Class 9-10 Math Chapter 9 (Trigonometric Ratios) Exercise 9.2 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• বিশেষ কোণের মান: $\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}$, $\cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 30\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$; $\sin 45\degree = \cos 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\tan 45\degree = 1$; $\sin 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60\degree = \dfrac{1}{2}$, $\tan 60\degree = \sqrt{3}$।
• $\sin 0\degree = 0, \cos 0\degree = 1, \sin 90\degree = 1, \cos 90\degree = 0$। $\cot 30\degree = \sqrt{3}$, $\cot 60\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $\operatorname{cosec} 30\degree = 2$, $\sec 60\degree = 2$।
• সমীকরণ সমাধানে: কোণ দুটির মান চেনা কোণের সমান ধরে সমীকরণ বানাও। $A, B$ সূক্ষ্মকোণ হলে $0\degree < A + B < 180\degree$ মনে রাখো।
• $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ ব্যবহার করে সমীকরণকে একটি অনুপাতে আনো, তারপর উৎপাদকে ভাঙো।

অনুশীলনী ৯.২

1. $\cos \theta = \dfrac{1}{2}$ হলে, $\cot \theta$-এর মান কোনটি?

ক) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$     খ) $1$     গ) $\sqrt{3}$     ঘ) $2$

সমাধান:

$\cos \theta = \dfrac{1}{2} = \cos 60\degree$, তাই $\theta = 60\degree$।

$\cot 60\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

ব্যাখ্যা: $\cos$ -এর মান ½ হলে কোণ 60°। তারপর $\cot 60°$ বসালেই উত্তর।

উত্তর: ক) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

2. $\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta = \dfrac{1}{3}$ হলে, $\cos ^4 \theta - \sin ^4 \theta$-এর মান কত?

ক) 3     খ) 2     গ) 1     ঘ) $\dfrac{1}{3}$

সমাধান:

$\cos ^4 \theta - \sin ^4 \theta = (\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta)(\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta)$

$= 1 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$

ব্যাখ্যা: $a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)$ এবং $\sin ^2 + \cos ^2 = 1$।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{1}{3}$

3. $\cot (\theta - 30\degree) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ হলে, $\sin \theta$ = কত?

ক) $\dfrac{1}{2}$     খ) 0     গ) 1     ঘ) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

সমাধান:

$\cot 60\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, তাই $\theta - 30\degree = 60\degree$।

$\theta = 90\degree$

$\sin \theta = \sin 90\degree = 1$

ব্যাখ্যা: কোণের ভেতরের রাশিকে 60°-এর সমান ধরে $\theta = 90\degree$ পাওয়া যায়।

উত্তর: গ) 1

4. $\tan (3A) = \sqrt{3}$ হলে, $A$ = কত?

ক) 45°     খ) 30°     গ) 20°     ঘ) 15°

সমাধান:

$\tan 60\degree = \sqrt{3}$, তাই $3A = 60\degree$

$A = 20\degree$

ব্যাখ্যা: $3A$-কে একটি কোণ ধরে 60° বসিয়ে 3 দিয়ে ভাগ করেছি।

উত্তর: গ) 20°

মান নির্ণয় করো (৫–৮):

৫. $\dfrac{1 - \cot ^2 60\degree}{1 + \cot ^2 60\degree}$

সমাধান:

$\cot 60\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, তাই $\cot ^2 60\degree = \dfrac{1}{3}$

মান $= \dfrac{1 - \dfrac{1}{3}}{1 + \dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{1}{2}$

ব্যাখ্যা: $\cot 60\degree$-এর বর্গ বসিয়ে সরল করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\dfrac{1}{2}$

৬. $\tan 45\degree \cdot \sin ^2 60\degree \cdot \tan 30\degree \cdot \tan 60\degree$

সমাধান:

$\tan 45\degree = 1$, $\sin ^2 60\degree = \dfrac{3}{4}$, $\tan 30\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan 60\degree = \sqrt{3}$

মান $= 1 \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = \dfrac{3}{4}$

ব্যাখ্যা: $\tan 30\degree \times \tan 60\degree = 1$, তাই বাকি থাকে $\sin ^2 60\degree = \dfrac{3}{4}$। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\dfrac{3}{4}$

৭. $\dfrac{1 - \cos ^2 60\degree}{1 + \cos ^2 60\degree} + \sec ^2 60\degree$

সমাধান:

$\cos ^2 60\degree = \dfrac{1}{4}$ এবং $\sec ^2 60\degree = 2^2 = 4$

প্রথম অংশ $= \dfrac{1 - \dfrac{1}{4}}{1 + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{3}{5}$

মান $= \dfrac{3}{5} + 4 = \dfrac{23}{5}$

ব্যাখ্যা: প্রতিটি রাশির মান আলাদা বের করে যোগ করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\dfrac{23}{5}$

৮. $\cos 45\degree \cdot \cot ^2 60\degree \cdot \operatorname{cosec} ^2 30\degree$

সমাধান:

$\cos 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\cot ^2 60\degree = \dfrac{1}{3}$, $\operatorname{cosec} ^2 30\degree = 4$

মান $= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{1}{3} \times 4 = \dfrac{4}{3\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{6} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

ব্যাখ্যা: শেষে $\sqrt{2}$ দিয়ে লব-হরকে গুণ করে মূলদীকরণ করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

দেখাও যে (৯–১৪):

৯. $\cos ^2 30\degree - \sin ^2 30\degree = \cos 60\degree$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$

ডান পক্ষ $= \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}$। দুই পক্ষ সমান। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: দুই পক্ষের মান আলাদা করে বের করে মিলিয়েছি।

উত্তর: দেখানো হলো।

১০. $\sin 60\degree \cdot \cos 30\degree + \cos 60\degree \cdot \sin 30\degree = \sin 90\degree$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$

ডান পক্ষ $= \sin 90\degree = 1$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: এটি $\sin (A + B)$ সূত্রের একটি উদাহরণ, যেখানে $A = 60\degree, B = 30\degree$।

উত্তর: দেখানো হলো।

১১. $\cos 60\degree \cdot \cos 30\degree + \sin 60\degree \cdot \sin 30\degree = \cos 30\degree$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

ডান পক্ষ $= \cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: এটি $\cos (A - B)$ সূত্রের উদাহরণ: $\cos (60\degree - 30\degree) = \cos 30\degree$।

উত্তর: দেখানো হলো।

১২. $A = 15\degree$ হলে, $\sin 3A = \cos 3A$

সমাধান:

$3A = 45\degree$

বাম পক্ষ $= \sin 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$; ডান পক্ষ $= \cos 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

দুই পক্ষ সমান। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: $3A = 45\degree$ হলে $\sin 45\degree = \cos 45\degree$।

উত্তর: দেখানো হলো।

১৩. $A = 45\degree$ হলে, $\sin 2A = \dfrac{2 \tan A}{1 + \tan ^2 A}$

সমাধান:

$2A = 90\degree$, তাই বাম পক্ষ $= \sin 90\degree = 1$

ডান পক্ষ $= \dfrac{2 \tan 45\degree}{1 + \tan ^2 45\degree} = \dfrac{2 \times 1}{1 + 1} = 1$

দুই পক্ষ সমান। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: $A = 45\degree$ বসিয়ে দুই পক্ষ আলাদা করে হিসাব করেছি।

উত্তর: দেখানো হলো।

১৪. $A = 30\degree$ হলে, $\tan 2A = \dfrac{2 \tan A}{1 - \tan ^2 A}$

সমাধান:

$2A = 60\degree$, তাই বাম পক্ষ $= \tan 60\degree = \sqrt{3}$

ডান পক্ষ $= \dfrac{2 \times \dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

দুই পক্ষ সমান। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: $\tan 30\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ বসিয়ে সরল করেছি।

উত্তর: দেখানো হলো।

১৫. $2\cos (A + B) = 1 = 2\sin (A - B)$ এবং $A, B$ সূক্ষ্মকোণ হলে দেখাও যে, $A = 45\degree, B = 15\degree$।

সমাধান:

$2\cos (A + B) = 1$, তাই $\cos (A + B) = \dfrac{1}{2} = \cos 60\degree$

$A + B = 60\degree$। (১)

$2\sin (A - B) = 1$, তাই $\sin (A - B) = \dfrac{1}{2} = \sin 30\degree$

$A - B = 30\degree$। (২)

(১) ও (২) যোগ করে $2A = 90\degree$, অর্থাৎ $A = 45\degree$।

(১) থেকে (২) বিয়োগ করে $2B = 30\degree$, অর্থাৎ $B = 15\degree$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: দুটি শর্ত থেকে $A + B$ ও $A - B$-এর মান পেয়ে যোগ-বিয়োগ করে $A, B$ বের করেছি।

উত্তর: $A = 45\degree, B = 15\degree$

১৬. $\cos (A - B) = 1, 2\sin (A + B) = \sqrt{3}$ এবং $A, B$ সূক্ষ্মকোণ হলে, $A$ এবং $B$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$\cos (A - B) = 1 = \cos 0\degree$, তাই $A - B = 0\degree$, অর্থাৎ $A = B$। (১)

$2\sin (A + B) = \sqrt{3}$, তাই $\sin (A + B) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ বলে $A + B = 60\degree$। (২)

(১) থেকে $A = B$ বসিয়ে (২) এ পাই $2A = 60\degree$, অর্থাৎ $A = 30\degree, B = 30\degree$।

ব্যাখ্যা: প্রথম শর্তে কোণের পার্থক্য শূন্য, তাই কোণ দুটি সমান। দ্বিতীয় শর্ত থেকে যোগফল পেয়ে মান বের করেছি।

উত্তর: $A = 30\degree, B = 30\degree$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় শুধু $A = B = 30\degree$ আছে। কিন্তু $\sin 120\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ হওয়ায় $A + B = 120\degree$ ধরলে $A = B = 60\degree$ ও শর্ত দুটি মেনে চলে (সূক্ষ্মকোণ)। তাই কঠোরভাবে দেখলে $A = B = 60\degree$ ও আরেকটি সমাধান। উত্তরমালায় এটি নেই।

১৭. সমাধান করো: $\dfrac{\cos A - \sin A}{\cos A + \sin A} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

সমাধান:

বাম পক্ষের লব ও হরকে $\cos A$ দিয়ে ভাগ করে পাই $\dfrac{1 - \tan A}{1 + \tan A} = \tan (45\degree - A)$

ডান পক্ষ $= \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\tan 60\degree - 1}{\tan 60\degree + 1}$; এটি $\tan 15\degree$-এর সমান, কারণ $\tan (60\degree - 45\degree) = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

তাই $\tan (45\degree - A) = \tan 15\degree$, অর্থাৎ $45\degree - A = 15\degree$

$A = 30\degree$

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $A = 30\degree$ বসিয়ে $\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ মিলে যায়।

উত্তর: $A = 30\degree$

১৮. $A$ ও $B$ সূক্ষ্মকোণ এবং $\cot (A + B) = 1, \cot (A - B) = \sqrt{3}$ হলে, $A$ ও $B$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$\cot (A + B) = 1 = \cot 45\degree$, তাই $A + B = 45\degree$। (১)

$\cot (A - B) = \sqrt{3} = \cot 30\degree$, তাই $A - B = 30\degree$। (২)

(১) ও (২) যোগ করে $2A = 75\degree$, অর্থাৎ $A = 37\dfrac{1}{2}\degree$

(১) থেকে (২) বিয়োগ করে $2B = 15\degree$, অর্থাৎ $B = 7\dfrac{1}{2}\degree$

ব্যাখ্যা: উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $A = 37\dfrac{1}{2}\degree, B = 7\dfrac{1}{2}\degree$

১৯. দেখাও যে, $\cos 3A = 4\cos ^3 A - 3\cos A$, যদি $A = 30\degree$ হয়।

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \cos 90\degree = 0$

ডান পক্ষ $= 4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 3 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \dfrac{3\sqrt{3}}{8} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = 0$

দুই পক্ষ সমান। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: $A = 30\degree$ বসিয়ে দুই পক্ষ আলাদা করে মিলিয়েছি।

উত্তর: দেখানো হলো।

২০. সমাধান করো: $\sin \theta + \cos \theta = 1$, যখন $0\degree \leq \theta \leq 90\degree$।

সমাধান:

দুই পক্ষ বর্গ করে $\sin ^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos ^2 \theta = 1$

$\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ হওয়ায় $1 + 2\sin \theta \cos \theta = 1$, অর্থাৎ $\sin \theta \cos \theta = 0$

তাই $\sin \theta = 0$ অথবা $\cos \theta = 0$

$\sin \theta = 0$ হলে $\theta = 0\degree$; $\cos \theta = 0$ হলে $\theta = 90\degree$

যাচাই: $\theta = 0\degree$-এ $0 + 1 = 1$; $\theta = 90\degree$-এ $1 + 0 = 1$। দুটিই সঠিক।

ব্যাখ্যা: বর্গ করলে অনেক সময় বাড়তি মান আসে, তাই বসিয়ে যাচাই করেছি।

উত্তর: $\theta = 0\degree$ অথবা $\theta = 90\degree$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় শুধু $\theta = 90\degree$ আছে। কিন্তু প্রশ্নে $0\degree \leq \theta \leq 90\degree$ দেওয়া থাকায় $\theta = 0\degree$-ও শর্ত মানে। তাই দুটি মানই এখানে দেওয়া হলো।

২১. সমাধান করো: $\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta = 2 - 5\cos \theta$, যখন $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

সমাধান:

$\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ বসিয়ে $\cos ^2 \theta - 1 + \cos ^2 \theta = 2 - 5\cos \theta$

$2\cos ^2 \theta + 5\cos \theta - 3 = 0$

$(2\cos \theta - 1)(\cos \theta + 3) = 0$

$\cos \theta = \dfrac{1}{2}$ অথবা $\cos \theta = -3$; $\cos \theta = -3$ সম্ভব নয় (কারণ $-1 \leq \cos \theta \leq 1$)

$\cos \theta = \dfrac{1}{2} = \cos 60\degree$, তাই $\theta = 60\degree$

ব্যাখ্যা: $\cos \theta$-কে চলক ধরে দ্বিঘাত সমীকরণ বানিয়ে উৎপাদকে ভেঙেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\theta = 60\degree$

২২. সমাধান করো: $2\sin ^2 \theta + 3\cos \theta - 3 = 0$, $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

সমাধান:

$\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ বসিয়ে $2(1 - \cos ^2 \theta) + 3\cos \theta - 3 = 0$

$-2\cos ^2 \theta + 3\cos \theta - 1 = 0$, অর্থাৎ $2\cos ^2 \theta - 3\cos \theta + 1 = 0$

$(2\cos \theta - 1)(\cos \theta - 1) = 0$

$\cos \theta = \dfrac{1}{2}$ অথবা $\cos \theta = 1$

$\cos \theta = 1$ হলে $\theta = 0\degree$, যা সূক্ষ্মকোণ নয়। তাই $\cos \theta = \dfrac{1}{2}$, অর্থাৎ $\theta = 60\degree$

ব্যাখ্যা: সূক্ষ্মকোণ মানে $0\degree$ ও $90\degree$-এর মাঝের কোণ, তাই $0\degree$ বাদ। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\theta = 60\degree$

২৩. সমাধান করো: $\tan ^2 \theta - (1 + \sqrt{3})\tan \theta + \sqrt{3} = 0$

সমাধান:

$\tan \theta = t$ ধরলে $t^2 - (1 + \sqrt{3})t + \sqrt{3} = 0$

$(t - 1)(t - \sqrt{3}) = 0$

$t = 1$ অথবা $t = \sqrt{3}$

$\tan \theta = 1 = \tan 45\degree$ বা $\tan \theta = \sqrt{3} = \tan 60\degree$

ব্যাখ্যা: যোগফল $1 + \sqrt{3}$ ও গুণফল $\sqrt{3}$, তাই মূল দুটি $1$ ও $\sqrt{3}$। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\theta = 45\degree$ অথবা $\theta = 60\degree$

২৪. মান নির্ণয় করো: $3\cot ^2 60\degree + \dfrac{1}{4}\operatorname{cosec} ^2 30\degree + 5\sin ^2 45\degree - 4\cos ^2 60\degree$

সমাধান:

$\cot ^2 60\degree = \dfrac{1}{3}$, $\operatorname{cosec} ^2 30\degree = 4$, $\sin ^2 45\degree = \dfrac{1}{2}$, $\cos ^2 60\degree = \dfrac{1}{4}$

মান $= 3 \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \times 4 + 5 \times \dfrac{1}{2} - 4 \times \dfrac{1}{4}$

$= 1 + 1 + \dfrac{5}{2} - 1 = 1 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{2}$

ব্যাখ্যা: উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\dfrac{7}{2}$

২৫. $\triangle ABC$-এর $\angle B = 90\degree, AB = 5$ সে.মি., $BC = 12$ সে.মি.।

সমাধান:

ক) $AC$-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়

পিথাগোরাসের সূত্রে $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 25 + 144 = 169$, তাই $AC = 13$ সে.মি.।

খ) $\angle C = \theta$ হলে $\sin \theta + \cos \theta$-এর মান

$\theta$-এর বিপরীত বাহু $AB = 5$, সন্নিহিত বাহু $BC = 12$, অতিভুজ $AC = 13$

$\sin \theta = \dfrac{5}{13}$, $\cos \theta = \dfrac{12}{13}$

$\sin \theta + \cos \theta = \dfrac{5}{13} + \dfrac{12}{13} = \dfrac{17}{13}$

গ) উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, $\sec ^2 A + \operatorname{cosec} ^2 A = \sec ^2 A \cdot \operatorname{cosec} ^2 A$

$\angle A$-এর সন্নিহিত বাহু $AB = 5$, বিপরীত বাহু $BC = 12$, অতিভুজ $13$

$\sec A = \dfrac{13}{5}$, $\operatorname{cosec} A = \dfrac{13}{12}$

বাম পক্ষ $= \dfrac{169}{25} + \dfrac{169}{144} = 169 \times \dfrac{144 + 25}{3600} = \dfrac{169 \times 169}{3600} = \dfrac{28561}{3600}$

ডান পক্ষ $= \dfrac{169}{25} \times \dfrac{169}{144} = \dfrac{28561}{3600}$

দুই পক্ষ সমান। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: ক-তে পিথাগোরাস, খ ও গ-তে ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত ব্যবহার করেছি।

উত্তর: ক) $AC = 13$ সে.মি.; খ) $\dfrac{17}{13}$; গ) দেখানো হলো।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ২৫নং প্রশ্নের উত্তর নেই। উত্তর নিজে হিসাব করে যাচাই করা হয়েছে।

২৬. $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle B =$ এক সমকোণ এবং $AB = BC$ হলে প্রমাণ করো যে, $\dfrac{BC \cos C - AC \cos B}{BC \cos B - AC \cos A} + \cos C = 0$

সমাধান:

$\angle B = 90\degree$ হওয়ায় $\cos B = 0$

$AB = BC$ হওয়ায় $\angle A = \angle C = 45\degree$, তাই $\cos A = \cos C$

বাম পক্ষ $= \dfrac{BC \cos C - 0}{0 - AC \cos A} + \cos C = -\dfrac{BC \cos C}{AC \cos A} + \cos C$

$\cos A = \cos C$ হওয়ায় $\dfrac{\cos C}{\cos A} = 1$, তাই প্রথম পদ $= -\dfrac{BC}{AC}$

আবার $\cos C = \dfrac{BC}{AC}$

সুতরাং বাম পক্ষ $= -\dfrac{BC}{AC} + \dfrac{BC}{AC} = 0$ (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: সমকোণ হলে $\cos B = 0$, আর সমদ্বিবাহু হলে অন্য দুই কোণ সমান — এ দুটি তথ্যেই সরল হয়ে যায়।

উত্তর: প্রমাণিত।

২৭. $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle B =$ এক সমকোণ এবং $\cot A + \cot B = 2\cot C$ হলে প্রমাণ করো যে, $AC^2 + BC^2 = 2AB^2$।

সমাধান:

$\angle B = 90\degree$ হওয়ায় $\cot B = 0$, তাই $\cot A = 2\cot C$

$\cot A = \dfrac{AB}{BC}$ এবং $\cot C = \dfrac{BC}{AB}$

$\dfrac{AB}{BC} = 2 \times \dfrac{BC}{AB}$, অর্থাৎ $AB^2 = 2BC^2$

পিথাগোরাসের সূত্রে $AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 + BC^2 = AB^2 + 2BC^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$ (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: $2BC^2$-কে $AB^2$ দিয়ে প্রতিস্থাপন করেছি।

উত্তর: প্রমাণিত।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ৯.২-এর ১–৪, ৯–১৫, ১৯ ও ২৫–২৭ নং প্রশ্নের উত্তর নেই। এগুলোর উত্তর নিজে হিসাব করে যাচাই করা হয়েছে।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

1. $0\degree \leq \theta \leq 90\degree$-এর জন্য $\sin \theta$-এর সর্বোচ্চ মান কত?

ক) $-1$     খ) 0     গ) $\dfrac{1}{2}$     ঘ) 1

সমাধান:

$0\degree$ থেকে $90\degree$ পর্যন্ত $\sin \theta$-এর মান $0$ থেকে বাড়তে বাড়তে $\sin 90\degree = 1$ হয়।

ব্যাখ্যা: $\sin \theta$ কখনো $1$-এর বেশি হয় না এবং $90\degree$-এ সর্বোচ্চ।

উত্তর: ঘ) 1

2. $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ $AC = 2, AB = 1$ হলে— (i) $\angle ACB = 30\degree$ (ii) $\tan A = \sqrt{3}$ (iii) $\sin (A + C) = 0$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i     খ) ii     গ) i ও ii     ঘ) ii ও iii

সমাধান:

$\sin C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{1}{2}$, তাই $\angle C = 30\degree$। (i) সত্য।

$\angle A = 60\degree$, তাই $\tan A = \tan 60\degree = \sqrt{3}$। (ii) সত্য।

$A + C = 90\degree$, তাই $\sin (A + C) = \sin 90\degree = 1 \neq 0$। (iii) মিথ্যা।

ব্যাখ্যা: বাহুর অনুপাত থেকে কোণ বের করে প্রতিটি উক্তি যাচাই করেছি।

উত্তর: গ) i ও ii

3. (চিত্র অনুযায়ী) $\tan C =$ কত?

ক) 2     খ) $\sqrt{3}$     গ) 1     ঘ) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

সমাধান:

$BC^2 = AC^2 - AB^2 = 4 - 1 = 3$, তাই $BC = \sqrt{3}$

$\tan C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

ব্যাখ্যা: $C$-এর বিপরীত বাহু $AB$ এবং সন্নিহিত বাহু $BC$।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

4. (চিত্র অনুযায়ী) $\sin ^2 A - \cos ^2 A$-এর মান কত?

ক) $\dfrac{1}{2}$     খ) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     গ) 1     ঘ) 0

সমাধান:

$\cos A = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{1}{2}$, $\sin A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin ^2 A - \cos ^2 A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$

ব্যাখ্যা: $A = 60\degree$ হলেও একই মান আসে।

উত্তর: ক) $\dfrac{1}{2}$

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. $\sin \theta = p, \cos \theta = q, \tan \theta = r$, যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

সমাধান:

ক) $r = \sqrt{(3)^{-1}}$ হলে $\theta$-এর মান নির্ণয়

$r = \sqrt{3^{-1}} = \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan \theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30\degree$, তাই $\theta = 30\degree$।

খ) $p + q = \sqrt{2}$ হলে প্রমাণ করো যে, $\theta = 45\degree$

$(p + q)^2 = 2$, তাই $p^2 + q^2 + 2pq = 2$

$p^2 + q^2 = \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ হওয়ায় $1 + 2pq = 2$, অর্থাৎ $pq = \dfrac{1}{2}$

$(p - q)^2 = p^2 + q^2 - 2pq = 1 - 1 = 0$, তাই $p = q$

$\sin \theta = \cos \theta$, অর্থাৎ $\tan \theta = 1$, তাই $\theta = 45\degree$। (প্রমাণিত)

গ) $7p^2 + 3q^2 = 4$ হলে দেখাও যে, $\tan \theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$q^2 = 1 - p^2$ বসিয়ে $7p^2 + 3(1 - p^2) = 4$

$4p^2 + 3 = 4$, তাই $p^2 = \dfrac{1}{4}$, অর্থাৎ $\sin \theta = \dfrac{1}{2}$ (সূক্ষ্মকোণ বলে ধনাত্মক)

$\theta = 30\degree$, তাই $\tan \theta = \tan 30\degree = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ এই সূত্রই খ ও গ-এর মূল চাবিকাঠি।

উত্তর: ক) $\theta = 30\degree$; খ) প্রমাণিত; গ) দেখানো হলো।

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

সমাধান:

ক) দেখাও যে, $\tan ^2 A - \sin ^2 A = \tan ^2 A \cdot \sin ^2 A$

বাম পক্ষ $= \dfrac{\sin ^2 A}{\cos ^2 A} - \sin ^2 A = \sin ^2 A \left(\dfrac{1}{\cos ^2 A} - 1\right) = \sin ^2 A \cdot \dfrac{1 - \cos ^2 A}{\cos ^2 A}$

$1 - \cos ^2 A = \sin ^2 A$ হওয়ায় বাম পক্ষ $= \sin ^2 A \cdot \dfrac{\sin ^2 A}{\cos ^2 A} = \sin ^2 A \cdot \tan ^2 A =$ ডান পক্ষ। (দেখানো হলো)

খ) $\triangle ABC$-এর $\angle B = 90\degree, BC = 6$ সে.মি., $AB = 8$ সে.মি. হলে $\sin A$-এর মান নির্ণয়

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 64 + 36 = 100$, তাই $AC = 10$ সে.মি.।

$\sin A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$

গ) $\sin ^2 A = 1 + \cos ^2 A$ হলে $A$-এর মান নির্ণয়, যখন $A$ সূক্ষ্মকোণ

$\sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A$ বসিয়ে $1 - \cos ^2 A = 1 + \cos ^2 A$, তাই $2\cos ^2 A = 0$

$\cos A = 0$, অর্থাৎ $A = 90\degree$। কিন্তু $A$ সূক্ষ্মকোণ হতে হবে, তাই এই শর্তে $A$-এর কোনো মান নেই।

ঘ) $A = 15\degree$ হলে দেখাও যে, $\cos ^3 3A = \sin ^3 3A$

$3A = 45\degree$

বাম পক্ষ $= \cos ^3 45\degree = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$; ডান পক্ষ $= \sin ^3 45\degree = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$। সমান। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: প্রতিটি অংশে আলাদা সূত্র লাগে: ক-তে $\sin ^2 + \cos ^2 = 1$, খ-তে পিথাগোরাস, গ-তে সমীকরণ সমাধান, ঘ-তে মান বসানো।

উত্তর: ক) দেখানো হলো; খ) $\dfrac{3}{5}$; গ) সূক্ষ্মকোণের জন্য কোনো মান নেই; ঘ) দেখানো হলো।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় নমুনা প্রশ্নের উত্তর নেই, সব নিজে হিসাব করে যাচাই করা হয়েছে। ৬(গ)-তে $\sin ^2 A = 1 + \cos ^2 A$ থেকে $A = 90\degree$ আসে, যা সূক্ষ্মকোণ নয়। তাই সম্ভবত প্রশ্নে ছাপার ভুল আছে (যেমন $\sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A$ বা অন্য কিছু হওয়ার কথা ছিল)।