SSC General Math - 13th Phase (Series) Suggestions and Answer

ক) ১ম পদ a, সাধারণ অনুপাত q ধরে তথ্যটিকে ২টি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধান: গুণোত্তর ধারার n-তম পদ $= aq^{n-1}$।

৬ষ্ঠ পদ: $aq^{5} = 96$ ………(i)

দশম পদ: $aq^{9} = 1536$ ………(ii)

খ) ধারাটির অষ্টম পদ নির্ণয় কর।

সমাধান: (ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{aq^{9}}{aq^{5}} = \dfrac{1536}{96}$

$\Rightarrow q^{4} = 16 = 2^{4}$

$\therefore q = 2$

(i) নং এ $q = 2$ বসিয়ে পাই,

$a \times 2^{5} = 96$

$\Rightarrow 32a = 96$

$\therefore a = 3$

অষ্টম পদ $= aq^{7} = 3 \times 2^{7} = 3 \times 128 = 384$

নির্ণেয় অষ্টম পদ $384$।

গ) ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল 3069 হলে n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে $q = 2 > 1$ হওয়ায়,

$S_{n} = \dfrac{a(q^{n} - 1)}{q - 1} = \dfrac{3(2^{n} - 1)}{2 - 1} = 3(2^{n} - 1)$

প্রশ্নমতে, $3(2^{n} - 1) = 3069$

$\Rightarrow 2^{n} - 1 = 1023$

$\Rightarrow 2^{n} = 1024 = 2^{10}$

$\therefore n = 10$

প্রশ্ন ২

রনি সাহেব একটি বাগান করার জন্য কিছু গাছ লাগাবে। সে ঠিক করল প্রথম দিনে $2$টি, দ্বিতীয় দিনে $4$টি, এভাবে পরবর্তী দিনগুলোতে পূর্বের দিনের দ্বিগুণ হারে গাছ লাগাবে।

ক) রনি সাহেবের গাছ লাগানো ধারায় প্রকাশ কর।

সমাধান: রনি সাহেবের গাছ লাগানো ধারাটি:

$2 + 4 + 8 + 16 + \cdots$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা, যার ১ম পদ $a = 2$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{4}{2} = 2$।

খ) রনি সাহেব কোন দিনে 128টি গাছ লাগাবে?

সমাধান: ধরি, n-তম দিনে $128$টি গাছ লাগাবে।

n-তম পদ $= ar^{n-1} = 2 \times 2^{n-1} = 2^{n}$

প্রশ্নমতে, $2^{n} = 128$

$\Rightarrow 2^{n} = 2^{7}$

$\therefore n = 7$

রনি সাহেব ৭ম দিনে $128$টি গাছ লাগাবে।

গ) কততম দিনের রনি সাহেব মোট 1024টি গাছ লাগাবে?

সমাধান: (খ) অংশের মতো এখানেও কোনো একটি দিনে লাগানো গাছের সংখ্যা ধরা হলো। ধরি, n-তম দিনে $1024$টি গাছ লাগাবে।

n-তম পদ $= 2^{n}$

প্রশ্নমতে, $2^{n} = 1024 = 2^{10}$

$\therefore n = 10$

রনি সাহেব ১০ম দিনে $1024$টি গাছ লাগাবে।

যাচাই: ১০ দিনে মোট গাছ $S_{10} = 2^{11} - 2 = 2046$; আর $9$ দিনে মোট $2^{10} - 2 = 1022$। মোট (ক্রমযোজিত) সংখ্যা $1024$ হলে $2^{n+1} = 1026$ হয়, যা $2$ এর কোনো পূর্ণসংখ্যা ঘাত নয়; তাই প্রশ্নটি একদিনের গাছের সংখ্যা $1024$ ধরেই সমাধানযোগ্য।

প্রশ্ন ৩

কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ $a$, সাধারণ অন্তর $d$ এবং ধারাটির ১২তম পদ $77$।

ক) সমান্তর ধারা বলতে কী বুঝ?

কোনো ধারার প্রতিটি পদ (১ম পদ ছাড়া) তার ঠিক আগের পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট ধ্রুব সংখ্যা যোগ করে পাওয়া গেলে ঐ ধারাকে সমান্তর ধারা বলে। যেমন: $3 + 7 + 11 + 15 + \cdots$। এখানে প্রতিটি পদের সাথে $4$ যোগ করা হয়েছে; এই ধ্রুব সংখ্যাকে সাধারণ অন্তর বলে।

খ) ধারাটির প্রথম 23 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান: ১২তম পদ $= a + 11d = 77$ ………(i)

$S_{23} = \dfrac{23}{2}\{2a + (23 - 1)d\}$

$= \dfrac{23}{2}(2a + 22d)$

$= 23(a + 11d)$

$= 23 \times 77$ [(i) নং থেকে]

$= 1771$

নির্ণেয় সমষ্টি $1771$।

গ) প্রমাণ কর যে, 5 + 11 + 17 + 23 + ⋯ + 59 = 320।

প্রমাণ: ধারাটির ১ম পদ $a = 5$, সাধারণ অন্তর $d = 11 - 5 = 6$ এবং শেষ পদ $l = 59$। ধরি, পদসংখ্যা $n$।

$a + (n - 1)d = 59$

$\Rightarrow 5 + 6(n - 1) = 59$

$\Rightarrow 6(n - 1) = 54$

$\Rightarrow n - 1 = 9$

$\therefore n = 10$

সমষ্টি $= \dfrac{n}{2}(a + l) = \dfrac{10}{2}(5 + 59) = 5 \times 64 = 320$

অতএব, $5 + 11 + 17 + 23 + \cdots + 59 = 320$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৪

একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ এবং দশম পদ $\dfrac{8\sqrt{2}}{81}$।

ক) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে সমীকরণ গঠন কর।

সমাধান: ১ম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$ ধরে,

$ar^{4} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ ………(i)

$ar^{9} = \dfrac{8\sqrt{2}}{81}$ ………(ii)

খ) ধারাটির সপ্তম পদ নির্ণয় কর।

সমাধান: (ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$r^{5} = \dfrac{8\sqrt{2}}{81} \times \dfrac{9}{2\sqrt{3}}$

$= \dfrac{4\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}$

$= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} \times \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{\frac{5}{2}}$

$\therefore r = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$

(i) নং এ $r^{4} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}$ বসিয়ে পাই,

$a \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$

$\therefore a = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

সপ্তম পদ $= ar^{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{8}{27} = \dfrac{4\sqrt{3}}{27}$

গ) ধারাটি নির্ণয় কর এবং প্রথম নয়টি পদের সমষ্টি বের কর।

সমাধান: ১ম পদ $a = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, ২য় পদ $ar = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, ৩য় পদ $ar^{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

নির্ণেয় ধারা: $\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} + \cdots$

এখানে $r = \sqrt{\dfrac{2}{3}} < 1$ এবং (ii) নং থেকে $ar^{9} = \dfrac{8\sqrt{2}}{81}$।

$S_{9} = \dfrac{a(1 - r^{9})}{1 - r} = \dfrac{a - ar^{9}}{1 - r}$

$= \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{8\sqrt{2}}{81}}{1 - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

লব ও হরকে $\sqrt{3}$ দ্বারা গুণ করে,

$= \dfrac{\dfrac{3}{2} - \dfrac{8\sqrt{6}}{81}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

লব ও হরকে $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ দ্বারা গুণ করে (হর $3 - 2 = 1$ হয়),

$= \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{8\sqrt{6}}{81}\right)(\sqrt{3} + \sqrt{2})$

$= \dfrac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{2} - \dfrac{24\sqrt{2} + 16\sqrt{3}}{81}$

$= \dfrac{243\sqrt{3} + 243\sqrt{2} - 48\sqrt{2} - 32\sqrt{3}}{162}$

$= \dfrac{211\sqrt{3} + 195\sqrt{2}}{162} \approx 3.958$

প্রশ্ন ৫

$2 + x + y + 16 + \cdots$ একটি গুণোত্তর ধারা।

ক) x ও y এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: ১ম পদ $a = 2$ এবং ৪র্থ পদ $= 16$।

$ar^{3} = 16$

$\Rightarrow 2r^{3} = 16$

$\Rightarrow r^{3} = 8 = 2^{3}$

$\therefore r = 2$

$x = 2 \times 2 = 4$ এবং $y = 4 \times 2 = 8$

খ) ধারাটির ১০ম পদ কত? ১ম 20টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান: ১০ম পদ $= ar^{9} = 2 \times 2^{9} = 2^{10} = 1024$

$S_{20} = \dfrac{a(r^{20} - 1)}{r - 1} = \dfrac{2(2^{20} - 1)}{2 - 1}$

$= 2(1048576 - 1) = 2 \times 1048575 = 2097150$

গ) ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান: $S_{n} = \dfrac{a(r^{n} - 1)}{r - 1} = \dfrac{2(2^{n} - 1)}{2 - 1}$

$= 2(2^{n} - 1) = 2^{n+1} - 2$

প্রশ্ন ৬

কোনো ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $n(n + 1)$।

ক) ধারাটি নির্ণয় কর।

সমাধান: দেওয়া আছে, $S_{n} = n(n + 1)$

$S_{1} = 1 \times 2 = 2$, $S_{2} = 2 \times 3 = 6$, $S_{3} = 3 \times 4 = 12$

১ম পদ $= S_{1} = 2$, ২য় পদ $= S_{2} - S_{1} = 4$, ৩য় পদ $= S_{3} - S_{2} = 6$

সাধারণভাবে, $T_{n} = S_{n} - S_{n-1} = n(n + 1) - (n - 1)n = 2n$

নির্ণেয় ধারা: $2 + 4 + 6 + \cdots$

খ) ধারাটির ১ম পদকে ১ম পদ এবং সাধারণ অন্তরকে সাধারণ অনুপাত ধরে প্রাপ্ত ধারাটি নির্ণয় কর।

সমাধান: 'ক' থেকে প্রাপ্ত ধারার ১ম পদ $= 2$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 4 - 2 = 2$।

নতুন ধারার ১ম পদ $a = 2$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = 2$।

নির্ণেয় ধারা: $2 + 2 \times 2 + 2 \times 2^{2} + \cdots = 2 + 4 + 8 + \cdots$

গ) 'খ' থেকে প্রাপ্ত ধারাটির ১ম আটটি পদের সমষ্টি বের কর।

সমাধান: $S_{8} = \dfrac{a(r^{8} - 1)}{r - 1} = \dfrac{2(2^{8} - 1)}{2 - 1}$

$= 2 \times 255 = 510$

প্রশ্ন ৭

$\log 2 + \log 8 + \log 32 + \cdots$ একটি ধারা।

ক) ধারাটিকে সমান্তর ধারা আকারে প্রকাশ কর।

সমাধান: $\log 8 = \log 2^{3} = 3\log 2$ এবং $\log 32 = \log 2^{5} = 5\log 2$

নির্ণেয় ধারা: $\log 2 + 3\log 2 + 5\log 2 + \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার ১ম পদ $a = \log 2$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 3\log 2 - \log 2 = 2\log 2$।

খ) ধারাটির বিশটি পদের সমষ্টি বের কর।

সমাধান: $S_{20} = \dfrac{20}{2}\{2\log 2 + (20 - 1) \times 2\log 2\}$

$= 10(2\log 2 + 38\log 2)$

$= 10 \times 40\log 2 = 400\log 2$

গ) ধারাটির কতটি পদের সমষ্টি 2500 log 2 হবে?

সমাধান: ধরি, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $2500\log 2$।

$S_{n} = \dfrac{n}{2}\{2\log 2 + (n - 1) \times 2\log 2\} = \dfrac{n}{2} \times 2n\log 2 = n^{2}\log 2$

প্রশ্নমতে, $n^{2}\log 2 = 2500\log 2$

$\Rightarrow n^{2} = 2500$

$\therefore n = 50$ [$n$ ধনাত্মক]

ধারাটির $50$টি পদের সমষ্টি $2500\log 2$ হবে।

প্রশ্ন ৮

কোনো সমান্তর ধারার $p$-তম পদ $p^{2}$ ও $q$-তম পদ $q^{2}$।

ক) উপরোক্ত তথ্যানুসারে দুটি বীজগাণিতিক সমীকরণ গঠন কর।

সমাধান: ১ম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$ ধরে,

$a + (p - 1)d = p^{2}$ ………(i)

$a + (q - 1)d = q^{2}$ ………(ii)

খ) ধারাটির (p + q)-তম পদ কত?

সমাধান: (i) নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

$(p - q)d = p^{2} - q^{2} = (p - q)(p + q)$

$\therefore d = p + q$ [$p \neq q$]

(i) নং এ $d$ এর মান বসিয়ে পাই,

$a = p^{2} - (p - 1)(p + q) = p^{2} - p^{2} - pq + p + q = p + q - pq$

(p + q)-তম পদ $= a + (p + q - 1)d$

$= (p + q - pq) + (p + q - 1)(p + q)$

$= p + q - pq + (p + q)^{2} - (p + q)$

$= p^{2} + 2pq + q^{2} - pq$

$= p^{2} + pq + q^{2}$

গ) ধারাটির (p + q − 1)-তম পদের মান কত?

সমাধান: (p + q − 1)-তম পদ $= (p + q)$-তম পদ $- d$

$= p^{2} + pq + q^{2} - (p + q)$

প্রশ্ন ৯

$\dfrac{1}{\sqrt{3}},\ -1,\ \sqrt{3},\ \cdots$ একটি অনুক্রম।

ক) ধারাটির ৪র্থ পদ নির্ণয় কর।

সমাধান: ১ম পদ $a = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, সাধারণ অনুপাত $r = (-1) \div \dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$

৪র্থ পদ $= ar^{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times (-\sqrt{3})^{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times (-3\sqrt{3}) = -3$

খ) অনুক্রমটির কততম পদ 81√3?

সমাধান: ধরি, n-তম পদ $81\sqrt{3}$।

$ar^{n-1} = 81\sqrt{3}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{3}}(-\sqrt{3})^{n-1} = 81\sqrt{3}$

$\Rightarrow (-\sqrt{3})^{n-1} = 81\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 243 = 3^{5} = (\sqrt{3})^{10}$

এখানে $n - 1 = 10$ (জোড় সংখ্যা হওয়ায় চিহ্ন ধনাত্মক হয়)।

$\therefore n = 11$

অনুক্রমটির ১১তম পদ $81\sqrt{3}$।

গ) ধারাটির 10তম পদ ও প্রথম 10 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান: ১০ম পদ $= ar^{9} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times (-\sqrt{3})^{9} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times (-81\sqrt{3}) = -81$

$S_{10} = \dfrac{a(1 - r^{10})}{1 - r}$

$= \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{3}}\{1 - (-\sqrt{3})^{10}\}}{1 + \sqrt{3}}$

$= \dfrac{1 - 243}{\sqrt{3}(1 + \sqrt{3})}$

$= \dfrac{-242}{\sqrt{3} + 3}$

লব ও হরকে $(3 - \sqrt{3})$ দ্বারা গুণ করে,

$= \dfrac{-242(3 - \sqrt{3})}{9 - 3} = \dfrac{-121(3 - \sqrt{3})}{3}$

$= \dfrac{121\sqrt{3} - 363}{3} \approx -51.14$

প্রশ্ন ১০

করিম ও রহিম দুই বন্ধু স্কুল ব্যাংকিংয়ের জন্য ট্রাস্ট ব্যাংকে দুইটি হিসাব খুললেন। তারা ঠিক করলেন প্রতি মাসে ১ থেকে ১০ তারিখ পর্যন্ত তাদের হিসাবে টাকা জমা করবেন। করিম প্রতিদিন পূর্বের দিনের জমার চেয়ে 3 টাকা বেশি এবং রহিম প্রতিদিন পূর্বের জমার চেয়ে দ্বিগুণ টাকা জমা দেন। জুন মাসের ১ তারিখ করিম তার হিসাবে 5 টাকা এবং রহিম তার হিসাবে 1 টাকা জমা দিলেন।

ক) করিম ও রহিমের হিসাবের টাকা দুইটি ধারার মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধান: করিমের জমা (সমান্তর ধারা): $5 + 8 + 11 + 14 + \cdots$

রহিমের জমা (গুণোত্তর ধারা): $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$

খ) ৯ জুন তারিখে করিম ও রহিম তাদের প্রত্যেকের হিসাবে কত টাকা জমা দিবেন?

সমাধান: করিমের ৯ম দিনের জমা $= a + (9 - 1)d = 5 + 8 \times 3 = 29$ টাকা।

রহিমের ৯ম দিনের জমা $= ar^{8} = 1 \times 2^{8} = 256$ টাকা।

গ) জুন মাসের তাদের হিসাবে মোট কত টাকা জমা হবে তা ধারার সমষ্টির সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় কর।

সমাধান: জমা দেওয়া হয় ১ থেকে ১০ তারিখ, অর্থাৎ $10$ দিন।

করিমের হিসাবে মোট $= \dfrac{10}{2}\{2 \times 5 + (10 - 1) \times 3\} = 5 \times 37 = 185$ টাকা।

রহিমের হিসাবে মোট $= \dfrac{1 \times (2^{10} - 1)}{2 - 1} = 1023$ টাকা।

দুজনের হিসাবে মোট জমা $= 185 + 1023 = 1208$ টাকা।

প্রশ্ন ১১

একটি গুণোত্তর ধারার ৬ষ্ঠ পদ $96$ এবং দশম পদ $1536$।

এই প্রশ্নটি প্রশ্ন ১-এর হুবহু পুনরাবৃত্তি। তাই সমাধান একই: ক) $aq^{5} = 96$ ও $aq^{9} = 1536$; খ) অষ্টম পদ $384$; গ) $n = 10$ (উপরে প্রশ্ন ১-এ বিস্তারিত দেখুন)।

প্রশ্ন ১২

$2 + 4 + 8 + 10 + \cdots$ একটি ধারা।

সম্পাদকের নোট: প্রশ্নে "2 + 4 + 8 + 10" লেখা আছে, যা সমান্তর বা গুণোত্তর কোনো ধারাই নয়। ধারাটি সম্ভবত $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + \cdots$ (ছাপার ভুল)। প্রশ্নের ক, খ, গ অংশের মান (20, 32, 2550) এই ধারার সাথেই মিলে যায়, তাই সমাধান সেভাবে করা হলো।

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার ১ম পদ $a = 2$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 2$।

ক) ধারাটির 10তম পদ নির্ণয় কর।

সমাধান: ১০ম পদ $= a + (10 - 1)d = 2 + 9 \times 2 = 20$

খ) ধারাটির কততম পদ 32?

সমাধান: ধরি, n-তম পদ $32$।

$2 + (n - 1) \times 2 = 32$

$\Rightarrow 2n = 32$

$\therefore n = 16$

ধারাটির ১৬তম পদ $32$।

গ) ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $S_{n} = \dfrac{n}{2}\{2 \times 2 + (n - 1) \times 2\} = \dfrac{n}{2}(2n + 2) = n(n + 1)$

প্রশ্নমতে, $n(n + 1) = 2550$

$\Rightarrow n^{2} + n - 2550 = 0$

$\Rightarrow (n - 50)(n + 51) = 0$

$\therefore n = 50$ [$n = -51$ গ্রহণযোগ্য নয়]