SSC General Math - Mensuration 16.2 (Area of Rectangle, Trapezium and Rhombus) Suggestions and Answer

নোট: পিডিএফ-এ "৪ মিটার বাড়ালে" কোন রাশিটি, তা স্পষ্ট নেই; এখানে প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ানো ধরা হয়েছে (প্রচলিত পাঠ্যবইয়ের প্রশ্ন অনুযায়ী)।

ক) উপরের তথ্যগুলোর সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধান: ধরি, বাগানের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার।

ক্ষেত্রফল $xy = 192$ ………(i)

দৈর্ঘ্য $4$ মিটার কমালে ও প্রস্থ $4$ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত, অর্থাৎ

$(x-4)(y+4) = 192$ ………(ii)

খ) বাগানের পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধান: (ii) থেকে, $xy + 4x - 4y - 16 = 192$

$\Rightarrow 192 + 4x - 4y - 16 = 192$ [(i) নং থেকে]

$\Rightarrow 4x - 4y = 16$

$\Rightarrow x - y = 4 \Rightarrow y = x - 4$

(i) এ বসিয়ে, $x(x-4) = 192$

$\Rightarrow x^{2} - 4x - 192 = 0$

$\Rightarrow (x-16)(x+12) = 0$

$\therefore x = 16$ (ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

$y = 16 - 4 = 12$

পরিসীমা $= 2(16 + 12) = 56$ মিটার।

গ) পুকুরের ক্ষেত্রফল বাগানের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক হলে পুকুর পাড়ের বিস্তার নির্ণয় কর।

সমাধান: পুকুরের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{192}{2} = 96$ বর্গমিটার।

ধরি, পাড়ের বিস্তার $w$ মিটার। তাহলে পুকুরের দৈর্ঘ্য $(16-2w)$ ও প্রস্থ $(12-2w)$।

$(16-2w)(12-2w) = 96$

$\Rightarrow 192 - 56w + 4w^{2} = 96$

$\Rightarrow 4w^{2} - 56w + 96 = 0$

$\Rightarrow w^{2} - 14w + 24 = 0$

$\Rightarrow (w-2)(w-12) = 0$

$\therefore w = 2$ ($w = 12$ গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ তাতে পুকুরের প্রস্থ ঋণাত্মক হয়)

পুকুর পাড়ের বিস্তার $2$ মিটার। (যাচাই: পুকুর $12 \times 8 = 96$ ✓)

প্রশ্ন ২

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $31$ সে.মি. ও $11$ সে.মি. এবং অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $10$ সে.মি. ও $12$ সে.মি.।

ক) ট্রাপিজিয়ামের আনুপাতিক চিত্র এঁকে ক্ষেত্রফলের সূত্রটি লিখ।

সমাধান: ট্রাপিজিয়াম $ABCD$ আঁকি যেখানে $AB \parallel DC$, $AB = 31$, $DC = 11$, $AD = 12$ ও $BC = 10$।

ক্ষেত্রফলের সূত্র: ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি}) \times \text{উচ্চতা}$

অর্থাৎ $A = \dfrac{1}{2}(a+b)h$

খ) ট্রাপিজিয়ামের ভিতরে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান: $D$ বিন্দু দিয়ে $BC$ এর সমান্তরাল $DE$ আঁকি, যা $AB$ কে $E$ তে ছেদ করে। তাহলে $DEBC$ সামান্তরিক, তাই $EB = DC = 11$ এবং $DE = BC = 10$।

$AE = 31 - 11 = 20$ সে.মি.

ট্রাপিজিয়ামের ভিতরে গঠিত $\triangle ADE$ এর বাহু $AE = 20$, $DE = 10$, $AD = 12$।

অর্ধপরিসীমা $s = \dfrac{20 + 10 + 12}{2} = 21$

ক্ষেত্রফল $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$= \sqrt{21(21-20)(21-10)(21-12)}$

$= \sqrt{21 \times 1 \times 11 \times 9}$

$= \sqrt{2079} = 3\sqrt{231} \approx 45.60$

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $3\sqrt{231} \approx 45.60$ বর্গ সে.মি.।

গ) ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: $\triangle ADE$ এর ভূমি $AE = 20$ ধরলে উচ্চতা (ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা) $h$:

$\dfrac{1}{2} \times 20 \times h = 3\sqrt{231}$

$\Rightarrow h = \dfrac{3\sqrt{231}}{10} \approx 4.56$

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}(31 + 11) \times h$

$= 21 \times \dfrac{3\sqrt{231}}{10}$

$= \dfrac{63\sqrt{231}}{10} \approx 95.75$

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল প্রায় $95.75$ বর্গ সে.মি.।

(যাচাই: সামান্তরিক $DEBC$ এর ক্ষেত্রফল $= 11 \times 4.56 \approx 50.16$; $50.16 + 45.60 \approx 95.76$ ✓)

প্রশ্ন ৩

আয়তাকার একটি ফুল বাগানের দৈর্ঘ্য $150$ মিটার এবং প্রস্থ $100$ মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে $3$ মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে।

ক) উপরের তথ্যটি চিত্রের মাধ্যমে দেখাও।

সমাধান: $150 \times 100$ মিটার আয়তক্ষেত্র আঁকি। এর দুই জোড়া বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে $3$ মিটার প্রস্থের দুটি রাস্তা আঁকি: একটি দৈর্ঘ্য বরাবর ($150 \times 3$) এবং অপরটি প্রস্থ বরাবর ($100 \times 3$); রাস্তা দুটি ঠিক মাঝখানে একটি $3 \times 3$ বর্গাকার অংশে একে অপরকে ছেদ করে (চিত্রটি "+" চিহ্নের মতো দেখাবে)।

খ) রাস্তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান: দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল $= 150 \times 3 = 450$ বর্গমিটার

প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল $= 100 \times 3 = 300$ বর্গমিটার

ছেদ অংশের ক্ষেত্রফল (দুবার গণনা হয়েছে) $= 3 \times 3 = 9$ বর্গমিটার

রাস্তার ক্ষেত্রফল $= 450 + 300 - 9 = 741$ বর্গমিটার।

গ) রাস্তাটি পাকা করতে 25 সে.মি. দৈর্ঘ্য এবং 12.5 সে.মি. প্রস্থবিশিষ্ট কয়টি ইটের প্রয়োজন হবে?

সমাধান: একটি ইটের ক্ষেত্রফল $= 25 \times 12.5 = 312.5$ বর্গ সে.মি.

$= \dfrac{312.5}{10000} = 0.03125$ বর্গমিটার

ইটের সংখ্যা $= \dfrac{741}{0.03125}$

$= 741 \times 32 = 23712$

প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা $23712$ টি।

প্রশ্ন ৪

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য $40$ মিটার ও প্রস্থ $30$ মিটার। বাগানের ভিতরে সমান পাড় বিশিষ্ট একটি পুকুর আছে। পুকুরের ক্ষেত্রফল বাগানের ক্ষেত্রফলের $\dfrac{1}{2}$ অংশ।

ক) বাগানের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান: একটি কর্ণ $= \sqrt{40^{2} + 30^{2}}$

$= \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$ মিটার

কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি $= 2 \times 50 = 100$ মিটার।

খ) পুকুরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধান: বাগানের ক্ষেত্রফল $= 40 \times 30 = 1200$ বর্গমিটার।

পুকুরের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1200}{2} = 600$ বর্গমিটার।

ধরি, পাড়ের বিস্তার $w$ মিটার। তাহলে পুকুরের দৈর্ঘ্য $(40-2w)$ ও প্রস্থ $(30-2w)$।

$(40-2w)(30-2w) = 600$

$\Rightarrow 1200 - 140w + 4w^{2} = 600$

$\Rightarrow 4w^{2} - 140w + 600 = 0$

$\Rightarrow w^{2} - 35w + 150 = 0$

$\Rightarrow (w-5)(w-30) = 0$

$\therefore w = 5$ ($w = 30$ গ্রহণযোগ্য নয়)

পুকুরের দৈর্ঘ্য $= 40 - 2 \times 5 = 30$ মিটার এবং প্রস্থ $= 30 - 2 \times 5 = 20$ মিটার।

গ) বাগানের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট একটি রম্বসের বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 56 মিটার হলে রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান: বাগানের পরিসীমা $= 2(40 + 30) = 140$ মিটার।

রম্বসের এক বাহু $= \dfrac{140}{4} = 35$ মিটার।

বৃহত্তম কর্ণ $= 56$ মিটার, তার অর্ধেক $= 28$ মিটার।

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই অপর কর্ণের অর্ধেক

$= \sqrt{35^{2} - 28^{2}} = \sqrt{1225 - 784} = \sqrt{441} = 21$ মিটার।

অপর কর্ণ $= 2 \times 21 = 42$ মিটার।

রম্বসের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 56 \times 42 = 1176$ বর্গমিটার।