SSC General Math - 9th Phase (Trigonometric Ratios) Suggestions and Answer

ক) উপরের চিত্র থেকে BC নির্ণয় কর।

সমাধান: সমকোণী $\triangle ABC$ এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

$= (\sqrt{3})^{2} + 1^{2} = 3 + 1 = 4$

$\therefore BC = 2$

খ) tanB + tanC এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ এবং $\tan C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$\tan B + \tan C = \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}$

$= \dfrac{1 + 3}{\sqrt{3}} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

গ) p ও q এর মান কত?

সমাধান: $\tan B = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^\circ \Rightarrow \angle B = 30^\circ$

$\tan C = \sqrt{3} = \tan 60^\circ \Rightarrow \angle C = 60^\circ$

সুতরাং, $p - q = 30^\circ$ ………(i)

$p + q = 60^\circ$ ………(ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই, $2p = 90^\circ \Rightarrow p = 45^\circ$

(ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই, $2q = 30^\circ \Rightarrow q = 15^\circ$

নির্ণেয় মান $p = 45^\circ$, $q = 15^\circ$।

প্রশ্ন ৩

চিত্রে $\triangle ABC$ এর সমকোণ $B$ বিন্দুতে, $AB = 1$, অতিভুজ $AC = 2$, $\angle A = (x+y)$ এবং $\angle C = (x-y)$।

ক) BC = ?

সমাধান: $BC^{2} = AC^{2} - AB^{2}$

$= 2^{2} - 1^{2} = 4 - 1 = 3$

$\therefore BC = \sqrt{3}$

খ) SinA + SinC = ?

সমাধান: $\sin A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ এবং $\sin C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{1}{2}$

$\sin A + \sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$

গ) দেখাও যে, x/y = 3।

সমাধান: $\sin C = \dfrac{1}{2} = \sin 30^\circ \Rightarrow \angle C = 30^\circ$

$\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ \Rightarrow \angle A = 60^\circ$

সুতরাং, $x + y = 60^\circ$ ………(i)

$x - y = 30^\circ$ ………(ii)

(i) ও (ii) যোগ করে, $2x = 90^\circ \Rightarrow x = 45^\circ$

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে, $2y = 30^\circ \Rightarrow y = 15^\circ$

$\therefore \dfrac{x}{y} = \dfrac{45^\circ}{15^\circ} = 3$ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ৪

$\triangle ABC$ এর $\angle B = 90^\circ$, $AB = 5$ সে.মি. এবং $BC = 12$ সে.মি.।

ক) AC এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$

$= 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$

$\therefore AC = 13$ সে.মি.

খ) SinC + CosC এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $\sin C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{5}{13}$ এবং $\cos C = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{12}{13}$

$\sin C + \cos C = \dfrac{5}{13} + \dfrac{12}{13} = \dfrac{17}{13}$

গ) দেখাও যে, Sec²A + Cosec²A = Sec²A·Cosec²A।

সমাধান: বামপক্ষ $= \sec^{2}A + \csc^{2}A$

$= \dfrac{1}{\cos^{2}A} + \dfrac{1}{\sin^{2}A}$

$= \dfrac{\sin^{2}A + \cos^{2}A}{\sin^{2}A\cos^{2}A}$

$= \dfrac{1}{\sin^{2}A\cos^{2}A}$ [$\because \sin^{2}A + \cos^{2}A = 1$]

$= \dfrac{1}{\cos^{2}A} \cdot \dfrac{1}{\sin^{2}A}$

$= \sec^{2}A \cdot \csc^{2}A$ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ৬

$\triangle ABC$ এর $\angle B = 90^\circ$, $AB = \sqrt{2}$ সে.মি., অতিভুজ $AC = 2$ সে.মি.।

ক) তথ্যানুযায়ী চিত্র অংকন কর।

সমাধান: একটি সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$ আঁকি যার সমকোণ $B$ বিন্দুতে, $AB = \sqrt{2}$ সে.মি. (প্রায় 1.41 সে.মি.) এবং অতিভুজ $AC = 2$ সে.মি.। অপর বাহু $BC^{2} = AC^{2} - AB^{2} = 4 - 2 = 2$ বলে $BC = \sqrt{2}$ সে.মি.।

খ) ∠C = α হলে Secα − tanα এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $\sin\alpha = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \sin 45^\circ \Rightarrow \alpha = 45^\circ$

$\sec\alpha - \tan\alpha = \sec 45^\circ - \tan 45^\circ$

$= \sqrt{2} - 1$

গ) দেখাও যে, Cosec²α − Cot²α = 2।

সমাধান: $\alpha = 45^\circ$ হলে, $\csc^{2}45^\circ = (\sqrt{2})^{2} = 2$

$\cot^{2}45^\circ = 1^{2} = 1$

$\therefore \csc^{2}\alpha = 2$ (প্রশ্নে উল্লেখিত মান) এবং $\csc^{2}\alpha - \cot^{2}\alpha = 2 - 1 = 1$

নোট: সূত্র $\csc^{2}\alpha - \cot^{2}\alpha = 1$ সকল $\alpha$ এর জন্য সত্য, তাই এই ত্রিভুজে $\csc^{2}\alpha - \cot^{2}\alpha$ এর মান $1$। পিডিএফ-এ ছাপা $2$ হলো $\csc^{2}\alpha$ এর মান (অর্থাৎ ছাপায় "−" অংশ বাদ পড়েছে); এখানে $\csc^{2}\alpha = 2$ দেখানো হলো।

প্রশ্ন ৭

$\sqrt{3}\tan(A-B) = 1$ এবং $\sqrt{3}\tan(A+B) = 3$ দুটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।

ক) A − B এর মান কত?

সমাধান: $\sqrt{3}\tan(A-B) = 1$

$\Rightarrow \tan(A-B) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^\circ$

$\therefore A - B = 30^\circ$

খ) সমীকরণ থেকে A ও B এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $\sqrt{3}\tan(A+B) = 3 \Rightarrow \tan(A+B) = \sqrt{3} = \tan 60^\circ$

$\therefore A + B = 60^\circ$ ………(i)

$A - B = 30^\circ$ ………(ii)

(i) ও (ii) যোগ করে, $2A = 90^\circ \Rightarrow A = 45^\circ$

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে, $2B = 30^\circ \Rightarrow B = 15^\circ$

গ) 'খ' থেকে প্রাপ্ত A ও B মানের জন্য সমীকরণের সত্যতা যাচাই কর।

সমাধান: $A = 45^\circ$, $B = 15^\circ$ হলে,

১ম সমীকরণ: $\sqrt{3}\tan(45^\circ - 15^\circ) = \sqrt{3}\tan 30^\circ = \sqrt{3} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 1$ ✓

২য় সমীকরণ: $\sqrt{3}\tan(45^\circ + 15^\circ) = \sqrt{3}\tan 60^\circ = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ ✓

সুতরাং $A = 45^\circ$ ও $B = 15^\circ$ মান দুটি সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

প্রশ্ন ১১

$\cot A = \dfrac{b}{a}$

ক) cotA + tanA = কত?

সমাধান: $\tan A = \dfrac{1}{\cot A} = \dfrac{a}{b}$

$\cot A + \tan A = \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}$

$= \dfrac{b^{2} + a^{2}}{ab} = \dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}$

খ) প্রমাণ কর যে, sinA = ± a/√(a² + b²)।

সমাধান: আমরা জানি, $\csc^{2}A = 1 + \cot^{2}A$

$= 1 + \dfrac{b^{2}}{a^{2}} = \dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}$

$\Rightarrow \sin^{2}A = \dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}$

$\therefore \sin A = \pm\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ (প্রমাণিত)

গ) (a sinA − b cosA)/(a sinA + b cosA) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: লব ও হরকে $\sin A$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{a\sin A - b\cos A}{a\sin A + b\cos A} = \dfrac{a - b\cot A}{a + b\cot A}$

$= \dfrac{a - b \cdot \dfrac{b}{a}}{a + b \cdot \dfrac{b}{a}}$

$= \dfrac{\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a}}{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a}}$

$= \dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$

প্রশ্ন ১২

$\tan\theta + \sin\theta = a$, $\tan\theta - \sin\theta = b$ এবং $\sec\theta + \csc\theta = \sqrt{2}\sec\theta$।

ক) a² + b² এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $a^{2} + b^{2} = (\tan\theta + \sin\theta)^{2} + (\tan\theta - \sin\theta)^{2}$

$= 2(\tan^{2}\theta + \sin^{2}\theta)$

খ) দেখাও যে, a² − b² = 4√(ab)।

সমাধান: $a^{2} - b^{2} = (\tan\theta + \sin\theta)^{2} - (\tan\theta - \sin\theta)^{2}$

$= 4\tan\theta\sin\theta$ ………(i)

$ab = (\tan\theta + \sin\theta)(\tan\theta - \sin\theta) = \tan^{2}\theta - \sin^{2}\theta$

$= \dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} - \sin^{2}\theta$

$= \sin^{2}\theta\left(\dfrac{1 - \cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\right)$

$= \sin^{2}\theta \cdot \tan^{2}\theta$

$\therefore \sqrt{ab} = \sin\theta\tan\theta$ (ধনাত্মক মান ধরে)

(i) থেকে, $a^{2} - b^{2} = 4\sqrt{ab}$ (দেখানো হলো)

গ) প্রমাণ কর যে, secθ − cosecθ = √2 cosecθ।

সমাধান: দেওয়া আছে, $\sec\theta + \csc\theta = \sqrt{2}\sec\theta$

$\Rightarrow \csc\theta = \sqrt{2}\sec\theta - \sec\theta = (\sqrt{2}-1)\sec\theta$ ………(i)

এখন, $\sec\theta - \csc\theta = \sec\theta - (\sqrt{2}-1)\sec\theta$

$= (2 - \sqrt{2})\sec\theta$

$= \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\sec\theta$

$= \sqrt{2}\csc\theta$ [(i) নং থেকে]

$\therefore \sec\theta - \csc\theta = \sqrt{2}\csc\theta$ (প্রমাণিত)