SSC General Math - Geometry (Triangle, Circle and Construction) Suggestions and Answer

ক) উপরের তথ্য সাপেক্ষে চিত্রটি আঁক।

সমাধান: যেকোনো $\triangle ABC$ আঁকি। $\angle B$ ও $\angle C$ এর সমদ্বিখণ্ডক টেনে $O$ পাই। $AB$ কে $M$ এবং $AC$ কে $N$ পর্যন্ত বাড়াই। $\angle MBC$ ও $\angle NCB$ এর সমদ্বিখণ্ডক টেনে মিলিত বিন্দু $O'$ পাই।

খ) দেখাও যে, ∠BOC = 90° + ½∠A।

সমাধান: $\triangle BOC$ এ, $\angle OBC = \dfrac{1}{2}\angle B$ এবং $\angle OCB = \dfrac{1}{2}\angle C$

$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB)$

$= 180^\circ - \dfrac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

$= 180^\circ - \dfrac{1}{2}(180^\circ - \angle A)$ [$\because \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$]

$= 180^\circ - 90^\circ + \dfrac{1}{2}\angle A$

$= 90^\circ + \dfrac{1}{2}\angle A$ (দেখানো হলো)

গ) প্রমাণ কর যে, ∠BO'C = 90° − ½∠A।

সমাধান: $\angle MBC = 180^\circ - \angle B$ এবং $\angle NCB = 180^\circ - \angle C$

$\therefore \angle O'BC = \dfrac{1}{2}(180^\circ - \angle B) = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\angle B$

$\angle O'CB = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\angle C$

$\triangle BO'C$ এ, $\angle BO'C = 180^\circ - (\angle O'BC + \angle O'CB)$

$= 180^\circ - \left(180^\circ - \dfrac{1}{2}(\angle B + \angle C)\right)$

$= \dfrac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

$= \dfrac{1}{2}(180^\circ - \angle A)$

$= 90^\circ - \dfrac{1}{2}\angle A$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ২

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $8$ সে.মি., এক বাহুর দৈর্ঘ্য $5$ সে.মি.।

ক) ত্রিভুজটির অপর বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান: অপর বাহু $= \sqrt{8^{2} - 5^{2}} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39} \approx 6.245$ সে.মি.

খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং অঙ্কন বিবরণ লিখ।

অঙ্কন বিবরণ:

১. $BC = 5$ সে.মি. রেখাংশ আঁকি।

২. $B$ বিন্দুতে $BC$ এর উপর লম্ব $BX$ আঁকি।

৩. $C$ কে কেন্দ্র করে $8$ সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি, যা $BX$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. $A, C$ যোগ করি। তাহলে $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় সমকোণী ত্রিভুজ ($\angle B = 90^\circ$, $BC = 5$, $AC = 8$, $AB = \sqrt{39}$)।

গ) ত্রিভুজটির পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গ অঙ্কন কর।

সমাধান: ত্রিভুজের পরিসীমা $= 5 + 8 + \sqrt{39} = 13 + \sqrt{39} \approx 19.245$ সে.মি.

বর্গের এক বাহু $= \dfrac{13 + \sqrt{39}}{4} \approx 4.81$ সে.মি.

অঙ্কন বিবরণ:

১. একটি রশ্মি $PX$ আঁকি এবং তার উপর $PQ = 13 + \sqrt{39}$ (অর্থাৎ ত্রিভুজের তিন বাহুর সমষ্টি) কেটে নিই।

২. $PQ$ কে চার সমান ভাগে ভাগ করে এক ভাগ $PA \approx 4.81$ সে.মি. নিই।

৩. $PA$ এর উপর বর্গ $ABCD$ আঁকি: $A$ ও $B$ বিন্দুতে লম্ব টেনে $AD = BC = AB$ কাটি এবং $C, D$ যোগ করি।

তাহলে $ABCD$ ই নির্ণেয় বর্গ।

প্রশ্ন ৩

$O$ কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তে $AB$ ও $CD$ দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AC$ ও $BD$ চাপদ্বয় কেন্দ্রে যথাক্রমে $\angle AOC$ ও $\angle BOD$ কোণ উৎপন্ন করে।

ক) উপরের তথ্যের আলোকে চিত্রটি আলোচনা কর।

সমাধান: $O$ কেন্দ্রের বৃত্তে $A, B, C, D$ বৃত্তের উপর চারটি বিন্দু। জ্যা $AB$ ও $CD$ বৃত্তের ভিতরে $E$ বিন্দুতে কাটে। $AC$ চাপ কেন্দ্রে $\angle AOC$ এবং $BD$ চাপ কেন্দ্রে $\angle BOD$ উৎপন্ন করে; $\angle AEC$ জ্যা-দ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।

খ) প্রমাণ কর যে, ∠AOC + ∠BOD = 2∠AEC।

প্রমাণ: $A, D$ যোগ করি।

$AC$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOC$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle ADC$। সুতরাং $\angle AOC = 2\angle ADC$ ………(i)

$BD$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle BAD$। সুতরাং $\angle BOD = 2\angle BAD$ ………(ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$\angle AOC + \angle BOD = 2(\angle ADC + \angle BAD)$

$= 2(\angle ADE + \angle DAE)$

$\triangle ADE$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle AEC = \angle DAE + \angle ADE$

$\therefore \angle AOC + \angle BOD = 2\angle AEC$ (প্রমাণিত)

গ) যদি AB ⊥ CD হয় তবে প্রমাণ কর যে, ∠AOC + ∠BOD = 2 সমকোণ।

প্রমাণ: $AB \perp CD$ হলে $\angle AEC = 90^\circ$।

(খ) থেকে, $\angle AOC + \angle BOD = 2\angle AEC = 2 \times 90^\circ = 180^\circ$

$\therefore \angle AOC + \angle BOD = 2$ সমকোণ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৪

$O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ব্যাস, $O'$ কেন্দ্র বিশিষ্ট অপর একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

ক) বৃত্ত আঁক। বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতর বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত কত?

সমাধান: ধরি, $O$ কেন্দ্রের বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$; তাহলে ব্যাস $= 2r$। শর্তমতে $O'$ কেন্দ্রের বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= 2r$, ব্যাস $= 4r$।

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতর বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত $= 4r : 2r = 2 : 1$

(চিত্র: ছোট বৃত্ত আঁকি ব্যাসার্ধ $r$ নিয়ে; বড় বৃত্ত আঁকি ব্যাসার্ধ $2r$ নিয়ে।)

খ) O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের T বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OT স্পর্শগামী একটি ব্যাসার্ধ। প্রমাণ কর যে, PT ⊥ OT।

প্রমাণ: মনে করি, $PT$ স্পর্শক $T$ বিন্দুতে বৃত্তকে স্পর্শ করেছে। $PT$ এর উপর $T$ ছাড়া অন্য যেকোনো বিন্দু $Q$ নিই। স্পর্শকের $T$ ছাড়া সকল বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকে। তাই $OQ$ বৃত্তকে কোনো বিন্দু $R$ এ ছেদ করবে এবং

$OQ > OR = OT$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

অর্থাৎ $O$ থেকে $PT$ রেখার উপর অন্য যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব $OT$ অপেক্ষা বড়। অতএব $OT$ই $O$ থেকে $PT$ এর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব, অর্থাৎ লম্ব দূরত্ব।

$\therefore PT \perp OT$ (প্রমাণিত)

গ) O' কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের এমন একটি স্পর্শক আঁকতে হবে যা একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল হয়।

অঙ্কন বিবরণ: ধরি, নির্দিষ্ট সরলরেখা $l$।

১. $O'$ কেন্দ্র নিয়ে প্রদত্ত ব্যাসার্ধে বৃত্ত আঁকি।

২. $O'$ বিন্দু দিয়ে $l$ এর উপর লম্ব $O'X$ আঁকি; এটি বৃত্তকে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. $P$ বিন্দুতে $O'P$ এর উপর লম্ব $PT$ আঁকি।

$PT \perp O'P$ বলে $PT$ বৃত্তের স্পর্শক এবং $PT$ ও $l$ উভয়ই $O'X$ এর উপর লম্ব, তাই $PT \parallel l$। (একইভাবে $Q$ বিন্দুতে আরেকটি স্পর্শক পাওয়া যায়।)

প্রশ্ন ৫

$\triangle ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $BC$ এবং অপর একটি বাহু $AB$ দেওয়া আছে।

ক) ত্রিভুজটি অংকন কর।

অঙ্কন বিবরণ:

১. $AB$ রেখাংশ আঁকি।

২. $A$ বিন্দুতে $AB$ এর উপর লম্ব $AX$ আঁকি।

৩. $B$ কে কেন্দ্র করে অতিভুজ $BC$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি, যা $AX$ কে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. $B, C$ যোগ করি। $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

খ) D, AC বাহুর উপরস্থ একটি বিন্দু হলে প্রমাণ কর যে, AD² + BC² = AC² + BD²।

প্রমাণ: $B, D$ যোগ করি। সমকোণী $\triangle ABC$ এ (সমকোণ $A$ বিন্দুতে),

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$ ………(i)

সমকোণী $\triangle ABD$ এ (সমকোণ $A$ বিন্দুতে),

$BD^{2} = AB^{2} + AD^{2}$ ………(ii)

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,

$BC^{2} - BD^{2} = AC^{2} - AD^{2}$

$\therefore AD^{2} + BC^{2} = AC^{2} + BD^{2}$ (প্রমাণিত)

গ) △ABC এর অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কন বিবরণ:

১. $\angle B$ ও $\angle C$ এর সমদ্বিখণ্ডক টানি; এরা $I$ বিন্দুতে ছেদ করে।

২. $I$ থেকে $BC$ এর উপর লম্ব $IE$ আঁকি, $E$ লম্বের পাদবিন্দু।

৩. $I$ কে কেন্দ্র করে $IE$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। এটিই ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত (বৃত্তটি তিন বাহুকে স্পর্শ করে)।

প্রশ্ন ৬

ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুটি সূক্ষ্মকোণ ও পরিসীমা $12$ সেমি।

ক) একটি 12 দৈর্ঘ্যের রেখাংশ নিয়ে এটিকে সমান তিন ভাগে ভাগ কর।

অঙ্কন বিবরণ:

১. $AB = 12$ সে.মি. রেখাংশ আঁকি।

২. $A$ বিন্দুতে $AB$ এর সাথে সূক্ষ্মকোণ করে রশ্মি $AX$ আঁকি।

৩. $AX$ থেকে সমান দৈর্ঘ্যের তিনটি অংশ কাটি: $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3$।

৪. $P_3, B$ যোগ করি।

৫. $P_1$ ও $P_2$ দিয়ে $P_3B$ এর সমান্তরাল রেখা আঁকি, যারা $AB$ কে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে $AC = CD = DB = \dfrac{12}{3} = 4$ সে.মি.।

খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং অঙ্কনের বিবরণ দাও।

নোট: প্রশ্নে কোণ দুটির মান নির্দিষ্ট করা নেই। নিচে সাধারণ পদ্ধতি দেওয়া হলো; প্রদত্ত কোণ $\angle B$ ও $\angle C$ ধরা হয়েছে। (যেমন প্রশ্ন ১২ এর মতো $60^\circ$ ও $45^\circ$ নিয়েও আঁকা যায়।)

অঙ্কন বিবরণ:

১. $XY = 12$ সে.মি. রেখাংশ আঁকি।

২. $X$ বিন্দুতে $\angle YXP = \angle B$ এবং $Y$ বিন্দুতে $\angle XYQ = \angle C$ আঁকি।

৩. $\angle YXP$ ও $\angle XYQ$ এর সমদ্বিখণ্ডক টানি; এরা $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. $AX$ ও $AY$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি; এরা $XY$ কে যথাক্রমে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৫. $A, B$ এবং $A, C$ যোগ করি। $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

প্রমাণ: $B$ বিন্দু $AX$ এর লম্বদ্বিখণ্ডকের উপর, তাই $BA = BX$; একইভাবে $CA = CY$। সুতরাং $AB + BC + CA = XB + BC + CY = XY = 12$। আবার $\angle ABC = 2\angle BXA$ (বহিঃস্থ কোণ) ইত্যাদি দ্বারা কোণ দুটি প্রদত্ত কোণের সমান হয়।

গ) উক্ত ত্রিভুজের পরিসীমা সমান পরিসীমা বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন কর।

সমাধান: সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু $= \dfrac{12}{3} = 4$ সে.মি.

অঙ্কন বিবরণ: (ক) এর মতো $12$ সে.মি. কে তিন ভাগ করে $PQ = 4$ সে.মি. নিই। $P$ ও $Q$ কে কেন্দ্র করে $4$ সে.মি. ব্যাসার্ধে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি, যারা $R$ বিন্দুতে ছেদ করে। $P, R$ ও $Q, R$ যোগ করি। $\triangle PQR$ ই নির্ণেয় সমবাহু ত্রিভুজ।

প্রশ্ন ৭

$O$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের $AB$ ও $CD$ জ্যা দুইটি বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে সমকোণে মিলিত হয়েছে।

ক) প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ চিত্র আঁক।

সমাধান: $O$ কেন্দ্রের একটি বৃত্ত আঁকি। বৃত্তের ভিতরে $E$ বিন্দুতে পরস্পর লম্ব দুটি জ্যা $AB$ ও $CD$ আঁকি ($\angle AEC = 90^\circ$)। $O$ থেকে $A, D, B, C$ যোগ করি।

খ) প্রমাণ কর যে, ∠AOD + ∠BOC = দুই সমকোণ।

প্রমাণ: $A, C$ যোগ করি।

$AD$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOD$ ও বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACD$, সুতরাং $\angle AOD = 2\angle ACD$

$BC$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOC$ ও বৃত্তস্থ কোণ $\angle BAC$, সুতরাং $\angle BOC = 2\angle BAC$

$\angle AOD + \angle BOC = 2(\angle ACE + \angle CAE)$

$\triangle ACE$ এ $\angle AEC = 90^\circ$, তাই $\angle ACE + \angle CAE = 90^\circ$

$\therefore \angle AOD + \angle BOC = 2 \times 90^\circ = 180^\circ$ = দুই সমকোণ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।

প্রমাণ: মনে করি, $O$ কেন্দ্রের বৃত্তে $AB$ ও $CD$ জ্যা দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। $OM \perp AB$, $ON \perp CD$, $OM = ON$। $O, A$ এবং $O, C$ যোগ করি।

কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $AM = \dfrac{1}{2}AB$ এবং $CN = \dfrac{1}{2}CD$

সমকোণী $\triangle OAM$ এ, $AM^{2} = OA^{2} - OM^{2}$

সমকোণী $\triangle OCN$ এ, $CN^{2} = OC^{2} - ON^{2}$

$OA = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ) এবং $OM = ON$, তাই $AM^{2} = CN^{2}$

$\Rightarrow AM = CN \Rightarrow \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD$

$\therefore AB = CD$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৮

$ABC$ ত্রিভুজের $AB = 5$ সে.মি., $BC = 6$ সে.মি., $AC = 4$ সে.মি.।

ক) ত্রিভুজটি আঁক।

অঙ্কন বিবরণ:

১. $BC = 6$ সে.মি. আঁকি।

২. $B$ কে কেন্দ্র করে $5$ সে.মি. এবং $C$ কে কেন্দ্র করে $4$ সে.মি. ব্যাসার্ধে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি, যারা $A$ বিন্দুতে ছেদ করে (বৃত্তচাপ ছেদ করবে কারণ $5 + 4 > 6$)।

৩. $A, B$ ও $A, C$ যোগ করি। $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

খ) ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কর।

অঙ্কন বিবরণ:

১. $\angle B$ ও $\angle C$ এর সমদ্বিখণ্ডক টানি; এরা $I$ বিন্দুতে ছেদ করে।

২. $I$ থেকে $BC$ এর উপর লম্ব $ID$ আঁকি ($D$ পাদবিন্দু)।

৩. $I$ কেন্দ্র ও $ID$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। এটিই অন্তর্বৃত্ত।

গ) একটি বর্গ আঁক, যার বাহুর দৈর্ঘ্য AB এর সমান।

অঙ্কন বিবরণ:

১. $PQ = 5$ সে.মি. ($= AB$) আঁকি।

২. $P$ ও $Q$ বিন্দুতে $PQ$ এর উপর লম্ব $PX$ ও $QY$ আঁকি।

৩. $PX$ থেকে $PS = 5$ সে.মি. এবং $QY$ থেকে $QR = 5$ সে.মি. কাটি।

৪. $R, S$ যোগ করি। $PQRS$ ই নির্ণেয় বর্গ।

প্রশ্ন ৯

$ABC$ ত্রিভুজের $\angle B$ এক সমকোণ এবং $D$ অতিভুজ $AC$ এর মধ্যবিন্দু।

ক) প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ চিত্র আঁক।

সমাধান: সমকোণী $\triangle ABC$ আঁকি (সমকোণ $B$ তে)। অতিভুজ $AC$ এর মধ্যবিন্দু $D$ নিই এবং $B, D$ যোগ করি।

খ) প্রমাণ কর যে, AB² + BC² = AC²।

প্রমাণ: $B$ থেকে $AC$ এর উপর লম্ব $BH$ আঁকি।

$\triangle ABC$ ও $\triangle ABH$ এ $\angle A$ সাধারণ এবং $\angle ABC = \angle AHB = 90^\circ$। সুতরাং ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।

$\therefore \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AH}{AB} \Rightarrow AB^{2} = AC \cdot AH$ ………(i)

আবার $\triangle ABC$ ও $\triangle BCH$ এ $\angle C$ সাধারণ এবং $\angle ABC = \angle BHC = 90^\circ$। সুতরাং সদৃশ।

$\therefore \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{CH}{BC} \Rightarrow BC^{2} = AC \cdot CH$ ………(ii)

(i) ও (ii) যোগ করে,

$AB^{2} + BC^{2} = AC(AH + CH) = AC \cdot AC = AC^{2}$ (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, BD = ½AC।

প্রমাণ: $BD$ কে $E$ পর্যন্ত এমনভাবে বাড়াই যেন $DE = BD$ হয়। $A, E$ এবং $C, E$ যোগ করি।

চতুর্ভুজ $ABCE$ এর কর্ণ $AC$ ও $BE$ পরস্পরকে $D$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে ($AD = DC$, $BD = DE$), তাই $ABCE$ একটি সামান্তরিক।

সামান্তরিকের এক কোণ $\angle ABC = 90^\circ$, সুতরাং $ABCE$ একটি আয়তক্ষেত্র।

আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান: $BE = AC$

$\therefore BD = \dfrac{1}{2}BE = \dfrac{1}{2}AC$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ১০

$ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle ACB$ সমকোণ এবং $AB$ অতিভুজ।

ক) পীথাগোরাসের উপপাদ্য লিখ।

সমাধান: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

খ) প্রমাণ কর যে, AB² = BC² + AC²।

প্রমাণ: $C$ থেকে $AB$ এর উপর লম্ব $CH$ আঁকি।

$\triangle ABC \sim \triangle ACH$ ($\angle A$ সাধারণ, $\angle ACB = \angle AHC = 90^\circ$)

$\Rightarrow \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AH}{AC} \Rightarrow AC^{2} = AB \cdot AH$ ………(i)

$\triangle ABC \sim \triangle CBH$ ($\angle B$ সাধারণ, $\angle ACB = \angle CHB = 90^\circ$)

$\Rightarrow \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BH}{BC} \Rightarrow BC^{2} = AB \cdot BH$ ………(ii)

(i) ও (ii) যোগ করে, $AC^{2} + BC^{2} = AB(AH + BH) = AB^{2}$

$\therefore AB^{2} = BC^{2} + AC^{2}$ (প্রমাণিত)

গ) ABC একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ। BC এর অতিভুজ এবং P, BC এর উপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ কর যে, PB² + PC² = 2PA²।

প্রমাণ: এখানে অতিভুজ $BC$, সমকোণ $A$ বিন্দুতে এবং $AB = AC$। $A$ থেকে $BC$ এর উপর লম্ব $AH$ আঁকি। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে $H$ হলো $BC$ এর মধ্যবিন্দু এবং $AH = BH = HC$ (সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু থেকে শীর্ষের দূরত্ব অতিভুজের অর্ধেক)।

$PH = d$ ধরি। তাহলে $PB = BH + d$ এবং $PC = BH - d$ ($P$ এর অবস্থান $H$ এর যেকোনো পাশে হতে পারে; তাতে ফলাফল একই)।

$PB^{2} + PC^{2} = (BH + d)^{2} + (BH - d)^{2}$

$= 2BH^{2} + 2d^{2}$

$= 2(AH^{2} + PH^{2})$ [$\because AH = BH$]

$= 2PA^{2}$ [সমকোণী $\triangle AHP$ এ, $AH^{2} + PH^{2} = PA^{2}$]

$\therefore PB^{2} + PC^{2} = 2PA^{2}$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ১১

$ABC$ বৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং একই উপচাপ $BC$ এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ও কেন্দ্রস্থ কোণ যথাক্রমে $\angle BAC$ এবং $\angle BOC$।

ক) বৃত্তস্থ কোণ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ কাকে বলে?

সমাধান: বৃত্তের পরিধির উপর কোনো বিন্দুতে দুটি জ্যা মিলিত হয়ে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে বৃত্তস্থ কোণ বলে। বৃত্তের কেন্দ্রে দুটি ব্যাসার্ধ মিলিত হয়ে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে কেন্দ্রস্থ কোণ বলে।

খ) প্রমাণ কর যে, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

প্রমাণ: $A, O$ যোগ করে $D$ পর্যন্ত বাড়াই (প্রধান অবস্থা: $O$ কোণ $BAC$ এর ভিতরে)।

$OA = OB$, তাই $\angle OAB = \angle OBA$। বহিঃস্থ কোণ $\angle BOD = \angle OAB + \angle OBA = 2\angle OAB$

একইভাবে $\angle COD = 2\angle OAC$

যোগ করে, $\angle BOD + \angle COD = 2(\angle OAB + \angle OAC)$

$\Rightarrow \angle BOC = 2\angle BAC$

$\therefore \angle BAC = \dfrac{1}{2}\angle BOC$ (প্রমাণিত)

($O$ যদি $AC$ বা $AB$ এর উপর পড়ে তবে প্রমাণ সরাসরি পাওয়া যায়; $O$ কোণের বাইরে থাকলে একই পদ্ধতিতে বিয়োগ করে প্রমাণ করা হয়।)

গ) P এবং Q কেন্দ্র বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রমাণ কর যে, P, O এবং Q বিন্দু তিনটি সমরেখ।

নোট: পিডিএফ-এ প্রশ্নটি অস্পষ্ট ছাপা; এখানে কেন্দ্র $P$ ও $Q$ এবং স্পর্শবিন্দু $O$ ধরা হয়েছে।

প্রমাণ: $O$ বিন্দুতে বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক $XY$ আঁকি। $P, O$ এবং $Q, O$ যোগ করি।

স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব, তাই $PO \perp XY$, অর্থাৎ $\angle POX = 90^\circ$ এবং $QO \perp XY$, অর্থাৎ $\angle QOX = 90^\circ$।

বহিঃস্পর্শ হওয়ায় বৃত্ত দুটি স্পর্শকের বিপরীত পাশে অবস্থিত, অর্থাৎ $P$ ও $Q$ স্পর্শক $XY$ এর দুই পাশে।

$\therefore \angle POQ = \angle POX + \angle XOQ = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

সুতরাং $P, O, Q$ একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ১২

একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুটি কোণ যথাক্রমে $60^\circ$ ও $45^\circ$ এবং পরিসীমা $10$ সে.মি.।

ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।

অঙ্কন বিবরণ:

১. $XY = 10$ সে.মি. রেখাংশ আঁকি।

২. $X$ বিন্দুতে $\angle YXP = 60^\circ$ এবং $Y$ বিন্দুতে $\angle XYQ = 45^\circ$ আঁকি।

৩. $\angle YXP$ ও $\angle XYQ$ এর সমদ্বিখণ্ডক টানি; এরা $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. $AX$ ও $AY$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি; এরা $XY$ কে যথাক্রমে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৫. $A, B$ ও $A, C$ যোগ করি। $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ ($\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $AB + BC + CA = 10$ সে.মি.)।

খ) কোনো ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কর।

অঙ্কন বিবরণ:

১. $\triangle ABC$ এর $\angle B$ ও $\angle C$ এর সমদ্বিখণ্ডক টানি; এরা $I$ বিন্দুতে ছেদ করে।

২. $I$ থেকে $BC$ এর উপর লম্ব $IE$ আঁকি।

৩. $I$ কেন্দ্র ও $IE$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। এটিই অন্তর্বৃত্ত।

গ) এমন একটি সামান্তরিক অঙ্কন কর, যার একটি কোণ 60° এবং যা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র একটি ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।

অঙ্কন বিবরণ: (ক) এর $\triangle ABC$ এর সমান ক্ষেত্রফলের সামান্তরিক আঁকব।

১. $BC$ এর মধ্যবিন্দু $D$ নির্ণয় করি।

২. $A$ বিন্দু দিয়ে $BC$ এর সমান্তরাল রেখা $AL$ আঁকি।

৩. $D$ বিন্দুতে $\angle CDE = 60^\circ$ আঁকি, যেন $DE$ রেখা $AL$ কে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. $C$ বিন্দু দিয়ে $DE$ এর সমান্তরাল রেখা আঁকি, যা $AL$ কে $F$ বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে $DCFE$ ই নির্ণেয় সামান্তরিক, যার $\angle CDE = 60^\circ$।

প্রমাণ: $DC = \dfrac{1}{2}BC$ এবং $DCFE$ ও $\triangle ABC$ একই সমান্তরাল রেখাদ্বয় $BC$ ও $AL$ এর মধ্যবর্তী, অর্থাৎ উচ্চতা $h$ সমান।

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $= DC \times h = \dfrac{1}{2}BC \times h = \triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল।

প্রশ্ন ১৩

$PQR$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle Q$ এক সমকোণ। $PR$ এর মধ্যবিন্দু $M$।

ক) প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী PQR ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।

সমাধান: $QR$ রেখাংশ আঁকি, $Q$ বিন্দুতে $QR$ এর উপর লম্ব $QX$ আঁকি। $QX$ এর উপর $P$ বিন্দু নিয়ে $P, R$ যোগ করি। $PR$ এর মধ্যবিন্দু $M$ নির্ণয় করে $Q, M$ যোগ করি।

খ) দেখাও যে, PQ + QR > 2QM।

সমাধান: (গ) অংশ অনুযায়ী $QM = \dfrac{1}{2}PR$, অর্থাৎ $2QM = PR$।

$\triangle PQR$ এ যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়, তাই

$PQ + QR > PR$

$\therefore PQ + QR > 2QM$ (দেখানো হলো)

গ) প্রমাণ কর যে, QM = ½PR।

প্রমাণ: $QM$ কে $S$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $MS = QM$ হয়। $P, S$ এবং $R, S$ যোগ করি।

$PQRS$ এর কর্ণ $PR$ ও $QS$ পরস্পরকে $M$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $PQRS$ সামান্তরিক। এর এক কোণ $\angle PQR = 90^\circ$, সুতরাং এটি আয়তক্ষেত্র।

আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান: $QS = PR$

$\therefore QM = \dfrac{1}{2}QS = \dfrac{1}{2}PR$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ১৪

$O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $ABC$ একটি বৃত্ত।

ক) বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন কর।

অঙ্কন বিবরণ: বৃত্তের উপর $A$ বিন্দু নিই। $O, A$ যোগ করি। $A$ বিন্দুতে $OA$ এর উপর লম্ব $PA$ আঁকি। $PA$ ই $A$ বিন্দুতে নির্ণেয় স্পর্শক (কারণ ব্যাসার্ধের প্রান্তে লম্ব রেখা স্পর্শক)।

খ) বৃত্তটির উপর এমন একটি স্পর্শক আঁক যেন তা নির্দিষ্ট সরল রেখার উপর লম্ব।

অঙ্কন বিবরণ: নির্দিষ্ট রেখা $l$। স্পর্শক $l$ এর উপর লম্ব হলে স্পর্শগামী ব্যাসার্ধ $l$ এর সমান্তরাল।

১. $O$ বিন্দু দিয়ে $l$ এর সমান্তরাল রেখা আঁকি; এটি বৃত্তকে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।

২. $P$ বিন্দুতে $OP$ এর উপর লম্ব $PT$ আঁকি।

$PT$ বৃত্তের স্পর্শক এবং $OP \parallel l$, $PT \perp OP$ বলে $PT \perp l$। ($Q$ বিন্দুতেও একই পদ্ধতিতে আরেকটি স্পর্শক পাওয়া যায়।)

গ) বৃত্তটির উপর এমন দুইটি স্পর্শক আঁক, যেন তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° হয়।

সমাধান: দুই স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ $60^\circ$ হলে স্পর্শবিন্দুদ্বয়ে কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ $= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।

অঙ্কন বিবরণ:

১. $O$ কেন্দ্রে $\angle AOB = 120^\circ$ আঁকি, যেখানে $A, B$ বৃত্তের উপর।

২. $A$ বিন্দুতে $OA$ এর উপর লম্ব এবং $B$ বিন্দুতে $OB$ এর উপর লম্ব আঁকি; এরা $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$PA$ ও $PB$ নির্ণেয় স্পর্শক। চতুর্ভুজ $OAPB$ এ $\angle OAP + \angle OBP = 180^\circ$, তাই $\angle APB = 360^\circ - 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$।

প্রশ্ন ১৫

$M$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে $PQ$ চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle PMQ$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle PAQ$।

ক) উদ্দীপকের তথ্যানুযায়ী চিত্রাঙ্কন কর।

সমাধান: $M$ কেন্দ্রের বৃত্ত আঁকি। বৃত্তের উপর $P, Q$ বিন্দু নিয়ে $PQ$ চাপ নিই। চাপের বিপরীত পাশে পরিধিতে $A$ নিই। $M, P$; $M, Q$; $A, P$; $A, Q$ যোগ করি।

খ) প্রমাণ কর যে, ∠PAQ = ½∠PMQ।

প্রমাণ: $A, M$ যোগ করে $D$ পর্যন্ত বাড়াই। $MA = MP$ বলে $\angle MAP = \angle MPA$, সুতরাং বহিঃস্থ কোণ $\angle PMD = 2\angle MAP$।

একইভাবে $\angle QMD = 2\angle MAQ$

যোগ করে, $\angle PMQ = 2(\angle MAP + \angle MAQ) = 2\angle PAQ$

$\therefore \angle PAQ = \dfrac{1}{2}\angle PMQ$ (প্রমাণিত)

গ) M কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠PAQ + ∠QAC এক সমকোণ হলে, প্রমাণ কর যে, P, M এবং C একই সরলরেখায় অবস্থিত।

প্রমাণ: দেওয়া আছে $\angle PAQ + \angle QAC = 90^\circ$, অর্থাৎ $\angle PAC = 90^\circ$।

$PC$ চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ $\angle PAC$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle PMC$। (খ) অনুযায়ী,

$\angle PMC = 2\angle PAC = 2 \times 90^\circ = 180^\circ$

সুতরাং $P, M, C$ একই সরলরেখায় অবস্থিত ($PC$ বৃত্তের ব্যাস)। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ১৬

$\triangle PQR$ এর $PQ = QR = 4$ সে.মি. এবং $\angle Q = 90^\circ$।

ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং এক্ষেত্রে পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।

অঙ্কন বিবরণ: $QR = 4$ সে.মি. আঁকি; $Q$ বিন্দুতে লম্ব $QX$ আঁকি; $QX$ থেকে $QP = 4$ সে.মি. কাটি; $P, R$ যোগ করি।

পীথাগোরাসের উপপাদ্য: $PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2} = 16 + 16 = 32$, অর্থাৎ $PR = 4\sqrt{2}$ সে.মি.

খ) PR বাহুর উপর A যেকোনো বিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে, AP² + AR² = 2AQ²।

প্রমাণ: $Q$ থেকে $PR$ এর উপর লম্ব $QH$ আঁকি। সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে $H$ হলো $PR$ এর মধ্যবিন্দু এবং $QH = PH = HR$।

$AH = d$ ধরি। তাহলে $AP = PH + d$ এবং $AR = PH - d$ (সাংকেতিক চিহ্নসহ; $A$ এর অবস্থান যেকোনো পাশে হতে পারে)।

$AP^{2} + AR^{2} = (PH + d)^{2} + (PH - d)^{2}$

$= 2PH^{2} + 2d^{2}$

$= 2(QH^{2} + AH^{2})$ [$\because PH = QH$]

$= 2AQ^{2}$ [সমকোণী $\triangle QHA$ এ]

$\therefore AP^{2} + AR^{2} = 2AQ^{2}$ (প্রমাণিত)

গ) এমন একটি সামান্তরিক অঙ্কন কর যার একটি কোণ 60° এবং যার দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল প্রদত্ত △ ক্ষেত্র PQR এর ক্ষেত্রফলের সমান।

সমাধান: $\triangle PQR$ এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ বর্গ সে.মি.।

অঙ্কন বিবরণ:

১. $QR$ এর মধ্যবিন্দু $D$ নির্ণয় করি ($DR = 2$ সে.মি.)।

২. $P$ বিন্দু দিয়ে $QR$ এর সমান্তরাল রেখা $PL$ আঁকি।

৩. $D$ বিন্দুতে $\angle RDE = 60^\circ$ আঁকি, যেন $DE$ রেখা $PL$ কে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. $R$ বিন্দু দিয়ে $DE$ এর সমান্তরাল রেখা আঁকি, যা $PL$ কে $F$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$DRFE$ ই নির্ণেয় সামান্তরিক।

প্রমাণ: $DRFE$ এর ক্ষেত্রফল $= DR \times PQ = 2 \times 4 = 8$ বর্গ সে.মি. = $\triangle PQR$ এর ক্ষেত্রফল।

প্রশ্ন ১৭

$O$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের $PQ$ ও $RS$ দুটি সমান জ্যা।

ক) উপরের তথ্যের আলোকে চিত্রটি অঙ্কন কর।

সমাধান: $O$ কেন্দ্রের বৃত্ত আঁকি। বৃত্তে সমান দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা $PQ$ ও $RS$ আঁকি। $O$ থেকে $PQ$ ও $RS$ এর উপর লম্ব $OM$ ও $ON$ আঁকি। $O, P$ এবং $O, R$ যোগ করি।

খ) প্রমাণ কর যে, PQ ও RS জ্যাদ্বয় কেন্দ্র O থেকে সমদূরবর্তী।

প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

$PM = \dfrac{1}{2}PQ$ এবং $RN = \dfrac{1}{2}RS$; $PQ = RS$ বলে $PM = RN$

সমকোণী $\triangle OPM$ এ, $OM^{2} = OP^{2} - PM^{2}$

সমকোণী $\triangle ORN$ এ, $ON^{2} = OR^{2} - RN^{2}$

$OP = OR$ (ব্যাসার্ধ) এবং $PM = RN$ বলে $OM^{2} = ON^{2}$

$\therefore OM = ON$ (প্রমাণিত)

গ) PQ > RS হলে, প্রমাণ কর যে, PQ জ্যাটি কেন্দ্র O এর নিকটতর।

প্রমাণ: পূর্বের মতো $OM \perp PQ$, $ON \perp RS$।

$OM^{2} = r^{2} - \left(\dfrac{PQ}{2}\right)^{2}$ এবং $ON^{2} = r^{2} - \left(\dfrac{RS}{2}\right)^{2}$

$PQ > RS \Rightarrow \left(\dfrac{PQ}{2}\right)^{2} > \left(\dfrac{RS}{2}\right)^{2}$

$\Rightarrow r^{2} - \left(\dfrac{PQ}{2}\right)^{2} < r^{2} - \left(\dfrac{RS}{2}\right)^{2}$

$\Rightarrow OM^{2} < ON^{2} \Rightarrow OM < ON$

$\therefore PQ$ জ্যাটি কেন্দ্র $O$ এর নিকটতর। (প্রমাণিত)