SSC General Math - 10th Phase (Distance and Height) Suggestions and Answer

ক) উপরের তথ্যের আলোকে চিত্র অঙ্কন কর।

সমাধান: ধরি, দালান $AB$, উচ্চতা $AB = h$ মিটার, $B$ পাদবিন্দু। ভূমির উপর $C$ বিন্দু থেকে $A$ এর উন্নতি কোণ $\angle ACB = 60^\circ$। $C$ থেকে $B$ বিপরীত দিকে $CD = 42$ মিটার দূরে $D$ বিন্দু নিলে $\angle ADB = 45^\circ$। ($B, C, D$ একই সরলরেখায়; $A$ ও $B$ যোগ, $A, C$ এবং $A, D$ যোগ করলেই চিত্র সম্পূর্ণ হয়।)

খ) দালানের উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান: ধরি, $BC = x$ মিটার। তাহলে $BD = (x+42)$ মিটার।

$\triangle ABC$ এ, $\tan 60^\circ = \dfrac{h}{x}$

$\Rightarrow \sqrt{3} = \dfrac{h}{x}$

$\therefore h = \sqrt{3}\,x$ ………(i)

$\triangle ABD$ এ, $\tan 45^\circ = \dfrac{h}{x+42}$

$\Rightarrow 1 = \dfrac{h}{x+42}$

$\therefore h = x + 42$ ………(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই,

$\sqrt{3}\,x = x + 42$

$\Rightarrow (\sqrt{3}-1)x = 42$

$\Rightarrow x = \dfrac{42}{\sqrt{3}-1} = \dfrac{42(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \dfrac{42(\sqrt{3}+1)}{2} = 21(\sqrt{3}+1)$

(i) নং এ $x$ এর মান বসিয়ে,

$h = \sqrt{3} \times 21(\sqrt{3}+1) = 21(3+\sqrt{3}) = 63 + 21\sqrt{3}$

$\approx 63 + 36.37 = 99.37$

নির্ণেয় দালানের উচ্চতা $21(3+\sqrt{3}) \approx 99.37$ মিটার।

গ) দালানের উপর হতে 45° কোণের প্রান্তবিন্দুর দূরত্ব কত?

সমাধান: দালানের শীর্ষ $A$ থেকে $D$ বিন্দুর দূরত্ব $AD$ (অতিভুজ)।

$\sin 45^\circ = \dfrac{AB}{AD}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{21(3+\sqrt{3})}{AD}$

$\therefore AD = 21\sqrt{2}\,(3+\sqrt{3})$

$\approx 29.698 \times 4.732 \approx 140.53$

নির্ণেয় দূরত্ব প্রায় $140.53$ মিটার।

প্রশ্ন ২

কোনো স্থান থেকে একটি মিনারের দিকে $60$ মিটার এগিয়ে আসলে মিনারের শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ $45^\circ$ থেকে $60^\circ$ হয়।

ক) উপরোক্ত বর্ণনাটি চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধান: ধরি, মিনার $AB$, পাদবিন্দু $B$। ভূমির উপর $D$ বিন্দু থেকে $A$ এর উন্নতি কোণ $\angle ADB = 45^\circ$। $D$ থেকে মিনারের দিকে $DC = 60$ মিটার এগিয়ে $C$ বিন্দুতে এলে $\angle ACB = 60^\circ$ হয় ($D, C, B$ একই সরলরেখায়)।

খ) মিনারটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান: ধরি, মিনারের উচ্চতা $AB = h$ মিটার এবং $BC = x$ মিটার। তাহলে $BD = (x+60)$ মিটার।

$\triangle ABC$ এ, $\tan 60^\circ = \dfrac{h}{x}$ বা $h = \sqrt{3}\,x$ ………(i)

$\triangle ABD$ এ, $\tan 45^\circ = \dfrac{h}{x+60}$ বা $h = x + 60$ ………(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই,

$\sqrt{3}\,x = x + 60$

$\Rightarrow (\sqrt{3}-1)x = 60$

$\Rightarrow x = \dfrac{60}{\sqrt{3}-1} = \dfrac{60(\sqrt{3}+1)}{2} = 30(\sqrt{3}+1)$

$\therefore h = \sqrt{3}\,x = 30\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 30(3+\sqrt{3}) = 90 + 30\sqrt{3}$

$\approx 90 + 51.96 = 141.96$

নির্ণেয় মিনারের উচ্চতা $30(3+\sqrt{3}) \approx 141.96$ মিটার।

গ) যে বিন্দুতে 60° কোণ উৎপন্ন হয়, সে বিন্দু থেকে মিনারের পাদবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান: $60^\circ$ কোণ উৎপন্ন হয় $C$ বিন্দুতে। সুতরাং নির্ণেয় দূরত্ব $BC = x$।

$x = 30(\sqrt{3}+1) = 30 \times 2.732 \approx 81.96$

নির্ণেয় দূরত্ব $30(\sqrt{3}+1) \approx 81.96$ মিটার।

প্রশ্ন ৩

দুই কিলোমিটার পোস্ট $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোনো স্থানের উপর $O$ বিন্দুতে এমন একটি বিমান থেকে ঐ কিলোমিটার পোস্টদ্বয়ের অবনতি কোণ যথাক্রমে $30^\circ$ ও $60^\circ$।

ক) সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ আনুপাতিক চিত্র অঙ্কন কর।

সমাধান: ধরি, বিমান $A$ বিন্দুতে, ভূমি থেকে উচ্চতা $AM = h$, যেখানে $M$ বিন্দুটি $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী ভূমির উপর অবস্থিত। $A$ থেকে $P$ এর অবনতি কোণ $30^\circ$ অর্থাৎ $\angle APM = 30^\circ$ এবং $Q$ এর অবনতি কোণ $60^\circ$ অর্থাৎ $\angle AQM = 60^\circ$; $PQ = 2$ কিমি।

খ) যদি A = 30° হয় তবে দেখাও যে, cos3A = 4cos³A − 3cosA।

সমাধান: $A = 30^\circ$ হলে,

বামপক্ষ $= \cos 3A = \cos 90^\circ = 0$

ডানপক্ষ $= 4\cos^{3}30^\circ - 3\cos 30^\circ$

$= 4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3} - 3 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$= 4 \times \dfrac{3\sqrt{3}}{8} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = 0$

$\therefore \cos 3A = 4\cos^{3}A - 3\cos A$ (দেখানো হলো)

গ) ভূমি হতে বিমানটির উচ্চতা কত?

সমাধান: $\triangle APM$ এ, $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{PM}$

$\Rightarrow PM = h\cot 30^\circ = \sqrt{3}\,h$

$\triangle AQM$ এ, $\tan 60^\circ = \dfrac{h}{QM}$

$\Rightarrow QM = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$

$PM + QM = PQ$ বা, $\sqrt{3}\,h + \dfrac{h}{\sqrt{3}} = 2$

$\Rightarrow \dfrac{3h + h}{\sqrt{3}} = 2$

$\Rightarrow 4h = 2\sqrt{3}$

$\therefore h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

নির্ণেয় উচ্চতা $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ কিমি $\approx 866$ মিটার।

প্রশ্ন ৪

একটি গাছ ঝড়ে এমনভাবে ভেঙে গেল যে, ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে $30^\circ$ কোণ করে গাছের গোড়া থেকে $12$ মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে।

ক) প্রদত্ত তথ্যগুলো চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধান: ধরি, গাছ $AB$, গোড়া $B$। $C$ বিন্দুতে ভেঙে গিয়ে ভাঙা অংশ $CA$ মাটির $A'$ বিন্দু স্পর্শ করে। অর্থাৎ $\triangle CBA'$ সমকোণী (সমকোণ $B$ বিন্দুতে), $BA' = 12$ মিটার এবং $\angle BCA' = 30^\circ$।

খ) গাছটি কত উচ্চতায় ভেঙ্গে ছিল?

সমাধান: $\triangle CBA'$ এ, $\tan 30^\circ = \dfrac{BA'}{BC}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{12}{BC}$

$\therefore BC = 12\sqrt{3} \approx 20.78$

গাছটি ভূমি থেকে $12\sqrt{3} \approx 20.78$ মিটার উচ্চতায় ভেঙে ছিল।

গ) গাছটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান: ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $CA' = CA$। $\sin 30^\circ = \dfrac{BA'}{CA'}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{12}{CA'}$

$\therefore CA' = 24$

গাছটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য $= BC + CA = 12\sqrt{3} + 24 = 12(\sqrt{3}+2) \approx 44.78$ মিটার।

প্রশ্ন ৫

$48$ মিটার লম্বা একটি গাছ ঝড়ে ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে দণ্ডায়মান অংশের সাথে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে ভূমি স্পর্শ করল।

ক) উদ্দীপকে উল্লেখিত তথ্যগুলো চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধান: ধরি, গাছ $AB$ ($AB = 48$ মি.), $B$ গোড়া। $C$ বিন্দুতে ভেঙে ভাঙা অংশ $CA$ মাটির $A'$ বিন্দু স্পর্শ করে। তাহলে $\triangle CBA'$ সমকোণী (সমকোণ $B$ বিন্দুতে), $\angle BCA' = 30^\circ$ এবং $BC + CA' = 48$।

খ) গাছটি কত উঁচুতে ভেঙেছিল?

সমাধান: ধরি, $BC = h$ মিটার। তাহলে $CA' = (48 - h)$ মিটার।

$\triangle CBA'$ এ, $\cos 30^\circ = \dfrac{BC}{CA'}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{48-h}$

$\Rightarrow 2h = \sqrt{3}(48 - h)$

$\Rightarrow (2+\sqrt{3})h = 48\sqrt{3}$

$\Rightarrow h = \dfrac{48\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \dfrac{48\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = 48\sqrt{3}(2-\sqrt{3})$

$= 96\sqrt{3} - 144 \approx 166.28 - 144 = 22.28$

গাছটি ভূমি থেকে $(96\sqrt{3}-144) \approx 22.28$ মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল।

গ) কত উঁচুতে ভাঙলে, গাছটি ভূমির সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করত?

সমাধান: ধরি, $y$ মিটার উঁচুতে ভাঙলে ভাঙা অংশ ভূমির সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে। তাহলে ভাঙা অংশ $= (48 - y)$ মিটার।

$\sin 45^\circ = \dfrac{y}{48-y}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{y}{48-y}$

$\Rightarrow 48 - y = \sqrt{2}\,y$

$\Rightarrow (\sqrt{2}+1)y = 48$

$\Rightarrow y = \dfrac{48}{\sqrt{2}+1} = 48(\sqrt{2}-1)$

$\approx 48 \times 0.4142 \approx 19.88$

নির্ণেয় উচ্চতা $48(\sqrt{2}-1) \approx 19.88$ মিটার।

প্রশ্ন ৬

একটি নদীর এক তীরে কোনো স্থানে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখলো যে, ঠিক সোজাসুজি অপর তীরে অবস্থিত $100$ মিটার লম্বা একটি গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ $45^\circ$। লোকটি একটি নৌকাযোগে গাছটিকে লক্ষ করে যাত্রা শুরু করলো। কিন্তু পানির স্রোতের কারণে লোকটি গাছ থেকে $15$ মিটার দূরে তীরে পৌঁছাল।

ক) উপরোক্ত তথ্য চিত্রের সাহায্যে বর্ণনা কর।

সমাধান: ধরি, গাছ $AB$ ($AB = 100$ মি.), $B$ গোড়া। লোকটি অপর তীরে $B$ এর ঠিক বিপরীতে $C$ বিন্দুতে দাঁড়িয়ে; $\angle ACB = 45^\circ$। স্রোতের কারণে সে $D$ বিন্দুতে পৌঁছায়, যেখানে $BD = 15$ মি. এবং $BD \perp BC$ (তীরের সমান্তরালে)।

খ) নদীর বিস্তার কত?

সমাধান: নদীর বিস্তার $BC$। $\triangle ABC$ এ,

$\tan 45^\circ = \dfrac{AB}{BC}$

$\Rightarrow 1 = \dfrac{100}{BC}$

$\therefore BC = 100$

নদীর বিস্তার $100$ মিটার।

গ) যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান: যাত্রা স্থান $C$ এবং গন্তব্য স্থান $D$। সমকোণী $\triangle BCD$ এ (সমকোণ $B$ বিন্দুতে),

$CD^{2} = BC^{2} + BD^{2}$

$= 100^{2} + 15^{2} = 10000 + 225 = 10225$

$\therefore CD = \sqrt{10225} = 5\sqrt{409} \approx 101.12$

নির্ণেয় দূরত্ব $5\sqrt{409} \approx 101.12$ মিটার।