Class 9-10 Math Chapter 9 (Trigonometric Ratios) Exercise 9.1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• সমকোণী ত্রিভুজে $\theta$ কোণের জন্য: $\sin \theta = \dfrac{লম্ব}{অতিভুজ}$, $\cos \theta = \dfrac{ভূমি}{অতিভুজ}$, $\tan \theta = \dfrac{লম্ব}{ভূমি}$।
• $\operatorname{cosec} \theta = \dfrac{1}{\sin \theta}$, $\sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta}$, $\cot \theta = \dfrac{1}{\tan \theta}$।
• $\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$, $\cot \theta = \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$।
• তিনটি মূল অভেদ: $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$, $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$, $\operatorname{cosec} ^2 \theta = 1 + \cot ^2 \theta$।
• অভেদ প্রমাণের কৌশল: সবকিছু $\sin$ ও $\cos$-এ রূপান্তর করো, তারপর সরল করো।

অনুশীলনী ৯.১

1. নিচের গাণিতিক উক্তিগুলোর সত্য-মিথ্যা যাচাই করি। তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাও।

সমাধান:

ক) $\tan A$-এর মান সর্বদা 1-এর চেয়ে কম।

$A = 60\degree$ নিলে $\tan 60\degree = \sqrt{3} \approx 1.73 > 1$। তাই উক্তিটি মিথ্যা।

খ) $\cot A$ হলো $\cot$ ও $A$-এর গুণফল।

$\cot A$ একটি অখণ্ড প্রতীক। এটি $A$ কোণের কোটানজেন্ট অনুপাত। $\cot$ আলাদা কোনো রাশি নয়। তাই উক্তিটি মিথ্যা।

গ) $A$-এর কোনো একটি মানের জন্য $\sec A = \dfrac{12}{5}$।

$\sec A = \dfrac{1}{\cos A}$, তাই $\cos A = \dfrac{5}{12}$। $\cos A$-এর মান 0 ও 1-এর মধ্যে হতে পারে এবং $0 < \dfrac{5}{12} < 1$।

অর্থাৎ 5, 12 ও $\sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{119}$ বাহুর সমকোণী ত্রিভুজে এটি সম্ভব। তাই উক্তিটি সত্য।

ঘ) $\cos$ হলো $cotangent$-এর সংক্ষিপ্ত রূপ।

$\cos$ হলো $cosine$-এর সংক্ষিপ্ত রূপ। $cotangent$-এর সংক্ষিপ্ত রূপ $\cot$। তাই উক্তিটি মিথ্যা।

ব্যাখ্যা: ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের নাম ও সংক্ষিপ্ত রূপ আলাদা করে মনে রাখা দরকার। $\tan$ কোনো ক্ষেত্রে 1-এর বেশিও হতে পারে।

উত্তর: ক) মিথ্যা; খ) মিথ্যা; গ) সত্য; ঘ) মিথ্যা

2. $\sin A = \dfrac{3}{4}$ হলে, $A$ কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধান:

$\sin A = \dfrac{লম্ব}{অতিভুজ} = \dfrac{3}{4}$। মনে করি লম্ব $BC = 3$, অতিভুজ $AC = 4$।

ভূমি $AB = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$।

$\cos A = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{\sqrt{7}}$

$\cot A = \dfrac{\sqrt{7}}{3}$

$\sec A = \dfrac{4}{\sqrt{7}}$

$\operatorname{cosec} A = \dfrac{4}{3}$

ব্যাখ্যা: সমকোণী ত্রিভুজ এঁকে লম্ব ও অতিভুজ বসিয়েছি। পিথাগোরাসের সূত্র থেকে ভূমি পেয়েছি, তারপর সব অনুপাত লেখা সহজ।

উত্তর: $\cos A = \dfrac{\sqrt{7}}{4}, \tan A = \dfrac{3}{\sqrt{7}}, \cot A = \dfrac{\sqrt{7}}{3}, \sec A = \dfrac{4}{\sqrt{7}}, \operatorname{cosec} A = \dfrac{4}{3}$

3. দেওয়া আছে, $15 \cot A = 8$, $\sin A$ ও $\sec A$-এর মান বের করো।

সমাধান:

$\cot A = \dfrac{8}{15}$। অর্থাৎ ভূমি $AB = 8$, লম্ব $BC = 15$।

অতিভুজ $AC = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$।

$\sin A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{15}{17}$

$\sec A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{17}{8}$

ব্যাখ্যা: $\cot A$-এর মান ভূমি ও লম্বের অনুপাত। তাই ভূমি 8, লম্ব 15 ধরে অতিভুজ 17 পাওয়া যায়।

উত্তর: $\sin A = \dfrac{15}{17}, \sec A = \dfrac{17}{8}$

4. $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle C$ সমকোণ, $AB = 13$ সে.মি., $BC = 12$ সে.মি. এবং $\angle ABC = \theta$ হলে, $\sin \theta, \cos \theta$ ও $\tan \theta$-এর মান বের করো।

সমাধান:

$\angle C = 90\degree$, তাই $AB$ অতিভুজ। $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ সে.মি.।

$\theta$ কোণ $B$ বিন্দুতে। $\theta$-এর বিপরীত বাহু $AC = 5$, সন্নিহিত বাহু $BC = 12$।

$\sin \theta = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{5}{13}$

$\cos \theta = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{12}{13}$

$\tan \theta = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{5}{12}$

ব্যাখ্যা: কোণ $B$-এর জন্য $AC$ লম্ব, $BC$ ভূমি। $AC$ বের করে অনুপাত লিখেছি। উত্তর 5-12-13 ত্রয়ীর সাথে মেলে।

উত্তর: $\sin \theta = \dfrac{5}{13}, \cos \theta = \dfrac{12}{13}, \tan \theta = \dfrac{5}{12}$

5. $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $B$ কোণটি সমকোণ। $\tan A = \sqrt{3}$ হলে, $\sqrt{3} \sin A \cos A = \dfrac{3}{4}$ এর সত্যতা যাচাই করো।

সমাধান:

$\tan A = \sqrt{3} = \dfrac{BC}{AB}$। তাই লম্ব $BC = \sqrt{3}$, ভূমি $AB = 1$।

অতিভুজ $AC = \sqrt{1 + 3} = 2$।

$\sin A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos A = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{1}{2}$

বাম পক্ষ $= \sqrt{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$ = ডান পক্ষ।

অতএব সমীকরণটি সত্য।

ব্যাখ্যা: $\tan A = \sqrt{3}$ মানে $A = 60\degree$। তাই $\sin 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60\degree = \dfrac{1}{2}$ বসিয়ে মান মিলে যায়।

উত্তর: সত্যতা যাচাই হলো (উভয় পক্ষ $\dfrac{3}{4}$)।

প্রমাণ করো (৬–২০):

৬. ক) $\dfrac{1}{\sec ^2 A} + \dfrac{1}{\operatorname{cosec} ^2 A} = 1$; খ) $\dfrac{1}{\cos ^2 A} - \dfrac{1}{\cot ^2 A} = 1$; গ) $\dfrac{1}{\sin ^2 A} - \dfrac{1}{\tan ^2 A} = 1$

সমাধান:

ক) বাম পক্ষ $= \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1$ = ডান পক্ষ। [$\dfrac{1}{\sec A} = \cos A$, $\dfrac{1}{\operatorname{cosec} A} = \sin A$]

খ) বাম পক্ষ $= \sec ^2 A - \tan ^2 A = 1$ = ডান পক্ষ। [$\dfrac{1}{\cos A} = \sec A$, $\dfrac{1}{\cot A} = \tan A$]

গ) বাম পক্ষ $= \operatorname{cosec} ^2 A - \cot ^2 A = 1$ = ডান পক্ষ। [$\dfrac{1}{\sin A} = \operatorname{cosec} A$, $\dfrac{1}{\tan A} = \cot A$]

ব্যাখ্যা: প্রতিটি ভগ্নাংশ বিপরীত অনুপাত। এরপর মূল অভেদে $\sin ^2 + \cos ^2 = 1$, $\sec ^2 - \tan ^2 = 1$ ও $\operatorname{cosec} ^2 - \cot ^2 = 1$ ব্যবহার করা হয়েছে।

উত্তর: তিনটিই প্রমাণিত।

৭. ক) $\dfrac{\sin A}{\operatorname{cosec} A} + \dfrac{\cos A}{\sec A} = 1$; খ) $\dfrac{\sec A}{\cos A} - \dfrac{\tan A}{\cot A} = 1$; গ) $\dfrac{1}{1 + \sin ^2 A} + \dfrac{1}{1 + \operatorname{cosec} ^2 A} = 1$

সমাধান:

ক) বাম পক্ষ $= \dfrac{\sin A}{1/\sin A} + \dfrac{\cos A}{1/\cos A} = \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1$ = ডান পক্ষ।

খ) বাম পক্ষ $= \dfrac{\sec A}{1/\sec A} - \dfrac{\tan A}{1/\tan A} = \sec ^2 A - \tan ^2 A = 1$ = ডান পক্ষ।

গ) বাম পক্ষ $= \dfrac{1}{1 + \sin ^2 A} + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\sin ^2 A}}$

$= \dfrac{1}{1 + \sin ^2 A} + \dfrac{\sin ^2 A}{\sin ^2 A + 1}$

$= \dfrac{1 + \sin ^2 A}{1 + \sin ^2 A} = 1$ = ডান পক্ষ।

ব্যাখ্যা: ক), খ)-তে $\dfrac{x}{1/x} = x^2$ ব্যবহার করেছি। গ)-তে $\operatorname{cosec} A$-কে $\dfrac{1}{\sin A}$ লিখে সাধারণ হর পেয়েছি।

উত্তর: তিনটিই প্রমাণিত।

৮. ক) $\dfrac{\tan A}{1 - \cot A} + \dfrac{\cot A}{1 - \tan A} = \sec A \operatorname{cosec} A + 1$; খ) $\dfrac{1}{1 + \tan ^2 A} + \dfrac{1}{1 + \cot ^2 A} = 1$

সমাধান:

ক) বাম পক্ষ $= \dfrac{\dfrac{\sin A}{\cos A}}{\dfrac{\sin A - \cos A}{\sin A}} + \dfrac{\dfrac{\cos A}{\sin A}}{\dfrac{\cos A - \sin A}{\cos A}}$

$= \dfrac{\sin ^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} - \dfrac{\cos ^2 A}{\sin A(\sin A - \cos A)}$

$= \dfrac{\sin ^3 A - \cos ^3 A}{\sin A \cos A(\sin A - \cos A)}$

$= \dfrac{(\sin A - \cos A)(\sin ^2 A + \sin A \cos A + \cos ^2 A)}{\sin A \cos A(\sin A - \cos A)}$

$= \dfrac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A} = \dfrac{1}{\sin A \cos A} + 1 = \sec A \operatorname{cosec} A + 1$ = ডান পক্ষ।

খ) বাম পক্ষ $= \dfrac{1}{\sec ^2 A} + \dfrac{1}{\operatorname{cosec} ^2 A} = \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1$ = ডান পক্ষ।

ব্যাখ্যা: ক)-তে $\sin$ ও $\cos$-এ রূপান্তর করে $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ব্যবহার করেছি। খ)-তে $1 + \tan ^2 A = \sec ^2 A$ ও $1 + \cot ^2 A = \operatorname{cosec} ^2 A$।

উত্তর: দুটিই প্রমাণিত।

৯. $\dfrac{\cos A}{1 - \tan A} + \dfrac{\sin A}{1 - \cot A} = \sin A + \cos A$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \dfrac{\cos A}{1 - \dfrac{\sin A}{\cos A}} + \dfrac{\sin A}{1 - \dfrac{\cos A}{\sin A}}$

$= \dfrac{\cos ^2 A}{\cos A - \sin A} + \dfrac{\sin ^2 A}{\sin A - \cos A}$

$= \dfrac{\cos ^2 A}{\cos A - \sin A} - \dfrac{\sin ^2 A}{\cos A - \sin A}$

$= \dfrac{\cos ^2 A - \sin ^2 A}{\cos A - \sin A} = \dfrac{(\cos A + \sin A)(\cos A - \sin A)}{\cos A - \sin A}$

$= \cos A + \sin A$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হরের চিহ্ন বদলে $\sin A - \cos A = -(\cos A - \sin A)$ করেছি। তারপর বর্গের অন্তর ভেঙেছি।

উত্তর: প্রমাণিত।

১০. $\tan A \sqrt{1 - \sin ^2 A} = \sin A$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \tan A \sqrt{\cos ^2 A} = \tan A \cos A$ [$1 - \sin ^2 A = \cos ^2 A$, $A$ সূক্ষ্মকোণ বলে $\sqrt{\cos ^2 A} = \cos A$]

$= \dfrac{\sin A}{\cos A} \times \cos A = \sin A$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: বর্গমূলের ভিতরের রাশিটি $\cos ^2 A$। তাই বর্গমূল $\cos A$ হয় এবং $\tan A$-এর হর কেটে যায়।

উত্তর: প্রমাণিত।

১১. $\dfrac{\sec A + \tan A}{\operatorname{cosec} A + \cot A} = \dfrac{\operatorname{cosec} A - \cot A}{\sec A - \tan A}$

সমাধান:

$(\sec A + \tan A)(\sec A - \tan A) = \sec ^2 A - \tan ^2 A = 1$। (১)

$(\operatorname{cosec} A + \cot A)(\operatorname{cosec} A - \cot A) = \operatorname{cosec} ^2 A - \cot ^2 A = 1$। (২)

(১) ও (২) থেকে $(\sec A + \tan A)(\sec A - \tan A) = (\operatorname{cosec} A + \cot A)(\operatorname{cosec} A - \cot A)$

দুই পক্ষকে $(\operatorname{cosec} A + \cot A)(\sec A - \tan A)$ দিয়ে ভাগ করে পাই,

$\dfrac{\sec A + \tan A}{\operatorname{cosec} A + \cot A} = \dfrac{\operatorname{cosec} A - \cot A}{\sec A - \tan A}$ (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই জোড়া রাশির গুণফলই 1। তাই এদের ক্রস গুণ করা সমান, আর সেখান থেকে সরাসরি অনুপাতটি পাওয়া যায়।

উত্তর: প্রমাণিত।

১২. $\dfrac{\operatorname{cosec} A}{\operatorname{cosec} A - 1} + \dfrac{\operatorname{cosec} A}{\operatorname{cosec} A + 1} = 2 \sec ^2 A$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \operatorname{cosec} A \left[\dfrac{1}{\operatorname{cosec} A - 1} + \dfrac{1}{\operatorname{cosec} A + 1}\right]$

$= \operatorname{cosec} A \cdot \dfrac{(\operatorname{cosec} A + 1) + (\operatorname{cosec} A - 1)}{\operatorname{cosec} ^2 A - 1}$

$= \operatorname{cosec} A \cdot \dfrac{2 \operatorname{cosec} A}{\cot ^2 A} = \dfrac{2 \operatorname{cosec} ^2 A}{\cot ^2 A}$ [$\operatorname{cosec} ^2 A - 1 = \cot ^2 A$]

$= 2 \cdot \dfrac{1}{\sin ^2 A} \cdot \dfrac{\sin ^2 A}{\cos ^2 A} = \dfrac{2}{\cos ^2 A} = 2 \sec ^2 A$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: সাধারণ গুণনীয়ক $\operatorname{cosec} A$ বের করে ভগ্নাংশ যোগ করেছি। হর হয়েছে বর্গের অন্তর $\operatorname{cosec} ^2 A - 1 = \cot ^2 A$।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৩. $\dfrac{1}{1 + \sin A} + \dfrac{1}{1 - \sin A} = 2 \sec ^2 A$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \dfrac{(1 - \sin A) + (1 + \sin A)}{(1 + \sin A)(1 - \sin A)}$

$= \dfrac{2}{1 - \sin ^2 A} = \dfrac{2}{\cos ^2 A} = 2 \sec ^2 A$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই ভগ্নাংশের সাধারণ হর হলো $1 - \sin ^2 A = \cos ^2 A$।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৪. $\dfrac{1}{\operatorname{cosec} A - 1} - \dfrac{1}{\operatorname{cosec} A + 1} = 2 \tan ^2 A$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \dfrac{(\operatorname{cosec} A + 1) - (\operatorname{cosec} A - 1)}{(\operatorname{cosec} A - 1)(\operatorname{cosec} A + 1)}$

$= \dfrac{2}{\operatorname{cosec} ^2 A - 1} = \dfrac{2}{\cot ^2 A} = 2 \tan ^2 A$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: হর হলো $\operatorname{cosec} ^2 A - 1 = \cot ^2 A$। $\dfrac{1}{\cot ^2 A} = \tan ^2 A$।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৫. $\dfrac{\sin A}{1 - \cos A} + \dfrac{1 - \cos A}{\sin A} = 2 \operatorname{cosec} A$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \dfrac{\sin ^2 A + (1 - \cos A)^2}{\sin A(1 - \cos A)}$

$= \dfrac{\sin ^2 A + 1 - 2 \cos A + \cos ^2 A}{\sin A(1 - \cos A)} = \dfrac{2 - 2 \cos A}{\sin A(1 - \cos A)}$ [$\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1$]

$= \dfrac{2(1 - \cos A)}{\sin A(1 - \cos A)} = \dfrac{2}{\sin A} = 2 \operatorname{cosec} A$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: সাধারণ হর করে লবে $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1$ বসিয়েছি। তারপর $1 - \cos A$ কেটে গেছে।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৬. $\dfrac{\tan A}{\sec A + 1} - \dfrac{\sec A - 1}{\tan A} = 0$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \dfrac{\tan ^2 A - (\sec A - 1)(\sec A + 1)}{(\sec A + 1) \tan A}$

$= \dfrac{\tan ^2 A - (\sec ^2 A - 1)}{(\sec A + 1) \tan A}$

$= \dfrac{\tan ^2 A - \tan ^2 A}{(\sec A + 1) \tan A} = 0$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: $(\sec A - 1)(\sec A + 1) = \sec ^2 A - 1 = \tan ^2 A$। তাই লব শূন্য হয়।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৭. $(\tan \theta + \sec \theta)^2 = \dfrac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \left(\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} + \dfrac{1}{\cos \theta}\right)^2 = \dfrac{(1 + \sin \theta)^2}{\cos ^2 \theta}$

$= \dfrac{(1 + \sin \theta)^2}{1 - \sin ^2 \theta} = \dfrac{(1 + \sin \theta)^2}{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)}$

$= \dfrac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: $\cos ^2 \theta$-কে $1 - \sin ^2 \theta = (1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)$ লিখে একটি উৎপাদক কেটেছি।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৮. $\dfrac{\cot A + \tan B}{\cot B + \tan A} = \cot A \cdot \tan B$

সমাধান:

বাম পক্ষের লব $= \dfrac{1}{\tan A} + \tan B = \dfrac{1 + \tan A \tan B}{\tan A}$

হর $= \dfrac{1}{\tan B} + \tan A = \dfrac{1 + \tan A \tan B}{\tan B}$

বাম পক্ষ $= \dfrac{1 + \tan A \tan B}{\tan A} \times \dfrac{\tan B}{1 + \tan A \tan B} = \dfrac{\tan B}{\tan A} = \cot A \cdot \tan B$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: লব ও হর দুটিতেই $1 + \tan A \tan B$ সাধারণ। তাই তা কেটে $\dfrac{\tan B}{\tan A}$ থাকে।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৯. $\sqrt{\dfrac{1 - \sin A}{1 + \sin A}} = \sec A - \tan A$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \sqrt{\dfrac{(1 - \sin A)(1 - \sin A)}{(1 + \sin A)(1 - \sin A)}} = \sqrt{\dfrac{(1 - \sin A)^2}{1 - \sin ^2 A}}$

$= \sqrt{\dfrac{(1 - \sin A)^2}{\cos ^2 A}} = \dfrac{1 - \sin A}{\cos A}$ [$A$ সূক্ষ্মকোণ, তাই $\cos A > 0$ এবং $1 - \sin A > 0$]

$= \dfrac{1}{\cos A} - \dfrac{\sin A}{\cos A} = \sec A - \tan A$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: লব ও হরকে $1 - \sin A$ দিয়ে গুণ করে হরে $\cos ^2 A$ পেয়েছি, ফলে বর্গমূল সহজে খোলে।

উত্তর: প্রমাণিত।

২০. $\sqrt{\dfrac{\sec A + 1}{\sec A - 1}} = \cot A + \operatorname{cosec} A$

সমাধান:

বাম পক্ষ $= \sqrt{\dfrac{(\sec A + 1)(\sec A + 1)}{(\sec A - 1)(\sec A + 1)}} = \sqrt{\dfrac{(\sec A + 1)^2}{\sec ^2 A - 1}}$

$= \sqrt{\dfrac{(\sec A + 1)^2}{\tan ^2 A}} = \dfrac{\sec A + 1}{\tan A}$ [$A$ সূক্ষ্মকোণ]

$= \dfrac{\sec A}{\tan A} + \dfrac{1}{\tan A} = \dfrac{1}{\cos A} \cdot \dfrac{\cos A}{\sin A} + \cot A$

$= \operatorname{cosec} A + \cot A$ = ডান পক্ষ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: ১৯ নম্বরের মতোই লব-হরকে একই রাশি দিয়ে গুণ করে হরে $\sec ^2 A - 1 = \tan ^2 A$ পাওয়া যায়।

উত্তর: প্রমাণিত।

২১. $\cos A + \sin A = \sqrt{2} \cos A$ হলে, প্রমাণ করো যে, $\cos A - \sin A = \sqrt{2} \sin A$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\cos A + \sin A = \sqrt{2} \cos A$

বা, $\sin A = \sqrt{2} \cos A - \cos A = (\sqrt{2} - 1) \cos A$

বা, $\cos A = \dfrac{\sin A}{\sqrt{2} - 1} = \dfrac{\sin A(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = (\sqrt{2} + 1) \sin A$

এখন $\cos A - \sin A = (\sqrt{2} + 1) \sin A - \sin A = \sqrt{2} \sin A$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: প্রথম শর্ত থেকে $\cos A$-কে $\sin A$-এর গুণিতক হিসেবে লিখেছি। হরের মূলদীকরণ করে সরাসরি প্রমাণ হয়েছে।

উত্তর: প্রমাণিত।

২২. যদি $\tan A = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ হয়, তবে $\dfrac{\operatorname{cosec} ^2 A - \sec ^2 A}{\operatorname{cosec} ^2 A + \sec ^2 A}$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$\tan A = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ হলে, $A = 30\degree$।

$\operatorname{cosec} ^2 30\degree = 2^2 = 4$ এবং $\sec ^2 30\degree = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \dfrac{4}{3}$

মান $= \dfrac{4 - \dfrac{4}{3}}{4 + \dfrac{4}{3}} = \dfrac{\dfrac{8}{3}}{\dfrac{16}{3}} = \dfrac{1}{2}$

ব্যাখ্যা: $\tan$ থেকে $A = 30\degree$ পেয়ে সরাসরি মান বসিয়েছি। বইয়ের উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\dfrac{1}{2}$

২৩. $\operatorname{cosec} A - \cot A = \dfrac{4}{3}$ হলে, $\operatorname{cosec} A + \cot A$-এর মান কত?

সমাধান:

$(\operatorname{cosec} A + \cot A)(\operatorname{cosec} A - \cot A) = \operatorname{cosec} ^2 A - \cot ^2 A = 1$

$(\operatorname{cosec} A + \cot A) \times \dfrac{4}{3} = 1$

$\operatorname{cosec} A + \cot A = \dfrac{3}{4}$

ব্যাখ্যা: দুই রাশির গুণফল সবসময় 1, তাই একটির মান জানা থাকলে অপরটি তার উল্টো। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\dfrac{3}{4}$

২৪. $\cot A = \dfrac{b}{a}$ হলে, $\dfrac{a \sin A - b \cos A}{a \sin A + b \cos A}$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

লব ও হরকে $\sin A$ দিয়ে ভাগ করে পাই, $\dfrac{a - b \cot A}{a + b \cot A}$

$\cot A = \dfrac{b}{a}$ বসিয়ে $= \dfrac{a - \dfrac{b^2}{a}}{a + \dfrac{b^2}{a}} = \dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$

ব্যাখ্যা: $\sin A$-এর বদলে $\cot A$ আনার জন্য লব-হর $\sin A$ দিয়ে ভাগ করেছি। উত্তরমালার সাথে মিলেছে।

উত্তর: $\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$

২৫. $\operatorname{cosec} A - \cot A = x$ এবং $\operatorname{cosec} A + \cot A = y$।

সমাধান:

ক) $\sin \theta = \dfrac{5}{13}$ হলে, $\sec \theta$-এর মান নির্ণয় করো।

$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin ^2 \theta} = \sqrt{1 - \dfrac{25}{169}} = \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \dfrac{12}{13}$

$\sec \theta = \dfrac{13}{12}$

খ) দেখাও যে, $\sec A = \dfrac{1 + x^2}{1 - x^2}$।

$xy = \operatorname{cosec} ^2 A - \cot ^2 A = 1$, তাই $y = \dfrac{1}{x}$।

$\operatorname{cosec} A = \dfrac{x + y}{2} = \dfrac{x + 1/x}{2} = \dfrac{x^2 + 1}{2x}$ এবং $\cot A = \dfrac{y - x}{2} = \dfrac{1 - x^2}{2x}$

$\sec A = \dfrac{\operatorname{cosec} A}{\cot A} = \dfrac{1 + x^2}{1 - x^2}$। (দেখানো হলো)

গ) $\dfrac{x}{y} = 7 - 4\sqrt{3}$ হলে, $A$-এর মান নির্ণয় করো।

$y = \dfrac{1}{x}$, তাই $\dfrac{x}{y} = x^2 = 7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$

$x = 2 - \sqrt{3}$ [$x > 0$]

(খ)-এর মতো $\cot A = \dfrac{1 - x^2}{2x} = \dfrac{1 - 7 + 4\sqrt{3}}{2(2 - \sqrt{3})} = \dfrac{2\sqrt{3} - 3}{2 - \sqrt{3}}$

$= (2\sqrt{3} - 3)(2 + \sqrt{3}) = 4\sqrt{3} + 6 - 6 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$

$\cot A = \sqrt{3} = \cot 30\degree$, তাই $A = 30\degree$।

যাচাই: $\operatorname{cosec} 30\degree - \cot 30\degree = 2 - \sqrt{3}$ ✓

ব্যাখ্যা: $x$ ও $y$ পরস্পর বিপরীত রাশি। তাই $\operatorname{cosec} A$ ও $\cot A$-কে $x$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়।

উত্তর: ক) $\dfrac{13}{12}$; খ) প্রমাণিত; গ) $A = 30\degree$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ২২, ২৩ ও ২৪-এর উত্তর (যথাক্রমে $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$) ঠিক আছে। ৯.১-এর ৫ থেকে ২১ নম্বর এবং ২৫ নম্বরের উত্তর উত্তরমালায় নেই। এগুলো নিজে হিসাব করা।