SSC General Math - 11th Phase (Algebraic Ratio and Proportion) Suggestions and Answer

ক) x = 3/4 হলে, দেখাও যে, P = (√7 + 1)/(√7 − 1)।

সমাধান: $x = \dfrac{3}{4}$ হলে $1+x = \dfrac{7}{4}$ এবং $1-x = \dfrac{1}{4}$।

সুতরাং $\sqrt{1+x} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ এবং $\sqrt{1-x} = \dfrac{1}{2}$।

$P = \dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{2}+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{7}}{2}-\dfrac{1}{2}}$

$= \dfrac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-1}$ (দেখানো হলো)

খ) P² − 2P/x + 1 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: ধরি, $A = \sqrt{1+x}$, $B = \sqrt{1-x}$। তাহলে $P = \dfrac{A+B}{A-B}$।

যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\dfrac{P+1}{P-1} = \dfrac{(A+B)+(A-B)}{(A+B)-(A-B)} = \dfrac{2A}{2B} = \dfrac{A}{B}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে,

$\dfrac{(P+1)^{2}}{(P-1)^{2}} = \dfrac{A^{2}}{B^{2}} = \dfrac{1+x}{1-x}$

আবার যোজন-বিয়োজন করে,

$\dfrac{(P+1)^{2}+(P-1)^{2}}{(P+1)^{2}-(P-1)^{2}} = \dfrac{(1+x)+(1-x)}{(1+x)-(1-x)}$

$\Rightarrow \dfrac{2P^{2}+2}{4P} = \dfrac{2}{2x}$

$\Rightarrow \dfrac{P^{2}+1}{2P} = \dfrac{1}{x}$

$\Rightarrow P^{2}+1 = \dfrac{2P}{x}$

$\Rightarrow P^{2}-\dfrac{2P}{x}+1 = 0$

নির্ণেয় মান $= 0$।

গ) উক্ত সমীকরণে a = 1 এবং P = b হলে, দেখাও যে, x = 2ab/(1 + b²)।

সমাধান: (খ) থেকে পাই, $P^{2}+1 = \dfrac{2P}{x}$

$\Rightarrow x = \dfrac{2P}{1+P^{2}}$

$P = b$ এবং $a = 1$ বসিয়ে পাই,

$x = \dfrac{2b}{1+b^{2}} = \dfrac{2ab}{1+b^{2}}$ (দেখানো হলো)

(সমীকরণে $\sqrt{a+x}$ ও $\sqrt{a-x}$ থাকলেও একই পদ্ধতিতে $x = \dfrac{2aP}{1+P^{2}}$ পাওয়া যায়।)

প্রশ্ন ২

$\dfrac{6}{x}$ ও $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ দুটি রাশি।

ক) ১ম রাশি = ২য় রাশি হলে দেখাও যে, x = 6ab/(a + b)।

সমাধান: $\dfrac{6}{x} = \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$

$= \dfrac{a+b}{ab}$

$\Rightarrow x(a+b) = 6ab$

$\Rightarrow x = \dfrac{6ab}{a+b}$ (দেখানো হলো)

খ) (ক) হতে প্রাপ্ত x এর মানের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, (x + 3a)/(x − 3a) + (x + 3b)/(x − 3b) = 2।

সমাধান: $x = \dfrac{6ab}{a+b}$ থেকে $\dfrac{x}{3a} = \dfrac{2b}{a+b}$ এবং $\dfrac{x}{3b} = \dfrac{2a}{a+b}$।

যোজন-বিয়োজন করে,

$\dfrac{x+3a}{x-3a} = \dfrac{x+3a}{3a}\Big/\dfrac{x-3a}{3a}$ বা $\dfrac{\frac{x}{3a}+1}{\frac{x}{3a}-1} = \dfrac{2b+a+b}{2b-a-b} = \dfrac{a+3b}{b-a}$

একইভাবে,

$\dfrac{x+3b}{x-3b} = \dfrac{2a+a+b}{2a-a-b} = \dfrac{3a+b}{a-b} = -\dfrac{3a+b}{b-a}$

বামপক্ষ $= \dfrac{a+3b}{b-a}-\dfrac{3a+b}{b-a}$

$= \dfrac{a+3b-3a-b}{b-a}$

$= \dfrac{2b-2a}{b-a} = 2$ (প্রমাণিত)

গ) (x + a)/(x − a) + (x + b)/(x − b) = 2 হলে প্রমাণ কর যে, ২য় রাশি = 2/x।

সমাধান: $\dfrac{x+a}{x-a}+\dfrac{x+b}{x-b} = 2$

$\Rightarrow (x+a)(x-b)+(x+b)(x-a) = 2(x-a)(x-b)$

$\Rightarrow (x^{2}-bx+ax-ab)+(x^{2}-ax+bx-ab) = 2[x^{2}-(a+b)x+ab]$

$\Rightarrow 2x^{2}-2ab = 2x^{2}-2(a+b)x+2ab$

$\Rightarrow 2(a+b)x = 4ab$

$\Rightarrow x = \dfrac{2ab}{a+b}$

সুতরাং $\dfrac{a+b}{ab} = \dfrac{2}{x}$, অর্থাৎ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} = \dfrac{2}{x}$

২য় রাশি $= \dfrac{2}{x}$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৩

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d}$ হলে,

ক) দেখাও যে, (a³ + b³)/(b³ + c³) = (b³ + c³)/(c³ + d³)।

সমাধান: ধরি, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d} = k$। তাহলে $c = dk,\ b = ck = dk^{2},\ a = bk = dk^{3}$।

বামপক্ষ $= \dfrac{d^{3}k^{9}+d^{3}k^{6}}{d^{3}k^{6}+d^{3}k^{3}}$

$= \dfrac{d^{3}k^{6}(k^{3}+1)}{d^{3}k^{3}(k^{3}+1)} = k^{3}$

ডানপক্ষ $= \dfrac{d^{3}k^{6}+d^{3}k^{3}}{d^{3}k^{3}+d^{3}}$

$= \dfrac{d^{3}k^{3}(k^{3}+1)}{d^{3}(k^{3}+1)} = k^{3}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

খ) প্রমাণ কর: (a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)²।

সমাধান: পূর্বের মতো $a = dk^{3},\ b = dk^{2},\ c = dk$।

$a^{2}+b^{2}+c^{2} = d^{2}k^{2}(k^{4}+k^{2}+1)$

$b^{2}+c^{2}+d^{2} = d^{2}(k^{4}+k^{2}+1)$

বামপক্ষ $= d^{4}k^{2}(k^{4}+k^{2}+1)^{2}$

$ab+bc+cd = d^{2}k^{5}+d^{2}k^{3}+d^{2}k = d^{2}k(k^{4}+k^{2}+1)$

ডানপক্ষ $= d^{4}k^{2}(k^{4}+k^{2}+1)^{2}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

গ) a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ কর, a²b²c²(1/a³ + 1/b³ + 1/c³) = a³ + b³ + c³।

সমাধান: $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} \Rightarrow b^{2} = ac$।

বামপক্ষ $= \dfrac{a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{3}}+\dfrac{a^{2}b^{2}c^{2}}{b^{3}}+\dfrac{a^{2}b^{2}c^{2}}{c^{3}}$

$= \dfrac{b^{2}c^{2}}{a}+\dfrac{a^{2}c^{2}}{b}+\dfrac{a^{2}b^{2}}{c}$

$= \dfrac{(ac)c^{2}}{a}+\dfrac{(ac)^{2}}{b}+\dfrac{a^{2}(ac)}{c}$

$= c^{3}+\dfrac{b^{4}}{b}+a^{3}$

$= a^{3}+b^{3}+c^{3}$ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৪

আরজু সিডরে ক্ষতিগ্রস্তদের সাহায্যার্থে চাঁদা উঠাতে মাসুদের ক্লাসে গিয়ে দেখল, উপস্থিত ও অনুপস্থিত ছাত্রছাত্রীর অনুপাত $4 : 2$।

ক) মাসুদের ক্লাসে মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা 72 হলে, কতজন ছাত্রছাত্রী ঐ দিন ক্লাসে আসেনি?

সমাধান: অনুপাতের যোগফল $= 4+2 = 6$।

অনুপস্থিত ছাত্রছাত্রী $= 72 \times \dfrac{2}{6} = 24$ জন।

(উপস্থিত $= 72 \times \dfrac{4}{6} = 48$ জন)

খ) উপস্থিত ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা মোট ছাত্রছাত্রীর শতকরা কত?

সমাধান: শতকরা $= \dfrac{4}{6} \times 100$

$= \dfrac{200}{3} = 66\dfrac{2}{3}\%$

গ) উপস্থিত ছাত্রছাত্রীরা 9 টাকা করে এবং অনুপস্থিত ছাত্রছাত্রীরা কত টাকা করে চাঁদা দিলে, ঐ ক্লাসে মোট চাঁদার পরিমাণ 672 টাকা হবে?

সমাধান: উপস্থিতদের চাঁদা $= 48 \times 9 = 432$ টাকা।

অনুপস্থিতদের চাঁদা $= 672 - 432 = 240$ টাকা।

প্রত্যেক অনুপস্থিত ছাত্রছাত্রীর চাঁদা $= 240 \div 24 = 10$ টাকা।

প্রশ্ন ৫

মনে কর $x$ এবং $y$ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ।

ক) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং পরিসীমার সূত্র লিখ।

সমাধান: ক্ষেত্রফল $= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = xy$ বর্গ একক।

পরিসীমা $= 2(\text{দৈর্ঘ্য}+\text{প্রস্থ}) = 2(x+y)$ একক।

খ) যদি বাহু x = বাহু y এবং প্রত্যেককে 20% বৃদ্ধি করা হয় তবে আয়তন শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?

সমাধান: $x = y$ হলে আয়তক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র; বাহু $x$, ক্ষেত্রফল $= x^{2}$।

20% বৃদ্ধিতে নতুন বাহু $= 1.2x$

নতুন ক্ষেত্রফল $= (1.2x)^{2} = 1.44x^{2}$

বৃদ্ধি $= 1.44x^{2}-x^{2} = 0.44x^{2}$

শতকরা বৃদ্ধি $= \dfrac{0.44x^{2}}{x^{2}} \times 100 = 44\%$

গ) যদি দৈর্ঘ্যকে 10% বাড়ানো হয় এবং প্রস্থকে 10% কমানো হয় তবে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি বা কমবে?

সমাধান: নতুন দৈর্ঘ্য $= 1.1x$, নতুন প্রস্থ $= 0.9y$।

নতুন ক্ষেত্রফল $= 1.1x \times 0.9y = 0.99xy$

পরিবর্তন $= 0.99xy - xy = -0.01xy$

শতকরা পরিবর্তন $= \dfrac{-0.01xy}{xy} \times 100 = -1\%$

ক্ষেত্রফল শতকরা $1\%$ কমবে।