SSC General Math - 2nd Phase (Sets and Functions) Suggestions and Answer

ক) A ও B কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

সমাধান: $x \in N$ এবং $x < 7$ হলে $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6$।

এদের মধ্যে বিজোড় সংখ্যা $1, 3, 5$ এবং জোড় সংখ্যা $2, 4, 6$।

$\therefore A = \{1, 3, 5\}$ এবং $B = \{2, 4, 6\}$

খ) P(A ∩ B) এর ক্ষেত্রে দেখাও যে, এর উপাদান সংখ্যা 2ⁿ কে সমর্থন করে।

সমাধান: $A \cap B = \{1, 3, 5\} \cap \{2, 4, 6\} = \emptyset$ (কোনো সাধারণ উপাদান নেই)।

অতএব $A \cap B$ এর উপাদান সংখ্যা $n = 0$।

$P(A \cap B) = P(\emptyset) = \{\emptyset\}$

এই সেটের উপাদান সংখ্যা $1 = 2^{0} = 2^{n}$

সুতরাং $P(A \cap B)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^{n}$ কে সমর্থন করে। (দেখানো হলো)

গ) প্রমাণ কর যে, (A ∩ C) × B = (A × B) ∩ (C × B)।

প্রমাণ: $C = \{2, 3\}$ (কারণ $x \leq 3$ এবং মৌলিক সংখ্যা)।

$A \cap C = \{1, 3, 5\} \cap \{2, 3\} = \{3\}$

বামপক্ষ $= (A \cap C) \times B$

$= \{3\} \times \{2, 4, 6\}$

$= \{(3, 2), (3, 4), (3, 6)\}$

$A \times B = \{(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)\}$

$C \times B = \{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6)\}$

ডানপক্ষ $= (A \times B) \cap (C \times B)$

$= \{(3, 2), (3, 4), (3, 6)\}$

অতএব বামপক্ষ = ডানপক্ষ, অর্থাৎ $(A \cap C) \times B = (A \times B) \cap (C \times B)$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ২

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $A = \{1, 3, 5\}$, $B = \{2, 4, 6\}$ এবং $C = \{2, 3, 4, 5\}$।

ক) U ও C সেটকে গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

$U = \{x \in N : x \leq 6\}$

$C = \{x \in N : 2 \leq x \leq 5\}$

খ) উপরোক্ত তথ্য থেকে (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ এর সত্যতা পরীক্ষা কর।

সমাধান: $A \cup B = \{1, 3, 5\} \cup \{2, 4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = U$

বামপক্ষ $= (A \cup B)' = U - U = \emptyset$

$A' = U - A = \{2, 4, 6\}$ এবং $B' = U - B = \{1, 3, 5\}$

ডানপক্ষ $= A' \cap B' = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 3, 5\} = \emptyset$

অতএব $(A \cup B)' = A' \cap B'$ (সত্যতা পরীক্ষিত)

গ) A′ × (B ∩ C) এবং B′ × (A ∩ C) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $A' = \{2, 4, 6\}$

$B \cap C = \{2, 4, 6\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{2, 4\}$

$A' \times (B \cap C) = \{2, 4, 6\} \times \{2, 4\}$

$= \{(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 4)\}$

আবার, $B' = \{1, 3, 5\}$

$A \cap C = \{1, 3, 5\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{3, 5\}$

$B' \times (A \cap C) = \{1, 3, 5\} \times \{3, 5\}$

$= \{(1, 3), (1, 5), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)\}$

প্রশ্ন ৩

$A, B, C$ তিনটি সেট। যেখানে, $A = \{x : x \in N$ এবং $x^{2} - 5x + 6 = 0\}$, $B = \{1, 3\}$ এবং $C = \{3, 5\}$।

ক) A কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

সমাধান: $x^{2} - 5x + 6 = 0$

$\Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0$

$\Rightarrow x = 2$ অথবা $x = 3$

দুটিই স্বাভাবিক সংখ্যা। $\therefore A = \{2, 3\}$

খ) দেখাও যে, P(A ∩ C) = P(A) ∩ P(C)।

সমাধান: $A \cap C = \{2, 3\} \cap \{3, 5\} = \{3\}$

বামপক্ষ $= P(A \cap C) = P(\{3\}) = \{\emptyset, \{3\}\}$

$P(A) = \{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\}\}$

$P(C) = \{\emptyset, \{3\}, \{5\}, \{3, 5\}\}$

ডানপক্ষ $= P(A) \cap P(C) = \{\emptyset, \{3\}\}$

অতএব $P(A \cap C) = P(A) \cap P(C)$ (দেখানো হলো)

গ) প্রমাণ কর যে, (A × B) ∪ (A × C) = A × (B ∪ C)।

প্রমাণ: $A \times B = \{2, 3\} \times \{1, 3\} = \{(2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)\}$

$A \times C = \{2, 3\} \times \{3, 5\} = \{(2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)\}$

বামপক্ষ $= (A \times B) \cup (A \times C)$

$= \{(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)\}$

$B \cup C = \{1, 3\} \cup \{3, 5\} = \{1, 3, 5\}$

ডানপক্ষ $= A \times (B \cup C) = \{2, 3\} \times \{1, 3, 5\}$

$= \{(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)\}$

অতএব $(A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C)$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৪

$A = \{1, 3, 4, 5\}$, $B = \{2, 4, 6\}$। $R = \{(x, y) : x \in A,\ y \in A$ এবং $x = y - 2\}$ এবং $S = \{(x, y) : x \in A,\ y \in B$ এবং $x > y\}$।

ক) A কে গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

$A = \{x \in N : x \leq 5$ এবং $x \neq 2\}$

খ) S এর রিলেশনটি নির্ণয় কর।

সমাধান: $x \in \{1, 3, 4, 5\}$, $y \in \{2, 4, 6\}$ এবং $x > y$ হতে হবে।

$y = 2$ হলে $x = 3, 4, 5$

$y = 4$ হলে $x = 5$

$y = 6$ হলে কোনো $x$ নেই।

$\therefore S = \{(3, 2), (4, 2), (5, 2), (5, 4)\}$

গ) R কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

সমাধান: $x = y - 2$ অর্থাৎ $y = x + 2$। $x \in A$ এবং $y \in A$ হতে হবে।

$x = 1$ হলে $y = 3 \in A$ ✓

$x = 3$ হলে $y = 5 \in A$ ✓

$x = 4$ হলে $y = 6 \notin A$ ✗

$x = 5$ হলে $y = 7 \notin A$ ✗

$\therefore R = \{(1, 3), (3, 5)\}$

ডোমেন $= \{1, 3\}$ এবং রেঞ্জ $= \{3, 5\}$

প্রশ্ন ৫

$f(x) = \dfrac{5x + 1}{5x - 2}$

ক) x এর কোন মানের জন্য f(x) = 1/3?

সমাধান: প্রশ্নমতে, $\dfrac{5x + 1}{5x - 2} = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow 15x + 3 = 5x - 2$

$\Rightarrow 10x = -5$

$\therefore x = -\dfrac{1}{2}$

খ) মান নির্ণয় কর: [f(1/2) + 1] / [f(1/2) − 1]।

সমাধান: $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{5 \times \dfrac{1}{2} + 1}{5 \times \dfrac{1}{2} - 2}$

$= \dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 7$

$\therefore \dfrac{f\left(\dfrac{1}{2}\right) + 1}{f\left(\dfrac{1}{2}\right) - 1} = \dfrac{7 + 1}{7 - 1} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$

গ) f(x) = (1 + x³ + x⁶)/x³ হলে দেখাও যে, f(1/x²) = f(x²)।

সমাধান: $f(x) = \dfrac{1 + x^{3} + x^{6}}{x^{3}} = \dfrac{1}{x^{3}} + 1 + x^{3}$

$f\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right) = \left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{-3} + 1 + \left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{3}$

$= x^{6} + 1 + \dfrac{1}{x^{6}}$

$f(x^{2}) = \dfrac{1}{(x^{2})^{3}} + 1 + (x^{2})^{3}$

$= \dfrac{1}{x^{6}} + 1 + x^{6}$

অতএব $f\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right) = f(x^{2})$ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ৬

$f(x) = x^{3} + Kx^{2} - 4x - 8$

ক) K = 3 হলে f(−3) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $K = 3$ হলে $f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4x - 8$

$f(-3) = (-3)^{3} + 3(-3)^{2} - 4(-3) - 8$

$= -27 + 27 + 12 - 8$

$= 4$

খ) K এর কোন মানের জন্য f(−2) = 0 হবে?

সমাধান: $f(-2) = (-2)^{3} + K(-2)^{2} - 4(-2) - 8$

$= -8 + 4K + 8 - 8$

$= 4K - 8$

প্রশ্নমতে, $f(-2) = 0$

$\Rightarrow 4K - 8 = 0$

$\therefore K = 2$

গ) f(x) = 2x³ + Kx² + 4x − 3 হলে K এর কোন মানের জন্য f(1/2) = 0 হবে?

সমাধান: $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2 \times \dfrac{1}{8} + K \times \dfrac{1}{4} + 4 \times \dfrac{1}{2} - 3$

$= \dfrac{1}{4} + \dfrac{K}{4} + 2 - 3$

$= \dfrac{K}{4} - \dfrac{3}{4}$

প্রশ্নমতে, $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$

$\Rightarrow \dfrac{K}{4} - \dfrac{3}{4} = 0$

$\therefore K = 3$

প্রশ্ন ৭

$(2x + y,\ 3) = (b,\ x - y)$

ক) উক্ত ক্রমজোড় হতে দুটি সমীকরণ গঠন কর।

সমাধান: দুটি ক্রমজোড় সমান হলে তাদের অনুরূপ উপাদানগুলো পরস্পর সমান হয়। সুতরাং,

$2x + y = b$ ………(i)

$x - y = 3$ ………(ii)

খ) (x, y) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: (i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

$3x = b + 3$

$\therefore x = \dfrac{b + 3}{3}$

(ii) নং থেকে পাই,

$y = x - 3 = \dfrac{b + 3}{3} - 3 = \dfrac{b - 6}{3}$

$\therefore (x, y) = \left(\dfrac{b + 3}{3},\ \dfrac{b - 6}{3}\right)$

($b$ এর মান দেওয়া থাকলে বসিয়ে $x, y$ এর সংখ্যামান পাওয়া যাবে; যেমন $b = 9$ হলে $(x, y) = (4, 1)$)

গ) A = {x, y}, B = {1, 2, 3}, C = {a, b} হলে, দেখাও যে, (A ∩ B) = (A × B) ∩ (B × C)।

সমাধান: A = {x, y} এবং B = {1, 2, 3}-এর কোনো সাধারণ উপাদান নেই, তাই

$A \cap B = \varnothing$

$A \times B = \{(x, 1),\ (x, 2),\ (x, 3),\ (y, 1),\ (y, 2),\ (y, 3)\}$

$B \times C = \{(1, a),\ (1, b),\ (2, a),\ (2, b),\ (3, a),\ (3, b)\}$

$A \times B$ এর প্রতিটি ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদান $x$ বা $y$; আর $B \times C$ এর প্রথম উপাদান $1, 2$ বা $3$। তাই দুটির কোনো সাধারণ ক্রমজোড় নেই।

$\therefore (A \times B) \cap (B \times C) = \varnothing$

$\therefore A \cap B = (A \times B) \cap (B \times C) = \varnothing$ (দেখানো হলো)

বিকল্প (প্রচলিত রূপ): প্রশ্নটি যদি $(A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)$ হয়, তবে একইভাবে

$A \times C = \{(x, a),\ (x, b),\ (y, a),\ (y, b)\}$

বামপক্ষ $(A \cap B) \times C = \varnothing \times C = \varnothing$

ডানপক্ষ: $A \times C$ ও $B \times C$ এর প্রথম উপাদান যথাক্রমে $x, y$ এবং $1, 2, 3$, তাই $(A \times C) \cap (B \times C) = \varnothing$

$\therefore (A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)$ (প্রমাণিত)