SSC Math Cumilla Board 2025 Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

$b, a, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{c}$, তাই $a^2 = bc$। (i সত্য)

(ii) $\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{c}$, $\dfrac{c}{a}$ নয়। (ii মিথ্যা)

(iii) $\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{c}$ থেকে বিয়োজন-যোজন করে $\dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{c+a}{c-a}$। সংখ্যা বসিয়েও যাচাই করা যায়: $b=1, a=2, c=4$ হলে $\dfrac{3}{1} = \dfrac{6}{2} = 3$। (iii সত্য)

ব্যাখ্যা: কেবল i ও iii সঠিক।

উত্তর: গ) i ও iii

নিচের উদ্দীপকের আলোকে ২ ও ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: চিত্রে $\angle ACB = 60\degree$, $\angle ADB = 30\degree$, $\angle EAD = 30\degree$, $BC = 18$, $AB \perp DC$।

2. $AC$ এর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 9 মিটার     খ) $9\sqrt{3}$ মিটার     গ) $12\sqrt{3}$ মিটার     ঘ) 36 মিটার

সমাধান:

সমকোণী $\triangle ABC$ এ $\cos 60\degree = \dfrac{BC}{AC}$

বা, $AC = \dfrac{BC}{\cos 60\degree} = \dfrac{18}{1/2} = 36$

ব্যাখ্যা: $\cos$ অনুপাত দিয়ে অতিভুজ $AC$ বের করা হয়েছে।

উত্তর: ঘ) 36 মিটার

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: চিত্রে BC = 18 সে.মি. লেখা আছে কিন্তু বিকল্পগুলোর একক মিটার; তাই এখানে সংখ্যাটি মিটার ধরে উত্তর বের করা হয়েছে।

3. $AD$ এর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক) $36\sqrt{3}$     খ) 36     গ) $12\sqrt{3}$     ঘ) 12

সমাধান:

$AB = BC \tan 60\degree = 18\sqrt{3}$

$\triangle ABD$ এ $\angle ADB = 30\degree$, তাই $\sin 30\degree = \dfrac{AB}{AD}$

বা, $AD = \dfrac{AB}{\sin 30\degree} = 18\sqrt{3} \times 2 = 36\sqrt{3}$

ব্যাখ্যা: $EA \parallel DB$ হওয়ায় $\angle ADB = \angle EAD = 30\degree$ (একান্তর কোণ)।

উত্তর: ক) $36\sqrt{3}$

4. 2 সে.মি. এবং 3 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক) 5 সে.মি.     খ) 4 সে.মি.     গ) 3 সে.মি.     ঘ) 1 সে.মি.

সমাধান:

বহিঃস্পর্শের ক্ষেত্রে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফলের সমান।

দূরত্ব $= 2 + 3 = 5$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: অন্তঃস্পর্শ হলে দূরত্ব হতো ব্যাসার্ধের বিয়োগফল $3-2=1$ সে.মি.।

উত্তর: ক) 5 সে.মি.

5. সুষম পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দুতে উৎপন্ন কোণের মান কত?

ক) 72°     খ) 90°     গ) 108°     ঘ) 144°

সমাধান:

সুষম $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ $= \dfrac{(2n-4) \times 90\degree}{n}$

$n = 5$ হলে $= \dfrac{6 \times 90\degree}{5} = 108\degree$

ব্যাখ্যা: পঞ্চভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি $540\degree$; ৫টি কোণ সমান হলে প্রতিটি $108\degree$।

উত্তর: গ) 108°

6. কোন শর্তে $a^x = a^y$ হলে $x = y$ হবে?

ক) $a < 0, a \neq 1$     খ) $a > 0, y < 1$     গ) $a > 0, x > 1$     ঘ) $a > 0, a \neq 1$

সমাধান:

সূচকের সমতার নিয়মে ভিত্তি $a$ ধনাত্মক এবং $a \neq 1$ হতে হবে।

$a = 1$ হলে $1^x = 1^y$ সবসময় সত্য, কিন্তু তখন $x = y$ নাও হতে পারে।

$a$ ঋণাত্মক হলে $a^x$ সব বাস্তব $x$ এর জন্য সংজ্ঞায়িত নয়।

ব্যাখ্যা: শর্তটি হলো $a > 0$ এবং $a \neq 1$।

উত্তর: ঘ) $a > 0, a \neq 1$

7. $\log_x 4 = 2$ হলে $x$ এর মান কত?

ক) 2     খ) $\pm 2$     গ) 4     ঘ) 10

সমাধান:

লগের সংজ্ঞা অনুযায়ী $x^2 = 4$

বা, $x = \pm 2$

লগের ভিত্তি ধনাত্মক হতে হয়, তাই $x = 2$

ব্যাখ্যা: ভিত্তি $x$ ঋণাত্মক হতে পারে না।

উত্তর: ক) 2

8. $PQR$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle Q = 1$ সমকোণ এবং $\angle P = 2\angle R$ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) $PR = 2QR$     খ) $PQ = 2PR$     গ) $PR = 2PQ$     ঘ) $QR = 2PQ$

সমাধান:

$\angle Q = 90\degree$, $\angle P + \angle R = 90\degree$ এবং $\angle P = 2\angle R$

তাই $3\angle R = 90\degree$, অর্থাৎ $\angle R = 30\degree$ ও $\angle P = 60\degree$।

$\angle R = 30\degree$ এর বিপরীত বাহু $PQ$ এবং অতিভুজ $PR$; $\sin 30\degree = \dfrac{PQ}{PR} = \dfrac{1}{2}$

সুতরাং $PR = 2PQ$।

ব্যাখ্যা: হিসাব অনুযায়ী সঠিক সম্পর্ক $PR = 2PQ$ (গ)।

উত্তর: গ) $PR = 2PQ$ (আমাদের হিসাব অনুযায়ী)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বোর্ডের উত্তরমালায় এই প্রশ্নের উত্তর ঘ) দেওয়া আছে। কিন্তু $\angle P = 60\degree, \angle R = 30\degree$ ধরলে $QR = \sqrt{3}PQ$ এবং $PR = 2PQ$ হয়; তাই $QR = 2PQ$ সঠিক নয়। সম্ভবত উত্তরমালায় ভুল আছে। পরীক্ষার আগে শিক্ষকের সাথে মিলিয়ে নেওয়া ভালো।

9. A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, B = {x : x ∈ A এবং x, 3 এর গুণিতক} হলে B সেটটি নিচের কোনটি?

ক) {6, 9}     খ) {6, 12}     গ) {9, 12}     ঘ) {6, 9, 12}

সমাধান:

$A$ এর যে সদস্যগুলো 3 এর গুণিতক সেগুলোই $B$ এর সদস্য।

$A$ এর সদস্য: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13। এর মধ্যে 3 দিয়ে বিভাজ্য: 6, 9, 12।

ব্যাখ্যা: 13, 7, 8, 10, 11 কোনোটিই 3 এর গুণিতক নয়।

উত্তর: ঘ) {6, 9, 12}

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে ১০ ও ১১ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: শ্রেণিব্যাপ্তি 31–40, 41–50, 51–60, 61–70, 71–80 এর গণসংখ্যা যথাক্রমে 4, 6, 10, 8, 2।

10. মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা কত?

ক) 10     খ) 8     গ) 6     ঘ) 4

সমাধান:

মোট গণসংখ্যা $n = 4 + 6 + 10 + 8 + 2 = 30$, তাই $\dfrac{n}{2} = 15$।

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: 4, 10, 20, 28, 30। 15তম পদ 51–60 শ্রেণিতে পড়ে (কারণ 10 < 15 ≤ 20)।

মধ্যক শ্রেণি 51–60, তার গণসংখ্যা $f_m = 10$।

ব্যাখ্যা: যে শ্রেণিতে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা প্রথম $\dfrac{n}{2}$ ছাড়িয়ে যায় সেটিই মধ্যক শ্রেণি।

উত্তর: ক) 10

11. প্রচুরক কত?

ক) 64.33     খ) 57.67     গ) 56     ঘ) 51

সমাধান:

সর্বোচ্চ গণসংখ্যা 10, প্রচুরক শ্রেণি 51–60: $L = 51$, $f_1 = 10$, $f_0 = 6$, $f_2 = 8$, $h = 10$।

প্রচুরক $= L + \dfrac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h$

$= 51 + \dfrac{10 - 6}{20 - 6 - 8} \times 10 = 51 + \dfrac{40}{6} = 51 + 6.67 = 57.67$

ব্যাখ্যা: প্রচুরক নির্ণয়ের সূত্রে সর্বোচ্চ গণসংখ্যার আগের ও পরের শ্রেণির গণসংখ্যা ব্যবহার হয়।

উত্তর: খ) 57.67

12. কোনো উপাত্তের পরিসর 67 এবং সর্বোচ্চ মান 85 হলে সর্বনিম্ন মান কত?

ক) 17     খ) 18     গ) 19     ঘ) 20

সমাধান:

বোর্ডের পাঠ্যবইয়ের নিয়মে পরিসর $= (M - m) + 1$

এখানে $M = 85$ (সর্বোচ্চ), $m$ সর্বনিম্ন।

$67 = (85 - m) + 1$

বা, $85 - m = 66$, তাই $m = 19$

ব্যাখ্যা: এই পাঠ্যবইয়ে পরিসর $= (M - m) + 1$ ধরা হয়েছে (ডিসক্রিট উপাত্তের ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন দুটোই গণনায় ধরে)।

উত্তর: গ) 19

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: সাধারণ নিয়মে পরিসর $= M - m$ ধরলে সর্বনিম্ন মান 18 হতো (খ); কিন্তু বোর্ডের উত্তরমালা এই বইয়ের নিয়ম $(M - m) + 1$ ধরে গ) 19 দিয়েছে। তাই 19 নেওয়া হলো।

13. $f(x) = x^3 - x - 24$ হলে $x$ এর কোন মানের জন্য $f(x) = 0$ হবে?

ক) 2     খ) 3     গ) 4     ঘ) 6

সমাধান:

বিকল্পের মান বসিয়ে যাচাই করি:

$x = 3$ হলে $f(3) = 27 - 3 - 24 = 0$।

$x = 2$ হলে $f(2) = 8 - 2 - 24 = -18 \neq 0$, $x = 4$ হলে $f(4) = 64 - 4 - 24 = 36 \neq 0$।

ব্যাখ্যা: $f(x) = 0$ হতে হলে $x$ বসিয়ে মান শূন্য হতে হয়।

উত্তর: খ) 3

14. কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ—

ক) পূরককোণ     খ) সমকোণ     গ) সূক্ষ্মকোণ     ঘ) স্থূলকোণ

সমাধান:

অধিচাপ হলো অর্ধবৃত্তের চেয়ে বড় চাপ।

অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। অধিচাপ $180\degree$ এর বেশি হলে এর ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ (সংশ্লিষ্ট ক্ষুদ্রচাপের) $180\degree$ এর কম, তাই বৃত্তস্থ কোণ $90\degree$ এর কম।

ব্যাখ্যা: অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ; উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ; অর্ধবৃত্তে সমকোণ।

উত্তর: গ) সূক্ষ্মকোণ

15. $2x + \dfrac{2}{x} = 3$ হলে $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{1}{4}$     খ) 1     গ) $\dfrac{9}{5}$     ঘ) $\dfrac{17}{4}$

সমাধান:

$2x + \dfrac{2}{x} = 3$, বা $2\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 3$, তাই $x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2}$

$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = \dfrac{9}{4} - 2 = \dfrac{1}{4}$

ব্যাখ্যা: ২ কমন নিয়ে $x + \dfrac{1}{x}$ বের করা হয়েছে।

উত্তর: ক) $\dfrac{1}{4}$

16. $0.\dot{2} \times 0.\dot{1}6$ = কত?

ক) 0.0032     খ) $0.0\dot{3}\dot{7}$     গ) $0.\dot{3}\dot{2}$     ঘ) 0.32

সমাধান:

$0.\dot{2} = \dfrac{2}{9}$; $0.\dot{1}6 = \dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$

গুণফল $= \dfrac{2}{9} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{27}$

$\dfrac{1}{27} = 0.037037... = 0.0\dot{3}\dot{7}$

ব্যাখ্যা: আবৃত্ত দশমিককে সামান্য ভগ্নাংশে রূপান্তর করে গুণ করা হয়েছে।

উত্তর: খ) $0.0\dot{3}\dot{7}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নপত্রে আবৃত্তির বিন্দু স্পষ্ট নয়; উত্তরমালার খ) অনুযায়ী $0.\dot{2} \times 0.\dot{1}6$ ধরা হয়েছে।

17. কোনো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের—

ক) অর্ধেক     খ) সমান     গ) দ্বিগুণ     ঘ) চারগুণ

সমাধান:

বর্গের বাহু $a$ হলে ক্ষেত্রফল $a^2$, কর্ণ $= a\sqrt{2}$।

কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল $= (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$।

$a^2 = \dfrac{1}{2} \times 2a^2$, অর্থাৎ অর্ধেক।

ব্যাখ্যা: কর্ণের ওপর বর্গ আঁকলে ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়, তাই আসল বর্গ তার অর্ধেক।

উত্তর: ক) অর্ধেক

18. $(x-4)^2 = 0$ সমীকরণের মূল কতটি?

ক) 1     খ) 2     গ) 3     ঘ) 4

সমাধান:

$(x-4)^2 = 0$ মানে $(x-4)(x-4) = 0$

$x = 4$ অথবা $x = 4$; অর্থাৎ দুটি মূল সমান।

ব্যাখ্যা: দ্বিঘাত সমীকরণের মূল সংখ্যা ২টি (এখানে সমান মূল)।

উত্তর: খ) 2

19. $64 + 32 + 16 + 8 + ...$ ধারার অষ্টম পদ কত?

ক) $\dfrac{1}{4}$     খ) $\dfrac{1}{2}$     গ) 2     ঘ) 4

সমাধান:

ধারাটি গুণোত্তর: প্রথম পদ $a = 64$, সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{32}{64} = \dfrac{1}{2}$

অষ্টম পদ $= ar^7 = 64 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^7 = 2^6 \times 2^{-7} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$

ব্যাখ্যা: $n$-তম পদ $ar^{n-1}$ সূত্রে $n=8$।

উত্তর: খ) $\dfrac{1}{2}$

নিচের তথ্যের আলোকে ২০ ও ২১ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: $x^2 = \sqrt{5}x - 1$

20. $x + \dfrac{1}{x}$ = কত?

ক) $-3$     খ) $-\sqrt{5}$     গ) $\sqrt{5}$     ঘ) 3

সমাধান:

$x^2 = \sqrt{5}x - 1$, বা $x^2 + 1 = \sqrt{5}x$

$x$ দিয়ে ভাগ করে $x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{5}$

ব্যাখ্যা: উভয়পক্ষকে $x$ দিয়ে ভাগ করা হয়েছে ($x \neq 0$)।

উত্তর: গ) $\sqrt{5}$

21. $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ এর মান নিচের কোনটি?

ক) 0     খ) $2\sqrt{5}$     গ) $3\sqrt{5}$     ঘ) $8\sqrt{5}$

সমাধান:

$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)$

$= (\sqrt{5})^3 - 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

ব্যাখ্যা: আগের প্রশ্ন থেকে $x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{5}$ বসানো হয়েছে।

উত্তর: খ) $2\sqrt{5}$

22. সর্বনিম্ন কয়টি উপাত্ত জানা থাকলে একটি সামান্তরিক অঙ্কন সম্ভব?

ক) 6     খ) 5     গ) 4     ঘ) 3

সমাধান:

সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ জানা থাকলে সামান্তরিক আঁকা যায়।

অর্থাৎ ৩টি উপাত্ত দরকার।

ব্যাখ্যা: চতুর্ভুজের জন্য সাধারণত ৫টি, কিন্তু সামান্তরিকের বিশেষ ধর্মের কারণে ৩টি যথেষ্ট।

উত্তর: ঘ) 3

23. চিত্রে $\theta$ এর মান কত? (চিত্রে $\angle B = 90\degree$, $AC = 2$, $CB = \sqrt{3}$)

ক) 90°     খ) 60°     গ) 45°     ঘ) 30°

সমাধান:

সমকোণী $\triangle ABC$ এ $\cos\theta = \dfrac{CB}{AC} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\theta = \cos 30\degree$, তাই $\theta = 30\degree$

ব্যাখ্যা: সংলগ্ন বাহু ও অতিভুজ থেকে $\cos$ অনুপাত নির্ণয় করা হয়েছে।

উত্তর: ঘ) 30°

24. $P = \{2, 4, 6, 8\}$ সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

ক) 4     খ) 8     গ) 15     ঘ) 16

সমাধান:

উপাদান সংখ্যা $n = 4$, মোট উপসেট $= 2^4 = 16$।

প্রকৃত উপসেট $= 2^n - 1 = 16 - 1 = 15$

ব্যাখ্যা: সেটটি নিজে প্রকৃত উপসেট নয়, তাই ১টি বাদ যায়।

উত্তর: গ) 15

25. বৃত্তের ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা কত?

ক) 0     খ) 1     গ) 2     ঘ) অসীম

সমাধান:

বৃত্তকে কেন্দ্রের সাপেক্ষে যেকোনো কোণে ঘোরালে সেটি নিজের সাথে মিলে যায়।

তাই ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের ক্রম অসীম।

ব্যাখ্যা: বৃত্তের ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা অসীম।

উত্তর: ঘ) অসীম

26. 0.0035 এর সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

ক) $\bar{3}$     খ) $\bar{2}$     গ) 1     ঘ) 3

সমাধান:

$0.0035 = 3.5 \times 10^{-3}$

দশমিকের পর প্রথম অশূন্য অঙ্ক তৃতীয় স্থানে, তাই পূর্ণক $= -3 = \bar{3}$

ব্যাখ্যা: এখানে ঘাত $-3$ ই পূর্ণক।

উত্তর: ক) $\bar{3}$

27. একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক) 2132.72     খ) 530.93     গ) 163.36     ঘ) 81.68

সমাধান:

ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{26}{2} = 13$ সে.মি.

ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.1416 \times 13^2 = 3.1416 \times 169$

$= 530.93$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

ব্যাখ্যা: ব্যাস দেওয়া থাকলে আগে ব্যাসার্ধ বের করতে হয়।

উত্তর: খ) 530.93

28. $x + 3y = 1, 2x + 6y = 2$ সমীকরণ জোড়টি— i. সামঞ্জস্য ii. পরস্পর নির্ভরশীল iii. এর একটিমাত্র সমাধান আছে। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{1}{2}, \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}, \dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{1}{2}$

তিনটি অনুপাত সমান, তাই সমীকরণ দুটি সামঞ্জস্য ও পরস্পর নির্ভরশীল এবং অসংখ্য সমাধান আছে।

একটিমাত্র সমাধান আছে এই দাবি (iii) মিথ্যা।

ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় সমীকরণ প্রথমটির দ্বিগুণ; তাই দুটি একই রেখা।

উত্তর: ক) i ও ii

29. চিত্রে $\angle BOC$ এর পূরক কোণ কোনটি? (চিত্রে $OD \perp AB$)

ক) $\angle AOC$     খ) $\angle BOD$     গ) $\angle AOD$     ঘ) $\angle DOC$

সমাধান:

$\angle BOD = 90\degree$ এবং $\angle BOC + \angle COD = \angle BOD = 90\degree$

সুতরাং $\angle BOC$ এর পূরক কোণ $\angle COD = \angle DOC$।

ব্যাখ্যা: যে দুটি কোণের সমষ্টি 90° তারা পরস্পরের পূরক।

উত্তর: ঘ) $\angle DOC$

30. চিত্রের আয়তক্ষেত্রে দাগাঙ্কিত অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? (আয়তক্ষেত্র 10 সে.মি. × 6 সে.মি.; ভিতরের বৃত্তের ব্যাস 6 সে.মি.)

ক) 28.27     খ) 31.73     গ) 33.27     ঘ) 60

সমাধান:

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 10 \times 6 = 60$ বর্গ সে.মি.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = 3$ সে.মি.; বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.1416 \times 9 = 28.27$

দাগাঙ্কিত অংশ $= 60 - 28.27 = 31.73$ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা: দাগাঙ্কিত অংশ হলো আয়তক্ষেত্র থেকে বৃত্ত বাদ দিলে যা থাকে।

উত্তর: খ) 31.73

সৃজনশীল প্রশ্ন – সমাধান ও ব্যাখ্যা

বোর্ড পরীক্ষায় ক-বিভাগ (বীজগণিত) থেকে ২টি, খ-বিভাগ (জ্যামিতি) থেকে ২টি, গ-বিভাগ (ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি) থেকে ২টি এবং ঘ-বিভাগ (পরিসংখ্যান) থেকে ১টি, মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। এখানে সবগুলোর সমাধান দেওয়া হলো।

প্রশ্ন ১

দেওয়া আছে: $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 322$ এবং $a = 9 + 4\sqrt{5}$, যেখানে $x > 0, a > 0$।

ক) $x - \dfrac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 322$

বা, $\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} = 322$

বা, $\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 + 2 = 322$

বা, $\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = 320$

বা, $x - \dfrac{1}{x} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$

ব্যাখ্যা: (বোর্ডের উত্তরমালায় $x>0$ ধরে ধনাত্মক মান নেওয়া হয়েছে; খ) অংশের সাথে সঙ্গতি রেখে $x>1$ ধরা হলো।)

উত্তর: মান $8\sqrt{5}$

খ) প্রমাণ কর যে, $x\sqrt{x} - \dfrac{1}{x\sqrt{x}} = 76$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

‘ক’ থেকে পাই, $x - \dfrac{1}{x} = 8\sqrt{5}$, বা $\dfrac{x^2 - 1}{x} = 8\sqrt{5}$

বা, $x^2 - 1 = 8\sqrt{5}x$, বা $x^2 - 8\sqrt{5}x - 1 = 0$

বা, $x^2 - 2 \cdot x \cdot 4\sqrt{5} + (4\sqrt{5})^2 - 1 - (4\sqrt{5})^2 = 0$

বা, $(x - 4\sqrt{5})^2 = 1 + 80 = 81$

বা, $x - 4\sqrt{5} = 9$ (কারণ $x > 0$), তাই $x = 9 + 4\sqrt{5}$

$x = 5 + 2\sqrt{5} \cdot 2 + 4 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{5} + 2)^2$

তাই $\sqrt{x} = \sqrt{5} + 2$; $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}+2} = \dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \dfrac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5} - 2$

$\sqrt{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} = (\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{5} - 2) = 4$

বামপক্ষ $= x\sqrt{x} - \dfrac{1}{x\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^3 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^3$

$= \left(\sqrt{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^3 + 3 \cdot \sqrt{x} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} \left(\sqrt{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$

$= 4^3 + 3 \times 4 = 64 + 12 = 76$ = ডানপক্ষ

উত্তর: $x\sqrt{x} - \dfrac{1}{x\sqrt{x}} = 76$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $(\sqrt{a} - 2)$ এর মান একটি অমূলদ সংখ্যা। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

$a = 9 + 4\sqrt{5} = 4 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + 5 = (2 + \sqrt{5})^2$

তাই $\sqrt{a} = 2 + \sqrt{5}$ এবং $\sqrt{a} - 2 = \sqrt{5}$।

$\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। প্রমাণ: ধরি $\sqrt{5} = \dfrac{p}{q}$, যেখানে $p, q$ সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে $p^2 = 5q^2$, তাই $5$ দ্বারা $p^2$ বিভাজ্য, অতএব $p$ ও 5 দ্বারা বিভাজ্য। $p = 5k$ বসালে $q^2 = 5k^2$, তাই $q$ ও 5 দ্বারা বিভাজ্য। এটি $p, q$ সহমৌলিক হওয়ার বিরোধী।

সুতরাং $\sqrt{5}$ অমূলদ এবং $\sqrt{a} - 2 = \sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

উত্তর: $\sqrt{a} - 2 = \sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ২

(i) $ax + bx - 6ab = 0; a \neq b$। (ii) একটি জমির ক্ষেত্রফল 864 বর্গমিটার। ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সঙ্গে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে $4 : 3$ এবং $3 : 2$।

ক) দুইটি সংখ্যার অনুপাত $4 : 5$। এদের ল.সা.গু. 60। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ধরি সংখ্যা দুইটি $4x$ ও $5x$। এদের ল.সা.গু. $= 20x$ (কারণ 4 ও 5 সহমৌলিক)।

প্রশ্নমতে $20x = 60$, বা $x = \dfrac{60}{20} = 3$

প্রথম সংখ্যা $= 4x = 4 \times 3 = 12$; দ্বিতীয় সংখ্যা $= 5x = 5 \times 3 = 15$

উত্তর: সংখ্যা দুইটি $12$ ও $15$

খ) $\dfrac{x + 3a}{x - 3a} + \dfrac{x + 3b}{x - 3b}$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে $ax + bx - 6ab = 0$

বা, $ax + bx = 6ab$, বা $x(a + b) = 6ab$, তাই $x = \dfrac{6ab}{a + b}$

বা, $\dfrac{x}{3a} = \dfrac{2b}{a + b}$ ($3a$ দ্বারা ভাগ করে)

যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{x + 3a}{x - 3a} = \dfrac{2b + a + b}{2b - a - b} = \dfrac{a + 3b}{b - a}$ ... (i)

আবার $x = \dfrac{6ab}{a + b}$, বা $\dfrac{x}{3b} = \dfrac{2a}{a + b}$ ($3b$ দ্বারা ভাগ করে)

যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{x + 3b}{x - 3b} = \dfrac{2a + a + b}{2a - a - b} = \dfrac{3a + b}{a - b}$ ... (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে: $\dfrac{x + 3a}{x - 3a} + \dfrac{x + 3b}{x - 3b} = \dfrac{a + 3b}{b - a} + \dfrac{3a + b}{a - b}$

$= \dfrac{a + 3b}{b - a} - \dfrac{3a + b}{b - a} = \dfrac{a + 3b - 3a - b}{b - a} = \dfrac{2(b - a)}{b - a} = 2$

উত্তর: মান $2$

গ) অপর জমির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধরি প্রথম জমির দৈর্ঘ্য $4x$ মিটার ও প্রস্থ $3y$ মিটার; দ্বিতীয় জমির দৈর্ঘ্য $3x$ মিটার ও প্রস্থ $2y$ মিটার।

প্রথম জমির ক্ষেত্রফল $= 4x \times 3y = 12xy$ বর্গমিটার

দ্বিতীয় জমির ক্ষেত্রফল $= 3x \times 2y = 6xy$ বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলের অনুপাত $= 12xy : 6xy = 2 : 1$

প্রশ্নমতে প্রথম জমির ক্ষেত্রফল ÷ দ্বিতীয় জমির ক্ষেত্রফল $= 2$, অর্থাৎ $\dfrac{864}{A_2} = 2$

বা, $A_2 = \dfrac{864}{2} = 432$

উত্তর: অপর জমির ক্ষেত্রফল $432$ বর্গমিটার

প্রশ্ন ৩

একটি সমান্তর ও একটি গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ যথাক্রমে $25 - 4n$ এবং $2^{\left(\frac{1}{2} - n\right)}$।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); তাই (ক), (খ) ও (গ) তিনটিই আমাদের নিজেদের সমাধান।

ক) $4^{2p-1} = 128$ হলে $p$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

$4^{2p-1} = 128$

বা, $(2^2)^{2p-1} = 2^7$

বা, $2^{4p-2} = 2^7$

ভিত্তি সমান, তাই ঘাত সমান: $4p - 2 = 7$

বা, $4p = 9$, তাই $p = \dfrac{9}{4}$

উত্তর: $p = \dfrac{9}{4}$

খ) সমান্তর ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের যোগফল $-187$ হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

সমান্তর ধারার $n$-তম পদ $25 - 4n$। প্রথম পদ $a = 25 - 4 = 21$, দ্বিতীয় পদ $25 - 8 = 17$, সাধারণ অন্তর $d = 17 - 21 = -4$।

$S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d] = -187$

বা, $\dfrac{n}{2}[42 - 4(n-1)] = -187$

বা, $n(46 - 4n) = -374$, বা $n(23 - 2n) = -187$

বা, $2n^2 - 23n - 187 = 0$

$n = \dfrac{23 \pm \sqrt{529 + 1496}}{4} = \dfrac{23 \pm \sqrt{2025}}{4} = \dfrac{23 \pm 45}{4}$

$n = 17$ অথবা $n = -\dfrac{11}{2}$; পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $S_{17} = \dfrac{17}{2}(42 - 64) = \dfrac{17}{2} \times (-22) = -187$।

উত্তর: $n = 17$

গ) গুণোত্তর ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ $= 2^{\frac{1}{2} - n}$

প্রথম পদ $a = 2^{\frac{1}{2} - 1} = 2^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

দ্বিতীয় পদ $= 2^{\frac{1}{2} - 2} = 2^{-\frac{3}{2}}$; সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{2^{-3/2}}{2^{-1/2}} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$

$S_7 = \dfrac{a(1 - r^7)}{1 - r} = \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}} \left(1 - \frac{1}{128}\right)}{\frac{1}{2}}$

$= \dfrac{2}{\sqrt{2}} \times \dfrac{127}{128} = \sqrt{2} \times \dfrac{127}{128} = \dfrac{127\sqrt{2}}{128}$

$\approx 1.4032$

উত্তর: প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি $\dfrac{127\sqrt{2}}{128} \approx 1.4032$

প্রশ্ন ৪

$\triangle PQR$-এর $PQ$ ও $PR$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $S$ ও $T$।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); তাই (ক), (খ), (গ) সবই আমাদের নিজেদের সমাধান।

ক) $AB = 6$ সে.মি., $AC = 8$ সে.মি. এবং $\angle BAC = 60\degree$ হলে $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল কত? (২ নম্বর)

সমাধান:

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 60\degree$

$= \dfrac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$= 12\sqrt{3}$

উত্তর: ক্ষেত্রফল $12\sqrt{3}$ বর্গ সে.মি. $\approx 20.78$ বর্গ সে.মি.

খ) প্রমাণ কর যে, $ST \parallel QR$ এবং $QR = 2ST$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এ $S$ ও $T$ যথাক্রমে $PQ$ ও $PR$ এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $ST \parallel QR$ এবং $QR = 2ST$।

অঙ্কন: $ST$ কে $D$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $TD = ST$ হয়; $D, R$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle PST$ ও $\triangle TDR$-এ $PT = TR$ (T মধ্যবিন্দু), $ST = TD$ (অঙ্কন), $\angle PTS = \angle DTR$ (বিপ্রতীপ কোণ)

সুতরাং $\triangle PST \cong \triangle TDR$; অতএব $PS = DR$ এবং $\angle PST = \angle TDR$

এরা একান্তর কোণ, তাই $PQ \parallel DR$। আবার $SQ = PS = DR$, তাই $SQ = DR$ এবং $SQ \parallel DR$।

অতএব $SQRD$ একটি সামান্তরিক; তাই $SD \parallel QR$ এবং $SD = QR$।

$ST = \dfrac{1}{2}SD$, তাই $ST \parallel QR$ এবং $QR = SD = 2ST$

উত্তর: $ST \parallel QR$ এবং $QR = 2ST$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $\triangle PST$ এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{4}(\triangle PQR)$ এর ক্ষেত্রফল। (৪ নম্বর)

সমাধান:

‘খ’ থেকে $ST \parallel QR$ এবং $ST = \dfrac{1}{2}QR$।

$\triangle PST$ ও $\triangle PQR$-এ $\angle P$ সাধারণ এবং $\angle PST = \angle PQR$ (অনুরূপ কোণ), তাই ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।

সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত সংশ্লিষ্ট বাহুর বর্গের অনুপাতের সমান:

$\dfrac{\triangle PST}{\triangle PQR} = \dfrac{ST^2}{QR^2} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$

অতএব $\triangle PST = \dfrac{1}{4} \triangle PQR$ (প্রমাণিত)

উত্তর: $\triangle PST = \dfrac{1}{4} \triangle PQR$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৫

একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ $\angle B = 60\degree$ এবং $\angle C = 45\degree$; শীর্ষ থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $6$ সে.মি.।

ক) একটি বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক] (২ নম্বর)

সমাধান:

বৃত্তের উপর তিনটি বিন্দু $A, B, C$ নিই এবং $AB$ ও $BC$ যোগ করি।

$AB$ ও $BC$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে $EF$ ও $GH$ আঁকি।

লম্বদ্বিখণ্ডক দুটি পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $O$ বিন্দুই নির্ণেয় কেন্দ্র।

উত্তর: $O$ বিন্দুই বৃত্তের কেন্দ্র

খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: ধরি একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ $\angle B = 60\degree$ ও $\angle C = 45\degree$ এবং শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $h = 6$ সে.মি.। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন (১): যেকোনো রেখা হতে $XR = h = 6$ সে.মি. কাটি।

(২): $XR$ রেখার উপর $X$ ও $R$ বিন্দুতে যথাক্রমে $PXQ$ ও $MRN$ লম্ব আঁকি।

(৩): $PQ$ রেখার $X$ বিন্দুতে $\angle PXY = \angle B = 60\degree$ এবং $\angle QXZ = \angle C = 45\degree$ আঁকি।

(৪): $XY$ ও $XZ$ রেখা দুটি $MN$ রেখাকে যথাক্রমে $Y$ ও $Z$ বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে $\triangle XYZ$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

উত্তর: $\triangle XYZ$ নির্ণেয় ত্রিভুজ

গ) ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্যকে একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ধরে বর্গের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: একটি বর্গের বাহু $a = 6$ সে.মি. দেওয়া আছে। এই বর্গের অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কন (১): যেকোনো রশ্মি $AM$ হতে $AB = a$ নিই। $A$ বিন্দুতে $AN \perp AB$ আঁকি।

(২): $AN$ হতে $AD = a$ নিই। $B$ ও $D$ কে কেন্দ্র করে $a$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি যা $C$ বিন্দুতে মিলিত হয়। $B, C$ ও $D, C$ যোগ করি।

(৩): $A, C$ এবং $B, D$ যোগ করি। $AC$ ও $BD$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

(৪): $O$ হতে $AB$ এর উপর $OE$ লম্ব টানি।

(৫): $O$ কে কেন্দ্র করে $OE$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি।

(৬): বৃত্তটি $AB, BC, CD$ ও $DA$ বাহুগুলোকে যথাক্রমে $E, F, G$ ও $H$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।

তাহলে $EFGH$-ই নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত (বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= 3$ সে.মি.)।

উত্তর: নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত অঙ্কিত হলো

প্রশ্ন ৬

$O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তে $KLMN$ চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত।

ক) বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটি স্পর্শক আঁক। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক] (২ নম্বর)

সমাধান:

$O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপর $A$ একটি বিন্দু নিই। $O, A$ যোগ করি।

$A$ বিন্দুতে $AP \perp OA$ আঁকি।

তাহলে $AP$-ই $A$ বিন্দুতে নির্ণেয় স্পর্শক (স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব)।

উত্তর: $AP$ নির্ণেয় স্পর্শক

খ) $\angle MLN + \angle NLK = 90\degree$ হলে প্রমাণ কর যে, $M, O$ এবং $K$ একই সরলরেখায় অবস্থিত। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $KLMN$ অন্তর্লিখিত এবং $\angle MLN + \angle NLK = 90\degree$। প্রমাণ করতে হবে $M, O, K$ একই সরলরেখায় অবস্থিত।

অঙ্কন: $O, M; O, N$ এবং $O, K$ যোগ করি।

প্রমাণ: $MN$ চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ $\angle MON$ এবং বৃত্তস্থ $\angle MLN$ একই চাপের উপর দণ্ডায়মান।

তাই $\angle MON = 2\angle MLN$ [একই চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] ... (১)

অনুরূপভাবে $NK$ চাপের উপর $\angle NOK = 2\angle NLK$ ... (২)

(১) ও (২) যোগ করে: $\angle MON + \angle NOK = 2(\angle MLN + \angle NLK) = 2 \times 90\degree = 180\degree$

$\angle MON$ ও $\angle NOK$ সন্নিহিত কোণ এবং এদের সমষ্টি দুই সমকোণ।

সুতরাং $M, O$ এবং $K$ একই সরলরেখায় অবস্থিত।

উত্তর: $M, O, K$ একই সরলরেখায় অবস্থিত (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, $\angle LMN + \angle LKN = 180\degree$। (৪ নম্বর)

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $KLMN$ চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। প্রমাণ করতে হবে $\angle LMN + \angle LKN = 180\degree$।

অঙ্কন: $O, N$ ও $O, L$ যোগ করি।

প্রমাণ (ধাপ-১): একই চাপ $NKL$-এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ $\angle NOL = 2\angle LMN$ [একই চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

(ধাপ-২): আবার চাপ $NML$-এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ $\angle NOL = 2\angle LKN$

(ধাপ-৩): $\angle NOL$ (প্রবৃদ্ধ) $+ \angle NOL = 4$ সমকোণ।

তাই $2(\angle LMN + \angle LKN) = 4$ সমকোণ

বা, $\angle LMN + \angle LKN = 2$ সমকোণ $= 180\degree$

উত্তর: $\angle LMN + \angle LKN = 180\degree$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৭

$\sec A + \tan A = \dfrac{5}{3}$ এবং $\sin \theta + \cos \theta = p$।

ক) $\sin(60\degree - \alpha) = \dfrac{1}{2}$ হলে $\sec \alpha$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

$\sin(60\degree - \alpha) = \dfrac{1}{2} = \sin 30\degree$

বা, $60\degree - \alpha = 30\degree$

বা, $\alpha = 60\degree - 30\degree = 30\degree$

$\sec \alpha = \sec 30\degree = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

উত্তর: $\sec \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

খ) $(\sin A + \cos A)$ এর মান নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে $\sec A + \tan A = \dfrac{5}{3}$

বা, $\dfrac{1}{\cos A} + \dfrac{\sin A}{\cos A} = \dfrac{5}{3}$, বা $\dfrac{1 + \sin A}{\cos A} = \dfrac{5}{3}$

বর্গ করে: $\dfrac{(1 + \sin A)^2}{\cos^2 A} = \dfrac{25}{9}$, বা $\dfrac{(1 + \sin A)^2}{1 - \sin^2 A} = \dfrac{25}{9}$

বা, $\dfrac{(1 + \sin A)(1 + \sin A)}{(1 + \sin A)(1 - \sin A)} = \dfrac{25}{9}$, বা $\dfrac{1 + \sin A}{1 - \sin A} = \dfrac{25}{9}$

যোজন-বিয়োজন করে: $\dfrac{2}{2\sin A} = \dfrac{34}{16}$, বা $\dfrac{1}{\sin A} = \dfrac{17}{8}$, তাই $\sin A = \dfrac{8}{17}$

$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{225}{289}} = \dfrac{15}{17}$

$\sin A + \cos A = \dfrac{8}{17} + \dfrac{15}{17} = \dfrac{23}{17}$

উত্তর: $\sin A + \cos A = \dfrac{23}{17}$

গ) $2p - 1 = \sqrt{3}$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর, যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ। (৪ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে $2p - 1 = \sqrt{3}$, অর্থাৎ $2(\sin \theta + \cos \theta) = \sqrt{3} + 1$

বা, $2\cos \theta = \sqrt{3} + 1 - 2\sin \theta$

বর্গ করে: $4\cos^2 \theta = (\sqrt{3} + 1 - 2\sin \theta)^2$

বা, $4 - 4\sin^2 \theta = 4 + 2\sqrt{3} - 4(\sqrt{3} + 1)\sin \theta + 4\sin^2 \theta$

বা, $8\sin^2 \theta - 4(\sqrt{3} + 1)\sin \theta + 2\sqrt{3} = 0$

বা, $4\sin^2 \theta - 2(\sqrt{3} + 1)\sin \theta + \sqrt{3} = 0$

বা, $(2\sin \theta - 1)(2\sin \theta - \sqrt{3}) = 0$

হয়, $2\sin \theta = 1$, বা $\sin \theta = \dfrac{1}{2} = \sin 30\degree$, তাই $\theta = 30\degree$

অথবা, $2\sin \theta = \sqrt{3}$, বা $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60\degree$, তাই $\theta = 60\degree$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\theta = 30\degree$ হলে $\sin \theta + \cos \theta = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} = p$, যা $2p - 1 = \sqrt{3}$ মেটায়; $60\degree$-এর জন্যও একই।

উত্তর: $\theta = 30\degree$ অথবা $60\degree$

প্রশ্ন ৮

চিত্র-১: $DA \parallel BC$, $\angle C = 90\degree$, $AC = 18$ মিটার ও $\angle DAB = 45\degree$। চিত্র-২: একটি খুঁটি $S$ বিন্দুতে ভেঙে মাথা $P$ ভূমির $R$ বিন্দু স্পর্শ করেছে; $RQ = 12$ মিটার ও $\angle R = 30\degree$।

ক) $\tan 3x = \cot 6x$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

দেওয়া আছে $\tan 3x = \cot 6x$

বা, $\tan 3x = \tan(90\degree - 6x)$

বা, $3x = 90\degree - 6x$

বা, $9x = 90\degree$

বা, $x = \dfrac{90\degree}{9} = 10\degree$

উত্তর: $x = 10\degree$

খ) চিত্র-১ হতে $AB$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

চিত্রে $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজ, $\angle C = 90\degree$, $AC = 18$ মিটার। $AD \parallel BC$ বলে $\angle DAB = \angle ABC = 45\degree$ (একান্তর কোণ)।

$\triangle ABC$-এ $\sin \angle ABC = \dfrac{AC}{AB}$

বা, $\sin 45\degree = \dfrac{18}{AB}$

বা, $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{18}{AB}$

বা, $AB = 18\sqrt{2} \approx 25.456$

উত্তর: $AB$ এর দৈর্ঘ্য $18\sqrt{2} \approx 25.456$ মিটার

গ) চিত্র-২ হতে $PQ$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই অংশের সমাধান বোর্ডের উত্তরমালায় নেই (২০২৬ সিলেবাস বহির্ভূত); এটি আমাদের সমাধান।

সমাধান:

$\triangle SQR$-এ $\angle Q = 90\degree$, $\angle R = 30\degree$, $RQ = 12$ মিটার।

$\tan 30\degree = \dfrac{SQ}{RQ}$, বা $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{SQ}{12}$, তাই $SQ = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$

$\cos 30\degree = \dfrac{RQ}{SR}$, বা $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{12}{SR}$, তাই $SR = \dfrac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$

খুঁটির ভাঙা অংশ $SP = SR = 8\sqrt{3}$ (কারণ $P$ বিন্দুই $R$-এ পড়েছে)।

$PQ = SQ + SP = 4\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \approx 20.78$

উত্তর: $PQ$ এর দৈর্ঘ্য $12\sqrt{3} \approx 20.78$ মিটার

প্রশ্ন ৯

(i) একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 150 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 5 মি. কম হতো তাহলে এটি একটি বর্গক্ষেত্র হতো। (ii) কোনো ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $6\sqrt{2}$ সে.মি.।

ক) বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির পার্থক্য 60 সে.মি. হলে ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= r$; তাই ব্যাস $= 2r$ ও পরিধি $= 2\pi r$

প্রশ্নমতে, $2\pi r - 2r = 60$

বা, $2r(\pi - 1) = 60$

বা, $r = \dfrac{60}{2(\pi - 1)} = \dfrac{30}{3.1416 - 1} = 14.008$

উত্তর: ব্যাসার্ধ $\approx 14$ সে.মি.

খ) আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $= x$ মিটার এবং প্রস্থ $= y$ মিটার। ক্ষেত্রফল $xy = 150$ ... (i)

দৈর্ঘ্য 5 মিটার কম হলে দৈর্ঘ্য $(x - 5)$ মিটার হয় এবং ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র হয়; বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ সমান, তাই $x - 5 = y$

(i) নং এ $y = x - 5$ বসিয়ে: $x(x - 5) = 150$, বা $x^2 - 5x - 150 = 0$

বা, $x^2 - 15x + 10x - 150 = 0$, বা $x(x - 15) + 10(x - 15) = 0$, বা $(x - 15)(x + 10) = 0$

হয়, $x = 15$ অথবা $x = -10$; দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = 15$।

$y = 15 - 5 = 10$ মিটার

কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}$

উত্তর: কর্ণের দৈর্ঘ্য $5\sqrt{13}$ মিটার

গ) ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সমাধান:

ধরি, ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য $= a$ সে.মি.। তাহলে এর পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $= a\sqrt{2}$।

প্রশ্নমতে, $a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$, তাই $a = 6$

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6a^2 = 6 \times 6^2 = 216$ বর্গ সে.মি.

আয়তন $= a^3 = 6^3 = 216$ ঘন সে.মি.

উত্তর: সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 216 বর্গ সে.মি. এবং আয়তন 216 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন ১০

নিচে একটি গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো:

শ্রেণিব্যাপ্তি	21–30	31–40	41–50	51–60	61–70
গণসংখ্যা	8	12	15	18	7

ক) প্রচুরক শ্রেণির মধ্যবিন্দু নির্ণয় কর। (২ নম্বর)

সমাধান:

প্রদত্ত সারণিতে সর্বাধিক গণসংখ্যা 18 আছে (51–60) শ্রেণিতে। এটাই প্রচুরক শ্রেণি।

প্রচুরক শ্রেণির মধ্যবিন্দু $= \dfrac{51 + 60}{2} = \dfrac{111}{2} = 55.5$

উত্তর: প্রচুরক শ্রেণির মধ্যবিন্দু $55.5$

খ) প্রদত্ত সারণি হতে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি (অনুমিত গড় $a = 45.5$, শ্রেণিদৈর্ঘ্য $h = 10$):

শ্রেণিব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যবিন্দু x	গণসংখ্যা f	u = (x − a)/h	f·u
21–30	25.5	8	−2	−16
31–40	35.5	12	−1	−12
41–50	45.5 ← a	15	0	0
51–60	55.5	18	1	18
61–70	65.5	7	2	14
		n = 60		Σfu = 4

সমাধান:

নির্ণেয় গড় $\bar{x} = a + \dfrac{\sum fu}{n} \times h$

$= 45.5 + \dfrac{4}{60} \times 10$

$= 45.5 + 0.667 = 46.167$

উত্তর: গড় $\approx 46.167$

গ) সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ প্রদত্ত উপাত্তের অজিভ রেখা অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

অজিভ রেখার জন্য প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
21–30	8	8
31–40	12	20
41–50	15	35
51–60	18	53
61–70	7	60

সমাধান:

ছক কাগজে x-অক্ষ বরাবর ছোট ঘরের ১ ঘরকে ২ একক এবং y-অক্ষ বরাবর ১ ঘরকে ১ একক ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ধরে প্রদত্ত উপাত্তের অজিভ রেখা আঁকা হলো। মূলবিন্দু থেকে 20 পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে ভাঙা চিহ্ন (ছেদ চিহ্ন) ব্যবহার করা হয়েছে।

বিন্দুগুলো: $(30, 8)$, $(40, 20)$, $(50, 35)$, $(60, 53)$, $(70, 60)$ এবং শুরুর বিন্দু $(20, 0)$; এদের সরল রেখাংশ দিয়ে যুক্ত করে অজিভ রেখা পাওয়া যায়।

উত্তর: অজিভ রেখা চিত্রে দেখানো হলো

প্রশ্ন ১১

১০ম শ্রেণির 50 জন শিক্ষার্থীর বিজ্ঞান বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো:

শ্রেণিব্যবধান	31–40	41–50	51–60	61–70	71–80	81–90	91–100
গণসংখ্যা	6	8	10	12	5	7	2

ক) সারণি হতে $(f_1 + f_2)$ এর মান নির্ণয় কর, এখানে $f_1$ ও $f_2$ প্রচলিত অর্থ বহন করে। (২ নম্বর)

সমাধান:

প্রদত্ত সারণিতে গণসংখ্যা সর্বাধিক 12, যা আছে (61–70) শ্রেণিতে। যা প্রচুরক শ্রেণি।

প্রচুরক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা 10 এবং পরবর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা 5।

$f_1 = 12 - 10 = 2$

$f_2 = 12 - 5 = 7$

$f_1 + f_2 = 2 + 7 = 9$

উত্তর: $f_1 + f_2 = 9$

খ) প্রদত্ত সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয় কর। (৪ নম্বর)

মধ্যক নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
31–40	6	6
41–50	8	14
51–60	10	24
61–70	12	36
71–80	5	41
81–90	7	48
91–100	2	50
	n = 50

সমাধান:

এখানে $n = 50$ এবং $\dfrac{n}{2} = \dfrac{50}{2} = 25$

অর্থাৎ মধ্যক 25 তম পদ, যা (61–70) শ্রেণিতে অবস্থিত। এখানে $L = 61$, $F_c = 24$, $h = 10$, $f_m = 12$

মধ্যক $= L + \left(\dfrac{n}{2} - F_c\right) \times \dfrac{h}{f_m}$

$= 61 + (25 - 24) \times \dfrac{10}{12}$

$= 61 + \dfrac{1 \times 10}{12} = 61 + 0.833 = 61.833$

উত্তর: মধ্যক $\approx 61.833$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: সম্ভাব্য ভিন্নতা: এখানে বইয়ের পদ্ধতি অনুযায়ী নিম্নসীমা $L = 61$ ধরা হয়েছে। শ্রেণির প্রকৃত নিম্নসীমা $60.5$ ধরলে মধ্যক $60.5 + 0.833 = 61.333$ হয়।

গ) প্রদত্ত সারণি হতে সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন কর। (৪ নম্বর)

গণসংখ্যা বহুভুজের জন্য প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণিব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যবিন্দু	গণসংখ্যা
31–40	35.5	6
41–50	45.5	8
51–60	55.5	10
61–70	65.5	12
71–80	75.5	5
81–90	85.5	7
91–100	95.5	2
		n = 50

সমাধান:

ছক কাগজে x-অক্ষ বরাবর প্রতি 1 ঘরকে শ্রেণি মধ্যবিন্দুর 2 একক এবং y-অক্ষ বরাবর প্রতি 1 ঘরকে শিক্ষার্থী সংখ্যা 1 একক ধরে গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকা হলো। মূলবিন্দু থেকে 25.5 পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে ভাঙা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

বিন্দুগুলো: $(35.5, 6)$, $(45.5, 8)$, $(55.5, 10)$, $(65.5, 12)$, $(75.5, 5)$, $(85.5, 7)$, $(95.5, 2)$; প্রথম শ্রেণির আগের মধ্যবিন্দু $25.5$ ও শেষ শ্রেণির পরের মধ্যবিন্দু $105.5$ এ গণসংখ্যা শূন্য ধরে রেখাংশ দিয়ে যুক্ত করা হয়েছে।

উত্তর: গণসংখ্যা বহুভুজ চিত্রে দেখানো হলো

---