SSC Math Dhaka Board 2025 Question Solution with Bangla Explanation

ক) $20\sqrt{3}$ মি.     খ) $40\sqrt{3}$ মি.     গ) 60 মি.     ঘ) 80 মি.

সমাধান:

সমকোণী $\triangle ABC$ তে $\angle B = 60\degree$, $BC = 20$ মি.।

$AC = BC \tan 60\degree = 20\sqrt{3}$ মি.

$\angle CAD = 60\degree$ এবং $\angle ACD = 90\degree$, তাই $CD = AC \tan 60\degree = 20\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 60$ মি.

$BD = BC + CD = 20 + 60 = 80$ মি.

ব্যাখ্যা: ভূমির কোণ থেকে লম্ব এবং ভূমির অংশ নির্ণয়ে $\tan$ অনুপাত ব্যবহার করা হয়েছে; দুই অংশ যোগ করে সম্পূর্ণ BD পাওয়া যায়।

উত্তর: ঘ) 80 মি.

2. $\triangle PQR$ আঁকার জন্য নিচের কোন তথ্যগুলো প্রযোজ্য হবে?

ক) $\angle P=60\degree, \angle Q=50\degree, \angle R=70\degree$     খ) $\angle P=50\degree, \angle Q=50\degree, \angle R=80\degree$     গ) $PQ=4, QR=7, PR=11$ সে.মি.     ঘ) $PQ=6, QR=9, PR=12$ সে.মি.

সমাধান:

ত্রিভুজ আঁকতে হলে অন্তত একটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা দরকার; শুধু তিন কোণ দিলে অসংখ্য সদৃশ ত্রিভুজ আঁকা যায় (ক ও খ বাদ)।

তিন বাহু দিলে যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।

গ) $4+7=11 = PR$ অর্থাৎ বড় নয়, তাই ত্রিভুজ হবে না।

ঘ) $6+9=15>12$, $6+12>9$, $9+12>6$ – সব শর্ত সত্য।

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজ অঙ্কনের জন্য তিন বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড় হতে হয়।

উত্তর: ঘ) $PQ=6, QR=9, PR=12$ সে.মি.

3. রম্বসের প্রতিসাম্য রেখার সংখ্যা কয়টি?

ক) 4     খ) 2     গ) 1     ঘ) 0

সমাধান:

রম্বসের দুটি কর্ণই প্রতিসাম্য রেখা।

অর্থাৎ কর্ণ দুটি বরাবর ভাঁজ করলে দুই অংশ মিলে যায়।

অন্য কোনো রেখা রম্বসের প্রতিসাম্য রেখা নয়।

ব্যাখ্যা: রম্বসের কর্ণদ্বয়ই তার প্রতিসাম্য রেখা, তাই সংখ্যা 2।

উত্তর: খ) 2

4. একটি বৃত্তের ব্যাস 12 সে.মি. হলে এর পরিধি কত হবে?

ক) 37.70 সে.মি.     খ) 75.40 সে.মি.     গ) 113.10 সে.মি.     ঘ) 452.39 সে.মি.

সমাধান:

ব্যাস $d = 12$ সে.মি., তাই ব্যাসার্ধ $r = 6$ সে.মি.

পরিধি $= 2\pi r = 2 \times 3.1416 \times 6$

$= 37.70$ সে.মি. (প্রায়)

ব্যাখ্যা: পরিধি $= \pi d = 12\pi \approx 37.70$ সে.মি.

উত্তর: ক) 37.70 সে.মি.

5. একটি দ্রব্য 20% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কোনটি?

ক) 4 : 5     খ) 5 : 4     গ) 5 : 6     ঘ) 6 : 5

সমাধান:

ধরি ক্রয়মূল্য 100 টাকা।

20% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $= 100 - 20 = 80$ টাকা।

ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য $= 100 : 80 = 5 : 4$

ব্যাখ্যা: ক্ষতি হলে বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের চেয়ে কম হয়, তাই অনুপাত $5:4$।

উত্তর: খ) 5 : 4

6. $0.6\dot{9}$ এর সামান্য ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?

ক) $\dfrac{69}{100}$     খ) $\dfrac{69}{10}$     গ) $\dfrac{23}{30}$     ঘ) $\dfrac{7}{10}$

সমাধান:

আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ $0.6\dot{9} = 0.6999...$

সূত্র অনুযায়ী (সম্পূর্ণ সংখ্যা 69 থেকে অনাবৃত্ত অংশ 6 বাদ দিয়ে হরে একটি 9 ও একটি 0 বসিয়ে): $\dfrac{69-6}{90}$

$= \dfrac{63}{90} = \dfrac{7}{10}$

ব্যাখ্যা: $0.6999... = 0.7 = \dfrac{7}{10}$।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{7}{10}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নপত্রে 9 এর ওপরের আবৃত্তির বিন্দু ছাপায় স্পষ্ট নয়; উত্তরমালার ঘ) $\dfrac{7}{10}$ ধরলে এটি $0.6\dot{9}$ হয়, তাই এভাবেই সমাধান করা হলো।

7. একটি বর্গের ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা কত হবে?

ক) 45°     খ) 60°     গ) 90°     ঘ) 360°

সমাধান:

বর্গের ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের ক্রম $= 4$

ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা $= \dfrac{360\degree}{4} = 90\degree$

ব্যাখ্যা: ঘূর্ণনের কোণ $\dfrac{360\degree}{n}$ সূত্রে পাওয়া যায়, যেখানে $n$ হলো ক্রম।

উত্তর: গ) 90°

8. $F(y)=y^4+5y^2-3$ হলে $F(-1)$ এর মান কত?

ক) -9     খ) -7     গ) 3     ঘ) 4

সমাধান:

$F(-1) = (-1)^4 + 5(-1)^2 - 3$

$= 1 + 5 - 3 = 3$

ব্যাখ্যা: ফাংশনে $y$ এর জায়গায় $-1$ বসিয়ে মান বের করা হয়েছে। জোড় ঘাতে ঋণাত্মক চিহ্ন থাকে না।

উত্তর: গ) 3

9. $\cos^2\theta - \sin^2\theta = 1$ হলে $\theta$ এর মান কত?

ক) 0°     খ) 45°     গ) 60°     ঘ) 90°

সমাধান:

$\cos^2\theta - \sin^2\theta = 1$

$\cos^2\theta - (1-\cos^2\theta) = 1$

$2\cos^2\theta = 2$, অর্থাৎ $\cos^2\theta = 1$

$\cos\theta = 1 = \cos 0\degree$, তাই $\theta = 0\degree$

ব্যাখ্যা: $\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$ বসিয়ে $\cos\theta = 1$ পাওয়া যায়।

উত্তর: ক) 0°

10. $M+N=5$ এবং $M-N=3$ হলে $M^2+N^2$ এর মান কত?

ক) 4     খ) 11     গ) 17     ঘ) 36

সমাধান:

$2(M^2+N^2) = (M+N)^2 + (M-N)^2$

$= 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$

$M^2 + N^2 = \dfrac{34}{2} = 17$

ব্যাখ্যা: দুটি সূত্র যোগ করে $M^2+N^2$ বের করা হয়েছে: $(M+N)^2+(M-N)^2 = 2(M^2+N^2)$।

উত্তর: গ) 17

11. মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রে— i. $\sqrt{49}$ একটি বিজোড় সংখ্যা ii. 0.21 একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ iii. 0 একটি পূর্ণসংখ্যা। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

i) $\sqrt{49} = 7$, যা বিজোড় সংখ্যা। সত্য।

ii) $0.21 = \dfrac{21}{100}$ যার লব হর অপেক্ষা ছোট; এটি প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত নয়। মিথ্যা।

iii) 0 একটি পূর্ণসংখ্যা। সত্য।

ব্যাখ্যা: কেবল i ও iii সত্য।

উত্তর: খ) i ও iii

12. $D = \{y : y \in N,\ 5 \leq y \leq 10\}$ সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে কোনটি হবে?

ক) {5, 6, 7, 8, 9, 10}     খ) {6, 7, 8, 9}     গ) {5, 6, 7, 8, 9}     ঘ) {6, 7, 8, 9, 10}

সমাধান:

$5 \leq y \leq 10$ এ $y$ এর মান 5 ও 10 সহ ধরা হয়।

স্বাভাবিক সংখ্যা $y$ এর মানগুলো: 5, 6, 7, 8, 9, 10।

ব্যাখ্যা: $\leq$ চিহ্নের কারণে দুই প্রান্তের মান সেটে থাকে।

উত্তর: ক) {5, 6, 7, 8, 9, 10}

নিচের তথ্যের আলোকে ১৩ ও ১৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: $P = 3 + 2\sqrt{2}$

13. $P + \dfrac{1}{P}$ এর মান কত?

ক) $5\sqrt{2}$     খ) 6     গ) 5     ঘ) $4\sqrt{2}$

সমাধান:

$\dfrac{1}{P} = \dfrac{1}{3+2\sqrt{2}} = \dfrac{3-2\sqrt{2}}{(3)^2-(2\sqrt{2})^2} = \dfrac{3-2\sqrt{2}}{9-8} = 3-2\sqrt{2}$

$P + \dfrac{1}{P} = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$

ব্যাখ্যা: হর মূলদীকরণ করে $\dfrac{1}{P}$ বের করা হয়েছে; যোগে $\sqrt{2}$ যুক্ত পদ কেটে গেছে।

উত্তর: খ) 6

14. $P^3 - \dfrac{1}{P^3}$ এর মান কত?

ক) 234     খ) 198     গ) 197.99     ঘ) 164.04

সমাধান:

$P - \dfrac{1}{P} = (3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$

$P^3 - \dfrac{1}{P^3} = (P-\dfrac{1}{P})^3 + 3(P-\dfrac{1}{P})$

$= (4\sqrt{2})^3 + 3 \times 4\sqrt{2} = 128\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 140\sqrt{2}$

$= 140 \times 1.41421 = 197.99$ (প্রায়)

ব্যাখ্যা: $a^3 - b^3$-এর পরিবর্তে ঘন-সূত্র $(a-b)^3 + 3ab(a-b)$ ব্যবহার করা হয়েছে (এখানে $ab=1$)।

উত্তর: গ) 197.99

15. 0.0043 এর সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

ক) $\bar{3}$     খ) $\bar{2}$     গ) 2     ঘ) 3

সমাধান:

$0.0043 = 4.3 \times 10^{-3}$

অর্থাৎ দশমিক বিন্দুর পর প্রথম অশূন্য অঙ্ক তৃতীয় স্থানে আছে।

তাই পূর্ণক $= -3 = \bar{3}$

ব্যাখ্যা: 1 এর চেয়ে ছোট সংখ্যায় দশমিকের পর যত স্থান পরে প্রথম অশূন্য অঙ্ক আসে, পূর্ণক তত ঋণাত্মক হয়।

উত্তর: ক) $\bar{3}$

নিচের চিত্রের আলোকে ১৬ ও ১৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: চিত্রে $PQ = 30$ সে.মি., $OP = 17$ সে.মি., $\angle PSQ = 120\degree$

16. $\angle POQ$ এর মান কত?

ক) 60°     খ) 90°     গ) 120°     ঘ) 240°

সমাধান:

বৃত্তের কেন্দ্র $O$; $S$ ছোট চাপ $PQ$ এর ওপর অবস্থিত।

বৃত্তস্থ কোণ $\angle PSQ = 120\degree$; এটি বড় চাপ $PQ$ এর ওপর দণ্ডায়মান।

বড় চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ (প্রবৃদ্ধ) $= 2 \times 120\degree = 240\degree$

সুতরাং ছোট চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle POQ = 360\degree - 240\degree = 120\degree$

ব্যাখ্যা: একই চাপের ওপর বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। $240\degree$ হলো প্রবৃদ্ধ কোণ; প্রশ্নে $\angle POQ$ (ছোট কোণ) চাওয়া হয়েছে।

উত্তর: গ) 120°

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: চিত্রের মান অনুযায়ী $OP=17, PR=15$ হলে $\angle POQ$ প্রায় $124\degree$ আসে; তাই বোর্ডের ১২০° উত্তরটি $\angle PSQ=120\degree$ তথ্য থেকে নেওয়া হয়েছে। এখানে অঙ্কিত চিত্র আনুমানিক।

17. $RS$ এর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 8 সে.মি.     খ) 9 সে.মি.     গ) 15 সে.মি.     ঘ) 17 সে.মি.

সমাধান:

$R$ হলো জ্যা $PQ$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $PR = \dfrac{30}{2} = 15$ সে.মি.

সমকোণী $\triangle OPR$ এ $OR = \sqrt{OP^2 - PR^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289-225} = \sqrt{64} = 8$ সে.মি.

$OS$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= 17$ সে.মি.

$RS = OS - OR = 17 - 8 = 9$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর ওপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। পিথাগোরাস দিয়ে $OR$ এবং ব্যাসার্ধ থেকে $RS$ বের করা হয়েছে।

উত্তর: খ) 9 সে.মি.

18. 2, 10, 5, 1, 0, 7, 3, 4 সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

ক) 0.5     খ) 1.0     গ) 3.5     ঘ) 4.0

সমাধান:

সংখ্যাগুলো ছোট থেকে বড় সাজালে: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10

সংখ্যা মোট 8টি (জোড়), তাই মধ্যক হলো মাঝের দুটি পদের গড়: 4র্থ ও 5ম পদ।

মধ্যক $= \dfrac{3+4}{2} = 3.5$

ব্যাখ্যা: পদসংখ্যা জোড় হলে মধ্যক = মাঝের দুই পদের গড়।

উত্তর: গ) 3.5

19. $\log_{\sqrt{5}} 125$ এর মান কত?

ক) 3     খ) 5     গ) 6     ঘ) 8

সমাধান:

ধরি $\log_{\sqrt{5}} 125 = x$

তাহলে $(\sqrt{5})^x = 125$

বা, $5^{x/2} = 5^3$

বা, $\dfrac{x}{2} = 3$, তাই $x = 6$

ব্যাখ্যা: লগের সংজ্ঞা অনুযায়ী ভিত্তির ঘাত ঠিক করে একই ভিত্তিতে সমান করা হয়েছে।

উত্তর: গ) 6

20. $3 : 8 :: z : 32$ হলে $z$ এর মান কত?

ক) 0.75     খ) 3     গ) 12     ঘ) 85.33

সমাধান:

সমানুপাতে $\dfrac{3}{8} = \dfrac{z}{32}$

বা, $8z = 3 \times 32 = 96$

বা, $z = \dfrac{96}{8} = 12$

ব্যাখ্যা: সমানুপাতে অন্তর্পদ ও বহির্পদের গুণফল সমান (বজ্রগুণন)।

উত্তর: গ) 12

21. বার্ষিক 9% সরল মুনাফায় 5000 টাকার 6 বছরের সরল মুনাফা কত টাকা?

ক) 3333.33 টাকা     খ) 2700.00 টাকা     গ) 7700.00 টাকা     ঘ) 8385.50 টাকা

সমাধান:

সরল মুনাফা $I = Pnr$

$= 5000 \times 6 \times \dfrac{9}{100}$

$= 2700$ টাকা

ব্যাখ্যা: মূলধন 5000, সময় 6 বছর, হার 9% (= 0.09) বসানো হয়েছে। 7700 টাকা হলো মুনাফাসহ আসল, শুধু মুনাফা নয়।

উত্তর: খ) 2700.00 টাকা

22. $x^2 = 9x$ এর সমাধান সেট কোনটি?

ক) {0, 9}     খ) {0, 3}     গ) {-3, 3}     ঘ) {-9, 9}

সমাধান:

$x^2 = 9x$

বা, $x^2 - 9x = 0$

বা, $x(x-9) = 0$

হয়, $x = 0$ অথবা $x = 9$

ব্যাখ্যা: $x$ দিয়ে ভাগ না করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হয়েছে, নইলে $x=0$ সমাধানটি বাদ পড়ে যেত।

উত্তর: ক) {0, 9}

23. চিত্রে $\angle PRS$ এর মান কত? (চিত্রে $PQ = PR$, $\angle QPR = 40\degree$, $QRS$ একটি সরলরেখা)

ক) 40°     খ) 70°     গ) 110°     ঘ) 140°

সমাধান:

$\triangle PQR$ সমদ্বিবাহু ($PQ=PR$), শীর্ষকোণ $\angle QPR = 40\degree$

ভূমিকোণ $\angle PRQ = \dfrac{180\degree - 40\degree}{2} = 70\degree$

$\angle PRS$ হলো $\angle PRQ$ এর সন্নিহিত সম্পূরক কোণ (বহিঃস্থ কোণ)।

$\angle PRS = 180\degree - 70\degree = 110\degree$

ব্যাখ্যা: বহিঃস্থ কোণ = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের যোগফল $= 40\degree + 70\degree = 110\degree$।

উত্তর: গ) 110°

24. $2x+3y=2$ সমীকরণে $x=-2$ বসালে সমীকরণের প্রাপ্ত বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে পড়ে?

ক) ১ম     খ) ২য়     গ) ৩য়     ঘ) ৪র্থ

সমাধান:

$x = -2$ বসিয়ে $2(-2) + 3y = 2$

বা, $3y = 2 + 4 = 6$

বা, $y = 2$

বিন্দুটি $(-2, 2)$; এখানে $x<0$ এবং $y>0$

ব্যাখ্যা: $x$ ঋণাত্মক ও $y$ ধনাত্মক হলে বিন্দু ২য় চতুর্ভাগে থাকে।

উত্তর: খ) ২য়

25. $4 + a + b + 32 + ...$ ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক) 1     খ) 2     গ) 3     ঘ) 4

সমাধান:

এটি গুণোত্তর ধারা; প্রথম পদ $4$, চতুর্থ পদ $32$

চতুর্থ পদ $= 4 r^3 = 32$

বা, $r^3 = 8 = 2^3$, তাই $r = 2$

ব্যাখ্যা: গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ $= ar^{n-1}$। এখানে $a = 4, n = 4$।

উত্তর: খ) 2

26. $5x+3y=4, 2x+7y=9$ সমীকরণ জোড়টি— i. সামঞ্জস্য ii. অসংখ্য সমাধান আছে iii. পরস্পর অনির্ভরশীল। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{5}{2}$ এবং $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{3}{7}$

$\dfrac{5}{2} \neq \dfrac{3}{7}$, অর্থাৎ $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$

সুতরাং সমীকরণ জোড়ের একটিমাত্র সমাধান আছে: সামঞ্জস্য (i সত্য) ও পরস্পর অনির্ভরশীল (iii সত্য)।

অসংখ্য সমাধান থাকে যখন $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$; এখানে তা নয় (ii মিথ্যা)।

ব্যাখ্যা: x ও y এর সহগের অনুপাত সমান না হলে একটিমাত্র সমাধান থাকে।

উত্তর: খ) i ও iii

27. চিত্রে $\angle MAD$ এর মান কত? (চিত্রে $ABCM$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, $\angle ABC = 90\degree$, $\angle MDA = 30\degree$, $C, M, D$ একই সরলরেখায়)

ক) 30°     খ) 60°     গ) 90°     ঘ) 120°

সমাধান:

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ $ABCM$ এর বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক: $\angle AMC + \angle ABC = 180\degree$

$\angle AMC = 180\degree - 90\degree = 90\degree$

$CMD$ সরলরেখা, তাই $\angle AMD = 180\degree - 90\degree = 90\degree$

$\triangle AMD$ এ $\angle MAD = 180\degree - 90\degree - 30\degree = 60\degree$

ব্যাখ্যা: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি 180°, তারপর ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180° ব্যবহার করা হয়েছে।

উত্তর: খ) 60°

28. $\tan x = \dfrac{5}{2}$ হলে $\cos^2 x$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{21}{4}$     খ) $\dfrac{25}{29}$     গ) $\dfrac{21}{25}$     ঘ) $\dfrac{4}{29}$

সমাধান:

$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + \dfrac{25}{4} = \dfrac{29}{4}$

$\cos^2 x = \dfrac{1}{\sec^2 x} = \dfrac{4}{29}$

ব্যাখ্যা: $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ সূত্র থেকে $\cos^2 x$ পাওয়া গেছে।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{4}{29}$

29. যদি $M = {a, b, 1, 2}$ এবং $N = {1, 2}$ হয়, তবে $N - M$ এর মান কত?

ক) {a, b}     খ) {0}     গ) {∅}     ঘ) { }

সমাধান:

$N - M$ হলো এমন উপাদানের সেট যা $N$ এ আছে কিন্তু $M$ এ নেই।

$N$ এর উপাদান 1 ও 2, দুটিই $M$ এ আছে।

তাই $N - M$ এ কোনো উপাদান নেই, অর্থাৎ ফাঁকা সেট { }।

ব্যাখ্যা: ফাঁকা সেটকে { } বা $\phi$ লেখা যায়; তবে $\{\phi\}$ একটি উপাদানবিশিষ্ট সেট, তাই গ) ভুল।

উত্তর: ঘ) { }

30. 1 থেকে 19 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গাণিতিক গড় কত?

ক) 11.00     খ) 10.57     গ) 9.75     ঘ) 9.63

সমাধান:

1 থেকে 19 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (মোট 8টি)

যোগফল $= 2+3+5+7+11+13+17+19 = 77$

গড় $= \dfrac{77}{8} = 9.625 \approx 9.63$

ব্যাখ্যা: 1 মৌলিক সংখ্যা নয়, তাই তালিকায় ধরা হয়নি।

উত্তর: ঘ) 9.63

সৃজনশীল প্রশ্ন – সমাধান ও ব্যাখ্যা

বোর্ড পরীক্ষায় ১০টি সৃজনশীল প্রশ্নের মধ্যে ৭টির উত্তর দিতে হয়। এখানে সবগুলোর সমাধান দেওয়া হলো।

প্রশ্ন ১

দেওয়া আছে: সেট A = {x : x ∈ N এবং x² > 7 এবং x³ < 190}, সেট B = {x : x ∈ Z এবং x² ≤ 4} এবং অন্বয় S = {(x, y) : x ∈ B, y ∈ B এবং y − x = −1}। আরও দেওয়া আছে সেট C = {y ∈ N : y² + 3y + 2 = 0}।

ক) C = {y ∈ N : y² + 3y + 2 = 0} কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

$y^2 + 3y + 2 = 0$

বা, $y^2 + 2y + y + 2 = 0$

বা, $y(y+2) + 1(y+2) = 0$

বা, $(y+1)(y+2) = 0$

হয়, $y + 1 = 0$, অর্থাৎ $y = -1$; অথবা $y + 2 = 0$, অর্থাৎ $y = -2$

ব্যাখ্যা: মূল দুটি $-1$ ও $-2$।

উত্তর: $C = \{-1, -2\}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে $y \in N$ লেখা আছে, কিন্তু $-1, -2$ স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। প্রশ্ন অনুযায়ী কঠোরভাবে হিসাব করলে $C = \emptyset$। বোর্ডের উত্তরমালা $y \in Z$ ধরে $C = \{-1,-2\}$ দিয়েছে; সম্ভবত প্রশ্নে $Z$ হওয়ার কথা ছিল। আমরা বোর্ডের উত্তর অনুসরণ করেছি।

খ) P(A) নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

$A$ সেটের শর্ত: $x$ স্বাভাবিক সংখ্যা, $x^2 > 7$ এবং $x^3 < 190$। $x$ এর মান পরীক্ষা করি:

$x=1$: $1^2 = 1 < 7$, শর্ত মেলে না।

$x=2$: $2^2 = 4 < 7$, শর্ত মেলে না।

$x=3$: $3^2 = 9 > 7$ এবং $3^3 = 27 < 190$, শর্ত মেলে।

$x=4$: $4^2 = 16 > 7$ এবং $4^3 = 64 < 190$, শর্ত মেলে।

$x=5$: $5^2 = 25 > 7$ এবং $5^3 = 125 < 190$, শর্ত মেলে।

$x=6$: $6^3 = 216 > 190$, শর্ত মেলে না। $x$ আরও বড় হলে $x^3$ আরও বড় হয়, তাই আর কোনো মান নেই।

সুতরাং $A = \{3, 4, 5\}$। এর উপাদান সংখ্যা 3, তাই উপসেট সংখ্যা $2^3 = 8$।

ব্যাখ্যা: শক্তি সেট $P(A)$ হলো $A$ এর সব উপসেটের সেট। 3টি উপাদানের সেটের 8টি উপসেট থাকে।

উত্তর: $P(A) = \{\{3\}, \{4\}, \{5\}, \{3,4\}, \{3,5\}, \{4,5\}, \{3,4,5\}, \emptyset\}$

গ) S অন্বয়টিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে ডোমেন নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

প্রথমে $B$ নির্ণয় করি: $x^2 \leq 4$ হলে $x$ পূর্ণসংখ্যার জন্য $x = 0, \pm 1, \pm 2$; (কারণ $(\pm 3)^2 = 9 > 4$)

সুতরাং $B = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$।

$y - x = -1$ থেকে $y = x - 1$। $B$ এর প্রতিটি $x$ এর জন্য $y$ বের করি:

$x=-2$ হলে $y=-3$ (কিন্তু $-3 \notin B$, তাই এই জোড়া বাদ)

$x=-1$ হলে $y=-2$; $x=0$ হলে $y=-1$; $x=1$ হলে $y=0$; $x=2$ হলে $y=1$ (সবগুলো $B$ এর সদস্য)

সুতরাং $S = \{(-1,-2), (0,-1), (1,0), (2,1)\}$।

ডোমেন হলো $S$ এর জোড়াগুলোর প্রথম উপাদানের সেট।

ব্যাখ্যা: অন্বয়ের ডোমেন = সব ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানের সেট; $y$ অবশ্যই $B$ এর সদস্য হতে হবে বলে $x=-2$ বাদ পড়েছে।

উত্তর: $S = \{(-1,-2), (0,-1), (1,0), (2,1)\}$, ডোমেন $= \{-1, 0, 1, 2\}$

প্রশ্ন ২

দেওয়া আছে: $b = 2, c = 8, d = 3, p = \dfrac{8}{3}$।

ক) $\log_3(x^2 - 7) = 2$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের (ক), (খ), (গ) অংশের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত চিহ্নিত); তাই সমাধানগুলো আমাদের নিজেদের।

সমাধান:

$\log_3(x^2 - 7) = 2$

বা, $x^2 - 7 = 3^2 = 9$ (লগের সংজ্ঞা অনুযায়ী)

বা, $x^2 = 16$

বা, $x = \pm 4$

যাচাই: $x = \pm 4$ হলে $x^2 - 7 = 9 > 0$, তাই দুটি মানই গ্রহণযোগ্য।

উত্তর: $x = \pm 4$

খ) $\dfrac{b^{12}}{d^{16}} \div \left(\dfrac{p}{c}\right)^{16} = (2c)^{x-3}$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

$b = 2, c = 8, d = 3, p = \dfrac{8}{3}$ বসাই।

$\dfrac{p}{c} = \dfrac{8/3}{8} = \dfrac{1}{3}$

বামপক্ষ $= \dfrac{2^{12}}{3^{16}} \div \left(\dfrac{1}{3}\right)^{16} = \dfrac{2^{12}}{3^{16}} \times 3^{16} = 2^{12}$

ডানপক্ষ $= (2 \times 8)^{x-3} = 16^{x-3} = (2^4)^{x-3} = 2^{4(x-3)}$

সুতরাং $2^{4(x-3)} = 2^{12}$

ভিত্তি সমান, তাই ঘাত সমান: $4(x-3) = 12$

বা, $x - 3 = 3$

বা, $x = 6$

উত্তর: $x = 6$

গ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{\log_{10}\sqrt{b} + \log_{10}\sqrt{c} - \log_{10}d}{\log_{10}(2c) - \log_{10}d^2} = 2^{-1}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

লব $= \log_{10}\sqrt{2} + \log_{10}\sqrt{8} - \log_{10}3$

$= \log_{10}\dfrac{\sqrt{2} \times \sqrt{8}}{3}$ (গুণ ও ভাগের লগ-সূত্র)

$= \log_{10}\dfrac{\sqrt{16}}{3} = \log_{10}\dfrac{4}{3}$

হর $= \log_{10}(2 \times 8) - \log_{10}3^2 = \log_{10}16 - \log_{10}9 = \log_{10}\dfrac{16}{9}$

$= \log_{10}\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = 2\log_{10}\dfrac{4}{3}$

সুতরাং বামপক্ষ $= \dfrac{\log_{10}\frac{4}{3}}{2\log_{10}\frac{4}{3}} = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}$ (ডানপক্ষ)

উত্তর: প্রমাণিত।

প্রশ্ন ৩

প্রশ্ন: N = √(2N/y − 1) এবং 4 + 7 + 10 + ⋯ একটি সমান্তর ধারা। (এখানে সমীকরণটি বই অনুযায়ী; y ≠ 0)

ক) $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 10^3$ এর সমষ্টি নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: (ক) ও (গ) এর সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); এগুলো আমাদের সমাধান। (খ) বোর্ডের উত্তরমালা থেকে।

সমাধান:

প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $= \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$

$n = 10$ বসালে $= \left(\dfrac{10 \times 11}{2}\right)^2 = 55^2 = 3025$

উত্তর: $3025$

খ) দেখাও যে, $N = \dfrac{\sqrt{1+y} + \sqrt{1-y}}{\sqrt{1+y} - \sqrt{1-y}}$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে $N = \sqrt{\dfrac{2N}{y} - 1}$

বর্গ করে, $N^2 = \dfrac{2N}{y} - 1$

বা, $N^2 + 1 = \dfrac{2N}{y}$

বা, $y(N^2+1) = 2N$, অর্থাৎ $\dfrac{N^2+1}{2N} = \dfrac{1}{y}$

যোজন-বিয়োজন করে, $\dfrac{N^2+1+2N}{N^2+1-2N} = \dfrac{1+y}{1-y}$

বা, $\dfrac{(N+1)^2}{(N-1)^2} = \dfrac{1+y}{1-y}$

বর্গমূল করে, $\dfrac{N+1}{N-1} = \dfrac{\sqrt{1+y}}{\sqrt{1-y}}$

আবার যোজন-বিয়োজন করে, $\dfrac{N+1+N-1}{N+1-N+1} = \dfrac{\sqrt{1+y}+\sqrt{1-y}}{\sqrt{1+y}-\sqrt{1-y}}$

বা, $\dfrac{2N}{2} = \dfrac{\sqrt{1+y}+\sqrt{1-y}}{\sqrt{1+y}-\sqrt{1-y}}$

ব্যাখ্যা: যোজন-বিয়োজন: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ হলে $\dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{c+d}{c-d}$।

উত্তর: $N = \dfrac{\sqrt{1+y} + \sqrt{1-y}}{\sqrt{1+y} - \sqrt{1-y}}$ (দেখানো হলো)

গ) সমান্তর ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি 714 হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ $a = 4$, সাধারণ অন্তর $d = 7 - 4 = 3$।

সমষ্টি $S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$

$\dfrac{n}{2}[2 \times 4 + (n-1) \times 3] = 714$

বা, $n(3n + 5) = 1428$

বা, $3n^2 + 5n - 1428 = 0$

শ্রীধর আচার্যের সূত্রে $n = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25 + 4 \times 3 \times 1428}}{6} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{17161}}{6} = \dfrac{-5 \pm 131}{6}$

$n = 21$ অথবা $n = -\dfrac{68}{3}$; পদসংখ্যা ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $S_{21} = \dfrac{21}{2}(8 + 60) = 21 \times 34 = 714$।

উত্তর: $n = 21$

প্রশ্ন ৪

চিত্রে $\triangle MNF$ এর $MN, MF$ ও $NF$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P, Q$ ও $R$।

ক) $60\degree$ কোণের পূরক কোণ আঁক। (২ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: (খ) ও (গ) এর সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); এগুলো আমাদের সমাধান। (ক) বোর্ডের অঙ্কন অনুসারে।

সমাধান:

পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি $90\degree$ হলে তারা পরস্পরের পূরক। তাই $60\degree$ এর পূরক কোণ $= 90\degree - 60\degree = 30\degree$।

অঙ্কন: একটি রশ্মি $BC$ আঁকি। $B$ বিন্দুতে $BC$ এর ওপর লম্ব $BA$ আঁকি, ফলে $\angle ABC = 90\degree$।

$B$ বিন্দুতে $BC$ এর সাথে $60\degree$ কোণ করে $BD$ রশ্মি আঁকি, ফলে $\angle CBD = 60\degree$।

তাহলে $\angle ABD = 90\degree - 60\degree = 30\degree$; এটিই $60\degree$ কোণের পূরক কোণ।

উত্তর: $\angle ABD = 30\degree$ হলো $60\degree$ কোণের পূরক কোণ।

খ) প্রমাণ কর যে, $MN + MF > 2MR$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle MNF$ এ $R$ হলো $NF$ এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $MN + MF > 2MR$।

অঙ্কন: $MR$ কে $S$ পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $RS = MR$ হয়। $N, S$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle MRF$ ও $\triangle SRN$ এ $MR = RS$ (অঙ্কন), $NR = RF$ ($R$ মধ্যবিন্দু) এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle MRF = \angle NRS$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

সুতরাং $\triangle MRF \cong \triangle SRN$ (বাহু-কোণ-বাহু), অতএব $NS = MF$।

এখন $\triangle MNS$ এ যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়: $MN + NS > MS$।

$NS = MF$ এবং $MS = MR + RS = 2MR$ বসালে $MN + MF > 2MR$।

ব্যাখ্যা: মধ্যমাকে দ্বিগুণ বর্ধিত করে একটি সর্বসম ত্রিভুজ তৈরি করা এখানে মূল কৌশল।

উত্তর: $MN + MF > 2MR$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $NF = 2PQ$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle MNF$ এ $P, Q$ যথাক্রমে $MN$ ও $MF$ এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $NF = 2PQ$।

অঙ্কন: $PQ$ কে $S$ পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $QS = PQ$ হয়। $F, S$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle MPQ$ ও $\triangle FSQ$ এ $MQ = QF$ ($Q$ মধ্যবিন্দু), $PQ = QS$ (অঙ্কন) এবং $\angle MQP = \angle FQS$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

সুতরাং $\triangle MPQ \cong \triangle FSQ$, অতএব $FS = MP$ এবং $\angle QMP = \angle QFS$।

$\angle QMP$ ও $\angle QFS$ একান্তর কোণ এবং সমান, তাই $FS \parallel MN$, অর্থাৎ $FS \parallel PN$।

$MP = PN$ ($P$ মধ্যবিন্দু) এবং $FS = MP$, তাই $FS = PN$।

$FS$ ও $PN$ সমান ও সমান্তরাল, তাই $PNFS$ একটি সামান্তরিক। সুতরাং $PS = NF$।

কিন্তু $PS = PQ + QS = 2PQ$, তাই $NF = 2PQ$।

ব্যাখ্যা: এটি মধ্যবিন্দু উপপাদ্য: ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

উত্তর: $NF = 2PQ$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৫

$C$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $MNPQ$ চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত এবং $NQ$ ও $MP$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $R$ বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে।

ক) 5 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের স্পর্শক আঁক। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক) (২ নম্বর)

সমাধান:

$O$ কে কেন্দ্র করে 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি।

বৃত্তের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু $P$ নিই এবং $OP$ যোগ করি।

$P$ বিন্দুতে $OP$ এর ওপর লম্ব $PQ$ আঁকি (পরিধির ওপর লম্ব অঙ্কনের নিয়মে)।

তাহলে $PQ$ রেখাই বৃত্তের $P$ বিন্দুতে স্পর্শক, কারণ স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ স্পর্শকের ওপর লম্ব।

উত্তর: $PQ$ হলো উদ্দিষ্ট স্পর্শক।

খ) প্রমাণ কর যে, $\angle NPQ + \angle NMQ = 180\degree$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $C$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $MNPQ$ চতুর্ভুজ অন্তর্লিখিত। প্রমাণ করতে হবে $\angle NPQ + \angle NMQ = 180\degree$।

অঙ্কন: $N, C$ এবং $Q, C$ যোগ করি।

ধাপ ১: একই চাপ $NMQ$ এর ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ $\angle NPQ = \dfrac{1}{2}$ (কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ $\angle NCQ$)।

ধাপ ২: আবার একই চাপ $NPQ$ এর ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ $\angle NMQ = \dfrac{1}{2}$ (কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle NCQ$)।

ধাপ ৩: যোগ করে পাই, $\angle NPQ + \angle NMQ = \dfrac{1}{2} \times$ (প্রবৃদ্ধ কোণ $\angle NCQ$ + কোণ $\angle NCQ$)। এই দুই কোণের সমষ্টি পূর্ণ কোণ $360\degree$।

$\therefore \angle NPQ + \angle NMQ = \dfrac{1}{2} \times 360\degree = 180\degree$

উত্তর: $\angle NPQ + \angle NMQ = 180\degree$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $\angle NCM + \angle PCQ =$ দুই সমকোণ। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $C$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের $NP$ ও $MQ$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $R$ বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে $\angle NCM + \angle PCQ = 2$ সমকোণ।

ধাপ ১: $NM$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle NCM = 2\angle NQM$ (একই চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)।

ধাপ ২: $PQ$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle PCQ = 2\angle PNQ$ (একই কারণে)।

ধাপ ৩: যোগ করে $\angle NCM + \angle PCQ = 2(\angle NQM + \angle PNQ) = 2(\angle NQR + \angle QNR)$ (কারণ $R$ বিন্দু $QM$ ও $NP$ এর ওপর আছে)।

ধাপ ৪: $\triangle QNR$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle NRM = \angle NQR + \angle QNR$ (অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি)।

সুতরাং $\angle NCM + \angle PCQ = 2\angle NRM = 2 \times 90\degree = 180\degree$

ব্যাখ্যা: কর্ণদ্বয় সমকোণে ছেদ করেছে বলে $\angle NRM = 90\degree$।

উত্তর: $\angle NCM + \angle PCQ = 180\degree$ = দুই সমকোণ (প্রমাণিত)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে চতুর্ভুজের নাম $MNPQ$ হলেও প্রমাণে $NP$ ও $MQ$ কর্ণ ধরা হয়েছে; তাই চিত্রে $M, N, Q, P$ পরপর বৃত্তের ওপর সাজানো দেখানো হয়েছে, যেমনটি বইয়ের প্রমাণে ধরা আছে।

প্রশ্ন ৬

কোনো ত্রিভুজের ভূমি $a = 4$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle x = 55\degree$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $s = 8$ সে.মি.।

ক) 5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গ আঁক। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক) (২ নম্বর)

সমাধান:

একটি রশ্মি $BE$ আঁকি এবং তা থেকে $BC = 5$ সে.মি. কেটে নিই।

$C$ বিন্দুতে $BC$ এর ওপর লম্ব $CD$ আঁকি এবং তা থেকে $CD = 5$ সে.মি. কেটে নিই।

$B$ বিন্দুতে $BC$ এর ওপর লম্ব $BA$ আঁকি এবং তা থেকে $BA = 5$ সে.মি. কেটে নিই।

$A, D$ যোগ করি।

তাহলে $ABCD$ ই উদ্দিষ্ট বর্গ, যার প্রতিটি বাহু 5 সে.মি. এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ।

উত্তর: $ABCD$ হলো উদ্দিষ্ট বর্গ।

খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক) (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, ত্রিভুজের ভূমি $a = 4$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle x = 55\degree$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $s = 8$ সে.মি.। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন ১: যেকোনো রশ্মি $BE$ থেকে $a$ এর সমান $BC$ কেটে নিই (এখানে $BC = 4$ সে.মি.)। $B$ বিন্দুতে $\angle x = 55\degree$ এর সমান $\angle CBF$ আঁকি।

অঙ্কন ২: $BF$ রশ্মি থেকে $s = 8$ সে.মি. এর সমান $BD$ কেটে নিই।

অঙ্কন ৩: $C, D$ যোগ করি। $C$ বিন্দুতে $CD$ রেখাংশের যে পাশে $B$ আছে সেই পাশে $\angle BDC$ এর সমান $\angle DCG$ আঁকি।

অঙ্কন ৪: $CG$ রশ্মি $BD$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে $\triangle ABC$ ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

উত্তর: $\triangle ABC$ হলো উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

ব্যাখ্যা: $\angle DCG = \angle BDC$ হওয়ায় $\triangle ACD$ সমদ্বিবাহু, ফলে $AD = AC$। তাই $AB + AC = AB + AD = BD = 8$ সে.মি.। পরিমাপে $AB \approx 4.2$ সে.মি., $AC \approx 3.8$ সে.মি. পাওয়া যায়।

গ) $a$ এর সমান ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তে এমন দুটি স্পর্শক আঁক যার অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle x$ এর সমান। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্র এবং $a = 4$ সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তে এমন দুটি স্পর্শক আঁকতে হবে যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle x = 55\degree$।

স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $= 55\degree$ হলে স্পর্শবিন্দুদ্বয়ের কেন্দ্রস্থ কোণ $= 180\degree - 55\degree = 125\degree$ (চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি $360\degree$ ও স্পর্শবিন্দুতে দুটি সমকোণ)।

অঙ্কন ১: $O$ কে কেন্দ্র করে 4 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। $OA$ যেকোনো ব্যাসার্ধ নিই এবং $\angle AOB = 125\degree$ আঁকি; $OB$ রশ্মি বৃত্তকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।

অঙ্কন ২: $A$ ও $B$ বিন্দুতে $OA$ ও $OB$ এর ওপর লম্ব টানি। এই লম্বদ্বয় $C$ বিন্দুতে মিলিত হয়।

তাহলে $AC$ ও $BC$ ই উদ্দিষ্ট স্পর্শকদ্বয় এবং $\angle ACB = 55\degree$।

উত্তর: $AC$ ও $BC$ হলো উদ্দিষ্ট স্পর্শকদ্বয়, যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle ACB = 55\degree$।

প্রশ্ন ৭

দৃশ্যকল্প-১: একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙে গেল যে ভাঙা অংশের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে 18 মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করে। দৃশ্যকল্প-২: $M = \sec\theta$ এবং $N = \tan\theta$।

ক) $\tan 7x = \cot 8x$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

$\tan 7x = \cot 8x = \tan(90\degree - 8x)$

বা, $7x = 90\degree - 8x$

বা, $15x = 90\degree$

বা, $x = \dfrac{90\degree}{15} = 6\degree$

উত্তর: $x = 6\degree$

খ) $MN = 2\sqrt{3}$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

$MN = \sec\theta \tan\theta = 2\sqrt{3}$

বা, $\dfrac{1}{\cos\theta} \times \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = 2\sqrt{3}$

বা, $\sin\theta = 2\sqrt{3}\cos^2\theta = 2\sqrt{3}(1 - \sin^2\theta)$

বা, $2\sqrt{3}\sin^2\theta + \sin\theta - 2\sqrt{3} = 0$

মধ্যপদ ভেঙে: $2\sqrt{3}\sin^2\theta + 4\sin\theta - 3\sin\theta - 2\sqrt{3} = 0$

বা, $2\sin\theta(\sqrt{3}\sin\theta + 2) - \sqrt{3}(\sqrt{3}\sin\theta + 2) = 0$

বা, $(\sqrt{3}\sin\theta + 2)(2\sin\theta - \sqrt{3}) = 0$

হয়, $\sqrt{3}\sin\theta + 2 = 0$, অর্থাৎ $\sin\theta = -\dfrac{2}{\sqrt{3}}$; এটি গ্রহণযোগ্য নয় কারণ $-1 \leq \sin\theta \leq 1$।

অথবা, $2\sin\theta - \sqrt{3} = 0$, অর্থাৎ $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60\degree$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\theta = 60\degree$ হলে $\sec 60\degree \tan 60\degree = 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$।

উত্তর: $\theta = 60\degree$

গ) সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

চিত্রে $AB$ খুঁটি, $P$ বিন্দুতে ভেঙে ভাঙা অংশ $PA$ হেলে $T$ বিন্দুতে ভূমি স্পর্শ করেছে। $BT = 18$ মি. এবং $\angle PTB = 30\degree$, $\angle PBT = 90\degree$।

সমকোণী $\triangle PBT$ এ $\tan 30\degree = \dfrac{BP}{BT}$

বা, $BP = 18 \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ মি. (খুঁটির অভঙ্গ অংশ)

আবার $\cos 30\degree = \dfrac{BT}{PT}$, বা $PT = \dfrac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12\sqrt{3}$ মি. (ভাঙা অংশ)

ভাঙা অংশ $PT$ ও $PA$ একই অংশ, তাই $PA = PT = 12\sqrt{3}$ মি.

সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য $AB = BP + PA = 6\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \approx 31.18$ মি.

উত্তর: সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য $18\sqrt{3} \approx 31.18$ মিটার।

প্রশ্ন ৮

একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় যথাক্রমে 40 সে.মি. ও 30 সে.মি. এবং ক্ষুদ্রতম কর্ণ $d_1 = 36$ সে.মি.।

ক) একটি সুষম ষড়ভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সুষম $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{na^2}{4}\cot\dfrac{180\degree}{n}$

এখানে $n = 6, a = 5$

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{6 \times 5^2}{4}\cot\dfrac{180\degree}{6} = 37.5 \times \cot 30\degree$

$= 37.5 \times \sqrt{3} = 64.95$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

উত্তর: ক্ষেত্রফল $64.95$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

খ) সামান্তরিকটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

মনে করি সামান্তরিক $ABCD$ এ $AB = DC = 40$ সে.মি., $AD = BC = 30$ সে.মি. এবং ক্ষুদ্রতম কর্ণ $BD = 36$ সে.মি.।

$\triangle ABD$ এর অর্ধপরিসীমা $s = \dfrac{40 + 30 + 36}{2} = 53$ সে.মি.

হেরনের সূত্রে ক্ষেত্রফল $= \sqrt{s(s-AB)(s-BD)(s-AD)} = \sqrt{53 \times 13 \times 17 \times 23} = 519.04$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

$D$ থেকে $AB$ এর ওপর লম্ব $DE = h$। ভূমি $AB = 40$ ধরে $\dfrac{1}{2} \times 40 \times h = 519.04$

বা, $h = \dfrac{2 \times 519.04}{40} = 25.952$ সে.মি.

$C$ থেকে $AB$ এর বর্ধিতাংশের ওপর লম্ব $CF = h = 25.952$ সে.মি.। সমকোণী $\triangle CBF$ এ $BF^2 = BC^2 - CF^2 = 30^2 - 25.952^2$

বা, $BF = \sqrt{900 - 673.5} = 15.05$ সে.মি.

এখন $AF = AB + BF = 40 + 15.05 = 55.05$ সে.মি.। সমকোণী $\triangle ACF$ এ $AC^2 = CF^2 + AF^2 = (25.952)^2 + (55.05)^2$

বা, $AC = \sqrt{673.5 + 3030.5} = \sqrt{3704} = 60.86$ সে.মি. (প্রায়)

ব্যাখ্যা: $D$ ও $C$ থেকে লম্ব নামিয়ে সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।

উত্তর: অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য $60.86$ সে.মি. (প্রায়)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় এই অংশে দৈর্ঘ্যের একক ভুল করে মিটার লেখা আছে; প্রশ্নে একক সে.মি. হওয়ায় আমরা সে.মি. ব্যবহার করেছি।

গ) একটি রম্বসের পরিসীমা উদ্দীপকের সামান্তরিকটির পরিসীমার সমান এবং ক্ষুদ্রতর কর্ণ $d_1$ হলে রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

সামান্তরিকের পরিসীমা $= 2(40 + 30) = 140$ সে.মি.। রম্বসের পরিসীমাও 140 সে.মি.।

রম্বসের প্রতিটি বাহু $= \dfrac{140}{4} = 35$ সে.মি., অর্থাৎ $AB = BC = CD = DA = 35$ সে.মি.

ক্ষুদ্রতর কর্ণ $AC = d_1 = 36$ সে.মি.। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $AO = OC = 18$ সে.মি.

সমকোণী $\triangle ABO$ এ $BO^2 = AB^2 - AO^2 = 35^2 - 18^2 = 1225 - 324 = 901$

বা, $BO = \sqrt{901} = 30.017$ সে.মি. (প্রায়)

অপর কর্ণ $d_2 = BD = 2 \times BO = 2 \times 30.017 = 60.033$ সে.মি.

রম্বসের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \dfrac{1}{2} \times 36 \times 60.033 = 1080.6$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

ব্যাখ্যা: সূক্ষ্ম মানে ক্ষেত্রফল $= 36\sqrt{901}$।

উত্তর: রম্বসের ক্ষেত্রফল $\approx 1080.6$ বর্গ সে.মি.

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় $BO = 30.016$ ধরে ক্ষেত্রফল 1080.57 লেখা আছে; সূক্ষ্ম হিসাবে $\sqrt{901} = 30.0167$ হওয়ায় ফল প্রায় 1080.60। এই সামান্য পার্থক্য কেবল দশমিক ছাঁটার কারণে।

প্রশ্ন ৯

চিত্র-১: একটি 8 মিটার × 6 মিটার আয়তক্ষেত্র বৃত্তের মধ্যে অন্তর্লিখিত (বৃত্ত ও আয়তক্ষেত্রের মাঝের ছায়া অংশটি গাঢ় অংশ)। চিত্র-২: একটি সিলিন্ডার, যার আয়তন 2262 ঘন সে.মি. এবং উচ্চতা 20 সে.মি.।

ক) সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 7 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

$a = 7$ বসিয়ে $= \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 7^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 49$

$= 21.218$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

উত্তর: ক্ষেত্রফল $21.218$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

খ) চিত্র-১ এ গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $AB = 8$ মি. ও প্রস্থ $AD = 6$ মি.। ক্ষেত্রফল $= 8 \times 6 = 48$ বর্গমিটার।

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ মি.

আয়তক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত এবং অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ, তাই কর্ণই বৃত্তের ব্যাস। ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{10}{2} = 5$ মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.1416 \times 5^2 = 78.54$ বর্গমিটার

গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল $= 78.54 - 48 = 30.54$ বর্গমিটার

উত্তর: গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল $30.54$ বর্গমিটার (প্রায়)

গ) চিত্র-২ এ সিলিন্ডারটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধরি ভূমির ব্যাসার্ধ $r$ সে.মি. এবং উচ্চতা $h = 20$ সে.মি.। আয়তন $V = \pi r^2 h = 2262$

বা, $r^2 = \dfrac{2262}{3.1416 \times 20} = 36.0007$

বা, $r = \sqrt{36.0007} = 6$ সে.মি. (প্রায়)

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r(r + h)$

$= 2 \times 3.1416 \times 6 \times (6 + 20)$

$= 980.18$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

ব্যাখ্যা: সমগ্রতল = বক্রতল $2\pi rh$ + দুই বৃত্তাকার তল $2\pi r^2$।

উত্তর: সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $980.18$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন ১০

50 জন শ্রমিকের বয়সের গণসংখ্যা নিবেশন: শ্রেণিব্যাপ্তি 21–30, 31–40, 41–50, 51–60, 61–70 এবং গণসংখ্যা যথাক্রমে 6, 12, 20, 10, 2।

ক) কোনো শ্রেণির উচ্চসীমা 65 এবং মধ্যমান 62.5 হলে ঐ শ্রেণির নিম্নসীমা নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

শ্রেণির মধ্যমান $= \dfrac{65 + L}{2}$

এখানে $L$ হলো নিম্নসীমা এবং মধ্যমান 62.5।

বা, $62.5 = \dfrac{65 + L}{2}$

বা, $65 + L = 125$

বা, $L = 125 - 65 = 60$

উত্তর: শ্রেণির নিম্নসীমা $60$

খ) প্রদত্ত সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নির্ণয় করি: 21–30 → 6; 31–40 → 6+12 = 18; 41–50 → 18+20 = 38; 51–60 → 38+10 = 48; 61–70 → 48+2 = 50।

মোট গণসংখ্যা $n = 50$, তাই $\dfrac{n}{2} = 25$।

25তম পদ 41–50 শ্রেণিতে পড়ে (কারণ ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 18 < 25 ≤ 38)। এটিই মধ্যক শ্রেণি।

এখানে $L = 41$, পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $F_c = 18$, মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা $f_m = 20$ এবং শ্রেণিব্যাপ্তি $h = 10$।

মধ্যক $= L + \left(\dfrac{n}{2} - F_c\right) \times \dfrac{h}{f_m}$

$= 41 + (25 - 18) \times \dfrac{10}{20}$

$= 41 + 7 \times \dfrac{10}{20} = 41 + 3.5 = 44.5$

উত্তর: মধ্যক $= 44.5$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: শ্রেণিগুলো অন্তর্ভুক্ত (21–30, 31–40, ...) হওয়ায় সঠিক শ্রেণিসীমা ধরলে $L = 40.5$ হয় এবং মধ্যক $= 40.5 + 3.5 = 44$ আসে। বোর্ডের উত্তরমালা $L = 41$ নিয়ে $44.5$ দিয়েছে; পরীক্ষায় বোর্ডের পদ্ধতিই অনুসরণ করা নিরাপদ।

গ) প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ আঁক। (৪ নম্বর)

সমাধান:

প্রতিটি শ্রেণির মধ্যবিন্দু $= \dfrac{21 + 30}{2}$

শ্রেণি মধ্যবিন্দু ও গণসংখ্যা: 21–30 → 25.5 (গণসংখ্যা 6); 31–40 → 35.5 (12); 41–50 → 45.5 (20); 51–60 → 55.5 (10); 61–70 → 65.5 (2)।

ছক কাগজে $X$-অক্ষ বরাবর শ্রেণি মধ্যবিন্দু এবং $Y$-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নিই। উভয় অক্ষে সুবিধামতো স্কেল নিই, যেমন $X$-অক্ষে 10 একক = 1 ঘর, $Y$-অক্ষে 5 গণসংখ্যা = 1 ঘর।

বিন্দুগুলো $(25.5, 6), (35.5, 12), (45.5, 20), (55.5, 10), (65.5, 2)$ বসাই। প্রথম শ্রেণির আগের মধ্যবিন্দু 15.5 এবং শেষ শ্রেণির পরের মধ্যবিন্দু 75.5 তে গণসংখ্যা 0 ধরে $(15.5, 0)$ ও $(75.5, 0)$ বসাই।

বিন্দুগুলো ক্রমান্বয়ে সরলরেখা দিয়ে যোগ করলে গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়।

উত্তর: চিত্রে গণসংখ্যা বহুভুজ দেখানো হলো।

প্রশ্ন ১১

দশম শ্রেণির 30 জন শিক্ষার্থীর গণিত বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরগুলো নিম্নে দেওয়া হলো: 75, 65, 80, 55, 60, 80, 50, 75, 64, 70, 80, 75, 55, 80, 70, 75, 67, 80, 90, 72, 93, 85, 69, 74, 80, 78, 64, 80, 85, 99

ক) হাতির সংখ্যা কোন ধরনের চলক এবং কেন? (২ নম্বর)

সমাধান:

চলক দুই ধরনের: বিচ্ছিন্ন চলক ও অবিচ্ছিন্ন চলক।

হাতির সংখ্যা গণনা করে পাওয়া যায় এবং এটি কেবল পূর্ণসংখ্যা মান (1, 2, 3, ...) নিতে পারে; দুটি পূর্ণসংখ্যার মাঝের ভগ্নাংশ মান (যেমন 2.5 টি হাতি) হতে পারে না।

উত্তর: হাতির সংখ্যা একটি বিচ্ছিন্ন চলক, কারণ এর মান শুধু পূর্ণসংখ্যা হয়।

খ) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

সর্বোচ্চ নম্বর 99 ও সর্বনিম্ন নম্বর 50। পরিসর $= (99 - 50) + 1 = 50$

শ্রেণিব্যাপ্তি 5 ধরলে শ্রেণি সংখ্যা $= \dfrac{50}{5} = 10$ টি।

প্রতি শ্রেণির গণসংখ্যা গণনা করে সারণি তৈরি করি। কল্পিত গড় $a = 77$ (শ্রেণি 75–79 এর মধ্যমান) এবং $u_i = \dfrac{x_i - a}{h}$, যেখানে $h = 5$:

শ্রেণি 50–54: মধ্যমান 52, গণসংখ্যা 1, $u = -5$, $f u = -5$

শ্রেণি 55–59: মধ্যমান 57, গণসংখ্যা 2, $u = -4$, $f u = -8$

শ্রেণি 60–64: মধ্যমান 62, গণসংখ্যা 3, $u = -3$, $f u = -9$

শ্রেণি 65–69: মধ্যমান 67, গণসংখ্যা 3, $u = -2$, $f u = -6$

শ্রেণি 70–74: মধ্যমান 72, গণসংখ্যা 4, $u = -1$, $f u = -4$

শ্রেণি 75–79: মধ্যমান 77, গণসংখ্যা 5, $u = 0$, $f u = 0$

শ্রেণি 80–84: মধ্যমান 82, গণসংখ্যা 7, $u = 1$, $f u = 7$

শ্রেণি 85–89: মধ্যমান 87, গণসংখ্যা 2, $u = 2$, $f u = 4$

শ্রেণি 90–94: মধ্যমান 92, গণসংখ্যা 2, $u = 3$, $f u = 6$

শ্রেণি 95–99: মধ্যমান 97, গণসংখ্যা 1, $u = 4$, $f u = 4$

এখানে $n = 30$ এবং $\sum f_i u_i = -32 + 21 = -11$

গাণিতিক গড় $\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_i u_i}{n} \times h$

$= 77 + \dfrac{-11}{30} \times 5$

$= 77 - 1.83 = 75.17$

ব্যাখ্যা: সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে একটি কল্পিত গড় ধরে বিচ্যুতি নিয়ে হিসাব সহজ করা হয়।

উত্তর: গাণিতিক গড় $75.17$

গ) উপাত্তের অজিভ রেখা অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি: 50–54 → 1; 55–59 → 1+2 = 3; 60–64 → 3+3 = 6; 65–69 → 6+3 = 9; 70–74 → 9+4 = 13; 75–79 → 13+5 = 18; 80–84 → 18+7 = 25; 85–89 → 25+2 = 27; 90–94 → 27+2 = 29; 95–99 → 29+1 = 30।

ছক কাগজে $X$-অক্ষ বরাবর শ্রেণিব্যাপ্তির উচ্চসীমা এবং $Y$-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিই। উপযুক্ত স্কেল ধরি, যেমন $Y$-অক্ষে 5 গণসংখ্যা = 1 ঘর।

বিন্দুগুলো বসাই: $(49, 0), (54, 1), (59, 3), (64, 6), (69, 9), (74, 13), (79, 18), (84, 25), (89, 27), (94, 29), (99, 30)$। (প্রথম শ্রেণির আগের উচ্চসীমা 49 তে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 0।)

বিন্দুগুলো মসৃণ রেখা দিয়ে যোগ করলে অজিভ রেখা পাওয়া যায়।

উত্তর: চিত্রে অজিভ রেখা দেখানো হলো।