SSC General Math - 4th Phase (Indices and Logarithms) Suggestions and Answer

ক) দেখাও যে, log 1800 = q log p + p log q + p log r।

সমাধান: $1800 = 8 \times 9 \times 25 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5^{2} = p^{q} \times q^{p} \times r^{p}$ [কারণ $p = 2,\ q = 3,\ r = 5$]

$\therefore \log 1800 = \log(p^{q} \times q^{p} \times r^{p})$

$= \log p^{q} + \log q^{p} + \log r^{p}$

$= q\log p + p\log q + p\log r$ (দেখানো হলো)

খ) 7 log(pr/q) − p log(r²/(p³q)) + q log(q⁴/(p⁴r)) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $p = 2,\ q = 3,\ r = 5$ বসিয়ে পাই,

প্রদত্ত রাশি $= 7\log\dfrac{10}{3} - 2\log\dfrac{25}{24} + 3\log\dfrac{81}{80}$

$= 7(\log 2 + \log 5 - \log 3) - 2(2\log 5 - 3\log 2 - \log 3) + 3(4\log 3 - 4\log 2 - \log 5)$

$\log 2$ এর সহগ: $7 + 6 - 12 = 1$

$\log 3$ এর সহগ: $-7 + 2 + 12 = 7$

$\log 5$ এর সহগ: $7 - 4 - 3 = 0$

$\therefore$ রাশিটির মান $= \log 2 + 7\log 3 = \log(2 \times 3^{7}) = \log 4374$

গ) দেখাও যে, (q log√q + q log p − q log√r − q log√p) / (log p² + log q − log p − log r) = q/p।

সমাধান: লব $= q\left[\dfrac{1}{2}\log q + \log p - \dfrac{1}{2}\log r - \dfrac{1}{2}\log p\right]$

$= \dfrac{q}{2}[\log q + \log p - \log r]$

হর $= 2\log p + \log q - \log p - \log r = \log p + \log q - \log r$

$\therefore \dfrac{\text{লব}}{\text{হর}} = \dfrac{q}{2}$

এখানে $p = 2$ বলে $\dfrac{q}{2} = \dfrac{q}{p}$ (দেখানো হলো)

(মান বসিয়েও পাই: লব $= \dfrac{3}{2}\log\dfrac{6}{5}$, হর $= \log\dfrac{6}{5}$; অতএব অনুপাত $= \dfrac{3}{2} = \dfrac{q}{p}$)

প্রশ্ন ২

$x = 2,\ y = 3,\ z = 5$ হলে,

ক) দেখাও যে, log(x³y²z) = y log x + x log y + log z।

সমাধান: $x = 2,\ y = 3$ হওয়ায় $x^{3} = 2^{3} = x^{y}$ এবং $y^{2} = 3^{2} = y^{x}$

$\therefore \log(x^{3}y^{2}z) = \log(x^{y} \cdot y^{x} \cdot z)$

$= y\log x + x\log y + \log z$ (দেখানো হলো)

খ) 7 log(x⁴/(yz)) + z log(z²/(x³y)) + y log(y⁴/(x⁴z)) এর সরলীকরণ কর।

সমাধান: মান বসিয়ে পাই,

$7\log\dfrac{16}{15} + 5\log\dfrac{25}{24} + 3\log\dfrac{81}{80}$

$= 7(4\log 2 - \log 3 - \log 5) + 5(2\log 5 - 3\log 2 - \log 3) + 3(4\log 3 - 4\log 2 - \log 5)$

$\log 2$: $28 - 15 - 12 = 1$; $\log 3$: $-7 - 5 + 12 = 0$; $\log 5$: $-7 + 10 - 3 = 0$

$\therefore$ সরলীকৃত মান $= \log 2 = \log x$

গ) [log√(y³) + y log x − (y/x) log(xz)] / [log(xy) − log z] এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: লব $= \dfrac{3}{2}\log 3 + 3\log 2 - \dfrac{3}{2}(\log 2 + \log 5)$

$= \dfrac{3}{2}(\log 3 + \log 2 - \log 5) = \dfrac{3}{2}\log\dfrac{6}{5}$

হর $= \log(2 \times 3) - \log 5 = \log 6 - \log 5 = \log\dfrac{6}{5}$

$\therefore$ নির্ণেয় মান $= \dfrac{3}{2}\log\dfrac{6}{5} \div \log\dfrac{6}{5} = \dfrac{3}{2}$

প্রশ্ন ৩

$a = x^{q},\quad b = x^{r},\quad c = x^{p}$ হলে,

ক) (a/b)^q+r × (b/c)^r+p × (c/a)^p+q এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $\dfrac{a}{b} = x^{q-r},\quad \dfrac{b}{c} = x^{r-p},\quad \dfrac{c}{a} = x^{p-q}$

প্রদত্ত রাশি $= x^{(q-r)(q+r) + (r-p)(r+p) + (p-q)(p+q)}$

$= x^{(q^{2} - r^{2}) + (r^{2} - p^{2}) + (p^{2} - q^{2})}$

$= x^{0} = 1$

খ) দেখাও যে, (a/b)^q+r−p × (b/c)^r+p−q × (c/a)^p+q−r = 1।

নোট: পিডিএফ-এ তৃতীয় ভিত্তি (c/b) এবং প্রথম সূচক অস্পষ্ট ছাপা; ক) অংশের ধারা অনুযায়ী এখানে (c/a) এবং সূচকগুলো q+r−p, r+p−q, p+q−r ধরা হয়েছে।

সমাধান: $\dfrac{a}{b} = x^{q-r},\quad \dfrac{b}{c} = x^{r-p},\quad \dfrac{c}{a} = x^{p-q}$

প্রদত্ত রাশি $= x^{(q-r)(q+r-p) + (r-p)(r+p-q) + (p-q)(p+q-r)}$

$(q-r)(q+r-p) = q^{2} - r^{2} - pq + pr$

$(r-p)(r+p-q) = r^{2} - p^{2} - qr + pq$

$(p-q)(p+q-r) = p^{2} - q^{2} - pr + qr$

যোগ করে পাই, $(q^{2} - r^{2}) + (r^{2} - p^{2}) + (p^{2} - q^{2}) - pq + pr - qr + pq - pr + qr = 0$

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $= x^{0} = 1$ (দেখানো হলো)

গ) (a/b)^q²+qr+r² × (b/c)^r²+rp+p² × (c/a)^p²+pq+q² এর সরলীকরণ কর।

সমাধান: প্রদত্ত রাশি $= x^{(q-r)(q^{2}+qr+r^{2}) + (r-p)(r^{2}+rp+p^{2}) + (p-q)(p^{2}+pq+q^{2})}$

$= x^{(q^{3} - r^{3}) + (r^{3} - p^{3}) + (p^{3} - q^{3})}$

$= x^{0} = 1$

প্রশ্ন ৪

$P = a - \{a^{-1} + (b^{-1} - a)^{-1}\}^{-1},\quad Q = \dfrac{2^{x+4} - 4 \cdot 2^{x+1}}{2^{x+2} \div 2},\quad S = \dfrac{3 \cdot 2^{n} - 4 \cdot 2^{n-2}}{2^{n} - 2^{n-1}}$

ক) P এর মান বের কর।

সমাধান: $b^{-1} - a = \dfrac{1}{b} - a = \dfrac{1 - ab}{b}$

$\Rightarrow (b^{-1} - a)^{-1} = \dfrac{b}{1 - ab}$

$a^{-1} + \dfrac{b}{1 - ab} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{b}{1 - ab} = \dfrac{(1 - ab) + ab}{a(1 - ab)} = \dfrac{1}{a(1 - ab)}$

সুতরাং $\{\cdots\}^{-1} = a(1 - ab)$

$\therefore P = a - a(1 - ab) = a - a + a^{2}b = a^{2}b$

খ) Q এর সরলমান কত?

সমাধান: $Q = \dfrac{2^{4} \cdot 2^{x} - 4 \cdot 2 \cdot 2^{x}}{2^{2} \cdot 2^{x} \div 2}$

$= \dfrac{16 \cdot 2^{x} - 8 \cdot 2^{x}}{2 \cdot 2^{x}}$

$= \dfrac{8 \cdot 2^{x}}{2 \cdot 2^{x}} = 4$

গ) প্রমাণ কর যে, Q ÷ S = 1।

প্রমাণ: $S = \dfrac{3 \cdot 2^{n} - 4 \cdot 2^{n-2}}{2^{n} - 2^{n-1}}$

$= \dfrac{3 \cdot 2^{n} - 2^{n}}{2^{n} - \dfrac{2^{n}}{2}}$

$= \dfrac{2 \cdot 2^{n}}{\dfrac{2^{n}}{2}} = 4$

$\therefore Q \div S = 4 \div 4 = 1$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৫

$L = \dfrac{x^{a}}{x^{b}},\quad M = \dfrac{x^{b}}{x^{c}},\quad N = \dfrac{x^{c}}{x^{a}}$ হলে,

ক) L = 1 হলে, দেখাও যে, a = b।

সমাধান: $L = x^{a-b} = 1 = x^{0}$ [$x \neq 0, 1$]

সুতরাং $a - b = 0$, অর্থাৎ $a = b$ (দেখানো হলো)

খ) দেখাও যে, ᵃᵇ√L · ᵇᶜ√M · ᶜᵃ√N = 1।

সমাধান: $\sqrt[ab]{L} = (x^{a-b})^{\frac{1}{ab}} = x^{\frac{a-b}{ab}} = x^{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}$

$\sqrt[bc]{M} = (x^{b-c})^{\frac{1}{bc}} = x^{\frac{b-c}{bc}} = x^{\frac{1}{c} - \frac{1}{b}}$

$\sqrt[ca]{N} = (x^{c-a})^{\frac{1}{ca}} = x^{\frac{c-a}{ca}} = x^{\frac{1}{a} - \frac{1}{c}}$

গুণফল $= x^{\left(\frac{1}{b} - \frac{1}{a}\right) + \left(\frac{1}{c} - \frac{1}{b}\right) + \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{c}\right)} = x^{0} = 1$ (দেখানো হলো)

গ) দেখাও যে, log_k L^a+b + log_k M^b+c + log_k N^c+a = 0।

সমাধান: $L^{a+b} = x^{(a-b)(a+b)} = x^{a^{2} - b^{2}}$, $M^{b+c} = x^{b^{2} - c^{2}}$, $N^{c+a} = x^{c^{2} - a^{2}}$

বামপক্ষ $= (a^{2} - b^{2})\log_{k}x + (b^{2} - c^{2})\log_{k}x + (c^{2} - a^{2})\log_{k}x$

$= (a^{2} - b^{2} + b^{2} - c^{2} + c^{2} - a^{2})\log_{k}x$

$= 0 \times \log_{k}x = 0$ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ৬

$A = 2^{2x+1},\quad B = \dfrac{\sqrt[3]{7^{2}} \cdot \sqrt[3]{7}}{\sqrt{7}},\quad C = \dfrac{3 \cdot 2^{n} - 4 \cdot 2^{n-2}}{2^{n} - 2^{n-1}}$

ক) x = 2 হলে, A এর মান কত?

$A = 2^{2 \times 2 + 1} = 2^{5} = 32$

খ) B ÷ 3/2 এর মান কত?

সমাধান: $B = \dfrac{7^{\frac{2}{3}} \times 7^{\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{7^{1}}{7^{\frac{1}{2}}} = 7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$

$\therefore B \div \dfrac{3}{2} = \sqrt{7} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2\sqrt{7}}{3}$

গ) প্রমাণ কর যে, A ÷ C = 32।

সমাধান: $C = 4$ (প্রশ্ন ৪ এর $S$ এর মতোই)।

সুতরাং $A \div C = 2^{2x+1} \div 2^{2} = 2^{2x-1}$

$A \div C = 32 = 2^{5}$ হতে হলে $2x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3$

অর্থাৎ $x = 3$ হলে $A = 2^{7} = 128$ এবং $A \div C = 128 \div 4 = 32$ (প্রমাণিত)

দ্রষ্টব্য: (ক) অংশের $x = 2$ এর জন্য $A \div C = 32 \div 4 = 8$; তাই 32 পেতে $x = 3$ ধরতে হবে।

প্রশ্ন ৭

প্রদত্ত তিনটি রাশি: $\dfrac{4^{n} - 1}{2^{n} - 1},\quad \dfrac{3^{m+1}}{(3^{m})^{m-1}},\quad \dfrac{9^{m+1}}{(3^{m+1})^{m-1}}$

ক) ১ম রাশিকে সরল কর।

$\dfrac{4^{n} - 1}{2^{n} - 1} = \dfrac{(2^{n})^{2} - 1^{2}}{2^{n} - 1}$

$= \dfrac{(2^{n} - 1)(2^{n} + 1)}{2^{n} - 1} = 2^{n} + 1$

খ) ২য় রাশিকে ৩য় রাশি দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: ২য় রাশি $= \dfrac{3^{m+1}}{3^{m(m-1)}} = 3^{m+1-m^{2}+m} = 3^{-m^{2}+2m+1}$

৩য় রাশি $= \dfrac{3^{2(m+1)}}{3^{(m+1)(m-1)}} = 3^{2m+2-m^{2}+1} = 3^{-m^{2}+2m+3}$

$\therefore$ ২য় রাশি $\div$ ৩য় রাশি $= 3^{(-m^{2}+2m+1) - (-m^{2}+2m+3)} = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}$

গ) সমাধান কর: (√3)^m+1 = (∛3)^2m−1 × ২য় রাশি।

সমাধান: এখানে ২য় রাশি বলতে (খ) এর ফল, অর্থাৎ ২য় রাশি ÷ ৩য় রাশি $= \dfrac{1}{9} = 3^{-2}$ ধরা হলো।

$(\sqrt{3})^{m+1} = (\sqrt[3]{3})^{2m-1} \times 3^{-2}$

$\Rightarrow 3^{\frac{m+1}{2}} = 3^{\frac{2m-1}{3}} \times 3^{-2} = 3^{\frac{2m-1}{3} - 2}$

$\Rightarrow \dfrac{m+1}{2} = \dfrac{2m-1}{3} - 2$

উভয়পক্ষকে $6$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$3m + 3 = 4m - 2 - 12$

$\Rightarrow 3m + 3 = 4m - 14$

$\Rightarrow m = 17$

$\therefore m = 17$ (এটি মূলদ সংখ্যা, প্রশ্নের শর্তের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ)।

যাচাই: বামপক্ষ $= 3^{\frac{18}{2}} = 3^{9}$; ডানপক্ষ $= 3^{\frac{33}{3}} \times 3^{-2} = 3^{11-2} = 3^{9}$ ✓

নোট: ২য় রাশিটিকে $3^{-m^{2}+2m+1}$ ধরলে $6m^{2} - 13m - 1 = 0$ হয়, যার মূল অমূলদ; কিন্তু প্রশ্নে m মূলদ সংখ্যা বলা আছে, তাই (খ) এর ফল ব্যবহার করা হলো।