SSC General Math - 12th Phase (Two Variable Simultaneous Equations) Suggestions and Answer

ক) সরল সহসমীকরণ বলতে কী বুঝ?

দুই চলকবিশিষ্ট দুটি (বা ততোধিক) সরল সমীকরণ একসঙ্গে বিবেচনা করে যদি চলকগুলোর এমন মান নির্ণয় করা যায়, যা সমীকরণগুলোকে একই সঙ্গে সিদ্ধ করে, তবে ঐ সমীকরণগুলোকে সরল সহসমীকরণ বলা হয়। যেমন, $ax + by = c$ এবং $a^{2}x + b^{2}y = c^{2}$।

খ) অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$ax + by = c$ ………(i)

$a^{2}x + b^{2}y = c^{2}$ ………(ii)

x নির্ণয়: (i) নং সমীকরণকে $b$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$abx + b^{2}y = bc$ ………(iii)

(ii) নং থেকে (iii) নং বিয়োগ করে পাই,

$(a^{2} - ab)x = c^{2} - bc$

$\Rightarrow a(a - b)x = c(c - b)$

$\therefore x = \dfrac{c(c - b)}{a(a - b)}$

y নির্ণয়: (i) নং সমীকরণকে $a$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$a^{2}x + aby = ac$ ………(iv)

(iv) নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

$(ab - b^{2})y = ac - c^{2}$

$\Rightarrow b(a - b)y = c(a - c)$

$\therefore y = \dfrac{c(a - c)}{b(a - b)}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \dfrac{c(c - b)}{a(a - b)},\quad y = \dfrac{c(a - c)}{b(a - b)}$ (যেখানে $a \neq 0,\ b \neq 0,\ a \neq b$)

গ) আড়গুণন সূত্রানুসারে সমাধান কর।

সমাধান: সমীকরণ দুটিকে $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ আকারে লিখে পাই,

$ax + by - c = 0$

$a^{2}x + b^{2}y - c^{2} = 0$

এখানে, $a_{1} = a,\ b_{1} = b,\ c_{1} = -c$ এবং $a_{2} = a^{2},\ b_{2} = b^{2},\ c_{2} = -c^{2}$

আড়গুণন সূত্র অনুযায়ী,

$\dfrac{x}{b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1}} = \dfrac{y}{c_{1}a_{2} - c_{2}a_{1}} = \dfrac{1}{a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{b(-c^{2}) - b^{2}(-c)} = \dfrac{y}{(-c)a^{2} - (-c^{2})a} = \dfrac{1}{ab^{2} - a^{2}b}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{-bc^{2} + b^{2}c} = \dfrac{y}{-a^{2}c + ac^{2}} = \dfrac{1}{ab(b - a)}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{bc(b - c)} = \dfrac{y}{ac(c - a)} = \dfrac{1}{ab(b - a)}$

অতএব,

$x = \dfrac{bc(b - c)}{ab(b - a)} = \dfrac{c(b - c)}{a(b - a)} = \dfrac{c(c - b)}{a(a - b)}$

$y = \dfrac{ac(c - a)}{ab(b - a)} = \dfrac{c(c - a)}{b(b - a)} = \dfrac{c(a - c)}{b(a - b)}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \dfrac{c(c - b)}{a(a - b)},\quad y = \dfrac{c(a - c)}{b(a - b)}$

প্রশ্ন ২

$3x + y = 6,\quad 5x + 3y = 12$

ক) সমীকরণ জোড়টি পরস্পর নির্ভরশীল কি-না? এদের সমাধানের সংখ্যা কত?

সমাধান: সমীকরণ দুটিকে $a_{1}x + b_{1}y = c_{1}$ ও $a_{2}x + b_{2}y = c_{2}$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$a_{1} = 3,\ b_{1} = 1$ এবং $a_{2} = 5,\ b_{2} = 3$

$\dfrac{a_{1}}{a_{2}} = \dfrac{3}{5}$ এবং $\dfrac{b_{1}}{b_{2}} = \dfrac{1}{3}$

যেহেতু $\dfrac{3}{5} \neq \dfrac{1}{3}$, অর্থাৎ $\dfrac{a_{1}}{a_{2}} \neq \dfrac{b_{1}}{b_{2}}$, তাই সমীকরণ জোড়টি পরস্পর নির্ভরশীল নয়।

সুতরাং সমীকরণ জোড়টির একটি মাত্র (অদ্বিতীয়) সমাধান আছে।

খ) সমীকরণদ্বয়কে প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর।

সমাধান: দেওয়া আছে,

$3x + y = 6$ ………(i)

$5x + 3y = 12$ ………(ii)

(i) নং থেকে পাই,

$y = 6 - 3x$ ………(iii)

(ii) নং এ $y$ এর মান বসিয়ে পাই,

$5x + 3(6 - 3x) = 12$

$\Rightarrow 5x + 18 - 9x = 12$

$\Rightarrow -4x = 12 - 18$

$\Rightarrow -4x = -6$

$\therefore x = \dfrac{3}{2}$

(iii) নং এ $x = \dfrac{3}{2}$ বসিয়ে পাই,

$y = 6 - 3 \times \dfrac{3}{2} = 6 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{12 - 9}{2} = \dfrac{3}{2}$

নির্ণেয় সমাধান: $(x, y) = \left(\dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{2}\right)$

গ) লেখচিত্রের মাধ্যমে (x, y) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: $3x + y = 6$ সমীকরণ থেকে $y = 6 - 3x$। এখানে,

$x = 0$ হলে $y = 6$; $x = 1$ হলে $y = 3$; $x = 2$ হলে $y = 0$

অতএব রেখাটি $(0, 6),\ (1, 3),\ (2, 0)$ বিন্দুগামী।

$5x + 3y = 12$ সমীকরণ থেকে $y = \dfrac{12 - 5x}{3}$। এখানে,

$x = 0$ হলে $y = 4$; $x = 3$ হলে $y = -1$; $x = -3$ হলে $y = 9$

অতএব রেখাটি $(0, 4),\ (3, -1),\ (-3, 9)$ বিন্দুগামী।

ছক কাগজে $XOX'$ ও $YOY'$ অক্ষ এঁকে উভয় অক্ষে ক্ষুদ্রতম 1 ঘরকে 1 একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করে সরলরেখা দুটি আঁকি। রেখা দুটি পরস্পরকে $\left(\dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{2}\right) = (1.5,\ 1.5)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

নির্ণেয় সমাধান: $x = 1.5,\ y = 1.5$, যা (খ) এর সমাধানের সঙ্গে মিলে যায়।

প্রশ্ন ৩

$\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 1,\quad \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1$

ক) সমীকরণ দুটিকে ax + by + c আকারে প্রকাশ কর।

সমাধান: প্রথম সমীকরণ: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 1$। উভয় পক্ষকে 6 দ্বারা গুণ করে পাই,

$3x + 2y = 6$

$\Rightarrow 3x + 2y - 6 = 0$

দ্বিতীয় সমীকরণ: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1$। উভয় পক্ষকে 6 দ্বারা গুণ করে পাই,

$2x + 3y = 6$

$\Rightarrow 2x + 3y - 6 = 0$

খ) আড়গুণন পদ্ধতিতে (x, y) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: 'ক' থেকে পাই, $3x + 2y - 6 = 0$ এবং $2x + 3y - 6 = 0$

এখানে, $a_{1} = 3,\ b_{1} = 2,\ c_{1} = -6$ এবং $a_{2} = 2,\ b_{2} = 3,\ c_{2} = -6$

আড়গুণন সূত্র অনুযায়ী,

$\dfrac{x}{b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1}} = \dfrac{y}{c_{1}a_{2} - c_{2}a_{1}} = \dfrac{1}{a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{2(-6) - 3(-6)} = \dfrac{y}{(-6)(2) - (-6)(3)} = \dfrac{1}{3 \times 3 - 2 \times 2}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{-12 + 18} = \dfrac{y}{-12 + 18} = \dfrac{1}{9 - 4}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{1}{5}$

অতএব, $x = \dfrac{6}{5}$ এবং $y = \dfrac{6}{5}$

নির্ণেয় সমাধান: $(x, y) = \left(\dfrac{6}{5},\ \dfrac{6}{5}\right)$

গ) লেখচিত্রের মাধ্যমে 'খ' থেকে প্রাপ্ত মানের সত্যতা যাচাই কর।

সমাধান: $3x + 2y = 6$ রেখার জন্য: $x = 0$ হলে $y = 3$; $x = 2$ হলে $y = 0$; $x = -2$ হলে $y = 6$। রেখাটি $(0, 3),\ (2, 0),\ (-2, 6)$ বিন্দুগামী।

$2x + 3y = 6$ রেখার জন্য: $x = 0$ হলে $y = 2$; $x = 3$ হলে $y = 0$; $x = -3$ হলে $y = 4$। রেখাটি $(0, 2),\ (3, 0),\ (-3, 4)$ বিন্দুগামী।

ছক কাগজে বিন্দুগুলো স্থাপন করে রেখা দুটি আঁকলে তারা $\left(\dfrac{6}{5},\ \dfrac{6}{5}\right) = (1.2,\ 1.2)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

যাচাই: $3 \times \dfrac{6}{5} + 2 \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$ এবং $2 \times \dfrac{6}{5} + 3 \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$

সুতরাং লেখচিত্র থেকে প্রাপ্ত মান (খ) এর মানের সঙ্গে সমান; অর্থাৎ (খ) এর সমাধান সত্য।

প্রশ্ন ৪

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত $\dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{4}$ এবং ক্ষেত্রফল 588 বর্গ মিটার।

ক) 2x : 3y = 3 : 6 হলে, x : y নির্ণয় কর।

সমাধান: দেওয়া আছে, $2x : 3y = 3 : 6$

$\Rightarrow \dfrac{2x}{3y} = \dfrac{3}{6}$

$\Rightarrow \dfrac{2x}{3y} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow 4x = 3y$

$\Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4}$

$\therefore x : y = 3 : 4$

খ) বাগানের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান: দৈর্ঘ্য : প্রস্থ $= \dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{4}$

$= \dfrac{1}{3} \times 12 : \dfrac{1}{4} \times 12 = 4 : 3$ [12 দ্বারা গুণ করে]

ধরি, দৈর্ঘ্য $= 4k$ মিটার এবং প্রস্থ $= 3k$ মিটার।

প্রশ্নমতে, $4k \times 3k = 588$

$\Rightarrow 12k^{2} = 588$

$\Rightarrow k^{2} = 49$

$\therefore k = 7$ [$k$ ধনাত্মক]

সুতরাং দৈর্ঘ্য $= 4 \times 7 = 28$ মিটার এবং প্রস্থ $= 3 \times 7 = 21$ মিটার।

কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{28^{2} + 21^{2}} = \sqrt{784 + 441} = \sqrt{1225} = 35$ মিটার।

নির্ণেয় দৈর্ঘ্য 28 মিটার, প্রস্থ 21 মিটার এবং কর্ণ 35 মিটার।

গ) বাগানটি দৈর্ঘ্য ও প্রস্থে 20% বৃদ্ধি করা হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: নতুন দৈর্ঘ্য $= 28 \times 1.2 = 33.6$ মিটার

নতুন প্রস্থ $= 21 \times 1.2 = 25.2$ মিটার

নতুন ক্ষেত্রফল $= 33.6 \times 25.2 = 846.72$ বর্গ মিটার

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি $= 846.72 - 588 = 258.72$ বর্গ মিটার

শতকরা বৃদ্ধি $= \dfrac{258.72}{588} \times 100\% = 44\%$

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল শতকরা 44% বৃদ্ধি পাবে।