SSC Math Rajshahi Board 2025 Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়।

সামান্তরিকের বিপরীত কোণ সমান। দুটি সমান কোণ সম্পূরক হলে প্রতিটি $= 90\degree$।

সুতরাং সামান্তরিকের সব কোণ সমকোণ, অর্থাৎ এটি আয়ত।

ব্যাখ্যা: বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক সবসময় আয়ত হয় (বর্গ তার বিশেষ রূপ, কিন্তু সবসময় বর্গ নয়)।

উত্তর: খ) আয়ত

2. কোনো ত্রিভুজের কয়টি বহির্বৃত্ত অঙ্কন করা যায়?

ক) ১টি     খ) ২টি     গ) ৩টি     ঘ) ৪টি

সমাধান:

ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে বহির্ভাগে স্পর্শ করে এবং অপর দুই বাহুর বর্ধিতাংশকে স্পর্শ করে এমন একটি বৃত্ত আঁকা যায়।

ত্রিভুজের বাহু ৩টি, তাই বহির্বৃত্ত ৩টি।

ব্যাখ্যা: প্রতিটি বাহুর বিপরীতে একটি করে বহির্বৃত্ত থাকে।

উত্তর: গ) ৩টি

নিচের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: শ্রেণিব্যাপ্তি 21–30, 31–40, 41–50, 51–60 এর গণসংখ্যা যথাক্রমে 6, 16, 20, 14।

3. মধ্যক নির্ণয়ের জন্য $F_c$ এর মান নিচের কোনটি?

ক) 16     খ) 20     গ) 22     ঘ) 42

সমাধান:

মোট গণসংখ্যা $n = 6 + 16 + 20 + 14 = 56$, তাই $\dfrac{n}{2} = 28$।

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: 6, 22, 42, 56। 28তম পদ 41–50 শ্রেণিতে পড়ে (কারণ 22 < 28 ≤ 42), তাই এটি মধ্যক শ্রেণি।

$F_c$ হলো মধ্যক শ্রেণির আগের শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $= 6 + 16 = 22$।

ব্যাখ্যা: $F_c$ মধ্যক শ্রেণির ঠিক আগের শ্রেণি পর্যন্ত ক্রমযোজিত গণসংখ্যা।

উত্তর: গ) 22

4. প্রদত্ত উপাত্তের প্রচুরক কত?

ক) 47     খ) 45     গ) 37     ঘ) 35

সমাধান:

সর্বোচ্চ গণসংখ্যা 20, তাই প্রচুরক শ্রেণি 41–50। এখানে $L = 41$, $f_1 = 20$, $f_0 = 16$, $f_2 = 14$, $h = 10$।

প্রচুরক $= L + \dfrac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h$

$= 41 + \dfrac{20 - 16}{40 - 16 - 14} \times 10 = 41 + \dfrac{4}{10} \times 10 = 45$

ব্যাখ্যা: প্রচুরক শ্রেণি বের করে সূত্র $L + \dfrac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2} h$ প্রয়োগ করা হয়েছে।

উত্তর: খ) 45

5. বর্গক্ষেত্রের প্রতিসাম্য রেখা কয়টি?

ক) 2     খ) 4     গ) 6     ঘ) 8

সমাধান:

বর্গের দুটি কর্ণ এবং বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগকারী দুটি রেখা, মোট ৪টি রেখা বরাবর ভাঁজ করলে অংশ দুটি মিলে যায়।

ব্যাখ্যা: বর্গের প্রতিসাম্য রেখা ৪টি (রম্বসের ২টি, আয়তের ২টি)।

উত্তর: খ) 4

6. কোনো ধারার ১ম পদ 8, সাধারণ অন্তর 2 হলে— i. ধারাটি $8 + 10 + 12 + ...$ ii. ধারাটির দশম পদ $= 26$ iii. ধারাটির ১ম 15টি পদের সমষ্টি $= 300$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

i) ধারাটি $8, 8+2, 8+4, ... = 8 + 10 + 12 + ...$। সত্য।

ii) দশম পদ $= a + 9d = 8 + 9 \times 2 = 26$। সত্য।

iii) $S_{15} = \dfrac{15}{2}[2 \times 8 + 14 \times 2] = \dfrac{15}{2} \times 44 = 330 \neq 300$। মিথ্যা।

ব্যাখ্যা: সমান্তর ধারার $n$-তম পদ $a+(n-1)d$ ও সমষ্টি $\dfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$।

উত্তর: ক) i ও ii

7. $\log_3(3\sqrt[3]{3})$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{1}{3}$     খ) $\dfrac{2}{3}$     গ) $\dfrac{4}{3}$     ঘ) $\dfrac{3}{2}$

সমাধান:

$3\sqrt[3]{3} = 3 \times 3^{1/3} = 3^{1 + 1/3} = 3^{4/3}$

$\log_3 3^{4/3} = \dfrac{4}{3}\log_3 3 = \dfrac{4}{3}$

ব্যাখ্যা: একই ভিত্তির ঘাত যোগ করে লগের মান নির্ণয় করা হয়েছে।

উত্তর: গ) $\dfrac{4}{3}$

8. নিচের কোনটি বিচ্ছিন্ন চলক?

ক) বয়স     খ) উচ্চতা     গ) ওজন     ঘ) জনসংখ্যা

সমাধান:

যে চলকের মান গণনা করে পাওয়া যায় এবং শুধু পূর্ণসংখ্যা হয় তা বিচ্ছিন্ন চলক।

বয়স, উচ্চতা ও ওজন মাপা হয় ও যেকোনো ভগ্নাংশ মান হতে পারে (অবিচ্ছিন্ন)।

জনসংখ্যা গণনা করা হয় এবং এটি পূর্ণসংখ্যা, তাই বিচ্ছিন্ন চলক।

ব্যাখ্যা: গণনাযোগ্য সংখ্যা বিচ্ছিন্ন চলক, পরিমাপযোগ্য রাশি অবিচ্ছিন্ন চলক।

উত্তর: ঘ) জনসংখ্যা

9. নিচের কোনটি স্বাভাবিক সংখ্যা?

ক) $-3$     খ) $\sqrt{3}$     গ) $\dfrac{5}{2}$     ঘ) 3

সমাধান:

স্বাভাবিক সংখ্যা হলো 1, 2, 3, ... (ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা)।

$-3$ ঋণাত্মক, $\sqrt{3}$ অমূলদ, $\dfrac{5}{2}$ ভগ্নাংশ; তিনটিই স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

কেবল 3 স্বাভাবিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যা: স্বাভাবিক সংখ্যা সবসময় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর: ঘ) 3

10. ${4, 5, 6, 7, 8}$ সেটটির প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক) 10     খ) 31     গ) 32     ঘ) 33

সমাধান:

সেটের উপাদান সংখ্যা $n = 5$, মোট উপসেট $= 2^5 = 32$।

প্রকৃত উপসেট সংখ্যা $= 2^n - 1 = 32 - 1 = 31$ (সেটটি নিজে প্রকৃত উপসেট নয়)।

ব্যাখ্যা: প্রকৃত উপসেট = মোট উপসেট থেকে সেটটি নিজে বাদ।

উত্তর: খ) 31

11. $a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 18$ হলে— i. $a - \dfrac{1}{a} = 4$ ii. $\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^2 = 20$ iii. $a^3 - \dfrac{1}{a^3} = 76$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

i) $\left(a - \dfrac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \dfrac{1}{a^2} - 2 = 18 - 2 = 16$, তাই $a - \dfrac{1}{a} = 4$ (ধনাত্মক মান ধরলে)।

ii) $\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \dfrac{1}{a^2} + 2 = 20$। সত্য।

iii) $a^3 - \dfrac{1}{a^3} = \left(a - \dfrac{1}{a}\right)\left(a^2 + 1 + \dfrac{1}{a^2}\right) = 4 \times (18 + 1) = 76$। সত্য।

ব্যাখ্যা: বর্গ ও ঘনের সূত্র দিয়ে একটির মান থেকে অন্যগুলো বের করা হয়েছে।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: (i) এ $a - \dfrac{1}{a} = \pm 4$ হতে পারে; বোর্ড ধনাত্মক মানটি ($4$) ধরেছে, তাই (iii) এর মান 76 পাওয়া যায়। বোর্ডের উত্তর ঘ) অনুযায়ী সমাধান করা হলো।

12. $\tan\theta = \sqrt{3}$ হলে $\sec\theta$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{1}{2}$     খ) $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$     গ) $\sqrt{2}$     ঘ) 2

সমাধান:

$\tan\theta = \sqrt{3} = \tan 60\degree$, তাই $\theta = 60\degree$

$\sec\theta = \sec 60\degree = \dfrac{1}{\cos 60\degree} = \dfrac{1}{1/2} = 2$

ব্যাখ্যা: অথবা $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = 1 + 3 = 4$, তাই $\sec\theta = 2$।

উত্তর: ঘ) 2

13. 30 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 9 সে.মি. দূরে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক) 12     খ) 21     গ) 24     ঘ) 42

সমাধান:

ব্যাসার্ধ $r = 15$ সে.মি.; কেন্দ্র থেকে জ্যা এর লম্ব দূরত্ব 9 সে.মি.।

জ্যা এর অর্ধেক $= \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ সে.মি.

জ্যা এর দৈর্ঘ্য $= 2 \times 12 = 24$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর ওপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই পিথাগোরাস প্রয়োগ করা হয়েছে।

উত্তর: গ) 24

14. $x = -5$ হলে $3x - 2y = 5$ সমীকরণ হতে প্রাপ্ত বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত?

ক) প্রথম     খ) দ্বিতীয়     গ) তৃতীয়     ঘ) চতুর্থ

সমাধান:

$3(-5) - 2y = 5$

বা, $-15 - 2y = 5$

বা, $-2y = 20$, তাই $y = -10$

বিন্দু $(-5, -10)$; $x < 0, y < 0$ বলে তৃতীয় চতুর্ভাগে।

ব্যাখ্যা: দুটি স্থানাঙ্কই ঋণাত্মক হলে বিন্দু তৃতীয় চতুর্ভাগে থাকে।

উত্তর: গ) তৃতীয়

15. দুইটি সংখ্যার অনুপাত 2 : 3 এবং তাদের ল.সা.গু. 24 হলে সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. কত?

ক) 8     খ) 4     গ) 2     ঘ) 1

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $2k$ ও $3k$, যেখানে $k$ তাদের গ.সা.গু. (কারণ 2 ও 3 সহমৌলিক)।

ল.সা.গু. $= 2 \times 3 \times k = 6k = 24$, তাই $k = 4$।

ব্যাখ্যা: সংখ্যা দুটি 8 ও 12; ল.সা.গু. 24 এবং গ.সা.গু. 4।

উত্তর: খ) 4

16. একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ অঙ্কনের জন্য কয়টি স্বতন্ত্র উপাত্তের প্রয়োজন?

ক) 2     খ) 3     গ) 4     ঘ) 5

সমাধান:

চতুর্ভুজ নির্দিষ্টভাবে আঁকতে ৫টি স্বতন্ত্র উপাত্ত লাগে।

যেমন: চার বাহু ও একটি কর্ণ, অথবা তিন বাহু ও দুটি কোণ ইত্যাদি।

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের জন্য ৩টি, চতুর্ভুজের জন্য ৫টি উপাত্ত দরকার।

উত্তর: ঘ) 5

17. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 10° হলে উক্ত কোণদ্বয়ের বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক) 40°     খ) 50°     গ) 55°     ঘ) 80°

সমাধান:

সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের যোগফল $= 90\degree$, পার্থক্য $= 10\degree$।

বৃহত্তম কোণ $= \dfrac{90\degree + 10\degree}{2} = 50\degree$

ব্যাখ্যা: ক্ষুদ্রতম কোণ $40\degree$, বৃহত্তম $50\degree$।

উত্তর: খ) 50°

18. $2.8^{x-1} = 1$ হলে $x$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{2}{3}$     খ) $\dfrac{3}{4}$     গ) $\dfrac{4}{3}$     ঘ) $\dfrac{3}{2}$

সমাধান:

এখানে $2 \cdot 8^{x-1} = 1$, অর্থাৎ $8^{x-1} = \dfrac{1}{2}$

বা, $2^{3(x-1)} = 2^{-1}$

বা, $3(x-1) = -1$, বা $x - 1 = -\dfrac{1}{3}$

বা, $x = \dfrac{2}{3}$

ব্যাখ্যা: প্রশ্নের $2.8^{x-1}$ মানে $2 \times 8^{x-1}$ ধরে সমাধান করা হয়েছে (বোর্ডের উত্তর ক)।

উত্তর: ক) $\dfrac{2}{3}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে $2.8^{x-1}$ ছাপা আছে; এটি $2 \cdot 8^{x-1}$ ধরলে বোর্ডের উত্তর ক) $\dfrac{2}{3}$ পাওয়া যায়। (দশমিক 2.8 ধরলে $x$ এর মান 1 আসে, যা কোনো বিকল্পে নেই।)

19. $f(x) = x^2 - 5x - 6$ হলে $x$ এর কোন মানের জন্য $f(x) = 0$ হবে?

ক) $2, -3$     খ) $1, -6$     গ) $-1, 6$     ঘ) $-2, 3$

সমাধান:

$x^2 - 5x - 6 = 0$

বা, $x^2 - 6x + x - 6 = 0$

বা, $x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$

বা, $(x - 6)(x + 1) = 0$, তাই $x = 6, -1$

ব্যাখ্যা: মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে উৎপাদক বের করা হয়েছে।

উত্তর: গ) $-1, 6$

20. ABC সমবাহু ত্রিভুজে $BD = 2$ সে.মি. হলে $AD$ এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.? (চিত্রে $AD \perp BC$)

ক) $8\sqrt{3}$     খ) $4\sqrt{3}$     গ) $2\sqrt{3}$     ঘ) $\sqrt{3}$

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজে $AD$ লম্ব $BC$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $BC = 2 \times 2 = 4$ সে.মি.

বাহু $AB = 4$ সে.মি.

সমকোণী $\triangle ABD$ এ $AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা $= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3}$

উত্তর: গ) $2\sqrt{3}$

21. সুষম ষড়ভুজের শীর্ষবিন্দুতে উৎপন্ন শীর্ষকোণের পরিমাণ কত?

ক) 135°     খ) 120°     গ) 108°     ঘ) 90°

সমাধান:

$n$ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি কোণ $= \dfrac{(2n-4) \times 90\degree}{n}$

$n = 6$ হলে $= \dfrac{8 \times 90\degree}{6} = 120\degree$

ব্যাখ্যা: ষড়ভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি $720\degree$, ৬টি কোণ সমান হলে প্রতিটি $120\degree$।

উত্তর: খ) 120°

22. 0.00000786 এর সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

ক) $\bar{6}$     খ) $\bar{5}$     গ) 5     ঘ) 6

সমাধান:

$0.00000786 = 7.86 \times 10^{-6}$

দশমিক বিন্দুর পর প্রথম অশূন্য অঙ্ক (7) ষষ্ঠ স্থানে আছে, তাই পূর্ণক $= -6 = \bar{6}$

ব্যাখ্যা: সংখ্যাটি $7.86 \times 10^{-6}$ আকারে লিখলে ঘাতই পূর্ণক।

উত্তর: ক) $\bar{6}$

23. 8 সে.মি. ও 6 সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক) 14 সে.মি.     খ) 7 সে.মি.     গ) 2 সে.মি.     ঘ) 1 সে.মি.

সমাধান:

ব্যাসার্ধ $R = \dfrac{8}{2} = 4$ সে.মি. এবং $r = \dfrac{6}{2} = 3$ সে.মি.

অন্তঃস্পর্শ হলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $= R - r = 4 - 3 = 1$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: বহিঃস্পর্শে দূরত্ব $R + r = 7$ সে.মি., অন্তঃস্পর্শে $R - r = 1$ সে.মি.।

উত্তর: ঘ) 1 সে.মি.

24. $\sin(90\degree - \theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ হলে $\theta$ = কত?

ক) 30°     খ) 45°     গ) 60°     ঘ) 90°

সমাধান:

$\sin(90\degree - \theta) = \cos\theta$

তাই $\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30\degree$

$\theta = 30\degree$

ব্যাখ্যা: পূরক কোণের সূত্র $\sin(90\degree-\theta) = \cos\theta$ ব্যবহার করা হয়েছে।

উত্তর: ক) 30°

25. পরিসীমা ও একটি কোণ দেয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা সম্ভব?

ক) রম্বস     খ) আয়ত     গ) সামান্তরিক     ঘ) ট্রাপিজিয়াম

সমাধান:

রম্বসের চার বাহু সমান, তাই পরিসীমা থেকে এক বাহুর দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়।

একটি বাহু ও একটি কোণ জানা থাকলে রম্বস আঁকা যায়।

আয়ত, সামান্তরিক বা ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রে একটি পরিসীমা ও একটি কোণ যথেষ্ট নয়।

ব্যাখ্যা: পরিসীমা $= 4 \times$ বাহু, তাই রম্বস নির্দিষ্ট হয়।

উত্তর: ক) রম্বস

26. $\triangle LMN$ ও $\triangle PQR$ সদৃশ এবং $MN : QR = 4 : 5$ হলে $\triangle PQR : \triangle LMN$ = কত?

ক) 16 : 25     খ) 4 : 5     গ) 5 : 4     ঘ) 25 : 16

সমাধান:

সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত অনুরূপ বাহুর অনুপাতের বর্গের সমান।

$\triangle LMN : \triangle PQR = 4^2 : 5^2 = 16 : 25$

উল্টো করে $\triangle PQR : \triangle LMN = 25 : 16$

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে $\triangle PQR$ আগে চাওয়া হয়েছে, তাই অনুপাত উল্টে যায়।

উত্তর: ঘ) 25 : 16

27. একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে বেলনটির— i. ভূমির ক্ষেত্রফল $= 25\pi$ বর্গ সে.মি. ii. আয়তন $= 150\pi$ ঘন সে.মি. iii. বক্রতলের ক্ষেত্রফল $= 60\pi$ বর্গ সে.মি.। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

i) ভূমির ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 25\pi$। সত্য।

ii) আয়তন $= \pi r^2 h = \pi \times 25 \times 6 = 150\pi$। সত্য।

iii) বক্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r h = 2\pi \times 5 \times 6 = 60\pi$। সত্য।

ব্যাখ্যা: তিনটি সূত্রই সঠিকভাবে খাটে।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

28. $\sqrt{4x-7} + 1 = 0$ সমীকরণটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?

ক) $\emptyset$     খ) $\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$     গ) $\{\emptyset\}$     ঘ) $\{2\}$

সমাধান:

$\sqrt{4x-7} = -1$

বর্গমূল কখনো ঋণাত্মক হয় না, তাই $\sqrt{4x-7} = -1$ হতে পারে না।

(বর্গ করে $4x - 7 = 1$ বা $x = 2$ পাওয়া যায়, কিন্তু যাচাই করলে $\sqrt{4 \times 2 - 7} + 1 = 2 \neq 0$ – এটি অশুদ্ধ মূল।)

সুতরাং সমাধান সেট ফাঁকা সেট।

ব্যাখ্যা: বর্গমূলের মান অঋণাত্মক হওয়ায় সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই।

উত্তর: ক) $\emptyset$

29. $\dfrac{1 + \cot^2 A}{1 - \cos^2 A}$ = কোনটি?

ক) $\operatorname{\operatorname{cosec} }^4 A$     খ) $\sin^4 A$     গ) $\cot^4 A$     ঘ) $\cos^4 A$

সমাধান:

$1 + \cot^2 A = \operatorname{\operatorname{cosec} }^2 A$ এবং $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$

$\dfrac{\operatorname{\operatorname{cosec} }^2 A}{\sin^2 A} = \operatorname{\operatorname{cosec} }^2 A \times \operatorname{\operatorname{cosec} }^2 A = \operatorname{\operatorname{cosec} }^4 A$

ব্যাখ্যা: $\sin^2 A$ এর হর $\operatorname{\operatorname{cosec} }^2 A$ এর সমান।

উত্তর: ক) $\operatorname{\operatorname{cosec} }^4 A$

30. সমকোণী ত্রিভুজের 50° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) ভূমি > লম্ব     খ) ভূমি < লম্ব     গ) ভূমি = লম্ব     ঘ) লম্ব = অতিভুজ

সমাধান:

50° কোণের জন্য $\tan 50\degree > 1$ (কারণ $\tan 45\degree = 1$)।

অর্থাৎ এখানে লম্ব ÷ ভূমি > 1, অর্থাৎ লম্ব > ভূমি।

ব্যাখ্যা: কোণ 45° এর চেয়ে বড় হলে কোণের বিপরীত বাহু (লম্ব) কোণ-সংলগ্ন বাহু (ভূমি) থেকে বড় হয়।

উত্তর: খ) ভূমি < লম্ব

সৃজনশীল প্রশ্ন – সমাধান ও ব্যাখ্যা

বোর্ড পরীক্ষায় ক-বিভাগ (বীজগণিত) থেকে ২টি, খ-বিভাগ (জ্যামিতি) থেকে ২টি, গ-বিভাগ (ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি) থেকে ২টি এবং ঘ-বিভাগ (পরিসংখ্যান) থেকে ১টি, মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। এখানে সবগুলোর সমাধান দেওয়া হলো।

প্রশ্ন ১

দেওয়া আছে: $x^4 + x^{-4} = 119$ এবং $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$।

ক) যদি $(2p + q, 5) = (7, q)$ হয়, তবে $(p, q)$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ক্রমজোড় সমান হলে অনুরূপ উপাদান সমান: $2p + q = 7$ এবং $q = 5$।

$q = 5$ বসিয়ে $2p + 5 = 7$

বা, $2p = 2$, তাই $p = 1$

উত্তর: $(p, q) = (1, 5)$

খ) প্রমাণ কর যে, $x^2 - 3x - 1 = 0$ যখন $x > 0$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে $x^4 + x^{-4} = 119$

বা, $(x^2)^2 + \left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2 = 119$

বা, $\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot \dfrac{1}{x^2} = 119$

বা, $\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^2 = 121$, তাই $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 11$

বা, $\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 + 2 = 11$, তাই $\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = 9$

বা, $x - \dfrac{1}{x} = 3$

উভয় পক্ষকে $x$ দিয়ে গুণ করে $x^2 - 1 = 3x$

অর্থাৎ $x^2 - 3x - 1 = 0$

উত্তর: $x^2 - 3x - 1 = 0$ (প্রমাণিত)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বোর্ডের সমাধানে $x - \dfrac{1}{x} = \sqrt{9} = 3$ ধরা হয়েছে; তবে শুধু $x > 0$ হলে $x - \dfrac{1}{x} = -3$ ও হতে পারত (যেমন $0 < x < 1$ হলে)। প্রশ্নটি ঠিকভাবে সঠিক হতে $x > 1$ শর্ত দরকার ছিল। এখানে বোর্ড অনুযায়ী ধনাত্মক মূল ধরা হলো।

গ) $\dfrac{y^6 + 27}{y^3}$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$

$\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}$ (লব ও হরকে $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ দিয়ে গুণ করে)

তাই $\dfrac{3}{y} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

$y + \dfrac{3}{y} = (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{5}$

প্রদত্ত রাশি $= \dfrac{y^6 + 27}{y^3} = y^3 + \dfrac{27}{y^3} = y^3 + \left(\dfrac{3}{y}\right)^3$

$= \left(y + \dfrac{3}{y}\right)^3 - 3 \cdot y \cdot \dfrac{3}{y} \left(y + \dfrac{3}{y}\right)$

$= (2\sqrt{5})^3 - 9 \times 2\sqrt{5}$

$= 40\sqrt{5} - 18\sqrt{5} = 22\sqrt{5}$

ব্যাখ্যা: সূত্র: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$; এখানে $a = y, b = \dfrac{3}{y}, ab = 3$।

উত্তর: মান $= 22\sqrt{5}$

প্রশ্ন ২

(i) $A = \dfrac{4^{a+1}}{(2^{a+1})^{a-1}} \div \dfrac{2^{a+1}}{(2^a)^{a-1}}$, $B = \log_{\sqrt{3}} 9$। (ii) $\dfrac{p^2 + q^2}{q^2 + r^2} = \dfrac{(p-q)^2}{(q-r)^2}$।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: (ক) ও (খ) অংশের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত চিহ্নিত); তাই এ দুটি আমাদের নিজেদের সমাধান। (গ) বোর্ডের উত্তরমালা থেকে।

ক) সরল কর: $(3c^{-1} + 2d^{-1})^{-1}$। (২ নম্বর)

সমাধান:

$3c^{-1} + 2d^{-1} = \dfrac{3}{c} + \dfrac{2}{d} = \dfrac{3d + 2c}{cd}$

$(3c^{-1} + 2d^{-1})^{-1} = \left(\dfrac{3d + 2c}{cd}\right)^{-1} = \dfrac{cd}{3d + 2c}$

উত্তর: $\dfrac{cd}{2c + 3d}$

খ) দেখাও যে, $A = B$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

প্রথম ভগ্নাংশ $= \dfrac{(2^2)^{a+1}}{2^{(a+1)(a-1)}} = 2^{2a+2-(a^2-1)} = 2^{-a^2+2a+3}$

দ্বিতীয় ভগ্নাংশ $= \dfrac{2^{a+1}}{2^{a(a-1)}} = 2^{a+1-a^2+a} = 2^{-a^2+2a+1}$

$A = 2^{-a^2+2a+3} \div 2^{-a^2+2a+1} = 2^{(-a^2+2a+3)-(-a^2+2a+1)} = 2^2 = 4$

$B = \log_{\sqrt{3}} 9 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^4 = 4$

সুতরাং $A = B = 4$।

উত্তর: $A = B$ (দেখানো হলো)

গ) প্রমাণ কর যে, $p, q, r$ ক্রমিক সমানুপাতী। (৪ নম্বর)

সমাধান:

$p, q, r$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $\dfrac{p}{q} = \dfrac{q}{r}$, অর্থাৎ $pr = q^2$ প্রমাণ করতে হবে।

দেওয়া আছে $\dfrac{p^2 + q^2}{q^2 + r^2} = \dfrac{(p-q)^2}{(q-r)^2}$

বা, $\dfrac{q^2 + r^2}{p^2 + q^2} = \dfrac{(q-r)^2}{(p-q)^2}$ (একান্তরকরণ)

বা, $\dfrac{q^2 - 2qr + r^2}{q^2 + r^2} = \dfrac{p^2 - 2pq + q^2}{p^2 + q^2}$ (বর্গ বিস্তার করে)

বিয়োজন করে, $\dfrac{(q^2 - 2qr + r^2) - (q^2 + r^2)}{q^2 + r^2} = \dfrac{(p^2 - 2pq + q^2) - (p^2 + q^2)}{p^2 + q^2}$

বা, $\dfrac{-2qr}{q^2 + r^2} = \dfrac{-2pq}{p^2 + q^2}$

$-2q$ দিয়ে ভাগ করে, $\dfrac{r}{q^2 + r^2} = \dfrac{p}{p^2 + q^2}$

বা, $r(p^2 + q^2) = p(q^2 + r^2)$

বা, $p^2 r + q^2 r = p q^2 + p r^2$

বা, $p^2 r - p r^2 = p q^2 - q^2 r$

বা, $pr(p - r) = q^2(p - r)$

$p - r \neq 0$ হলে $pr = q^2$

অর্থাৎ $\dfrac{p}{q} = \dfrac{q}{r}$

উত্তর: $p, q, r$ ক্রমিক সমানুপাতী (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৩

$7 + f + g + 448 + h$ একটি গুণোত্তর ধারা।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); তাই (ক), (খ) ও (গ) তিনটিই আমাদের নিজেদের সমাধান।

ক) $125 + 25 + 5 + ...$ ধারাটির কোন পদ $\dfrac{1}{125}$? (২ নম্বর)

সমাধান:

ধারাটি গুণোত্তর: প্রথম পদ $a = 125$, সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{25}{125} = \dfrac{1}{5}$।

$n$-তম পদ $= ar^{n-1} = \dfrac{1}{125}$

বা, $125 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n-1} = 5^{-3}$

বা, $5^3 \times 5^{-(n-1)} = 5^{-3}$, অর্থাৎ $5^{3 - n + 1} = 5^{-3}$

বা, $4 - n = -3$, তাই $n = 7$

উত্তর: ধারাটির 7ম পদ $\dfrac{1}{125}$

খ) $g$ এবং $h$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধরি সাধারণ অনুপাত $r$। প্রথম পদ $7$, চতুর্থ পদ $448$।

$7r^3 = 448$, তাই $r^3 = 64$, অর্থাৎ $r = 4$।

দ্বিতীয় পদ $f = 7 \times 4 = 28$, তৃতীয় পদ $g = 28 \times 4 = 112$।

পঞ্চম পদ $h = 448 \times 4 = 1792$।

উত্তর: $g = 112, h = 1792$

গ) প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদকে ১ম পদ এবং সাধারণ অনুপাতকে সাধারণ অন্তর ধরে একটি সমান্তর ধারা গঠন কর এবং তার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি 987 হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $7$ এবং সাধারণ অনুপাত $4$, তাই সমান্তর ধারার ১ম পদ $a = 7$ ও সাধারণ অন্তর $d = 4$।

ধারাটি: $7 + 11 + 15 + 19 + ...$

$S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d] = 987$

বা, $\dfrac{n}{2}[14 + 4(n-1)] = 987$

বা, $n(2n + 5) = 987$, অর্থাৎ $2n^2 + 5n - 987 = 0$

$n = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25 + 4 \times 2 \times 987}}{4} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{7921}}{4} = \dfrac{-5 \pm 89}{4}$

$n = 21$ অথবা $n = -\dfrac{47}{2}$; পদসংখ্যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই $n = 21$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $S_{21} = \dfrac{21}{2}(14 + 80) = 21 \times 47 = 987$।

উত্তর: $n = 21$

প্রশ্ন ৪

$\triangle ABC$ এর $AB, AC$ ও $BC$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P, Q, R$।

ক) একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল $12\pi$ বর্গ সে.মি. হলে এর ব্যাস নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ধরি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$। ক্ষেত্রফল $\pi r^2 = 12\pi$

বা, $r^2 = 12$, তাই $r = 2\sqrt{3}$ সে.মি.

ব্যাস $= 2r = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ সে.মি.

উত্তর: ব্যাস $4\sqrt{3}$ সে.মি.

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: (খ) ও (গ) এর সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); এগুলো আমাদের সমাধান।

খ) প্রমাণ কর যে, $PQ \parallel BC$ এবং $PQ = \dfrac{1}{2}BC$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$ এ $P, Q$ যথাক্রমে $AB$ ও $AC$ এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $PQ \parallel BC$ এবং $PQ = \dfrac{1}{2}BC$।

অঙ্কন: $PQ$ কে $S$ পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $QS = PQ$ হয়। $C, S$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle APQ$ ও $\triangle CSQ$ এ $AQ = QC$ ($Q$ মধ্যবিন্দু), $PQ = QS$ (অঙ্কন) এবং $\angle AQP = \angle CQS$ (বিপ্রতীপ কোণ)। তাই $\triangle APQ \cong \triangle CSQ$।

অতএব $CS = AP = PB$ এবং $\angle PAQ = \angle QCS$। একান্তর কোণ সমান বলে $CS \parallel AB$, অর্থাৎ $CS \parallel PB$।

$CS$ ও $PB$ সমান ও সমান্তরাল, তাই $PBCS$ একটি সামান্তরিক। সুতরাং $PS \parallel BC$ ও $PS = BC$।

$PQ$ $PS$ এর অংশ, তাই $PQ \parallel BC$। আবার $PQ = \dfrac{1}{2}PS = \dfrac{1}{2}BC$।

উত্তর: $PQ \parallel BC$ এবং $PQ = \dfrac{1}{2}BC$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $AB + AC > 2AR$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$ এ $R$ হলো $BC$ এর মধ্যবিন্দু, $AR$ মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে $AB + AC > 2AR$।

অঙ্কন: $AR$ কে $S$ পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $RS = AR$ হয়। $B, S$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle ARC$ ও $\triangle SRB$ এ $AR = RS$ (অঙ্কন), $RC = RB$ ($R$ মধ্যবিন্দু), $\angle ARC = \angle BRS$ (বিপ্রতীপ কোণ)। তাই $\triangle ARC \cong \triangle SRB$, অতএব $BS = AC$।

$\triangle ABS$ এ $AB + BS > AS$। $BS = AC$ এবং $AS = 2AR$ বসালে $AB + AC > 2AR$।

উত্তর: $AB + AC > 2AR$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৫

$DEF$ বৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং $CD$ ও $CE$ রশ্মিদ্বয় বৃত্তের দুইটি স্পর্শক।

ক) প্রমাণ কর যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (২ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $ABCD$ বৃত্তে $AB$ ব্যাস এবং $CD$ ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে $AB > CD$।

অঙ্কন: $O, C$ এবং $O, D$ যোগ করি।

প্রমাণ: $OA = OB = OC = OD$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।

$\triangle OCD$ এ $OC + OD > CD$ (ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়)।

বা, $OA + OB > CD$, অর্থাৎ $AB > CD$।

উত্তর: বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

খ) প্রমাণ কর যে, $\angle DOE = 2\angle DFE$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $FDE$ বৃত্তে $DE$ চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ $\angle DFE$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle DOE$। প্রমাণ করতে হবে $\angle DOE = 2\angle DFE$।

অঙ্কন: $F$ ও $O$ যোগ করে $T$ পর্যন্ত বর্ধিত করি।

প্রমাণ ধাপ ১: $\triangle FEO$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle EOT = \angle OFE + \angle OEF$।

ধাপ ২: $\triangle FEO$ এ $OF = OE$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OFE = \angle OEF$।

ধাপ ৩: ধাপ ১ ও ২ থেকে $\angle EOT = 2\angle OFE$।

ধাপ ৪: একইভাবে $\triangle FDO$ থেকে $\angle DOT = 2\angle OFD$।

ধাপ ৫: ধাপ ৩ ও ৪ যোগ করে $\angle EOT + \angle DOT = 2\angle OFE + 2\angle OFD$

বা, $\angle DOE = 2(\angle OFE + \angle OFD) = 2\angle DFE$

উত্তর: $\angle DOE = 2\angle DFE$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $CO$ রেখাংশ স্পর্শ জ্যা $DE$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $C$ থেকে অঙ্কিত দুই স্পর্শক $CD$ ও $CE$ বৃত্তকে $D$ ও $E$ বিন্দুতে স্পর্শ করে। $OC$ স্পর্শ-জ্যা $DE$ কে $F$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে $OC$ রেখাংশ $DE$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।

অঙ্কন: $O, D$ এবং $O, E$ যোগ করি।

ধাপ ১: $CD = CE$ (বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে স্পর্শবিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব সমান)।

ধাপ ২: $\triangle ODC$ ও $\triangle OEC$ এ $CD = CE$, $OD = OE$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ) এবং $OC$ উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু। তাই $\triangle ODC \cong \triangle OEC$।

সুতরাং $\angle DOC = \angle EOC$, অর্থাৎ $\angle DOF = \angle EOF$ ... (i)

ধাপ ৩: $\triangle ODF$ ও $\triangle OEF$ এ $OD = OE$, $OF$ সাধারণ বাহু এবং $\angle DOF = \angle EOF$ (i নং থেকে)। তাই $\triangle ODF \cong \triangle OEF$।

অতএব $DF = EF$ ... (ii) এবং $\angle OFD = \angle OFE$।

ধাপ ৪: $\angle OFD$ ও $\angle OFE$ রৈখিক যুগল কোণ এবং সমান, তাই প্রতিটি সমকোণ; অর্থাৎ $OC \perp DE$ ... (iii)

ধাপ ৫: (ii) ও (iii) থেকে $OC$ স্পর্শ-জ্যা $DE$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।

উত্তর: $OC$ স্পর্শ-জ্যা $DE$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৬

কোনো ত্রিভুজের ভূমি $a = 4$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle x = 60\degree$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $S = 9$ সে.মি.।

ক) রম্বসের একটি বাহু $a$ এবং একটি কোণ $\angle x$ হলে, রম্বসটি আঁক। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক) (২ নম্বর)

সমাধান:

রম্বসের চার বাহু সমান, তাই বাহু $a = 4$ সে.মি. ধরি।

একটি রশ্মি $AE$ এ $AB = 4$ সে.মি. কেটে নিই। $A$ বিন্দুতে $AB$ এর সাথে $\angle x = 60\degree$ এর সমান $\angle BAX$ আঁকি।

$AX$ রশ্মি থেকে $AD = 4$ সে.মি. কেটে নিই।

$B$ ও $D$ কে কেন্দ্র করে 4 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে $ABCD$ এর ভেতরে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি; এরা $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। $B, C$ ও $D, C$ যোগ করি।

তাহলে $ABCD$ ই উদ্দিষ্ট রম্বস।

উত্তর: $ABCD$ হলো উদ্দিষ্ট রম্বস, যার বাহু 4 সে.মি. এবং $\angle A = 60\degree$।

খ) অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণসহ ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, ত্রিভুজের ভূমি $a = 4$ সে.মি., ভূমিসংলগ্ন কোণ $\angle x = 60\degree$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $S = 9$ সে.মি.। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন ১: যেকোনো রশ্মি $BE$ থেকে $a$ এর সমান $BC$ কেটে নিই ($BC = 4$ সে.মি.)। $B$ বিন্দুতে $\angle CBF = \angle x = 60\degree$ আঁকি।

অঙ্কন ২: $BF$ রশ্মি থেকে $S = 9$ সে.মি. এর সমান $BD$ কেটে নিই।

অঙ্কন ৩: $C, D$ যোগ করি। $C$ বিন্দুতে $CD$ রেখাংশের যে পাশে $B$ আছে সেই পাশে $\angle BDC$ এর সমান $\angle DCG$ আঁকি।

অঙ্কন ৪: $CG$ রশ্মি $BD$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $\triangle ABC$ ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

উত্তর: $\triangle ABC$ হলো উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

ব্যাখ্যা: $\angle DCG = \angle BDC$ হওয়ায় $AD = AC$, তাই $AB + AC = AB + AD = BD = 9$ সে.মি.। পরিমাপে $AB \approx 4.64$ সে.মি., $AC \approx 4.36$ সে.মি.।

গ) $\dfrac{S}{2}$ বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কর। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক) (৪ নম্বর)

সমাধান:

$\dfrac{S}{2} = \dfrac{9}{2} = 4.5$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ $PQR$ আঁকি (প্রতিটি কোণ $60\degree$)।

অঙ্কনের বিবরণ ১: $\angle PQR$ ও $\angle PRQ$ এর সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে $QM$ ও $RN$ আঁকি; এরা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

অঙ্কনের বিবরণ ২: $O$ থেকে $QR$ এর ওপর লম্ব $OA$ আঁকি, যা $QR$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

অঙ্কনের বিবরণ ৩: $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। এই বৃত্ত $PQ, QR$ ও $PR$ বাহুত্রয়কে যথাক্রমে $B, A$ ও $C$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।

তাহলে এই বৃত্তই $\triangle PQR$ এর উদ্দিষ্ট অন্তর্বৃত্ত।

উত্তর: অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং ব্যাসার্ধ $OA \approx 1.3$ সে.মি.।

প্রশ্ন ৭

$a = \sec\theta$, $b = \operatorname{\operatorname{cosec} }\theta$ এবং $c = \tan\theta$।

ক) দেখাও যে, $b\sqrt{a^2 - 1} = a$। (২ নম্বর)

সমাধান:

বামপক্ষ $= b\sqrt{a^2 - 1} = \operatorname{\operatorname{cosec} }\theta \sqrt{\sec^2\theta - 1}$

$= \dfrac{1}{\sin\theta} \sqrt{\tan^2\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta} \times \tan\theta$

$= \dfrac{1}{\sin\theta} \times \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{1}{\cos\theta} = \sec\theta = a$ = ডানপক্ষ

উত্তর: $b\sqrt{a^2 - 1} = a$ (দেখানো হলো)

খ) $a + c = x$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\sin\theta = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে $a = \sec\theta, c = \tan\theta$ এবং $a + c = x$

বা, $\sec\theta + \tan\theta = x$

বা, $\dfrac{1}{\cos\theta} + \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = x$, অর্থাৎ $\dfrac{1 + \sin\theta}{\cos\theta} = x$

বা, $\sqrt{\dfrac{(1 + \sin\theta)^2}{\cos^2\theta}} = x$; $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = (1 + \sin\theta)(1 - \sin\theta)$ বসিয়ে $\sqrt{\dfrac{(1+\sin\theta)^2}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}} = x$

বা, $\sqrt{\dfrac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta}} = x$, তাই বর্গ করে $\dfrac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta} = x^2$

যোজন-বিয়োজন করে, $\dfrac{(1 + \sin\theta) + (1 - \sin\theta)}{(1 + \sin\theta) - (1 - \sin\theta)} = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$

বা, $\dfrac{2}{2\sin\theta} = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$, অর্থাৎ $\dfrac{1}{\sin\theta} = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$

উত্তর: $\sin\theta = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ (প্রমাণিত)

গ) $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \sqrt{2}$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর, যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ। (৪ নম্বর)

সমাধান:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \sqrt{2}$

বা, $\dfrac{1}{\sec\theta} + \dfrac{1}{\operatorname{\operatorname{cosec} }\theta} = \sqrt{2}$

বা, $\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}$, তাই $\sin\theta = \sqrt{2} - \cos\theta$

বর্গ করে, $\sin^2\theta = 2 - 2\sqrt{2}\cos\theta + \cos^2\theta$

বা, $1 - \cos^2\theta = 2 - 2\sqrt{2}\cos\theta + \cos^2\theta$

বা, $2\cos^2\theta - 2\sqrt{2}\cos\theta + 1 = 0$

বা, $(\sqrt{2}\cos\theta - 1)^2 = 0$ (কারণ $(\sqrt{2}\cos\theta)^2 - 2 \cdot \sqrt{2}\cos\theta \cdot 1 + 1^2$)

বা, $\sqrt{2}\cos\theta = 1$, তাই $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \cos 45\degree$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\sin 45\degree + \cos 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

উত্তর: $\theta = 45\degree$

প্রশ্ন ৮

(i) একটি গাছ ঝড়ে ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে গাছের গোড়া থেকে $10\sqrt{3}$ মিটার দূরে ভূমিকে স্পর্শ করে। (ii) $P$ এবং $Q$ দুইটি স্থানের মধ্যবর্তী কোনো স্থানে একটি উড়োজাহাজ উড়ছে। উড়োজাহাজের অবস্থানে $P$ ও $Q$ এর অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 45°।

ক) $A = 60\degree$ হলে, $3\sin A - 4\sin^3 A$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

$3\sin 60\degree - 4\sin^3 60\degree = 3 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 4 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3$

$= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - 4 \times \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$

$= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = 0$

ব্যাখ্যা: এটি $\sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A$ সূত্র; $\sin 180\degree = 0$ এর সাথে মেলে।

উত্তর: মান $0$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: (খ) ও (গ) এর সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); এগুলো আমাদের সমাধান।

খ) সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি $AB$ গাছ, $P$ বিন্দুতে ভেঙে ভাঙা অংশ $PA$ হেলে $T$ বিন্দুতে ভূমি স্পর্শ করেছে। $BT = 10\sqrt{3}$ মি., $\angle PTB = 30\degree$, $\angle PBT = 90\degree$।

সমকোণী $\triangle PBT$ এ $\tan 30\degree = \dfrac{BP}{BT}$

বা, $BP = 10\sqrt{3} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 10$ মি. (গাছের অক্ষত অংশ)

আবার $\cos 30\degree = \dfrac{BT}{PT}$, বা $PT = \dfrac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20$ মি. (ভাঙা অংশ, $PA = PT = 20$ মি.)

সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য $AB = BP + PA = 10 + 20 = 30$ মি.

উত্তর: সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য $30$ মিটার।

গ) $PQ = 1200$ মিটার হলে, ভূমি থেকে উড়োজাহাজের উচ্চতা নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি উড়োজাহাজ $X$ বিন্দুতে আছে এবং ভূমি থেকে উচ্চতা $XH = h$ মিটার, যেখানে $H$ বিন্দু $PQ$ এর ওপর।

$P$ থেকে অবনতি কোণ $60\degree$, তাই $\angle XPH = 60\degree$; $Q$ থেকে অবনতি কোণ $45\degree$, তাই $\angle XQH = 45\degree$।

$\triangle XPH$ এ $PH = \dfrac{h}{\tan 60\degree} = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$

$\triangle XQH$ এ $QH = \dfrac{h}{\tan 45\degree} = h$

$PH + QH = PQ = 1200$ হওয়ায় $\dfrac{h}{\sqrt{3}} + h = 1200$

বা, $h\left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right) = 1200$, তাই $h = \dfrac{1200\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

লব ও হরকে $(\sqrt{3} - 1)$ দিয়ে গুণ করে $h = \dfrac{1200\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1} = \dfrac{1200(3 - \sqrt{3})}{2} = 600(3 - \sqrt{3})$

$h = 1800 - 600 \times 1.7321 = 1800 - 1039.23 = 760.77$ মিটার (প্রায়)

উত্তর: উড়োজাহাজের উচ্চতা $600(3-\sqrt{3}) \approx 760.77$ মিটার।

প্রশ্ন ৯

(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল $16\sqrt{3}$ বর্গমিটার বেড়ে যায়। (ii) একটি লোহার পাইপের ভিতরে ও বাইরের ব্যাস যথাক্রমে 14 সে.মি. ও 16 সে.মি. এবং পাইপের উচ্চতা 4.5 মি.।

ক) একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 300 বর্গ সে.মি.। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ধরি ঘনকের ধার $a$ সে.মি.। সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $= 6a^2 = 300$

বা, $a^2 = 50$, তাই $a = 5\sqrt{2}$ সে.মি.

ঘনকের কর্ণ $= \sqrt{3}a = \sqrt{3} \times 5\sqrt{2} = 5\sqrt{6}$

$= 5 \times 2.449 = 12.25$ সে.মি. (প্রায়)

উত্তর: কর্ণের দৈর্ঘ্য $5\sqrt{6} \approx 12.25$ সে.মি.

খ) সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধরি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ মিটার। ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

বাহু 4 মি. বাড়ালে নতুন বাহু $(a+4)$ মি. এবং ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}(a+4)^2$

প্রশ্নমতে $\dfrac{\sqrt{3}}{4}(a+4)^2 - \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 16\sqrt{3}$

বা, $\dfrac{\sqrt{3}}{4}[(a+4)^2 - a^2] = 16\sqrt{3}$

বা, $a^2 + 8a + 16 - a^2 = 16\sqrt{3} \times \dfrac{4}{\sqrt{3}} = 64$

বা, $8a + 16 = 64$, তাই $8a = 48$ এবং $a = 6$

পরিসীমা $= 3a = 3 \times 6 = 18$ মিটার

উত্তর: ত্রিভুজটির পরিসীমা $18$ মিটার।

গ) 1 ঘন সে.মি. লোহার ওজন 7.2 গ্রাম হলে, পাইপের লোহার ওজন নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

পাইপের বাইরের ব্যাসার্ধ $R = \dfrac{16}{2} = 8$ সে.মি. এবং ভিতরের ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{14}{2} = 7$ সে.মি.।

উচ্চতা $h = 4.5$ মি. $= 450$ সে.মি.

লোহার আয়তন $= \pi(R^2 - r^2)h = \pi(8^2 - 7^2) \times 450 = \pi \times 15 \times 450 = 6750\pi$

$= 6750 \times 3.1416 = 21205.8$ ঘন সে.মি. (প্রায়)

লোহার ওজন $= 21205.8 \times 7.2 = 152681.76$ গ্রাম

$= 152.68$ কিলোগ্রাম (প্রায়)

উত্তর: পাইপের লোহার ওজন $\approx 152.68$ কিলোগ্রাম।

প্রশ্ন ১০

ডি.এস উচ্চ বিদ্যালয়ের দশম শ্রেণির 60 জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন: 44–48 (4), 49–53 (11), 54–58 (13), 59–63 (19), 64–68 (8), 69–73 (5)।

ক) প্রচুরক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির মধ্যমান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সর্বাধিক গণসংখ্যা 19, যা (59–63) শ্রেণিতে। তাই এটি প্রচুরক শ্রেণি।

প্রচুরক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণি (54–58)।

মধ্যমান $= \dfrac{54 + 58}{2} = \dfrac{112}{2} = 56$

উত্তর: মধ্যমান $56$

খ) সারণি থেকে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

কল্পিত গড় $a = 61$ (শ্রেণি 59–63 এর মধ্যমান), শ্রেণিব্যাপ্তি $h = 5$, $u_i = \dfrac{x_i - a}{h}$।

শ্রেণি 44–48: মধ্যমান 46, $f = 4$, $u = -3$, $f u = -12$

শ্রেণি 49–53: মধ্যমান 51, $f = 11$, $u = -2$, $f u = -22$

শ্রেণি 54–58: মধ্যমান 56, $f = 13$, $u = -1$, $f u = -13$

শ্রেণি 59–63: মধ্যমান 61, $f = 19$, $u = 0$, $f u = 0$

শ্রেণি 64–68: মধ্যমান 66, $f = 8$, $u = 1$, $f u = 8$

শ্রেণি 69–73: মধ্যমান 71, $f = 5$, $u = 2$, $f u = 10$

$n = 60$, $\sum f_i u_i = -47 + 18 = -29$

গড় $\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_i u_i}{n} \times h = 61 + \dfrac{-29}{60} \times 5 = 61 - 2.42$

$= 58.58$ (প্রায়)

উত্তর: গাণিতিক গড় $58.58$ (প্রায়)

গ) বিবরণসহ প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

শ্রেণি মধ্যবিন্দু ও গণসংখ্যা: 46 (4), 51 (11), 56 (13), 61 (19), 66 (8), 71 (5)।

ছক কাগজে $X$-অক্ষ বরাবর প্রতি 2 ঘরকে শ্রেণি মধ্যবিন্দুর 1 একক এবং $Y$-অক্ষ বরাবর প্রতি 1 ঘরকে গণসংখ্যার 1 একক ধরি।

বিন্দুগুলো $(46, 4), (51, 11), (56, 13), (61, 19), (66, 8), (71, 5)$ বসাই। প্রথম শ্রেণির আগের মধ্যবিন্দু 41 এবং শেষ শ্রেণির পরের মধ্যবিন্দু 76 তে গণসংখ্যা 0 ধরে $(41, 0)$ ও $(76, 0)$ বসাই।

বিন্দুগুলো পর্যায়ক্রমে সরলরেখা দিয়ে যোগ করলে গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়।

উত্তর: চিত্রে গণসংখ্যা বহুভুজ দেখানো হলো।

প্রশ্ন ১১

একটি গণসংখ্যা নিবেশন সারণি: শ্রেণিব্যাপ্তি 31–40, 41–50, 51–60, 61–70, 71–80, 81–90, 91–100 এবং গণসংখ্যা যথাক্রমে 4, 6, 8, 12, 9, 7, 4।

ক) 6, 9, 8, 0, 5, 2 সংখ্যাগুলোর গড় নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

গড় গড় = সংখ্যাগুলোর যোগফল ÷ সংখ্যার সংখ্যা

গড় $= \dfrac{6 + 9 + 8 + 0 + 5 + 2}{6} = \dfrac{30}{6} = 5$

উত্তর: গড় $5$

খ) প্রদত্ত সারণির মধ্যক নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: 31–40 → 4; 41–50 → 10; 51–60 → 18; 61–70 → 30; 71–80 → 39; 81–90 → 46; 91–100 → 50।

মোট গণসংখ্যা $n = 50$, তাই $\dfrac{n}{2} = 25$। 25তম পদ 61–70 শ্রেণিতে পড়ে; এটিই মধ্যক শ্রেণি।

এখানে $L = 61$, $F_c = 18$, $f_m = 12$, $h = 10$।

মধ্যক $= L + \left(\dfrac{n}{2} - F_c\right) \times \dfrac{h}{f_m}$

$= 61 + (25 - 18) \times \dfrac{10}{12} = 61 + \dfrac{70}{12} = 61 + 5.83 = 66.83$

উত্তর: মধ্যক $66.83$ (প্রায়)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: শ্রেণিগুলো অন্তর্ভুক্ত (31–40, 41–50, ...) হওয়ায় সঠিক শ্রেণিসীমা ধরলে $L = 60.5$ হয় এবং মধ্যক $= 60.5 + 5.83 = 66.33$ আসে। বোর্ডের উত্তরমালা $L = 61$ নিয়ে $66.83$ দিয়েছে; পরীক্ষায় বোর্ডের পদ্ধতিই অনুসরণ করা নিরাপদ।

গ) বিবরণসহ প্রদত্ত উপাত্তের অজিভ রেখা অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি: 31–40 → 4; 41–50 → 10; 51–60 → 18; 61–70 → 30; 71–80 → 39; 81–90 → 46; 91–100 → 50।

ছক কাগজে $X$-অক্ষ বরাবর শ্রেণি ব্যবধানের উচ্চসীমা এবং $Y$-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিই। $Y$-অক্ষে 1 ঘরকে 1 একক ধরি; মূলবিন্দু থেকে 30 পর্যন্ত ঘর ভাঙা চিহ্ন দিয়ে বোঝাই।

বিন্দুগুলো বসাই: $(30, 0), (40, 4), (50, 10), (60, 18), (70, 30), (80, 39), (90, 46), (100, 50)$। (প্রথম শ্রেণির আগের উচ্চসীমা 30 এ ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 0।)

বিন্দুগুলো মসৃণ রেখা দিয়ে যোগ করলে অজিভ রেখা পাওয়া যায়।

উত্তর: চিত্রে অজিভ রেখা দেখানো হলো।