SSC General Math - Statistics Suggestions and Answer

61, 99, 62, 65, 98, 95, 81, 85, 90, 70, 77, 80, 75, 66, 68, 69, 73, 77, 82, 85, 87, 90, 92, 68, 70, 71, 72, 77, 78, 80, 83, 85, 75, 77, 81, 85, 75, 77, 81, 78

১) এটি কোন ধরনের উপাত্ত?

এটি পরিমাণবাচক (সংখ্যাবাচক) উপাত্ত এবং অশ্রেণিকৃত (কাঁচা) উপাত্ত। উপাত্তগুলো এখনো শ্রেণিতে ভাগ করা হয়নি।

২) উপাত্তটির গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি কর।

সমাধান: সর্বোচ্চ নম্বর $99$ এবং সর্বনিম্ন নম্বর $61$।

ব্যাপ্তি $= 99 - 61 = 38$

শ্রেণি ব্যবধান $h = 10$ ধরলে শ্রেণি সংখ্যা $4$টি হয় (61–70, 71–80, 81–90, 91–100)। ট্যালি চিহ্ন গুনে গণসংখ্যা নির্ণয় করে সারণি:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	গণসংখ্যা (f)
61–70	9
71–80	15
81–90	12
91–100	4
মোট	n = 40

৩) ক্রমযোজিত সংখ্যা নির্ণয় কর।

শ্রেণি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
61–70	9	9
71–80	15	9 + 15 = 24
81–90	12	24 + 12 = 36
91–100	4	36 + 4 = 40

৪) মধ্যমান (গাণিতিক গড়) নির্ণয় কর।

সমাধান: শ্রেণি মধ্যমান $x_{i} = \dfrac{\text{শ্রেণির উর্ধ্বমান} + \text{শ্রেণির নিম্নমান}}{2}$। যেমন প্রথম শ্রেণির মধ্যমান $\dfrac{61 + 70}{2} = 65.5$।

শ্রেণি	মধ্যমান (x)	গণসংখ্যা (f)	fx
61–70	65.5	9	589.5
71–80	75.5	15	1132.5
81–90	85.5	12	1026
91–100	95.5	4	382
মোট		40	3130

এখানে, $n = 40$ এবং $\sum f_{i}x_{i} = 3130$

$\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum f_{i}x_{i} = \dfrac{3130}{40} = 78.25$

নির্ণেয় গাণিতিক গড় $78.25$।

৫) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর।

সমাধান: আনুমানিক গড় $a = 75.5$, শ্রেণি ব্যবধান $h = 10$, ধাপ বিচ্যুতি $u_{i} = \dfrac{x_{i} - a}{h}$

শ্রেণি	মধ্যমান (x)	f	u = (x − 75.5)/10	fu
61–70	65.5	9	−1	−9
71–80	75.5	15	0	0
81–90	85.5	12	1	12
91–100	95.5	4	2	8
মোট		40		11

$\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_{i}u_{i}}{n} \times h$

$= 75.5 + \dfrac{11}{40} \times 10$

$= 75.5 + 2.75 = 78.25$

৬) প্রচুরক নির্ণয় কর।

সমাধান: সর্বোচ্চ গণসংখ্যা $15$ আছে 71–80 শ্রেণিতে। সুতরাং প্রচুরক শ্রেণি 71–80।

প্রচুরক $= L + \dfrac{f_{1}}{f_{1} + f_{2}} \times h$

এখানে, $L = 71,\ f_{1} = 15 - 9 = 6,\ f_{2} = 15 - 12 = 3,\ h = 10$

$\therefore$ প্রচুরক $= 71 + \dfrac{6}{6 + 3} \times 10$

$= 71 + \dfrac{6}{9} \times 10$

$= 71 + 6.67 = 77.67$ (প্রায়)

৭) মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে, $n = 40$ এবং $\dfrac{n}{2} = 20$।

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা অনুযায়ী 20তম পদটি 71–80 শ্রেণিতে আছে (কারণ $9 < 20 \leq 24$)। সুতরাং মধ্যক শ্রেণি 71–80।

মধ্যক $= L + \left(\dfrac{n}{2} - F_{c}\right) \times \dfrac{h}{f_{m}}$

এখানে, $L = 71,\ F_{c} = 9,\ f_{m} = 15,\ h = 10$

$\therefore$ মধ্যক $= 71 + (20 - 9) \times \dfrac{10}{15}$

$= 71 + 11 \times \dfrac{2}{3}$

$= 71 + 7.33 = 78.33$ (প্রায়)

৮) অজিভ রেখা অঙ্কন কর।

সমাধান: অবিচ্ছিন্ন শ্রেণি ব্যাপ্তি ধরে (61–70 কে 60–70, 71–80 কে 70–80 ইত্যাদি) প্রতিটি শ্রেণির উচ্চসীমা ও ক্রমযোজিত গণসংখ্যার জন্য বিন্দুগুলো:

$(60, 0),\ (70, 9),\ (80, 24),\ (90, 36),\ (100, 40)$

ছক কাগজে $X$-অক্ষ বরাবর শ্রেণি ব্যাপ্তি এবং $Y$-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিয়ে বিন্দুগুলো স্থাপন করে মুক্তহস্তে মসৃণ বক্ররেখায় যুক্ত করলে অজিভ রেখা পাওয়া যাবে।

৯) আয়তলেখ অঙ্কন কর।

সমাধান: $X$-অক্ষ বরাবর শ্রেণি ব্যাপ্তি ও $Y$-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নিয়ে চারটি আয়ত আঁকতে হবে:

60–70 শ্রেণির আয়তের উচ্চতা $9$; 70–80 শ্রেণির উচ্চতা $15$; 80–90 শ্রেণির উচ্চতা $12$; 90–100 শ্রেণির উচ্চতা $4$।

১০) বহুভুজ অঙ্কন কর।

সমাধান: প্রথম শ্রেণির আগের শ্রেণির মধ্যমান $55.5$ এবং শেষ শ্রেণির পরের শ্রেণির মধ্যমান $105.5$ ধরে গণসংখ্যা $0$ নেওয়া হয়। বিন্দুগুলো:

$(55.5, 0),\ (65.5, 9),\ (75.5, 15),\ (85.5, 12),\ (95.5, 4),\ (105.5, 0)$

ছক কাগজে বিন্দুগুলো স্থাপন করে পর্যায়ক্রমে সরলরেখা দিয়ে যুক্ত করলে গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যাবে।

প্রশ্ন ২

নিচে 50 জন ছাত্রের গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া আছে:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	31–40	41–50	51–60	61–70	71–80	81–90	91–100
গণসংখ্যা	6	8	10	12	5	7	2

১) সারণি থেকে প্রচুরক নির্ণয় কর।

সমাধান: সর্বোচ্চ গণসংখ্যা $12$ আছে 61–70 শ্রেণিতে। সুতরাং প্রচুরক শ্রেণি 61–70।

প্রচুরক $= L + \dfrac{f_{1}}{f_{1} + f_{2}} \times h$

এখানে, $L = 61,\ f_{1} = 12 - 10 = 2,\ f_{2} = 12 - 5 = 7,\ h = 10$

$\therefore$ প্রচুরক $= 61 + \dfrac{2}{2 + 7} \times 10$

$= 61 + \dfrac{20}{9}$

$= 61 + 2.22 = 63.22$ (প্রায়)

২) ক্রমযোজিত সংখ্যা নির্ণয় কর।

শ্রেণি	31–40	41–50	51–60	61–70	71–80	81–90	91–100
গণসংখ্যা	6	8	10	12	5	7	2
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা	6	14	24	36	41	48	50

৩) সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে, $n = 50$ এবং $\dfrac{n}{2} = 25$।

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা অনুযায়ী 25তম পদটি 61–70 শ্রেণিতে আছে (কারণ $24 < 25 \leq 36$)। সুতরাং মধ্যক শ্রেণি 61–70।

এখানে, $L = 61,\ F_{c} = 24,\ f_{m} = 12,\ h = 10$

মধ্যক $= L + \left(\dfrac{n}{2} - F_{c}\right) \times \dfrac{h}{f_{m}}$

$= 61 + (25 - 24) \times \dfrac{10}{12}$

$= 61 + 0.83 = 61.83$ (প্রায়)

৪) মধ্যমান নির্ণয় কর।

শ্রেণি	মধ্যমান (x)	f	fx
31–40	35.5	6	213
41–50	45.5	8	364
51–60	55.5	10	555
61–70	65.5	12	786
71–80	75.5	5	377.5
81–90	85.5	7	598.5
91–100	95.5	2	191
মোট		50	3085

$\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum f_{i}x_{i} = \dfrac{3085}{50} = 61.7$

নির্ণেয় মধ্যমান (গড়) $61.7$।

৫) সারণি থেকে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর।

সমাধান: আনুমানিক গড় $a = 65.5$, $h = 10$, $u = \dfrac{x - 65.5}{10}$

শ্রেণি	মধ্যমান (x)	f	u	fu
31–40	35.5	6	−3	−18
41–50	45.5	8	−2	−16
51–60	55.5	10	−1	−10
61–70	65.5	12	0	0
71–80	75.5	5	1	5
81–90	85.5	7	2	14
91–100	95.5	2	3	6
মোট		50		−19

$\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_{i}u_{i}}{n} \times h$

$= 65.5 + \dfrac{-19}{50} \times 10$

$= 65.5 - 3.8 = 61.7$

৬) সারণি থেকে আয়তলেখ অঙ্কন কর।

সমাধান: অবিচ্ছিন্ন শ্রেণি ব্যাপ্তি 30–40, 40–50, 50–60, 60–70, 70–80, 80–90, 90–100 ধরে $X$-অক্ষ বরাবর শ্রেণি ব্যাপ্তি এবং $Y$-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নিয়ে আয়তগুলোর উচ্চতা যথাক্রমে $6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 5,\ 7,\ 2$।

৭) সারণি থেকে বহুভুজ নির্ণয় কর।

সমাধান: প্রথম শ্রেণির আগের শ্রেণির মধ্যমান $25.5$ এবং শেষ শ্রেণির পরের শ্রেণির মধ্যমান $105.5$ ধরে গণসংখ্যা $0$ নেওয়া হয়। বিন্দুগুলো:

$(25.5, 0),\ (35.5, 6),\ (45.5, 8),\ (55.5, 10),\ (65.5, 12),\ (75.5, 5),\ (85.5, 7),\ (95.5, 2),\ (105.5, 0)$

বিন্দুগুলো পর্যায়ক্রমে সরলরেখা দিয়ে যুক্ত করলে গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যাবে।

৮) সারণি থেকে অজিভ রেখা অঙ্কন কর।

সমাধান: অবিচ্ছিন্ন শ্রেণির উচ্চসীমা ও ক্রমযোজিত গণসংখ্যার বিন্দুগুলো:

$(30, 0),\ (40, 6),\ (50, 14),\ (60, 24),\ (70, 36),\ (80, 41),\ (90, 48),\ (100, 50)$

$X$-অক্ষ বরাবর শ্রেণি ব্যাপ্তি ও $Y$-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিয়ে বিন্দুগুলো স্থাপন করে মসৃণ বক্ররেখায় যুক্ত করলে অজিভ রেখা পাওয়া যাবে।