1}{2}AC$ [কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে]।

ধাপ-২. একইভাবে $BQ = DQ = \dfrac{1}{2}BD$।

ধাপ-৩. $AC = BD$ বলে $\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD$, অর্থাৎ $AP = BQ$ ........ (i)

ধাপ-৪. $\triangle MOP$ ও $\triangle MOQ$-এ $OP = OQ$ [সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী], $OM = OM$ [সাধারণ বাহু] এবং $\angle OPM = \angle OQM = 90\degree$।

$\therefore \triangle MOP \cong \triangle MOQ$ [অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]

$\therefore PM = QM$ ........ (ii)

ধাপ-৫. (i) ও (ii) যোগ করে $AP + PM = BQ + QM$ বা $AM = BM$।

ধাপ-৬. $AC = BD$ থেকে $AC - AM = BD - BM$, অর্থাৎ $CM = DM$।

$\therefore AM = BM$ এবং $CM = DM$ (দেখানো হলো)

উত্তর: $AM = BM$ এবং $CM = DM$ (দেখানো হলো)

গ) প্রমাণ কর যে, $\angle AOB + \angle DOC = 2\angle AMB$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তে সমান জ্যা $AC$ ও $BD$ পরস্পরকে $M$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $A, O; B, O; C, O; D, O$ যোগ করা হলো। প্রমাণ করতে হবে $\angle AOB + \angle DOC = 2\angle AMB$।

প্রমাণ:

ধাপ-১. $\triangle AMD$-এ বহিঃস্থ $\angle AMB = \angle ADM + \angle MAD = \angle ADB + \angle CAD$ [ত্রিভুজের বহিঃকোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]।

ধাপ-২. $AB$ চাপের উপর অবস্থিত $\angle ADB$ বৃত্তস্থ কোণ এবং $\angle AOB$ কেন্দ্রস্থ কোণ; তাই $\angle AOB = 2\angle ADB$।

ধাপ-৩. $CD$ চাপের উপর অবস্থিত $\angle CAD$ বৃত্তস্থ কোণ এবং $\angle DOC$ কেন্দ্রস্থ কোণ; তাই $\angle DOC = 2\angle CAD$।

ধাপ-৪. $\angle AOB + \angle DOC = 2\angle ADB + 2\angle CAD = 2(\angle ADB + \angle CAD) = 2\angle AMB$ [ধাপ-১ থেকে]

$\therefore \angle AOB + \angle DOC = 2\angle AMB$ (প্রমাণিত)

উত্তর: $\angle AOB + \angle DOC = 2\angle AMB$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৭

চিত্রে $\triangle PQR$-এর $\angle Q = 90\degree$, $PQ = 2\sqrt{3}$, $QR = 2$, $\angle QPR = \alpha - \beta$ এবং $\angle QRP = \alpha + \beta$। আরও দেওয়া আছে $T = \sin 3\theta + \cos 3\theta$।

ক) $\tan \theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ হলে $\cos \theta$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\tan \theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30\degree$

$\therefore \theta = 30\degree$

$\cos \theta = \cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

উত্তর: $\cos \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

খ) $\alpha$ ও $\beta$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

চিত্রে $\triangle PQR$ সমকোণী, $\tan \angle PRQ = \dfrac{PQ}{QR}$

বা $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} = \tan 60\degree$

$\therefore \alpha + \beta = 60\degree$ ........ (i)

আবার $\tan \angle RPQ = \dfrac{QR}{PQ}$

বা $\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{2}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30\degree$

$\therefore \alpha - \beta = 30\degree$ ........ (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে $2\alpha = 90\degree$, তাই $\alpha = 45\degree$।

(i) এ $\alpha = 45\degree$ বসিয়ে $45\degree + \beta = 60\degree$, তাই $\beta = 15\degree$।

উত্তর: $\alpha = 45\degree$ এবং $\beta = 15\degree$

গ) $T = 1$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর। যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $T = \sin 3\theta + \cos 3\theta = 1$

উভয় পক্ষকে বর্গ করে, $(\sin 3\theta + \cos 3\theta)^2 = 1$

বা $\sin^2 3\theta + 2 \sin 3\theta \cos 3\theta + \cos^2 3\theta = 1$

বা $2 \sin 3\theta \cos 3\theta + 1 = 1$ [$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$]

বা $\sin 3\theta \cos 3\theta = 0$

তাহলে $\sin 3\theta = 0$ অথবা $\cos 3\theta = 0$।

$\cos 3\theta = 0 = \cos 90\degree$ হলে $3\theta = 90\degree$, অর্থাৎ $\theta = 30\degree$।

$\sin 3\theta = 0 = \sin 0\degree$ হলে $\theta = 0\degree$; কিন্তু $\theta$ সূক্ষ্মকোণ (শূন্য নয়), তাই গ্রহণযোগ্য নয়।

যাচাই: $\theta = 30\degree$ হলে $\sin 90\degree + \cos 90\degree = 1 + 0 = 1$ ✓

উত্তর: $\theta = 30\degree$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরে $\theta = 0\degree, 30\degree$ দুটি মান লেখা আছে। প্রশ্নে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ বলা থাকায় $\theta = 0\degree$ গ্রহণযোগ্য নয়, তাই আমরা শুধু $\theta = 30\degree$ লিখেছি।

প্রশ্ন ৮

একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় $40$ ও $30$ সে.মি. এবং ক্ষুদ্রতর কর্ণ $d_1 = 36$ সে.মি.।

ক) একটি সুষম ষড়ভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য $5$ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সুষম ষড়ভুজের বাহু $a = 5$ সে.মি. এবং বাহুসংখ্যা $n = 6$।

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{na^2}{4} \cot \dfrac{180\degree}{n} = \dfrac{6 \times 5^2}{4} \cot 30\degree = 37.5 \times \sqrt{3} = 64.95$ বর্গ সে.মি.

উত্তর: ক্ষেত্রফল $\approx 64.95$ বর্গ সে.মি.

খ) সামান্তরিকটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধরি, সামান্তরিক $ABCD$-এর $AB = DC = 40$ সে.মি., $AD = BC = 30$ সে.মি. এবং কর্ণ $BD = 36$ সে.মি.। অপর কর্ণ $AC$।

সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি বাহুগুলোর বর্গের সমষ্টির সমান: $AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(40^2 + 30^2)$

বা $AC^2 + 36^2 = 2(1600 + 900) = 5000$

বা $AC^2 = 5000 - 1296 = 3704$

$\therefore AC = \sqrt{3704} = 60.86$ সে.মি. (প্রায়)

ব্যাখ্যা: বইয়ে $\triangle ABD$-এর ক্ষেত্রফল (হেরনের সূত্রে $519.04$ বর্গ সে.মি.) থেকে উচ্চতা $25.952$ ও $BF = 15.05$ বের করে একই ফল $AC = 60.861$ পাওয়া গেছে; সেখানে এককটি ভুলক্রমে "মিটার" ছাপা হয়েছে, সঠিক একক সে.মি.।

উত্তর: অপর কর্ণ $60.86$ সে.মি. (প্রায়)

গ) একটি রম্বসের পরিসীমা উদ্দীপকের সামান্তরিকটির পরিসীমার সমান এবং ক্ষুদ্রতর কর্ণ $d_1$ হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

সামান্তরিকের পরিসীমা $= 2(40 + 30) = 140$ সে.মি.। রম্বসের পরিসীমা তার সমান; তাই রম্বসের প্রতি বাহু $= \dfrac{140}{4} = 35$ সে.মি.।

রম্বসের ক্ষুদ্রতর কর্ণ $d_1 = BD = 36$ সে.মি.; কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $OB = 18$ সে.মি.।

সমকোণী $\triangle ABO$-এ $AO^2 = AB^2 - OB^2 = 35^2 - 18^2 = 1225 - 324 = 901$

বা $AO = \sqrt{901} = 30.017$ সে.মি.

অপর কর্ণ $d_2 = AC = 2 \times 30.017 = 60.033$ সে.মি.

রম্বসের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \dfrac{1}{2} \times 36 \times 60.033 = 1080.6$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

ব্যাখ্যা: বইয়ে মধ্যবর্তী ধাপের রাউন্ডিংয়ের কারণে $1080.57$ বর্গ সে.মি. লেখা আছে; পার্থক্য কেবল দশমিকের শেষ ঘরে।

উত্তর: ক্ষেত্রফল $\approx 1080.6$ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন ৯

চিত্র-১: $6$ মি. ও $8$ মি. বাহুবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র একটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত (গাঢ় অংশ বৃত্তের ভেতরে আয়তক্ষেত্রের বাইরের অংশ)। চিত্র-২: একটি সিলিন্ডারের আয়তন $2262$ ঘন সে.মি. এবং উচ্চতা $20$ সে.মি.।

ক) সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য $7$ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের বাহু $a = 7$ সে.মি.।

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 7^2 = \dfrac{1.7321 \times 49}{4} = 21.218$ বর্গ সে.মি.

উত্তর: ক্ষেত্রফল $\approx 21.218$ বর্গ সে.মি.

খ) চিত্র-১ এ গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

আয়তক্ষেত্রটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত; তাই তার কর্ণ বৃত্তের ব্যাস। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $8$ মি. ও প্রস্থ $6$ মি.।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 8 \times 6 = 48$ বর্গ মিটার।

কর্ণ $BD = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ মিটার; এটিই বৃত্তের ব্যাস।

ব্যাসার্ধ $= \dfrac{10}{2} = 5$ মিটার এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi = 78.54$ বর্গমিটার।

গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল $= 78.54 - 48 = 30.54$ বর্গমিটার।

উত্তর: গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল $30.54$ বর্গমিটার

গ) চিত্র-২ এ সিলিন্ডারটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

সিলিন্ডারের আয়তন $2262$ ঘন সে.মি. এবং উচ্চতা $h = 20$ সে.মি.। ধরি, ভূমির ব্যাসার্ধ $r$ সে.মি.।

আয়তন $= \pi r^2 h$; প্রশ্নমতে $\pi r^2 h = 2262$

বা $r^2 = \dfrac{2262}{\pi h} = \dfrac{2262}{3.1416 \times 20} = 36.0007$

বা $r = \sqrt{36.0007} \approx 6$ সে.মি.

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r(r + h) = 2 \times 3.1416 \times 6 \times (6 + 20) = 980.18$ বর্গ সে.মি.

উত্তর: সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $\approx 980.18$ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন ১০

৫০ জন শ্রমিকের বয়সের গণসংখ্যা নিম্নরূপ:

শ্রেণিব্যাপ্তি	21–30	31–40	41–50	51–60	61–70
গণসংখ্যা	6	12	20	10	2

ক) কোনো শ্রেণির উচ্চসীমা $65$ এবং মধ্যমান $62.5$ হলে, ঐ শ্রেণির নিম্নসীমা নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

শ্রেণির মধ্যমান = (উচ্চসীমা + নিম্নসীমা) ÷ ২। ধরি, নিম্নসীমা $L$।

$62.5 = \dfrac{65 + L}{2}$

বা $65 + L = 125$

বা $L = 125 - 65 = 60$

উত্তর: নিম্নসীমা $60$

খ) প্রদত্ত সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
21–30	6	6
31–40	12	18
41–50	20	38
51–60	10	48
61–70	2	50

সমাধান:

এখানে মোট গণসংখ্যা $n = 50$, তাই $\dfrac{n}{2} = 25$।

২৫তম পদ $41 - 50$ শ্রেণিতে পড়ে (কারণ $18 < 25 \le 38$); তাই মধ্যক শ্রেণি $41 - 50$।

এখানে $L = 41$, $F_c = 18$, $f_m = 20$, $h = 10$।

মধ্যক $= L + \left(\dfrac{n}{2} - F_c\right) \times \dfrac{h}{f_m}$

$= 41 + (25 - 18) \times \dfrac{10}{20}$

$= 41 + 7 \times 0.5 = 41 + 3.5 = 44.5$

ব্যাখ্যা: বইয়ের নিয়মে $L$ হিসেবে মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমা $41$ নেওয়া হয়েছে। প্রকৃত শ্রেণিসীমা $40.5$ নিলে ফল $44.0$ হতো; এখানে বইয়ের পদ্ধতি অনুসরণ করা হয়েছে।

উত্তর: মধ্যক $44.5$

গ) প্রদত্ত উপাত্তের বহুভুজ আঁক। (৪ নম্বর)

শ্রেণিব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যবিন্দু	গণসংখ্যা
21–30	25.5	6
31–40	35.5	12
41–50	45.5	20
51–60	55.5	10
61–70	65.5	2

সমাধান:

প্রথম শ্রেণির পূর্বের কল্পিত শ্রেণির মধ্যমান $15.5$ এবং শেষ শ্রেণির পরের কল্পিত শ্রেণির মধ্যমান $75.5$; এ দুটির গণসংখ্যা $0$ ধরা হয়।

ছক কাগজে $x$-অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরকে $2$ একক ধরে শ্রেণি মধ্যবিন্দু এবং $y$-অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরকে $1$ একক ধরে গণসংখ্যা নেওয়া হয়েছে।

বিন্দুগুলো $(15.5, 0), (25.5, 6), (35.5, 12), (45.5, 20), (55.5, 10), (65.5, 2), (75.5, 0)$ স্থাপন করে পর্যায়ক্রমে সরলরেখা দিয়ে যোগ করলে গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়।

উত্তর: গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কিত হলো (চিত্র দ্রষ্টব্য)

প্রশ্ন ১১

দশম শ্রেণির ৩০ জন শিক্ষার্থীর গণিত বিষয়ের নম্বরগুলো নিচে দেওয়া হলো: $75, 65, 80, 55, 60, 80, 50, 75, 64, 70, 80, 75, 55, 80, 70, 75, 67, 80, 90, 72, 93, 85, 69, 74, 80, 78, 64, 80, 85, 99$।

ক) $7, 8, 13, 11, 15, 9$ সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সংখ্যাগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই, $7, 8, 9, 11, 13, 15$।

পদসংখ্যা $6$ (জোড় সংখ্যা), তাই মধ্যক হলো মাঝের দুটি পদ, অর্থাৎ ৩য় ও ৪র্থ পদের গড়।

মধ্যক $= \dfrac{9 + 11}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$

উত্তর: মধ্যক $10$

খ) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

উপাত্তের সর্বোচ্চ মান $99$ এবং সর্বনিম্ন মান $50$।

পরিসর $= (99 - 50) + 1 = 50$

শ্রেণিব্যাপ্তি $5$ ধরে শ্রেণিসংখ্যা $= \dfrac{50}{5} = 10$ টি।

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি নিচে দেওয়া হলো (কল্পিত গড় $a = 77$, শ্রেণিব্যাপ্তি $h = 5$, $u_i = \dfrac{x_i - a}{h}$):

শ্রেণিব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যমান $x_i$	গণসংখ্যা $f_i$	বিচ্যুতি $u_i = \dfrac{x_i - a}{h}$	$f_i u_i$
50–54	52	1	-5	-5
55–59	57	2	-4	-8
60–64	62	3	-3	-9
65–69	67	3	-2	-6
70–74	72	4	-1	-4
75–79	77 ← $a$	5	0	0
80–84	82	7	1	7
85–89	87	2	2	4
90–94	92	2	3	6
95–99	97	1	4	4
মোট		$n = 30$		$\sum f_i u_i = -11$

গাণিতিক গড় $\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_i u_i}{n} \times h$

$= 77 + \dfrac{-11}{30} \times 5 = 77 - 1.83 = 75.17$

উত্তর: গড় $\approx 75.17$

গ) উপাত্তের অজিভ রেখা আঁক। (৪ নম্বর)

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
50–54	1	1
55–59	2	3
60–64	3	6
65–69	3	9
70–74	4	13
75–79	5	18
80–84	7	25
85–89	2	27
90–94	2	29
95–99	1	30

সমাধান:

ছক কাগজে $x$-অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরকে শ্রেণির উচ্চসীমার ১ একক এবং $y$-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যার ১ একক ধরে বিন্দু স্থাপন করা হয়েছে।

বিন্দুগুলো $(49, 0), (54, 1), (59, 3), (64, 6), (69, 9), (74, 13), (79, 18), (84, 25), (89, 27), (94, 29), (99, 30)$। মূলবিন্দু থেকে $49$ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো আছে বোঝাতে $x$-অক্ষে ভাঙা চিহ্ন (ছেদ চিহ্ন) ব্যবহার করা হয়েছে।

বিন্দুগুলো মসৃণভাবে যোগ করলে অজিভ রেখা পাওয়া যায়।

উত্তর: অজিভ রেখা অঙ্কিত হলো (চিত্র দ্রষ্টব্য)