SSC General Math - 1st Phase (Real Number) Suggestions and Answer with PDF

খ) প্রমাণ কর যে, একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

গ) দেখাও যে, কোনো বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গকে 8 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 অবশিষ্ট থাকে।

ক) ১, ২, ৩, ৪, … এই গণনার কাজে ব্যবহৃত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে।

খ) যেকোনো বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা 2n − 1 আকারের, যেখানে n ∈ N।

$(2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1 = 2(2n^2 - 2n) + 1$ 

এটি 2k + 1 আকারের, তাই বিজোড়। অতএব, একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা। (প্রমাণিত)

গ) বিজোড় সংখ্যা 2n − 1 এর বর্গ:

$(2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1 = 4n(n-1) + 1$ 

$n ও (n − 1)$  দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা, তাই এদের একটি অবশ্যই জোড়। ফলে n(n − 1) জোড়;
ধরি, $n(n − 1) = 2k$  ।

$(2n-1)^2 = 4\cdot 2k + 1 = 8k + 1$ 

অতএব, কোনো বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গকে 8 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ 1 থাকে। (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ২

√5 ও 4 দুটি বাস্তব সংখ্যা।

ক) মূলদ সংখ্যা কাকে বলে? তাহলে কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

খ) √5 ও 4 এর মধ্যে দুটি মূলদ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

গ) প্রমাণ কর যে, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা।

ক) যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় (p, q পূর্ণসংখ্যা, q ≠ 0), তাকে মূলদ সংখ্যা বলে; যা এভাবে প্রকাশ করা যায় না, তা অমূলদ। এখানে 4 মূলদ (4 = 4/1) এবং √5 অমূলদ।

খ) √5 ≈ 2.236 এবং 4 = √16।

• দুটি মূলদ সংখ্যা: 3 ও 3.5

• দুটি অমূলদ সংখ্যা: √6 ও √7, কারণ √5 < √6 < √7 < √16

গ)  প্রমাণ করতে হবে যে, $\sqrt{5}$  একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রমাণ:

ধরি,  $\sqrt{5}$   একটি মূলদ সংখ্যা।

তাহলে,

যেখানে $p,q$  সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা এবং $q\neq 0$ ।

উভয় পাশে বর্গ করে পাই,

অর্থাৎ,

সমীকরণ (i) থেকে দেখা যায়, $5\mid p^2$  ।

সুতরাং, $5\mid p$ ।

ধরি, $p=5m$ , যেখানে $m$ একটি পূর্ণসংখ্যা।

এখন, সমীকরণ (i)-তে $p=5m$  বসিয়ে পাই,

অর্থাৎ,

সুতরাং, $5\mid q^2$ এবং $5\mid q$ ।

অতএব, $p$  ও $q$  উভয়ই ৫ দ্বারা বিভাজ্য। এটি $p$  ও $q$  সহমৌলিক হওয়ার শর্তের পরিপন্থী।

সুতরাং, আমাদের প্রাথমিক ধারণা ভুল।

অতএব, $\sqrt{5}$  একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৩

সংখ্যাগুলো: 4.32 5̇6̇, 2.5̇, 0.3 9̇5̇, 5.12 7̇46̇ (অর্থাৎ 5.12746746…)।

ক) ১ম ভগ্নাংশটিকে সামান্য ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

খ) প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে প্রথম তিনটির যোগফল এবং শেষটি থেকে প্রথমটির বিয়োগফল বের কর।

গ) 5.12 7̇46̇ এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল নির্ণয় কর।

ক) ধরি x = 4.32565656…

$\begin{aligned} 100x &= 432.565656\ldots \\ 10000x &= 43256.565656\ldots \\ 9900x &= 42824 \\ x &= \frac{42824}{9900} = \frac{10706}{2475} \end{aligned}$ 

খ) বাকি ভগ্নাংশগুলো সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করি:

$2.\dot{5} = 2+\frac{5}{9} = \frac{23}{9}, \qquad 0.3\dot{9}\dot{5} = \frac{395-3}{990} = \frac{196}{495}$ 

ধরি y = 5.12746746…; তখন 100y = 512.746746… এবং 100000y = 512746.746746…

$99900y = 512234 \;\Rightarrow\; y = \frac{256117}{49950}$ 

প্রথম তিনটির যোগফল:

$\frac{10706}{2475}+\frac{23}{9}+\frac{196}{495} = \frac{10706+6325+980}{2475} = \frac{18011}{2475} \approx 7.2772$ 

শেষটি থেকে প্রথমটির বিয়োগফল:

$\frac{256117}{49950}-\frac{10706}{2475} = \frac{256117\times 11-10706\times 222}{549450} = \frac{440555}{549450} = \frac{88111}{109890} \approx 0.8018$ 

গ) 5.127̇46̇ = 5.127467467…

$2.2643^2 = 5.12705\ldots < 5.127467 < 5.12750\ldots = 2.2644^2$ 

আরও সূক্ষ্ম হিসাবে √5.127̇46̇ ≈ 2.26439…। অতএব, চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল:

$\sqrt{5.12\dot{7}4\dot{6}} \approx 2.2644$