SSC General Math - 5th Phase (Single Variable Equations) Suggestions and Answer

ক) পঁচিশ পয়সার মুদ্রা যদি x সংখ্যক হয়, তাহলে পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা কয়টি?

সমাধান: মোট মুদ্রা $120$ টি। $25$ পয়সার মুদ্রা $x$ টি হলে $50$ পয়সার মুদ্রা $(120 - x)$ টি।

খ) কোন প্রকার মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান: $35$ টাকা $= 3500$ পয়সা। শর্তমতে,

$25x + 50(120 - x) = 3500$

$\Rightarrow 25x + 6000 - 50x = 3500$

$\Rightarrow -25x = -2500$

$\therefore x = 100$

সুতরাং $25$ পয়সার মুদ্রা $100$ টি এবং $50$ পয়সার মুদ্রা $120 - 100 = 20$ টি।

গ) মোট টাকা রেখে পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা দ্বিগুণ করা হলে পঁচিশ পয়সার সংখ্যা কত কমাতে হবে?

সমাধান: পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা দ্বিগুণ হলে হবে $2 \times 20 = 40$ টি, যার মূল্য $40 \times 50 = 2000$ পয়সা $= 20$ টাকা।

মোট টাকা $35$ হওয়ায় $25$ পয়সার মুদ্রার মূল্য থাকবে $35 - 20 = 15$ টাকা $= 1500$ পয়সা।

অর্থাৎ $25$ পয়সার মুদ্রা থাকবে $1500 \div 25 = 60$ টি।

সুতরাং পঁচিশ পয়সার মুদ্রা কমাতে হবে $100 - 60 = 40$ টি।

প্রশ্ন ২

একটি স্টীমারের যাত্রী সংখ্যা 94 জন; মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 3090 টাকা।

ক) কেবিনের যাত্রী সংখ্যাকে x মাধ্যমে প্রকাশ করে সমস্ত তথ্য টি সমীকরণে প্রকাশ কর।

সমাধান: কেবিনের যাত্রী $x$ জন হলে ডেকের যাত্রী $(94 - x)$ জন। কেবিনের ভাড়া মাথাপিছু $2 \times 30 = 60$ টাকা।

সমীকরণ: $60x + 30(94 - x) = 3090$

খ) ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান: $60x + 30(94 - x) = 3090$

$\Rightarrow 60x + 2820 - 30x = 3090$

$\Rightarrow 30x = 270$

$\therefore x = 9$

ডেকের যাত্রী সংখ্যা $= 94 - 9 = 85$ জন।

গ) যদি কেবিনের যাত্রী সংখ্যা দুই অঙ্ক বিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি হয় এবং অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 45 কম হয়, তবে সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধান: কেবিনের যাত্রী সংখ্যা $= 9$। ধরি, সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক $a$ এবং এককের অঙ্ক $b$। সংখ্যাটি $= 10a + b$।

শর্তমতে, $a + b = 9$ ………(i)

অঙ্ক স্থান বিনিময়ে সংখ্যাটি হয় $10b + a$। শর্তমতে,

$10b + a = 10a + b - 45$

$\Rightarrow 9a - 9b = 45$

$\Rightarrow a - b = 5$ ………(ii)

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

$2a = 14 \Rightarrow a = 7$

(i) নং থেকে, $b = 9 - 7 = 2$

নির্ণেয় সংখ্যাটি $72$। (যাচাই: $27 = 72 - 45$ ✓)

প্রশ্ন ৪

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্র বসলে 2 খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসলে 8 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।

ক) মোট ছাত্রসংখ্যা x জন হলে বেঞ্চের সংখ্যা x মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধান: প্রতি বেঞ্চে $5$ জন করে বসলে $x$ জন ছাত্রের জন্য $\dfrac{x}{5}$ টি বেঞ্চ লাগে এবং $2$ টি খালি থাকে।

সুতরাং বেঞ্চের সংখ্যা $= \dfrac{x}{5} + 2$

প্রতি বেঞ্চে $4$ জন করে বসলে $(x - 8)$ জন বসে, তাই বেঞ্চের সংখ্যা $= \dfrac{x - 8}{4}$

খ) শর্তানুসারে সমীকরণ গঠন করে ছাত্র সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধান: $\dfrac{x}{5} + 2 = \dfrac{x - 8}{4}$

$\Rightarrow 4x + 40 = 5x - 40$ [উভয়পক্ষকে $20$ দ্বারা গুণ করে]

$\therefore x = 80$

ছাত্র সংখ্যা $80$ জন। (বেঞ্চ $= \dfrac{80}{5} + 2 = 18$ টি; যাচাই: $\dfrac{80 - 8}{4} = 18$ ✓)

গ) কিছু ছাত্র 6 টাকা এবং অন্যরা 2 টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট চাঁদার পরিমাণ ছাত্র সংখ্যার চার গুণের সমান হয়। কতজন ছাত্র 6 টাকা এবং কতজন ছাত্র 2 টাকা করে চাঁদা দিয়েছে?

সমাধান: মোট চাঁদা $= 4 \times 80 = 320$ টাকা। ধরি, $y$ জন ছাত্র $6$ টাকা করে দিয়েছে; তাহলে $(80 - y)$ জন $2$ টাকা করে দিয়েছে।

$6y + 2(80 - y) = 320$

$\Rightarrow 4y + 160 = 320$

$\therefore y = 40$

সুতরাং $40$ জন ছাত্র $6$ টাকা এবং $80 - 40 = 40$ জন ছাত্র $2$ টাকা করে চাঁদা দিয়েছে।

প্রশ্ন ৫

$\dfrac{4}{a} + a = 5$

ক) উপরের সমীকরণের সমাধান কর।

সমাধান: $\dfrac{4}{a} + a = 5$

$\Rightarrow 4 + a^{2} = 5a$ [$a \neq 0$]

$\Rightarrow a^{2} - 5a + 4 = 0$

$\Rightarrow (a - 1)(a - 4) = 0$

$\therefore a = 1$ অথবা $a = 4$

খ) a = √(10x − 4) হলে, সমাধান সেট নির্ণয় কর।

সমাধান: $a = 1$ হলে, $\sqrt{10x - 4} = 1$

$\Rightarrow 10x - 4 = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$

$a = 4$ হলে, $\sqrt{10x - 4} = 4$

$\Rightarrow 10x - 4 = 16 \Rightarrow x = 2$

যাচাই: $x = \dfrac{1}{2}$ হলে $\sqrt{5 - 4} = 1$ ✓; $x = 2$ হলে $\sqrt{20 - 4} = 4$ ✓

নির্ণেয় সমাধান সেট $= \left\{\dfrac{1}{2},\ 2\right\}$

গ) a = (6x − 4)^1/2 হলে, সমাধান কর।

সমাধান: $a = 1$ হলে, $(6x - 4)^{\frac{1}{2}} = 1$

$\Rightarrow 6x - 4 = 1 \Rightarrow x = \dfrac{5}{6}$

$a = 4$ হলে, $(6x - 4)^{\frac{1}{2}} = 4$

$\Rightarrow 6x - 4 = 16 \Rightarrow x = \dfrac{10}{3}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \dfrac{5}{6}$ অথবা $x = \dfrac{10}{3}$ (সমাধান সেট $= \left\{\dfrac{5}{6},\ \dfrac{10}{3}\right\}$)

প্রশ্ন ৬

মাতার বর্তমান বয়স তার দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির চার গুণ। 5 বছর পর মাতার বয়স ঐ দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির দ্বিগুণ হবে।

ক) উদ্দীপকের আলোকে ২টি সমীকরণ গঠন কর।

সমাধান: ধরি, মাতার বর্তমান বয়স $y$ বছর এবং দুই কন্যার বয়সের সমষ্টি $x$ বছর।

$y = 4x$ ………(i)

5 বছর পর মাতার বয়স $(y + 5)$ এবং দুই কন্যার বয়সের সমষ্টি $(x + 10)$ হবে। সুতরাং,

$y + 5 = 2(x + 10)$ ………(ii)

খ) মাতার বর্তমান বয়স কত নির্ণয় কর।

সমাধান: (i) নং থেকে $y$ এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

$4x + 5 = 2x + 20$

$\Rightarrow 2x = 15$

$\therefore x = 7.5$

$y = 4 \times 7.5 = 30$

মাতার বর্তমান বয়স $30$ বছর।

গ) 15 বছর পর মাতার বয়স তার দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির কত গুণ হবে?

সমাধান: 15 বছর পর মাতার বয়স $= 30 + 15 = 45$ বছর।

15 বছর পর দুই কন্যার বয়সের সমষ্টি $= 7.5 + 2 \times 15 = 37.5$ বছর।

$\therefore 45 \div 37.5 = \dfrac{6}{5} = 1.2$

মাতার বয়স কন্যাদ্বয়ের বয়সের সমষ্টির $\dfrac{6}{5}$ ($1.2$) গুণ হবে।

প্রশ্ন ৭

তিনটি বীজগাণিতিক রাশি:

(a) $\dfrac{ax}{b} - \dfrac{bx}{a} = a^{2} - b^{2}$

(b) $\dfrac{x - a}{b} + \dfrac{x - b}{a} + \dfrac{x - 3a - 3b}{a + b} = 0$

(c) $\dfrac{x + 2b^{2} + c^{2}}{a + b} + \dfrac{x + 2c^{2} + a^{2}}{b + c} + \dfrac{x + 2a^{2} + b^{2}}{c + a} = 0$

ক) (a) এর সমাধান কত?

সমাধান: $\dfrac{ax}{b} - \dfrac{bx}{a} = a^{2} - b^{2}$

$\Rightarrow \dfrac{x(a^{2} - b^{2})}{ab} = a^{2} - b^{2}$

$\therefore x = ab$ [$a^{2} \neq b^{2}$]

খ) (b) এর সমাধান নির্ণয় কর।

সমাধান: $\dfrac{x - a}{b} = \dfrac{x - a - b}{b} + 1$, $\dfrac{x - b}{a} = \dfrac{x - a - b}{a} + 1$, $\dfrac{x - 3a - 3b}{a + b} = \dfrac{x - a - b}{a + b} - 2$

সমীকরণটি হয়,

$(x - a - b)\left[\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a + b}\right] + 1 + 1 - 2 = 0$

$\Rightarrow (x - a - b)\left[\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a + b}\right] = 0$

বন্ধনীর মান শূন্য নয় ($a, b$ ধনাত্মক হলে), তাই $x - a - b = 0$

$\therefore x = a + b$

গ) (c) এর সমাধান করে সমাধান সেট গঠন কর।

সমাধান: ধরি, $X = x + a^{2} + b^{2} + c^{2}$। তাহলে,

$x + 2b^{2} + c^{2} = X + (b^{2} - a^{2})$

$x + 2c^{2} + a^{2} = X + (c^{2} - b^{2})$

$x + 2a^{2} + b^{2} = X + (a^{2} - c^{2})$

সুতরাং বামপক্ষ $= X\left[\dfrac{1}{a + b} + \dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a}\right] + (b - a) + (c - b) + (a - c)$

$= X\left[\dfrac{1}{a + b} + \dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a}\right]$

বন্ধনীর মান শূন্য নয় ($a, b, c$ ধনাত্মক হলে), তাই $X = 0$

$\Rightarrow x = -(a^{2} + b^{2} + c^{2})$

নির্ণেয় সমাধান সেট $= \{-(a^{2} + b^{2} + c^{2})\}$

প্রশ্ন ৮

$a$ ও $b$ দুইটি বীজগাণিতিক রাশি।

ক) দেখাও যে, ax/b − bx/a = a² − b² সমীকরণের বীজ, বীজগাণিতিক রাশি দুইটির গুণফলের সমান।

সমাধান: $\dfrac{ax}{b} - \dfrac{bx}{a} = a^{2} - b^{2}$

$\Rightarrow \dfrac{x(a^{2} - b^{2})}{ab} = a^{2} - b^{2}$

$\Rightarrow x = ab$

সমীকরণের বীজ $ab$, যা $a$ ও $b$ এর গুণফলের সমান। (দেখানো হলো)

খ) দেখাও যে, (x − a)/b + (x − b)/a + (x − 3a − 3b)/(a + b) = 0 সমীকরণের বীজ, বীজগাণিতিক রাশি দুটির যোগফলের সমান।

সমাধান: ৭(খ) অনুযায়ী সমীকরণটির বীজ $x = a + b$, যা $a$ ও $b$ এর যোগফলের সমান। (দেখানো হলো)

গ) দেখাও যে, a/(x − a) + b/(x − b) = (a + b)/(x − a − b) সমীকরণটির বীজ, বীজগাণিতিক রাশি দুটির যোগফলের অর্ধেক।

সমাধান: বামপক্ষ $= \dfrac{a(x - b) + b(x - a)}{(x - a)(x - b)} = \dfrac{(a + b)x - 2ab}{(x - a)(x - b)}$

আড়গুণন করে পাই,

$[(a + b)x - 2ab](x - a - b) = (a + b)(x - a)(x - b)$

বামপক্ষ $= (a + b)x^{2} - (a + b)^{2}x - 2abx + 2ab(a + b)$

ডানপক্ষ $= (a + b)x^{2} - (a + b)^{2}x + ab(a + b)$

বিয়োগ করে পাই,

$-2abx + ab(a + b) = 0$

$\Rightarrow ab(a + b - 2x) = 0$

$\therefore x = \dfrac{a + b}{2}$ [$ab \neq 0$]

সমীকরণটির বীজ $\dfrac{a + b}{2}$, যা $a$ ও $b$ এর যোগফলের অর্ধেক। (দেখানো হলো)