SSC Math Jashore Board 2025 Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

ধরি, আগের দৈর্ঘ্য $= l$ ও প্রস্থ $= w$; আগের ক্ষেত্রফল $= lw$।

নতুন দৈর্ঘ্য $= 1.2l$, নতুন প্রস্থ $= 0.9w$।

নতুন ক্ষেত্রফল $= 1.2l \times 0.9w = 1.08lw$।

পরিবর্তন $= 1.08lw - lw = 0.08lw$, অর্থাৎ আগের ক্ষেত্রফলের $8$।

ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল $8$ বৃদ্ধি পায়।

উত্তর: ক) 8% বৃদ্ধি

2. $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2$ হলে $\cos^4 \theta - \sin^4 \theta$ = কত?

ক) $0$     খ) $\dfrac{1}{2}$     গ) $1$     ঘ) $2$

সমাধান:

$\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta)^2 - (\sin^2 \theta)^2$

$= (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$

$= 1 \times 2 = 2$

ব্যাখ্যা: $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2$ বসিয়ে মান $2$। (সম্ভাব্য ত্রুটি: বাস্তবে $\cos 2\theta = 2$ সম্ভব নয়, কারণ $\cos 2\theta$ এর সর্বোচ্চ মান 1; তবে বীজগাণিতিক সূত্র প্রয়োগে বইয়ের উত্তরই পাওয়া যায়।)

উত্তর: ঘ) 2

3. চিত্রে $\angle CBE$ = কত ডিগ্রি? (ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, $\angle DAB = 96\degree$, $\angle E = 20\degree$)

ক) $64\degree$     খ) $76\degree$     গ) $84\degree$     ঘ) $104\degree$

সমাধান:

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ $ABCD$-এ $\angle DAB = 96\degree$।

বহিঃস্থ কোণ $\angle BCE =$ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ $\angle DAB = 96\degree$।

$\triangle BCE$-এ $\angle CBE = 180\degree - (\angle BCE + \angle E) = 180\degree - (96\degree + 20\degree) = 64\degree$

ব্যাখ্যা: $\angle CBE = 64\degree$

উত্তর: ক) 64°

4. $x\sqrt{x}$ এর $x$ ভিত্তিক লগ কত?

ক) $\dfrac{1}{2}$     খ) $\dfrac{3}{2}$     গ) $\dfrac{5}{2}$     ঘ) $\dfrac{5}{3}$

সমাধান:

$x\sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$

$\log_x (x\sqrt{x}) = \log_x x^{\frac{3}{2}} = \dfrac{3}{2} \log_x x = \dfrac{3}{2}$

ব্যাখ্যা: $\dfrac{3}{2}$

উত্তর: খ) $\dfrac{3}{2}$

নিচের তথ্যের আলোকে ৫ ও ৬নং প্রশ্নের উত্তর দাও: চিত্রে $O$ কেন্দ্র, $AC = 8\sqrt{2}$ একক।

5. $AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 2 একক     খ) 4 একক     গ) 8 একক     ঘ) $8\sqrt{3}$ একক

সমাধান:

চিত্রে $ABCD$ একটি বর্গ, তাই $AB = BC$ এবং $\angle B = 90\degree$।

$\triangle ABC$-এ $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2AB^2$

বা, $(8\sqrt{2})^2 = 2AB^2$, বা $128 = 2AB^2$, বা $AB^2 = 64$

তাই $AB = 8$

ব্যাখ্যা: $AB = 8$ একক

উত্তর: গ) 8 একক

6. বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক) 50.24 বর্গএকক     খ) 100.53 বর্গএকক     গ) 200.96 বর্গএকক     ঘ) 401.92 বর্গএকক

সমাধান:

$AC$ বৃত্তের ব্যাস, তাই ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi (4\sqrt{2})^2 = 32\pi$

$= 32 \times 3.1416 = 100.53$

ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল $100.53$ বর্গএকক

উত্তর: খ) 100.53 বর্গএকক

7. উপাত্তের ক্ষেত্রে প্রচুরক– i. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ ii. একাধিক হতে পারে iii. সবচেয়ে বেশি বার উপস্থাপিত মান। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

প্রচুরক কেন্দ্রীয় প্রবণতার একটি পরিমাপ। (i সত্য)

কোনো উপাত্তে একাধিক মান সমান সর্বোচ্চ বার থাকলে প্রচুরক একাধিক হতে পারে। (ii সত্য)

সবচেয়ে বেশি বার উপস্থাপিত মানই প্রচুরক। (iii সত্য)

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

8. $3\sin^2 \theta - 4\cos^2 \theta = 0$ হলে, $\tan \theta$ = কত?

ক) $\dfrac{3}{4}$     খ) $\dfrac{4}{3}$     গ) $\dfrac{3}{\sqrt{2}}$     ঘ) $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

সমাধান:

$3\sin^2 \theta = 4\cos^2 \theta$

বা, $\dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \dfrac{4}{3}$, বা $\tan^2 \theta = \dfrac{4}{3}$

তাই $\tan \theta = \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ (ধনাত্মক মান)

ব্যাখ্যা: $\tan \theta = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

উত্তর: ঘ) $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

9. স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি কত ধরা হয়?

ক) 2.71828     খ) 3.1416     গ) 10     ঘ) 27.18

সমাধান:

স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি হলো অয়লারের সংখ্যা $e$।

$e \approx 2.71828$

ব্যাখ্যা: স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি $e = 2.71828$ (প্রায়)।

উত্তর: ক) 2.71828

10. $3x - y = 7$ সমীকরণের লেখের উপরস্থ বিন্দু কোনটি?

ক) $(2, -1)$     খ) $(-1, 2)$     গ) $(2, 1)$     ঘ) $(2, 2)$

সমাধান:

বিন্দু লেখের উপর থাকলে তার স্থানাঙ্ক সমীকরণ সিদ্ধ করবে।

ক) $(2,-1)$: $3 \times 2 - (-1) = 6 + 1 = 7$ ✓

খ) $(-1,2)$: $-3 - 2 = -5 \neq 7$

গ) $(2,1)$: $6 - 1 = 5 \neq 7$; ঘ) $(2,2)$: $6 - 2 = 4 \neq 7$

ব্যাখ্যা: শুধু $(2, -1)$ সমীকরণ সিদ্ধ করে।

উত্তর: ক) $(2, -1)$

নিচের সারণির ভিত্তিতে ১১ ও ১২নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	30–39	40–49	50–59	60–69	70–79
গণসংখ্যা	5	6	10	6	3

11. প্রচুরক কত?

ক) 53     খ) 54     গ) 55     ঘ) 56

সমাধান:

সর্বোচ্চ গণসংখ্যা 10, তাই প্রচুরক শ্রেণি $50 – 59$।

এখানে $L = 50$, $f_0 = 6$ (পূর্ববর্তী শ্রেণি), $f_1 = 10$, $f_2 = 6$ (পরবর্তী শ্রেণি), $h = 10$

প্রচুরক $= L + \dfrac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h$

$= 50 + \dfrac{10 - 6}{20 - 6 - 6} \times 10 = 50 + \dfrac{4}{8} \times 10 = 55$

ব্যাখ্যা: প্রচুরক $55$। (বইয়ের নিয়মে নিম্নসীমা $L = 50$ ধরা হয়েছে।)

উত্তর: গ) 55

12. মধ্যক শ্রেণি কোনটি?

ক) 30 – 39     খ) 50 – 59     গ) 40 – 49     ঘ) 70 – 79

সমাধান:

মোট গণসংখ্যা $n = 5 + 6 + 10 + 6 + 3 = 30$, তাই $\dfrac{n}{2} = 15$

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: $5, 11, 21, 27, 30$

15 তম মান প্রথম যে শ্রেণিতে পড়ে (21 > 15), সেটি $50 – 59$।

ব্যাখ্যা: মধ্যক শ্রেণি $50 – 59$

উত্তর: খ) 50 – 59

নিচের তথ্যের আলোকে ১৩ ও ১৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও: চিত্রে $\triangle ABC$ এর $AB = 7$ সে.মি., $BC = 8$ সে.মি. এবং $AC = 6$ সে.মি.। $D$ ও $E$ যথাক্রমে $BC$ এবং $AC$ এর মধ্যবিন্দু।

13. $DE$ এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক) 3     খ) 3.5     গ) 4     ঘ) 4.5

সমাধান:

$D$ ও $E$ যথাক্রমে $BC$ ও $AC$ এর মধ্যবিন্দু।

মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুসারে $DE \parallel AB$ এবং $DE = \dfrac{1}{2} AB = \dfrac{7}{2} = 3.5$

ব্যাখ্যা: $DE = 3.5$ সে.মি.

উত্তর: খ) 3.5

14. $AD$ এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক) 3     খ) 3.5     গ) 4     ঘ) 5.15

সমাধান:

$AD$ হলো $A$ শীর্ষ থেকে $BC$ এর উপর মধ্যমা। অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য: $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$

বা, $49 + 36 = 2(AD^2 + 16)$ [$BD = 4$]

বা, $85 = 2AD^2 + 32$, বা $AD^2 = \dfrac{53}{2} = 26.5$

তাই $AD = \sqrt{26.5} = 5.148 \approx 5.15$

ব্যাখ্যা: $AD \approx 5.15$ সে.মি. (সম্ভাব্য ত্রুটি: প্রশ্নের নিচে বইয়ে ‘সঠিক উত্তর: 5.74’ লেখা আছে, কিন্তু আমাদের হিসাব ও উত্তরমালা উভয়েই 5.15।)

উত্তর: ঘ) 5.15

15. চিত্রে $AC = BC = CD$ হলে $\angle ABD$ এর মান কত ডিগ্রি?

ক) $30\degree$     খ) $45\degree$     গ) $60\degree$     ঘ) $90\degree$

সমাধান:

$AC = BC$, তাই $\angle CAB = \angle CBA = x$ (সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ)।

$BC = CD$, তাই $\angle CBD = \angle CDB = y$।

$\triangle ABD$-এ $\angle A + \angle ABD + \angle D = 180\degree$, বা $x + (x + y) + y = 180\degree$

বা, $2(x + y) = 180\degree$, তাই $\angle ABD = x + y = 90\degree$

ব্যাখ্যা: $\angle ABD = 90\degree$

উত্তর: ঘ) 90°

16. $\triangle PQR$ এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সে.মি. এবং $PM \perp QR$ হলে $PM$ এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হবে?

ক) $4\sqrt{3}$     খ) $4$     গ) $5$     ঘ) $5\sqrt{3}$

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজে $PM \perp QR$ হলে $M$ বিন্দু $QR$ এর মধ্যবিন্দু; তাই $QM = 4$।

সমকোণী $\triangle PQM$-এ $PM^2 = PQ^2 - QM^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$

তাই $PM = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

ব্যাখ্যা: $PM = 4\sqrt{3}$ সে.মি.

উত্তর: ক) $4\sqrt{3}$

17. দুইটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 8 ও 6 সে.মি.– i. বৃত্ত দুটি অন্তঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 1 সে.মি. হবে। ii. বৃত্ত দুটি বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 7 সে.মি. হবে। iii. বৃত্তদ্বয়ের পরিসীমার সমষ্টি $14\pi$ সে.মি. হবে। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $4$ ও $3$ সে.মি.।

i) অন্তঃস্পর্শে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $= 4 - 3 = 1$ সে.মি. (সত্য)

ii) বহিঃস্পর্শে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $= 4 + 3 = 7$ সে.মি. (সত্য)

iii) পরিধির সমষ্টি $= 2\pi \cdot 4 + 2\pi \cdot 3 = 8\pi + 6\pi = 14\pi$ (সত্য)

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

নিচের চিত্রের আলোকে ১৮ ও ১৯নং প্রশ্নের উত্তর দাও: চিত্রে $\angle B = 90\degree$, $\angle ADB = 60\degree$ এবং $\angle ACB = \theta$।

18. $AD = 12$ সে.মি. হলে $BD$ এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক) 6     খ) $6\sqrt{2}$     গ) $6\sqrt{3}$     ঘ) 12

সমাধান:

সমকোণী $\triangle ABD$-এ $\cos 60\degree = \dfrac{BD}{AD}$

বা, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{BD}{12}$

তাই $BD = 6$

ব্যাখ্যা: $BD = 6$ সে.মি.

উত্তর: ক) 6

19. $AC = 2AB$ হলে $\theta$ এর মান কত ডিগ্রি?

ক) $15\degree$     খ) $30\degree$     গ) $45\degree$     ঘ) $60\degree$

সমাধান:

সমকোণী $\triangle ABC$-এ $\sin \theta = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AB}{2AB} = \dfrac{1}{2}$

$\sin \theta = \sin 30\degree$, তাই $\theta = 30\degree$

ব্যাখ্যা: $\theta = 30\degree$

উত্তর: খ) 30°

নিচের চিত্রের আলোকে ২০ ও ২১নং প্রশ্নের উত্তর দাও: চিত্রে $AD \perp BC$, $\angle B = 30\degree$ এবং $A$ বিন্দুতে অনুভূমিক রেখার সাথে $AC$ এর কোণ $60\degree$।

20. $DC = 5\sqrt{3}$ মিটার হলে, $AD$ এর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 5 মিটার     খ) $5\sqrt{3}$ মিটার     গ) 10 মিটার     ঘ) 15 মিটার

সমাধান:

অনুভূমিক রেখা $\parallel BC$ বলে $\angle C = 60\degree$ (একান্তর কোণ)।

সমকোণী $\triangle ADC$-এ $\tan 60\degree = \dfrac{AD}{DC}$

বা, $\sqrt{3} = \dfrac{AD}{5\sqrt{3}}$, তাই $AD = 5\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 15$

ব্যাখ্যা: $AD = 15$ মিটার

উত্তর: ঘ) 15 মিটার

21. $AB = 24$ মিটার হলে– i. $BD = 12\sqrt{3}$ মিটার ii. $DC = 4\sqrt{3}$ মিটার iii. $\triangle ABC$ এর পরিসীমা $65.57$ মিটার। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

সমকোণী $\triangle ABD$-এ $AD = AB \sin 30\degree = 12$, $BD = AB \cos 30\degree = 12\sqrt{3}$ (i সত্য)

সমকোণী $\triangle ADC$-এ $\angle C = 60\degree$; $DC = \dfrac{AD}{\tan 60\degree} = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ (ii সত্য)

$AC = \dfrac{AD}{\sin 60\degree} = 8\sqrt{3}$, $BC = BD + DC = 16\sqrt{3}$

পরিসীমা $= 24 + 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = 24 + 24\sqrt{3} = 24 + 41.57 = 65.57$ (iii সত্য)

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সত্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

22. কোনো সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা 128 হলে ঐ সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

ক) 0     খ) 6     গ) 7     ঘ) 8

সমাধান:

সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা $2^n$।

$2^n = 128 = 2^7$, তাই $n = 7$

ব্যাখ্যা: সেটের উপাদান সংখ্যা $7$

উত্তর: গ) 7

23. $2x - 1 = \dfrac{1 - 2x}{x}$ এর সমাধান সেট কোনটি?

ক) $\{-1, -\dfrac{1}{2}\}$     খ) $\{-1, \dfrac{1}{2}\}$     গ) $\{\dfrac{1}{2}, 1\}$     ঘ) $\{1, -\dfrac{1}{2}\}$

সমাধান:

$2x - 1 = \dfrac{1 - 2x}{x}$, বা $x(2x - 1) = 1 - 2x$ (উভয়পক্ষকে $x$ দিয়ে গুণ করে, $x \neq 0$)

বা, $x(2x - 1) + (2x - 1) = 0$, বা $(2x - 1)(x + 1) = 0$

তাই $x = \dfrac{1}{2}$ অথবা $x = -1$

ব্যাখ্যা: সমাধান সেট $\{-1, \dfrac{1}{2}\}$

উত্তর: খ) $\{-1, \dfrac{1}{2}\}$

24. প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার সমষ্টি কত?

ক) $n^2$     খ) $2n^2 + 1$     গ) $n^2 + n$     ঘ) $2n + 1$

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $2, 4, 6, \ldots, 2n$, এটি সমান্তর ধারা: $a = 2, d = 2$।

$S_n = \dfrac{n}{2}[2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 2] = \dfrac{n}{2}(2n + 2) = n(n + 1) = n^2 + n$

ব্যাখ্যা: সমষ্টি $n^2 + n$

উত্তর: গ) $n^2 + n$

25. $0.2\dot{4}$ এর সাধারণ ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?

ক) $\dfrac{8}{33}$     খ) $\dfrac{11}{45}$     গ) $\dfrac{6}{25}$     ঘ) $\dfrac{4}{15}$

সমাধান:

ধরি $x = 0.2\dot{4} = 0.2444\ldots$

$10x = 2.444\ldots$ ... (i), $100x = 24.444\ldots$ ... (ii)

(ii) − (i): $90x = 22$, তাই $x = \dfrac{22}{90} = \dfrac{11}{45}$

ব্যাখ্যা: $\dfrac{11}{45}$

উত্তর: খ) $\dfrac{11}{45}$

26. $A = \{x \in N : x^2 < 25\}$; $B = \{x \in N : x\}$ মৌলিক সংখ্যা ও $x^2 < 25$; $C = \{x \in N : x^2 = 25\}$ হলে $(A \cap B) \cup C$ = কত?

ক) $\{ \}$     খ) $\{2, 3, 5\}$     গ) $\{-5, 2, 3, 5\}$     ঘ) $\{1, 2, 3\}$

সমাধান:

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ (কারণ $x^2 < 25$ ও $x \in N$)

$B = \{2, 3\}$ (মৌলিক সংখ্যা)

$C = \{5\}$ (কারণ $x^2 = 25$ ও $x \in N$, তাই $x = 5$)

$A \cap B = \{2, 3\}$; $(A \cap B) \cup C = \{2, 3, 5\}$

ব্যাখ্যা: $\{2, 3, 5\}$

উত্তর: খ) $\{2, 3, 5\}$

27. $2 - 2 + 2 - 2 + \ldots$ ধারাটির 100 তম পদ কত?

ক) 200     খ) 2     গ) 0     ঘ) $-2$

সমাধান:

ধারাটির বিজোড় পদগুলো $+2$ এবং জোড় পদগুলো $-2$।

100 জোড় সংখ্যা, তাই 100 তম পদ $= -2$।

(গুণোত্তর ধারা: $a = 2, r = -1$; $t_{100} = 2 \cdot (-1)^{99} = -2$)

ব্যাখ্যা: 100 তম পদ $-2$

উত্তর: ঘ) $-2$

28. $a + b + c + d + e + \ldots$ সমান্তর ধারাভুক্ত হলে– i. $b = \dfrac{c + e}{2}$ ii. $c = \dfrac{b + d}{2}$ iii. $d = \dfrac{c + e}{2}$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

সমান্তর ধারার যেকোনো পদ তার আগের ও পরের পদের সমান্তর গড়।

i) $b$ এর আগের পদ $a$ ও পরের পদ $c$, তাই $b = \dfrac{a + c}{2}$, $\dfrac{c + e}{2}$ নয়। (i মিথ্যা)

ii) $c = \dfrac{b + d}{2}$ (ii সত্য)

iii) $d = \dfrac{c + e}{2}$ (iii সত্য)

ব্যাখ্যা: ii ও iii সঠিক।

উত্তর: গ) ii ও iii

29. একটি বর্গের পরিসীমা $\dfrac{a}{3}$ একক হলে, এর ক্ষেত্রফল নিচের কোনটি?

ক) $\dfrac{a^2}{9}$ বর্গএকক     খ) $\dfrac{a^2}{36}$ বর্গএকক     গ) $\dfrac{a^2}{144}$ বর্গএকক     ঘ) $\dfrac{a^2}{256}$ বর্গএকক

সমাধান:

বর্গের পরিসীমা $= 4 \times$ বাহু, তাই বাহু $= \dfrac{a}{3} \div 4 = \dfrac{a}{12}$

ক্ষেত্রফল $= \left(\dfrac{a}{12}\right)^2 = \dfrac{a^2}{144}$

ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল $\dfrac{a^2}{144}$ বর্গএকক

উত্তর: গ) $\dfrac{a^2}{144}$ বর্গএকক

30. $Z$ এর ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা কত?

ক) 0     খ) 1     গ) 2     ঘ) 3

সমাধান:

$Z$ অক্ষরটিকে কেন্দ্রের চারদিকে $180\degree$ ঘোরালে এটি নিজের উপর মিলে যায়।

পূর্ণ ঘূর্ণনে ($360\degree$) এমন মিল দুইবার পাওয়া যায় ($180\degree$ ও $360\degree$)।

তাই ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা $2$।

ব্যাখ্যা: ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা $2$

উত্তর: গ) 2

সৃজনশীল প্রশ্ন – সমাধান ও ব্যাখ্যা

বোর্ড পরীক্ষায় ক-বিভাগ (বীজগণিত) থেকে ২টি, খ-বিভাগ (জ্যামিতি) থেকে ২টি, গ-বিভাগ (ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি) থেকে ২টি এবং ঘ-বিভাগ (পরিসংখ্যান) থেকে ১টি, মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। এখানে সবগুলোর সমাধান দেওয়া হলো।

প্রশ্ন ১

(i) $A = \{x \in N : 2 < x \leq 7\}$, $S = \{(p, q) : p \in A, q \in A$ এবং $p - q = 2\}$। (ii) $(m + 3, n - 4) = (3n + 4, m - 3)$।

ক) $C = \{12, 19\}$, $D = \{b, 19\}$ হলে $P(C \cap D)$ নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

$C \cap D = \{12, 19\} \cap \{b, 19\} = \{19\}$

$P(C \cap D) = \{\{19\}, \emptyset\}$ (সেটের সকল উপসেটের সেট)

উত্তর: $P(C \cap D) = \{\{19\}, \emptyset\}$

খ) (i) নং হতে $S$ অন্বয়টিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে তার রেঞ্জ নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

$A = \{x \in N : 2 < x \leq 7\} = \{3, 4, 5, 6, 7\}$

$S$ এর বর্ণনাকারী সমীকরণ: $p - q = 2$, তাই $q = p - 2$।

প্রত্যেক $p \in A$ এর জন্য $q$ নির্ণয় করি:

p	3	4	5	6	7
q = p − 2	1	2	3	4	5

$q \in A$ হতে হবে। $1, 2 \notin A$, তাই $(3, 1), (4, 2) \notin S$।

অতএব $S = \{(5, 3), (6, 4), (7, 5)\}$

রেঞ্জ $R$ = অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর দ্বিতীয় উপাদানের সেট $= \{3, 4, 5\}$

উত্তর: $S = \{(5, 3), (6, 4), (7, 5)\}$ এবং রেঞ্জ $= \{3, 4, 5\}$

গ) (ii) নং হতে ক্রমজোড়ের নিয়মানুসারে $(m, n)$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ক্রমজোড়ের শর্তমতে $m + 3 = 3n + 4$ ... (i)

এবং $n - 4 = m - 3$ ... (ii)

(i) হতে পাই, $m = 3n + 4 - 3$, তাই $m = 3n + 1$ ... (iii)

(ii) নং সমীকরণে $m = 3n + 1$ বসিয়ে: $n - 4 = 3n + 1 - 3$

বা, $n - 3n = -2 + 4$, বা $-2n = 2$, তাই $n = -1$

(iii) নং এ $n = -1$ বসিয়ে: $m = 3 \times (-1) + 1 = -3 + 1 = -2$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $(m+3, n-4) = (1, -5)$ এবং $(3n+4, m-3) = (1, -5)$ ✓

উত্তর: $(m, n) = (-2, -1)$

প্রশ্ন ২

(i) $l, m, n$ ও $t$ ক্রমিক সমানুপাতিক। (ii) $p = \sqrt{4 + 3x}$, $q = \sqrt{4 - 3x}$।

ক) $\log_x 2500 = 4$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

$\log_x 2500 = 4$ হলে $x^4 = 2500$

বা, $x^4 = 50^2$, বা $x^2 = 50$ ($x^2 > 0$)

বা, $x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ (লগের ভিত্তি ধনাত্মক হতে হয়)

উত্তর: $x = 5\sqrt{2} \approx 7.07$

খ) প্রমাণ কর যে, $(l^2 + m^2 - n^2)(m^2 + n^2 - t^2) = (lm + mn - nt)^2$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, $\dfrac{l}{m} = \dfrac{m}{n} = \dfrac{n}{t} = k$

$\dfrac{n}{t} = k$, তাই $n = tk$

$\dfrac{m}{n} = k$, তাই $m = nk = tk \cdot k = tk^2$

$\dfrac{l}{m} = k$, তাই $l = mk = tk^2 \cdot k = tk^3$

বামপক্ষ $= (l^2 + m^2 - n^2)(m^2 + n^2 - t^2)$

$= (t^2k^6 + t^2k^4 - t^2k^2)(t^2k^4 + t^2k^2 - t^2)$ [$l, m, n$ এর মান বসিয়ে]

$= t^2k^2(k^4 + k^2 - 1) \cdot t^2(k^4 + k^2 - 1)$

$= t^4k^2(k^4 + k^2 - 1)^2$

ডানপক্ষ $= (lm + mn - nt)^2$

$= (tk^3 \cdot tk^2 + tk^2 \cdot tk - tk \cdot t)^2$ [মান বসিয়ে]

$= (t^2k^5 + t^2k^3 - t^2k)^2 = \left(t^2k(k^4 + k^2 - 1)\right)^2$

$= t^4k^2(k^4 + k^2 - 1)^2$ = বামপক্ষ

উত্তর: $(l^2 + m^2 - n^2)(m^2 + n^2 - t^2) = (lm + mn - nt)^2$ (প্রমাণিত)

গ) $a = \dfrac{p + q}{p - q}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $x = \dfrac{8a}{3a^2 + 3}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $p = \sqrt{4 + 3x}$, $q = \sqrt{4 - 3x}$ এবং $a = \dfrac{p + q}{p - q}$

বা, $\dfrac{a + 1}{a - 1} = \dfrac{(p + q) + (p - q)}{(p + q) - (p - q)}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\dfrac{a + 1}{a - 1} = \dfrac{2p}{2q} = \dfrac{p}{q} = \dfrac{\sqrt{4 + 3x}}{\sqrt{4 - 3x}}$

বর্গ করে: $\dfrac{(a + 1)^2}{(a - 1)^2} = \dfrac{4 + 3x}{4 - 3x}$

বা, $\dfrac{(a + 1)^2 + (a - 1)^2}{(a + 1)^2 - (a - 1)^2} = \dfrac{4 + 3x + 4 - 3x}{4 + 3x - 4 + 3x}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\dfrac{2a^2 + 2}{4a} = \dfrac{8}{6x}$

বা, $\dfrac{2(a^2 + 1)}{4a} = \dfrac{4}{3x}$, বা $\dfrac{a^2 + 1}{2a} = \dfrac{4}{3x}$

বা, $3x(a^2 + 1) = 8a$

তাই $x = \dfrac{8a}{3a^2 + 3}$

উত্তর: $x = \dfrac{8a}{3a^2 + 3}$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৩

(i) একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 28 এবং 18 তম পদ 58। (ii) একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ $\dfrac{1}{32}$ এবং অষ্টম পদ $\dfrac{1}{256}$।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); তাই (ক), (খ) ও (গ) তিনটিই আমাদের নিজেদের সমাধান।

ক) $5 + 9 + 13 + 17 + \ldots$ ধারাটির কোন পদ 353 তা নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ধারাটি সমান্তর: প্রথম পদ $a = 5$, সাধারণ অন্তর $d = 9 - 5 = 4$।

$n$ তম পদ $= a + (n - 1)d = 353$

বা, $5 + 4(n - 1) = 353$, বা $4(n - 1) = 348$

বা, $n - 1 = 87$, তাই $n = 88$

উত্তর: ধারাটির 88 তম পদ 353

খ) সমান্তর ধারাটির প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধরি, প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$।

12 তম পদ: $a + 11d = 28$ ... (i)

18 তম পদ: $a + 17d = 58$ ... (ii)

(ii) − (i): $6d = 30$, তাই $d = 5$

(i) এ $d = 5$ বসিয়ে: $a + 55 = 28$, তাই $a = -27$

$S_{15} = \dfrac{15}{2}[2a + (15 - 1)d] = \dfrac{15}{2}[2(-27) + 14 \times 5]$

$= \dfrac{15}{2}(-54 + 70) = \dfrac{15}{2} \times 16 = 120$

উত্তর: প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি $120$

গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধরি, প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$।

পঞ্চম পদ: $ar^4 = \dfrac{1}{32}$ ... (i)

অষ্টম পদ: $ar^7 = \dfrac{1}{256}$ ... (ii)

(ii) ÷ (i): $r^3 = \dfrac{1}{256} \times 32 = \dfrac{1}{8}$, তাই $r = \dfrac{1}{2}$

(i) এ বসিয়ে: $a \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{32}$, তাই $a = \dfrac{1}{2}$

ধারাটি: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \ldots$

উত্তর: ধারাটি $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots$; $a = \dfrac{1}{2}, r = \dfrac{1}{2}$

প্রশ্ন ৪

(i) $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AK$ ও $BP$ দুইটি সমান জ্যা এবং $OL \perp AK$ ও $OS \perp BP$। (ii) $MNST$ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক।

ক) প্রমাণ কর যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (২ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ ব্যাস এবং $CD$ ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে $AB > CD$।

অঙ্কন: $O, C$ এবং $O, D$ যোগ করি।

প্রমাণ (ধাপ-১): $OA = OB = OC = OD$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

(ধাপ-২): $\triangle OCD$-এ $OC + OD > CD$ [ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, $OA + OB > CD$, অর্থাৎ $AB > CD$

উত্তর: বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

খ) প্রমাণ কর যে, $OL = OS$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AK$ ও $BP$ দুইটি সমান জ্যা এবং $OL \perp AK$, $OS \perp BP$। প্রমাণ করতে হবে $OL = OS$।

অঙ্কন: $O, A$ এবং $O, B$ যোগ করি।

প্রমাণ (ধাপ-১): $OL \perp AK$ ও $OS \perp BP$, সুতরাং $AL = LK$ এবং $BS = SP$ [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

তাই $AL = \dfrac{1}{2}AK$ এবং $BS = \dfrac{1}{2}BP$

(ধাপ-২): কিন্তু $AK = BP$ [কল্পনা], তাই $\dfrac{1}{2}AK = \dfrac{1}{2}BP$, অর্থাৎ $AL = BS$

(ধাপ-৩): সমকোণী $\triangle OAL$ ও $\triangle OBS$-এর মধ্যে অতিভুজ $OA =$ অতিভুজ $OB$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং $AL = BS$

সুতরাং $\triangle OAL \cong \triangle OBS$ [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]

অতএব $OL = OS$

উত্তর: $OL = OS$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $M, N, S, T$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $MNST$ চতুর্ভুজে $\angle MNS + \angle MTS = 180\degree$। প্রমাণ করতে হবে $M, N, S, T$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

অঙ্কন: $M, N, S$ বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়, তাই এদের মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি বৃত্ত আঁকা যায়। ধরি, বৃত্তটি $MT$ রেখাংশকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। $S, A$ যোগ করি।

প্রমাণ: অঙ্কন অনুসারে $MNSA$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

সুতরাং $\angle MNS + \angle MAS = 180\degree$ [বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ]

কিন্তু $\angle MNS + \angle MTS = 180\degree$ [দেওয়া আছে], অতএব $\angle MAS = \angle MTS$।

কিন্তু তা অসম্ভব। কারণ $\triangle AST$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle MAS$ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ $\angle MTS$ অপেক্ষা বৃহত্তর।

সুতরাং $A$ ও $T$ বিন্দুদ্বয় ভিন্ন হতে পারে না; $A$ বিন্দু অবশ্যই $T$ বিন্দুর সাথে মিলে যাবে।

উত্তর: $M, N, S, T$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৫

(i) $HEF$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং $HG$ একটি মধ্যমা। (ii) $\triangle XYZ$ ও $\triangle MNS$-এ $\dfrac{XY}{MN} = \dfrac{XZ}{MS} = \dfrac{YZ}{NS}$।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); তাই (ক), (খ) ও (গ) তিনটিই আমাদের নিজেদের সমাধান।

ক) 8 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে $4 : 3$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

যেকোনো রেখাংশ $AB = 8$ সে.মি. আঁকি। $A$ বিন্দুতে $AB$ এর সাথে সূক্ষ্মকোণ করে একটি রশ্মি $AX$ আঁকি।

$AX$ রশ্মি হতে কম্পাস দিয়ে সমান দূরত্বে $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ বিন্দুগুলো কাটি (মোট $4 + 3 = 7$ ভাগ)।

$A_7, B$ যোগ করি।

$A_4$ বিন্দু দিয়ে $A_7B$ এর সমান্তরাল রেখা আঁকি, যা $AB$ কে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে $AP : PB = 4 : 3$, অর্থাৎ $AP = \dfrac{32}{7} \approx 4.57$ সে.মি. এবং $PB = \dfrac{24}{7} \approx 3.43$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: কারণ $\triangle AA_7B$-এ $A_4P \parallel A_7B$ বলে $\dfrac{AP}{PB} = \dfrac{AA_4}{A_4A_7} = \dfrac{4}{3}$

উত্তর: $P$ বিন্দু $AB$ কে $4 : 3$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করেছে।

খ) প্রমাণ কর যে, $4HG^2 = 3HE^2$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

$\triangle HEF$ সমবাহু, তাই $HE = EF = HF$। $HG$ মধ্যমা, তাই $G$ বিন্দু $EF$ এর মধ্যবিন্দু এবং $EG = \dfrac{1}{2}EF = \dfrac{1}{2}HE$।

সমবাহু ত্রিভুজে মধ্যমা ভূমির উপর লম্ব (সর্বসম ত্রিভুজ $HEG$ ও $HFG$ থেকে), অর্থাৎ $\angle HGE = 90\degree$।

সমকোণী $\triangle HEG$-এ $HE^2 = HG^2 + EG^2$ [পিথাগোরাসের উপপাদ্য]

বা, $HG^2 = HE^2 - EG^2 = HE^2 - \left(\dfrac{HE}{2}\right)^2 = HE^2 - \dfrac{HE^2}{4} = \dfrac{3HE^2}{4}$

বা, $4HG^2 = 3HE^2$

উত্তর: $4HG^2 = 3HE^2$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $\angle X = \angle M$, $\angle Y = \angle N$, $\angle Z = \angle S$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle XYZ$ ও $\triangle MNS$-এ $\dfrac{XY}{MN} = \dfrac{XZ}{MS} = \dfrac{YZ}{NS}$। প্রমাণ করতে হবে $\angle X = \angle M, \angle Y = \angle N, \angle Z = \angle S$।

অঙ্কন: ধরি $XY > MN$ (অন্যথায় ত্রিভুজ দুটির ভূমিকা অদলবদল করে নিলেই হয়)। $XY$ হতে $XP = MN$ এবং $XZ$ হতে $XQ = MS$ কাটি এবং $P, Q$ যোগ করি।

প্রমাণ (ধাপ-১): $\dfrac{XY}{MN} = \dfrac{XZ}{MS}$ এবং $MN = XP, MS = XQ$, তাই $\dfrac{XY}{XP} = \dfrac{XZ}{XQ}$।

সুতরাং $PQ \parallel YZ$ [ত্রিভুজের দুই বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্তকারী রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল]।

(ধাপ-২): $\triangle XPQ$ ও $\triangle XYZ$ সদৃশ, তাই $\dfrac{PQ}{YZ} = \dfrac{XP}{XY} = \dfrac{MN}{XY}$। কিন্তু $\dfrac{MN}{XY} = \dfrac{NS}{YZ}$ [দেওয়া আছে], তাই $PQ = NS$।

(ধাপ-৩): $\triangle XPQ$ ও $\triangle MNS$-এ $XP = MN$, $XQ = MS$ ও $PQ = NS$, তাই $\triangle XPQ \cong \triangle MNS$ (বাহু-বাহু-বাহু)।

অতএব $\angle X = \angle M, \angle XPQ = \angle N, \angle XQP = \angle S$।

আবার $PQ \parallel YZ$ বলে $\angle XPQ = \angle Y$ এবং $\angle XQP = \angle Z$ (অনুরূপ কোণ)। তাই $\angle Y = \angle N$ ও $\angle Z = \angle S$।

উত্তর: $\angle X = \angle M$, $\angle Y = \angle N$, $\angle Z = \angle S$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৬

একটি ত্রিভুজের ভূমি $b = 4.5$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle x = 45\degree$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $a = 6$ সে.মি.।

ক) 5 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OM = \dfrac{5}{2} = 2.5$ সে.মি.।

বৃত্তের উপর $M$ বিন্দুতে $OM$ যোগ করি এবং $M$ বিন্দুতে $PM \perp OM$ আঁকি।

তাহলে $PM$-ই $M$ বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক (স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব)।

উত্তর: $PM$ রেখাটি $M$ বিন্দুতে নির্ণেয় স্পর্শক।

খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: ধরি, একটি ত্রিভুজের ভূমি $b = 4.5$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle x = 45\degree$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $a = 6$ সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন (১): যেকোনো একটি রশ্মি $BE$ থেকে ভূমি $b$ এর সমান করে $BC$ রেখাংশ কেটে নিই। $BC$ রেখাংশের $B$ বিন্দুতে $\angle x$ এর সমান $\angle CBF$ আঁকি।

(২): $BF$ রশ্মি থেকে $a$ এর সমান করে $BD$ অংশ কাটি।

(৩): $C, D$ যোগ করি। $C$ বিন্দুতে $CD$ রেখাংশের যে পাশে $B$ বিন্দু আছে সেই পাশে $\angle BDC$ এর সমান $\angle DCG$ আঁকি।

(৪): $CG$ রশ্মি $BD$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\angle ACD = \angle ADC$ হওয়ায় $AC = AD$; তাই $AB + AC = AB + AD = BD = a = 6$ সে.মি.।

উত্তর: $\triangle ABC$ নির্ণেয় ত্রিভুজ

গ) $b$ এর সমান বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু $b = 4.5$ সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কন (১): যেকোনো রশ্মি $BE$ থেকে $b = 4.5$ সে.মি. এর সমান করে $BC$ অংশ কেটে নিই।

(২): $B$ ও $C$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে $BC$ এর একই পাশে $b$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

(৩): $A, B$ এবং $A, C$ যোগ করি। তাহলে $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ, যার পরিবৃত্ত আঁকতে হবে।

(৪): $AB$ ও $AC$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে $MN$ ও $PQ$ আঁকি। মনে করি, তারা পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

(৫): $A, O$ যোগ করি। $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি, যা $A, B$ ও $C$ বিন্দু দিয়ে যায়।

তাহলে এই বৃত্তটিই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্ত।

উত্তর: নির্ণেয় পরিবৃত্ত অঙ্কিত হলো (কেন্দ্র $O$, ব্যাসার্ধ $OA$)

প্রশ্ন ৭

$\cot A + \cos A = X$ এবং $\cot A - \cos A = Y$।

ক) $\tan 5a = \cot 5a$ হলে $a$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\tan 5a = \cot 5a$

বা, $\dfrac{\sin 5a}{\cos 5a} = \dfrac{\cos 5a}{\sin 5a}$

বা, $\sin^2 5a = \cos^2 5a = 1 - \sin^2 5a$

বা, $2\sin^2 5a = 1$, বা $\sin^2 5a = \dfrac{1}{2}$

বা, $\sin 5a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \sin 45\degree$

বা, $5a = 45\degree$, তাই $a = \dfrac{45\degree}{5} = 9\degree$

ব্যাখ্যা: (বইয়ের সমাধানের শেষ লাইনে ভুলবশত $x = 9\degree$ লেখা আছে; প্রশ্নে চলকটি $a$, তাই $a = 9\degree$।)

উত্তর: $a = 9\degree$

খ) প্রমাণ কর যে, $\left(\dfrac{X^2 - Y^2}{4}\right)^2 = XY$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $X = \cot A + \cos A$ এবং $Y = \cot A - \cos A$

$X + Y = 2\cot A$ এবং $X - Y = 2\cos A$

তাই $X^2 - Y^2 = (X + Y)(X - Y) = 2\cot A \cdot 2\cos A = 4\cot A \cos A$

বামপক্ষ $= \left(\dfrac{4\cot A \cos A}{4}\right)^2 = \cot^2 A \cos^2 A$

$= \cot^2 A (1 - \sin^2 A) = \cot^2 A - \cot^2 A \sin^2 A$

$= \cot^2 A - \left(\dfrac{\cos A}{\sin A}\right)^2 \sin^2 A = \cot^2 A - \cos^2 A$

ডানপক্ষ $XY = (\cot A + \cos A)(\cot A - \cos A) = \cot^2 A - \cos^2 A$ = বামপক্ষ

উত্তর: $\left(\dfrac{X^2 - Y^2}{4}\right)^2 = XY$ (প্রমাণিত)

গ) $\dfrac{X}{Y} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ হলে $\left(\tan^2 A + \dfrac{1}{2}\right)$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\dfrac{X}{Y} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

বা, $\dfrac{\cot A + \cos A}{\cot A - \cos A} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ [$X, Y$ এর মান বসিয়ে]

যোজন-বিয়োজন করে: $\dfrac{(\cot A + \cos A) + (\cot A - \cos A)}{(\cot A + \cos A) - (\cot A - \cos A)} = \dfrac{(2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})}$

বা, $\dfrac{2\cot A}{2\cos A} = \dfrac{4}{2\sqrt{3}}$

বা, $\dfrac{\cos A}{\sin A} \times \dfrac{1}{\cos A} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$, বা $\dfrac{1}{\sin A} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60\degree$, তাই $A = 60\degree$

$\tan^2 A + \dfrac{1}{2} = \tan^2 60\degree + \dfrac{1}{2} = (\sqrt{3})^2 + \dfrac{1}{2} = 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}$

উত্তর: মান $\dfrac{7}{2}$

প্রশ্ন ৮

চিত্র-১: $S, T$ ভূমিতে অবস্থিত, $ST = 9$ মিটার, $\angle SPT = 30\degree$ এবং $\angle PST = 90\degree$। চিত্র-২: $M$ বিন্দু থেকে $G$ ও $H$ বিন্দুর অবনতি কোণ যথাক্রমে $60\degree$ ও $45\degree$, $GH = 1$ কি.মি., $KL \parallel GH$ এবং $MN \perp GH$।

ক) $\sec(90\degree - \theta) = \dfrac{13}{5}$ হলে $\sin \theta$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

$\sec(90\degree - \theta) = \operatorname{\operatorname{cosec} } \theta$

তাই $\operatorname{\operatorname{cosec} } \theta = \dfrac{13}{5}$

বা, $\dfrac{1}{\sin \theta} = \dfrac{13}{5}$, তাই $\sin \theta = \dfrac{5}{13}$

ব্যাখ্যা: (বইয়ে সমকোণী ত্রিভুজ এঁকে $AB = 5, AC = 13$ ধরে একই ফল পাওয়া গেছে।)

উত্তর: $\sin \theta = \dfrac{5}{13}$

খ) চিত্র-১ হতে $\triangle PST$ এর পরিসীমা নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

চিত্র-১ হতে $ST = 9$ মিটার, $\angle SPT = 30\degree$ এবং $\angle PST = 90\degree$।

$\triangle PST$-এ $\sin \angle SPT = \dfrac{ST}{PT}$

বা, $\sin 30\degree = \dfrac{9}{PT}$, বা $\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{PT}$, তাই $PT = 18$

আবার $\cos \angle SPT = \dfrac{PS}{PT}$, বা $\cos 30\degree = \dfrac{PS}{18}$

বা, $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{PS}{18}$, বা $PS = \dfrac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$

$\triangle PST$ এর পরিসীমা $= PS + ST + PT = 9\sqrt{3} + 9 + 18 = 27 + 9\sqrt{3}$

$= 27 + 15.59 = 42.59$ (প্রায়)

উত্তর: পরিসীমা $27 + 9\sqrt{3} \approx 42.59$ মিটার

গ) চিত্র-২ হতে $MN$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

ধরি, $MN = h$ কি.মি.। $KL \parallel GH$ বলে $\angle MGN = 60\degree$ এবং $\angle MHN = 45\degree$ (একান্তর কোণ)।

সমকোণী $\triangle MGN$-এ $\tan 60\degree = \dfrac{MN}{GN}$, বা $GN = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$

সমকোণী $\triangle MHN$-এ $\tan 45\degree = \dfrac{MN}{NH}$, বা $NH = h$

$GH = GN + NH = 1$, তাই $\dfrac{h}{\sqrt{3}} + h = 1$

বা, $h\left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right) = 1$, বা $h = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$

বা, $h = \dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2} \approx 0.634$

উত্তর: $MN = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2} \approx 0.634$ কি.মি. (প্রায় 634 মিটার)

প্রশ্ন ৯

চিত্র-১: $\triangle KLM$-এ $KL = 40$ সে.মি. ও $LM = 30$ সে.মি.। চিত্র-২: $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজ, $BC = 5$ সে.মি., $AB = 12$ সে.মি. এবং $ADC$ একটি অর্ধবৃত্ত।

ক) একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 11 সে.মি. ও 13 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $60\degree$। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, ত্রিভুজের দুই বাহু $a = 11$ সে.মি. ও $b = 13$ সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\theta = 60\degree$।

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}ab \sin \theta$ বর্গ একক

$= \dfrac{1}{2} \times 11 \times 13 \times \sin 60\degree$

$= \dfrac{1}{2} \times 143 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{143\sqrt{3}}{4} \approx 61.92$

উত্তর: ক্ষেত্রফল $61.92$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

খ) চিত্র-১-এর $\triangle KLM$ এর পরিসীমা 120 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\triangle KLM$-এর দুই বাহু $KL = a = 40$ সে.মি. ও $LM = b = 30$ সে.মি. এবং পরিসীমা $2s = 120$ সে.মি.।

তাই অর্ধপরিসীমা $s = \dfrac{120}{2} = 60$ সে.মি.।

মনে করি, ত্রিভুজের অপর বাহু $KM = c$। $2s = a + b + c$, বা $120 = 70 + c$, তাই $c = 50$ সে.মি.।

ক্ষেত্রফল $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ [হেরনের সূত্র]

$= \sqrt{60(60 - 40)(60 - 30)(60 - 50)} = \sqrt{60 \times 20 \times 30 \times 10}$

$= \sqrt{360000} = 600$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $40^2 + 30^2 = 50^2$, তাই এটি $L$ বিন্দুতে সমকোণী ত্রিভুজ এবং ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600$।

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $600$ বর্গ সে.মি.

গ) চিত্র-২-এর সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

চিত্রে $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজ, $BC = 5$ সে.মি. ও $AB = 12$ সে.মি.।

$\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times BC \times AB = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$ বর্গ সে.মি.

সমকোণী $\triangle ABC$-এ $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$, তাই $AC = 13$ সে.মি.।

$ADC$ অর্ধবৃত্তের ব্যাস $AC = 13$, তাই ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{13}{2} = 6.5$ সে.মি.।

$ADC$ অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}\pi r^2 = \dfrac{1}{2} \times 3.1416 \times (6.5)^2 = \dfrac{1}{2} \times 3.1416 \times 42.25 = 66.37$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 30 + 66.37 = 96.37$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

উত্তর: সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $96.37$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন ১০

দশম শ্রেণির 60 জন শিক্ষার্থীর পদার্থবিজ্ঞান বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	43–47	48–52	53–57	58–62	63–67	68–72	73–77
গণসংখ্যা	5	6	13	17	10	5	4

ক) $17, 22, 25, 12, 13, 28, x, 27$ সংখ্যাগুলোর গড় $14.5$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সংখ্যাগুলোর গড় $= \dfrac{17 + 22 + 25 + 12 + 13 + 28 + x + 27}{8} = 14.5$

বা, $\dfrac{144 + x}{8} = 14.5$

বা, $144 + x = 116$

বা, $x = 116 - 144 = -28$

ব্যাখ্যা: (সম্ভাব্য ত্রুটি: প্রশ্নের অন্য সংখ্যাগুলোর সমষ্টি 144, তাই গড় $14.5$ পেতে $x$ ঋণাত্মক হয়; বইয়ের উত্তরও $-28$।)

উত্তর: $x = -28$

খ) প্রদত্ত সারণি হতে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি (অনুমিত গড় $a = 60$, শ্রেণিদৈর্ঘ্য $h = 5$):

শ্রেণিব্যাপ্তি	মধ্যবিন্দু x	গণসংখ্যা f	u = (x − a)/h	f·u
43–47	45	5	−3	−15
48–52	50	6	−2	−12
53–57	55	13	−1	−13
58–62	60 ← a	17	0	0
63–67	65	10	1	10
68–72	70	5	2	10
73–77	75	4	3	12
		n = 60		Σfu = −8

সমাধান:

নির্ণেয় গড় $\bar{x} = a + \dfrac{\sum fu}{n} \times h$

$= 60 + \dfrac{-8}{60} \times 5$

$= 60 - 0.67 = 59.33$ (প্রায়)

উত্তর: গড় $\approx 59.33$

গ) বিবরণসহ প্রদত্ত উপাত্তের অজিভরেখা অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

অজিভ রেখা অঙ্কনের সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
43–47	5	5
48–52	6	11
53–57	13	24
58–62	17	41
63–67	10	51
68–72	5	56
73–77	4	60

সমাধান:

ছক কাগজে x-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি 1 ঘরের দৈর্ঘ্যকে 1 একক ধরে শ্রেণিব্যাপ্তির উচ্চসীমা এবং y-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের এক ঘরে ক্রমযোজিত গণসংখ্যার 2 একক ধরে প্রদত্ত উপাত্তের ক্রমযোজিত গণসংখ্যার অজিভ রেখা আঁকা হলো।

বিন্দুগুলো: $(42, 0), (47, 5), (52, 11), (57, 24), (62, 41), (67, 51), (72, 56), (77, 60)$; এদের সরলরেখাংশ দিয়ে যুক্ত করা হয়েছে। মূলবিন্দু থেকে 42 পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে ভাঙা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।

উত্তর: অজিভ রেখা চিত্রে দেখানো হলো

প্রশ্ন ১১

দশম শ্রেণির 60 জন শিক্ষার্থীর জীববিজ্ঞান বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	27–36	37–46	47–56	57–66	67–76	77–86
গণসংখ্যা	5	8	15	20	8	4

ক) প্রচুরক শ্রেণির পূর্বের শ্রেণির মধ্যবিন্দু নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

প্রদত্ত সারণিতে সর্বাধিক গণসংখ্যা 20 আছে (57–66) শ্রেণিতে। এটাই প্রচুরক শ্রেণি।

সুতরাং প্রচুরক শ্রেণির পূর্বের শ্রেণি $47 – 56$।

এর মধ্যবিন্দু $= \dfrac{47 + 56}{2} = \dfrac{103}{2} = 51.5$

উত্তর: মধ্যবিন্দু $51.5$

খ) প্রদত্ত উপাত্ত হতে মধ্যক নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

মধ্যক নির্ণয়ের সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
27–36	5	5
37–46	8	13
47–56	15	28
57–66	20	48
67–76	8	56
77–86	4	60
	n = 60

সমাধান:

এখানে $n = 60$, তাই $\dfrac{n}{2} = \dfrac{60}{2} = 30$

মধ্যক হলো 30 তম পদের মান। 30 তম পদ অবস্থিত $57 – 66$ শ্রেণিতে। অতএব মধ্যক শ্রেণি $57 – 66$।

এখানে $L = 57$, $f_m = 20$, $F_c = 28$, $h = 10$

মধ্যক $= L + \left(\dfrac{n}{2} - F_c\right) \times \dfrac{h}{f_m}$

$= 57 + (30 - 28) \times \dfrac{10}{20}$

$= 57 + \dfrac{20}{20} = 57 + 1 = 58$

উত্তর: মধ্যক $58$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের নিয়মে এখানে নিম্নসীমা $L = 57$ ধরা হয়েছে। শ্রেণির প্রকৃত নিম্নসীমা $56.5$ ধরলে মধ্যক $56.5 + 1 = 57.5$ হতো।

গ) বিবরণসহ প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কনের সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যবিন্দু	গণসংখ্যা
27–36	31.5	5
37–46	41.5	8
47–56	51.5	15
57–66	61.5	20
67–76	71.5	8
77–86	81.5	4

সমাধান:

ছক কাগজে x-অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরে শ্রেণি মধ্যবিন্দুর 2 একক এবং y-অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরে গণসংখ্যা 1 একক ধরে গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকা হলো। মূলবিন্দু থেকে 21.5 পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে ভাঙা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

বিন্দুগুলো: $(31.5, 5), (41.5, 8), (51.5, 15), (61.5, 20), (71.5, 8), (81.5, 4)$; প্রথম শ্রেণির আগের মধ্যবিন্দু $21.5$ এবং শেষ শ্রেণির পরের মধ্যবিন্দু $91.5$ এ গণসংখ্যা শূন্য ধরে রেখাংশ দিয়ে যুক্ত করা হয়েছে।

উত্তর: গণসংখ্যা বহুভুজ চিত্রে দেখানো হলো