SSC General Math - 3rd Phase (Algebraic Expressions) Suggestions and Answer

ক) a − 1/a এর মান বের কর।

সমাধান: দেওয়া আছে, $a^{2} - 4a - 1 = 0$

উভয়পক্ষকে $a\ (\neq 0)$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$a - 4 - \dfrac{1}{a} = 0$

$\therefore a - \dfrac{1}{a} = 4$

খ) a⁴ + 1/a⁴ = 322 প্রমাণ কর।

প্রমাণ: $a^{2} + \dfrac{1}{a^{2}} = \left(a - \dfrac{1}{a}\right)^{2} + 2 = 4^{2} + 2 = 18$

$a^{4} + \dfrac{1}{a^{4}} = \left(a^{2} + \dfrac{1}{a^{2}}\right)^{2} - 2$

$= 18^{2} - 2 = 324 - 2 = 322$ (প্রমাণিত)

গ) দেখাও যে, a⁵ + 1/a⁵ = 610√5।

সমাধান: $\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^{2} = \left(a - \dfrac{1}{a}\right)^{2} + 4 = 16 + 4 = 20$

$\therefore a + \dfrac{1}{a} = 2\sqrt{5}$ [$a = 2 + \sqrt{5}$ ধনাত্মক ধরে]

$a^{3} + \dfrac{1}{a^{3}} = \left(a + \dfrac{1}{a}\right)^{3} - 3\left(a + \dfrac{1}{a}\right)$

$= (2\sqrt{5})^{3} - 3 \times 2\sqrt{5}$

$= 40\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 34\sqrt{5}$

এখন, $\left(a^{2} + \dfrac{1}{a^{2}}\right)\left(a^{3} + \dfrac{1}{a^{3}}\right) = a^{5} + \dfrac{1}{a^{5}} + a + \dfrac{1}{a}$

$\Rightarrow 18 \times 34\sqrt{5} = a^{5} + \dfrac{1}{a^{5}} + 2\sqrt{5}$

$\Rightarrow a^{5} + \dfrac{1}{a^{5}} = 612\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$

$\therefore a^{5} + \dfrac{1}{a^{5}} = 610\sqrt{5}$ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ২

$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 10$ হলে,

ক) x⁴ + 1/x⁴ এর মান নির্ণয় কর।

$x^{4} + \dfrac{1}{x^{4}} = \left(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\right)^{2} - 2 = 10^{2} - 2 = 98$

খ) দেখাও যে, x = √3 + √2।

সমাধান: $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} + 2 = 12$

$\Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{3}$ ………(i) [$x$ ধনাত্মক]

$\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - 2 = 8$

$\Rightarrow x - \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ ………(ii) [$x > 1$]

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

$2x = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}$

$\therefore x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ (দেখানো হলো)

গ) প্রমাণ কর যে, x + 1/x = 2√3।

প্রমাণ: $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} + 2 = 10 + 2 = 12$

$\therefore x + \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{3}$ [$x$ ধনাত্মক] (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৩

$3x - \dfrac{1}{2x} = 2$ হলে,

ক) 9x² + 1/(4x²) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$9x^{2} - 2 \times 3x \times \dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{4x^{2}} = 4$

$\Rightarrow 9x^{2} - 3 + \dfrac{1}{4x^{2}} = 4$

$\therefore 9x^{2} + \dfrac{1}{4x^{2}} = 7$

খ) 27x³ + 1/(8x³) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: ধরি, $A = 3x$ এবং $B = \dfrac{1}{2x}$। তাহলে,

$A - B = 2,\quad AB = 3x \times \dfrac{1}{2x} = \dfrac{3}{2},\quad A^{2} + B^{2} = 7$ ('ক' থেকে)

$(A + B)^{2} = A^{2} + B^{2} + 2AB = 7 + 3 = 10$

$\therefore A + B = \sqrt{10}$ [$x$ ধনাত্মক]

$27x^{3} + \dfrac{1}{8x^{3}} = A^{3} + B^{3}$

$= (A + B)^{3} - 3AB(A + B)$

$= 10\sqrt{10} - 3 \times \dfrac{3}{2} \times \sqrt{10}$

$= 10\sqrt{10} - \dfrac{9}{2}\sqrt{10}$

$= \dfrac{11\sqrt{10}}{2}$

গ) x³ + 1/x³ = 18√3 হলে, প্রমাণ কর যে, x = √3 + √2।

প্রমাণ: ধরি, $t = x + \dfrac{1}{x}$। তাহলে $x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}} = t^{3} - 3t$

$t^{3} - 3t = 18\sqrt{3}$

$\Rightarrow t^{3} - 3t - 18\sqrt{3} = 0$

$\Rightarrow (t - 2\sqrt{3})(t^{2} + 2\sqrt{3}\,t + 9) = 0$

$t^{2} + 2\sqrt{3}\,t + 9 = 0$ সমীকরণের নিশ্চায়ক $= 12 - 36 < 0$, তাই এর কোনো বাস্তব মূল নেই। সুতরাং $t = 2\sqrt{3}$

$x + \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{3}$

$\Rightarrow x^{2} - 2\sqrt{3}\,x + 1 = 0$

$\Rightarrow x = \dfrac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 4}}{2} = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$

$\therefore x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ (অপর মান $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ হলো এর অন্যোন্যক) (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৪

$p + q = \sqrt{5},\quad (p - q)^{2} = 3$

ক) p² − q² = কত?

সমাধান: $(p - q)^{2} = 3 \Rightarrow p - q = \sqrt{3}$ [$p > q$ ধরে]

$p^{2} - q^{2} = (p + q)(p - q) = \sqrt{5} \times \sqrt{3} = \sqrt{15}$

($p < q$ হলে মান $-\sqrt{15}$ হবে।)

খ) প্রমাণ কর যে, 5pq(3p² + 3q²) = 30।

প্রমাণ: $(p + q)^{2} + (p - q)^{2} = 2(p^{2} + q^{2})$

$\Rightarrow 5 + 3 = 2(p^{2} + q^{2})$

$\Rightarrow p^{2} + q^{2} = 4$

$(p + q)^{2} - (p - q)^{2} = 4pq$

$\Rightarrow 5 - 3 = 4pq$

$\Rightarrow pq = \dfrac{1}{2}$

$5pq(3p^{2} + 3q^{2}) = 15pq(p^{2} + q^{2}) = 15 \times \dfrac{1}{2} \times 4 = 30$ (প্রমাণিত)

গ) দেখাও যে, p = 3 + 1/p যখন, p⁴ = 119 − 1/p⁴।

সমাধান: $p = 3 + \dfrac{1}{p} \Rightarrow p - \dfrac{1}{p} = 3$

$p^{2} + \dfrac{1}{p^{2}} = \left(p - \dfrac{1}{p}\right)^{2} + 2 = 9 + 2 = 11$

$p^{4} + \dfrac{1}{p^{4}} = \left(p^{2} + \dfrac{1}{p^{2}}\right)^{2} - 2 = 121 - 2 = 119$

$\therefore p^{4} = 119 - \dfrac{1}{p^{4}}$ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ৫

$a^{4} + a^{2}b^{2} + b^{4} = 8,\quad a^{2} + ab + b^{2} = 4$

ক) a² − ab + b² এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $a^{4} + a^{2}b^{2} + b^{4} = (a^{2} + ab + b^{2})(a^{2} - ab + b^{2})$

$\Rightarrow 8 = 4 \times (a^{2} - ab + b^{2})$

$\therefore a^{2} - ab + b^{2} = 2$

খ) a² + b² এর মান কত হবে?

সমাধান: $(a^{2} + ab + b^{2}) + (a^{2} - ab + b^{2}) = 4 + 2$

$\Rightarrow 2(a^{2} + b^{2}) = 6$

$\therefore a^{2} + b^{2} = 3$

গ) প্রমাণ কর যে, 8ab(a² + b²) = 24।

প্রমাণ: $a^{2} + ab + b^{2} = 4$

$\Rightarrow ab = 4 - (a^{2} + b^{2}) = 4 - 3 = 1$

$8ab(a^{2} + b^{2}) = 8 \times 1 \times 3 = 24$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৬

$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হলে,

ক) x² + 1/x² এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$x + \dfrac{1}{x} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$

$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} - 2 = (2\sqrt{3})^{2} - 2 = 12 - 2 = 10$

খ) প্রমাণ কর যে, x³ + 1/x³ = 18√3।

প্রমাণ: $x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{3} - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)$

$= (2\sqrt{3})^{3} - 3 \times 2\sqrt{3}$

$= 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ (প্রমাণিত)

গ) x⁵ + 1/x⁵ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $\left(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\right)\left(x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}}\right) = x^{5} + \dfrac{1}{x^{5}} + x + \dfrac{1}{x}$

$\Rightarrow 10 \times 18\sqrt{3} = x^{5} + \dfrac{1}{x^{5}} + 2\sqrt{3}$

$\therefore x^{5} + \dfrac{1}{x^{5}} = 180\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 178\sqrt{3}$

প্রশ্ন ৭

$2x - \dfrac{2}{x} = 3$, যেখানে $x$ ধনাত্মক।

ক) x² + 1/x² = কত?

সমাধান: $2x - \dfrac{2}{x} = 3 \Rightarrow x - \dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2}$

$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{2} + 2 = \dfrac{9}{4} + 2 = \dfrac{17}{4}$

খ) প্রমাণ কর যে, 8x³ + 8/x³ = 65।

প্রমাণ: $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{2} + 4 = \dfrac{9}{4} + 4 = \dfrac{25}{4}$

$\Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2}$ [$x$ ধনাত্মক]

$x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{3} - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{125}{8} - \dfrac{15}{2} = \dfrac{65}{8}$

$\therefore 8x^{3} + \dfrac{8}{x^{3}} = 8 \times \dfrac{65}{8} = 65$ (প্রমাণিত)

গ) মান নির্ণয় কর: (x² − 1/x²)(8x³ − 8/x³)।

সমাধান: $x^{2} - \dfrac{1}{x^{2}} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{4}$

$x^{3} - \dfrac{1}{x^{3}} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{3} + 3\left(x - \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{27}{8} + \dfrac{9}{2} = \dfrac{63}{8}$

সুতরাং $8x^{3} - \dfrac{8}{x^{3}} = 63$

$\therefore \left(x^{2} - \dfrac{1}{x^{2}}\right)\left(8x^{3} - \dfrac{8}{x^{3}}\right) = \dfrac{15}{4} \times 63 = \dfrac{945}{4} = 236\dfrac{1}{4}$

প্রশ্ন ৮

$x = \sqrt{3} + \sqrt{2},\quad a + b = m,\quad a^{2} + b^{2} = n,\quad a^{3} + b^{3} = p^{3}$

ক) 1/x এর মান কত?

$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

খ) প্রমাণ কর যে, m³ + 2p³ = 3mn।

প্রমাণ: $m^{2} = (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab = n + 2ab$

$\Rightarrow ab = \dfrac{m^{2} - n}{2}$

$p^{3} = a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3ab(a + b)$

$= m^{3} - \dfrac{3m(m^{2} - n)}{2}$

$\Rightarrow 2p^{3} = 2m^{3} - 3m^{3} + 3mn = -m^{3} + 3mn$

$\therefore m^{3} + 2p^{3} = 3mn$ (প্রমাণিত)

গ) দেখাও যে, x⁶ − 18√3 x³ + 1 = 0।

প্রমাণ: $x + \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{3}$

$\Rightarrow x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}} = (2\sqrt{3})^{3} - 3 \times 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$

উভয়পক্ষকে $x^{3}$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^{6} + 1 = 18\sqrt{3}\,x^{3}$

$\therefore x^{6} - 18\sqrt{3}\,x^{3} + 1 = 0$ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ৯

$x = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ হলে,

ক) 1/x এর মান কত?

$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^{2} - (\sqrt{5})^{2}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$

খ) x³ − 1/x³ এর মান কত?

সমাধান: $x - \dfrac{1}{x} = (\sqrt{6} + \sqrt{5}) - (\sqrt{6} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$

$x^{3} - \dfrac{1}{x^{3}} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{3} + 3\left(x - \dfrac{1}{x}\right)$

$= (2\sqrt{5})^{3} + 3 \times 2\sqrt{5}$

$= 40\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 46\sqrt{5}$

গ) দেখাও যে, x⁶ − 1/x⁶ = 1932√30।

সমাধান: $x + \dfrac{1}{x} = (\sqrt{6} + \sqrt{5}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{6}$

$x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}} = (2\sqrt{6})^{3} - 3 \times 2\sqrt{6} = 48\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = 42\sqrt{6}$

$x^{6} - \dfrac{1}{x^{6}} = \left(x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}}\right)\left(x^{3} - \dfrac{1}{x^{3}}\right)$

$= 42\sqrt{6} \times 46\sqrt{5}$

$= 1932\sqrt{30}$ (দেখানো হলো)