Class 9-10 Math Chapter 8 (Circle) Exercise 8.5 and Sample Questions Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র যেকোনো দুই বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু। অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র দুই কোণের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু।
• ত্রিভুজের বহির্বৃত্তের কেন্দ্র একটি অন্তঃকোণের সমদ্বিখণ্ডক ও অপর দুই কোণের বহির্দ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু।
• বৃত্তের স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব। বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শক সমান।
• ত্রিভুজের বাহু a, b, c এবং ক্ষেত্রফল K হলে পরিব্যাসার্ধ $R = \dfrac{abc}{4K}$ (এখানে $K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$)।
• বৃত্তাপের ওপর কোণ: বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক এবং অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।

অনুশীলনী ৮.৫

1. কোন বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ –

ক) সূক্ষ্মকোণ     খ) স্থূলকোণ     গ) সমকোণ     ঘ) পূরককোণ

সমাধান:

অধিচাপ হলো অর্ধবৃত্তের চেয়ে বড় চাপ। এর ওপর অন্তর্লিখিত কোণের বিপরীত চাপ অর্ধবৃত্তের চেয়ে ছোট (উপচাপ)।

উপচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $180\degree$-এর কম। বৃত্তস্থ কোণ তার অর্ধেক, অর্থাৎ $90\degree$-এর কম।

ব্যাখ্যা: অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সবসময় 90°-এর কম, অর্থাৎ সূক্ষ্মকোণ। (পাঠ্যবইয়ের অনুসিদ্ধান্ত ৫)

উত্তর: ক) সূক্ষ্মকোণ

2. পাশের চিত্রে $\dfrac{1}{2}\angle ECD$ = কত ডিগ্রি?

ক) 40°     খ) 50°     গ) 80°     ঘ) 100°

সমাধান:

$ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং $BC$ বাহুকে $E$ পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে। $\angle ECD$ বহিঃস্থ কোণ।

বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান, তাই $\angle ECD = \angle BAD = 80\degree$।

$\dfrac{1}{2}\angle ECD = \dfrac{1}{2} \times 80\degree = 40\degree$।

ব্যাখ্যা: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান। তাই $\angle ECD = 80\degree$ এবং তার অর্ধেক 40°।

উত্তর: ক) 40°

3. $ABC$ সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র $O$ হলে, $\angle BOC$ = কত ডিগ্রি?

ক) 30°     খ) 60°     গ) 90°     ঘ) 120°

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ $60\degree$, তাই $\angle BAC = 60\degree$।

$BC$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। তাই $\angle BOC = 2 \times 60\degree = 120\degree$।

ব্যাখ্যা: পরিকেন্দ্র $O$ থেকে $BC$-এর ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BAC$-এর দ্বিগুণ, অর্থাৎ 120°।

উত্তর: ঘ) 120°

4. কোনো বৃত্তে এমন একটি স্পর্শক আঁকো যেন তা নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল হয়।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত এবং $l$ একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা দেওয়া আছে।

অঙ্কনের ধাপ:

১. $O$ বিন্দু দিয়ে $l$-এর ওপর লম্ব আঁকি। এটি বৃত্তকে $T$ বিন্দুতে ছেদ করে।

২. $T$ বিন্দুতে $OT$-এর ওপর লম্ব $UV$ আঁকি।

৩. $UV$ রেখাই উদ্দিষ্ট স্পর্শক।

প্রমাণ: $OT \perp UV$ বলে $UV$ বৃত্তের স্পর্শক (স্পর্শবিন্দু $T$)। আবার $OT \perp l$ এবং $OT \perp UV$ হওয়ায় $UV \parallel l$।

ব্যাখ্যা: দুটি রেখা একই রেখার ওপর লম্ব হলে তারা সমান্তরাল। তাই $l$-এর ওপর লম্ব ব্যাসার্ধের প্রান্তে স্পর্শক আঁকলে তা $l$-এর সমান্তরাল হয়।

উত্তর: $UV$ হলো $l$-এর সমান্তরাল স্পর্শক। (ব্যাসের অপর প্রান্তে আরও একটি স্পর্শক আঁকা যায়।)

5. কোনো বৃত্তে এমন একটি স্পর্শক আঁকো যেন তা নির্দিষ্ট সরলরেখার ওপর লম্ব হয়।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত এবং $l$ নির্দিষ্ট সরলরেখা।

অঙ্কনের ধাপ:

১. $O$ বিন্দু দিয়ে $l$-এর সমান্তরাল রেখা আঁকি। এটি বৃত্তকে $T$ বিন্দুতে ছেদ করে।

২. $T$ বিন্দুতে $OT$-এর ওপর লম্ব $UV$ আঁকি।

৩. $UV$ রেখাই উদ্দিষ্ট স্পর্শক।

প্রমাণ: $UV \perp OT$ এবং $OT \parallel l$, তাই $UV \perp l$।

ব্যাখ্যা: ব্যাসার্ধ $l$-এর সমান্তরাল হলে ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব স্পর্শকটি $l$-এর ওপরও লম্ব হয়।

উত্তর: $UV$ হলো $l$-এর ওপর লম্ব স্পর্শক।

6. কোনো বৃত্তে এমন দুইটি স্পর্শক আঁকো যেন এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $60\degree$ হয়।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত দেওয়া আছে।

অঙ্কনের ধাপ:

১. $O$ বিন্দুতে $\angle AOB = 120\degree$ আঁকি, যেখানে $A, B$ বৃত্তের ওপর অবস্থিত।

২. $A$ বিন্দুতে $OA$-এর ওপর এবং $B$ বিন্দুতে $OB$-এর ওপর লম্ব আঁকি। লম্ব দুটি $P$ বিন্দুতে মিলিত হয়।

৩. $PA$ ও $PB$ হলো উদ্দিষ্ট স্পর্শক।

প্রমাণ: $PA \perp OA$ ও $PB \perp OB$, তাই চতুর্ভুজ $OAPB$-এ

$\angle APB = 360\degree - 90\degree - 90\degree - 120\degree = 60\degree$।

ব্যাখ্যা: স্পর্শক দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ ও কেন্দ্রের কোণ পরস্পর সম্পূরক। তাই 60° কোণের জন্য কেন্দ্রে 120° আঁকতে হয়।

উত্তর: $\angle APB = 60\degree$ এবং $PA, PB$ স্পর্শক।

7. $3$ সে.মি., $4$ সে.মি. ও $4.5$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁক এবং এই বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে ত্রিভুজ হয় কিনা দেখি: $3 + 4 = 7 > 4.5$, তাই ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

অঙ্কনের ধাপ:

১. $BC = 4.5$ সে.মি. আঁকি। $B$ কেন্দ্র ও 3 সে.মি. এবং $C$ কেন্দ্র ও 4 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি চাপ আঁকি। চাপ দুটি $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

২. $AB$ ও $AC$ যোগ করে $\triangle ABC$ পাই।

৩. $AB$ ও $BC$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক আঁকি। এরা $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. $O$ কেন্দ্র ও $OA$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। এটিই $\triangle ABC$-এর পরিবৃত্ত।

ব্যাসার্ধ নির্ণয়: $s = \dfrac{3 + 4 + 4.5}{2} = 5.75$

ক্ষেত্রফল $K = \sqrt{5.75 \times 2.75 \times 1.75 \times 1.25} = \sqrt{34.59} \approx 5.88$ বর্গ সে.মি.

$R = \dfrac{abc}{4K} = \dfrac{3 \times 4 \times 4.5}{4 \times 5.88} = \dfrac{54}{23.53} \approx 2.30$ সে.মি.

কাগজে $OA$ মেপে দেখলে প্রায় 2.3 সে.মি. পাওয়া যাবে।

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের তিন শীর্ষ থেকে সমান দূরের বিন্দু হলো দুই বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু। সেখান থেকে শীর্ষ পর্যন্ত দূরত্বই পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ।

উত্তর: পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ $\approx 2.30$ সে.মি.

8. $5$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ $ABC$-এর $AC$ বাহুকে স্পর্শ করিয়ে একটি বহির্বৃত্ত আঁকো।

সমাধান:

অঙ্কনের ধাপ:

১. $BC = CA = AB = 5$ সে.মি. নিয়ে সমবাহু $\triangle ABC$ আঁকি।

২. $BA$-কে $F$ পর্যন্ত এবং $BC$-কে $D$ পর্যন্ত বাড়াই।

৩. $\angle FAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং $\angle ACD$-এর সমদ্বিখণ্ডক আঁকি। এরা $E$ বিন্দুতে মিলিত হয়।

৪. $E$ থেকে $AC$-এর ওপর $EH$ লম্ব আঁকি।

৫. $E$ কেন্দ্র ও $EH$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। এটি $AC$, $BF$ ও $BD$ তিন রেখাকেই স্পর্শ করে। এটিই বহির্বৃত্ত।

ব্যাসার্ধ যাচাই: ক্ষেত্রফল $K = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = 10.825$ এবং $s = 7.5$

বহির্বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{K}{s - 5} = \dfrac{10.825}{2.5} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: কোণের সমদ্বিখণ্ডকের ওপরের প্রতিটি বিন্দু কোণের দুই বাহু থেকে সমান দূরে থাকে। তাই $E$ বিন্দু তিনটি রেখা থেকেই সমান দূরে এবং বৃত্তটি এদের স্পর্শ করে।

উত্তর: $AC$-কে স্পর্শকারী বহির্বৃত্ত আঁকা হলো, যার ব্যাসার্ধ $\approx 4.33$ সে.মি.।

9. একটি বর্গের অন্তর্বৃত্ত ও পরিবৃত্ত আঁকো।

সমাধান:

মনে করি, বর্গের বাহু 4 সে.মি. (যেকোনো মাপ নেওয়া যায়)।

অঙ্কনের ধাপ:

১. $ABCD$ বর্গ আঁকি, যার বাহু $4$ সে.মি.।

২. $AC$ ও $BD$ কর্ণ আঁকি। কর্ণ দুটি $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. $O$ থেকে $AB$-এর ওপর লম্ব টেনে ব্যাসার্ধ $r = 2$ সে.মি. পাই। $O$ কেন্দ্র ও 2 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। এটি অন্তর্বৃত্ত।

৪. $O$ কেন্দ্র ও $OA$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। এটি পরিবৃত্ত।

মাপ: $OA = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: বর্গের কর্ণ দুটি সমান ও পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $O$ চার শীর্ষ থেকে সমান দূরে। আবার $O$ চার বাহু থেকেও সমান দূরে (দূরত্ব বাহুর অর্ধেক)।

উত্তর: অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ $2\sqrt{2} \approx 2.83$ সে.মি. (বাহু 4 সে.মি. হলে)।

10. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের $AB$ ও $CD$ জ্যা দুইটি বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ $E$ বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করো যে, $\angle AEC = \dfrac{1}{2}(\angle BOD + \angle AOC)$।

সমাধান:

অঙ্কন: $B, C$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle EBC$-এ $BE$-কে $A$ পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে, তাই $\angle AEC$ বহিঃস্থ কোণ।

$\angle AEC = \angle EBC + \angle ECB = \angle ABC + \angle DCB$। (১)

$\angle ABC = \dfrac{1}{2}\angle AOC$ [$AC$ চাপের ওপর বৃত্তস্থ ও কেন্দ্রস্থ কোণ]। (২)

$\angle DCB = \dfrac{1}{2}\angle BOD$ [$BD$ চাপের ওপর]। (৩)

(২) ও (৩) (১)-এ বসিয়ে $\angle AEC = \dfrac{1}{2}\angle AOC + \dfrac{1}{2}\angle BOD = \dfrac{1}{2}(\angle BOD + \angle AOC)$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: বহিঃস্থ কোণ দুই অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি। প্রতিটি বৃত্তস্থ কোণ তার কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

উত্তর: $\angle AEC = \dfrac{1}{2}(\angle BOD + \angle AOC)$

11. দুইটি সমান ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের সাধারণ জ্যা $AB$। $B$ বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত কোন সরলরেখা যদি বৃত্ত দুইটির সাথে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে মিলিত হয়, তবে $\triangle PAQ$ সমদ্বিবাহু।

সমাধান:

মনে করি, সমান ব্যাসের দুই বৃত্ত $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং $B$ দিয়ে একটি সরলরেখা প্রথম বৃত্তকে $P$ ও দ্বিতীয় বৃত্তকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, $AP = AQ$।

অঙ্কন: $A, P$ ও $A, Q$ যোগ করি।

প্রমাণ: দুই বৃত্ত সমান এবং $AB$ দুই বৃত্তেরই সাধারণ জ্যা।

সমান বৃত্তে একই জ্যা-এর ওপর বৃত্তস্থ কোণ সমান। তাই $\angle APB = \angle AQB$।

$P, B, Q$ এক সরলরেখায় থাকায় $\angle APQ = \angle APB$ এবং $\angle AQP = \angle AQB$।

অতএব $\angle APQ = \angle AQP$।

$\triangle APQ$-এ দুই কোণ সমান হওয়ায় বিপরীত বাহু সমান, অর্থাৎ $AP = AQ$।

তাই $\triangle PAQ$ সমদ্বিবাহু। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুটি বৃত্ত সমান হলে একই জ্যা $AB$ দুই বৃত্তের পরিধিতে সমান কোণ উৎপন্ন করে। তাই $P$ ও $Q$ বিন্দুতে $AB$-এর কোণ সমান এবং ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

উত্তর: $AP = AQ$, অর্থাৎ $\triangle PAQ$ সমদ্বিবাহু।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১১ নম্বর প্রশ্নে বইয়ে $\triangle PAQ$ সমদ্বিবাহু লেখা আছে। $P$ ও $Q$ বিন্দু দুই বৃত্তের সংশ্লিষ্ট চাপে আছে ধরে (চিত্র অনুযায়ী) $\angle APB = \angle AQB$ নেওয়া হয়েছে।

12. চিত্রে $YM$ ও $ZM$ যথাক্রমে $\angle Y$ ও $\angle Z$-এর অন্তর্দ্বিখণ্ডক এবং $YN$ ও $ZN$ যথাক্রমে $\angle Y$ ও $\angle Z$-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

সমাধান:

ক) দেখাও যে, $\angle MYZ + \angle NYZ = 90\degree$।

$YM$ অন্তর্দ্বিখণ্ডক, তাই $\angle MYZ = \dfrac{1}{2}\angle XYZ$।

$YN$ বহির্দ্বিখণ্ডক, তাই $\angle NYZ = \dfrac{1}{2}(180\degree - \angle XYZ)$।

যোগ করে $\angle MYZ + \angle NYZ = \dfrac{1}{2}\angle XYZ + 90\degree - \dfrac{1}{2}\angle XYZ = 90\degree$। (দেখানো হলো)

খ) প্রমাণ করো যে, $\angle YNZ = 90\degree - \dfrac{1}{2}\angle X$।

$\triangle YNZ$-এ $\angle NYZ = 90\degree - \dfrac{1}{2}\angle Y$ এবং $\angle NZY = 90\degree - \dfrac{1}{2}\angle Z$।

$\angle YNZ = 180\degree - (\angle NYZ + \angle NZY) = 180\degree - 180\degree + \dfrac{1}{2}(\angle Y + \angle Z) = \dfrac{1}{2}(\angle Y + \angle Z)$

$\angle X + \angle Y + \angle Z = 180\degree$, তাই $\angle Y + \angle Z = 180\degree - \angle X$

$\therefore \angle YNZ = \dfrac{1}{2}(180\degree - \angle X) = 90\degree - \dfrac{1}{2}\angle X$। (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ করো যে, $Y, M, Z$ ও $N$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

(ক) থেকে $\angle MYN = 90\degree$। একইভাবে $\angle MZN = 90\degree$।

চতুর্ভুজ $YMZN$-এ $\angle MYN + \angle MZN = 180\degree$।

বিপরীত কোণ সম্পূরক, তাই $Y, M, Z, N$ সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: (ক) অন্তর্দ্বিখণ্ডক ও বহির্দ্বিখণ্ডক পরস্পর লম্ব। (খ) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180° ব্যবহার করেছি। (গ) বিপরীত দুই কোণ সমকোণ হওয়ায় বিন্দু চারটি একই বৃত্তে (ব্যাস $MN$)।

উত্তর: ক) $90\degree$; খ) $\angle YNZ = 90\degree - \dfrac{1}{2}\angle X$; গ) $Y, M, Z, N$ সমবৃত্ত

13. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $4$ সে.মি., $5$ সে.মি. ও $6$ সে.মি.। উপরের তথ্য অনুযায়ী নিম্নের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

সমাধান:

ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন করো।

$4 + 5 = 9 > 6$, তাই ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

১. $BC = 6$ সে.মি. আঁকি।

২. $B$ কেন্দ্র ও 4 সে.মি. এবং $C$ কেন্দ্র ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে চাপ আঁকি। চাপ দুটি $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. $AB$ ও $AC$ যোগ করলে $\triangle ABC$ পাওয়া যায়।

খ) ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো।

১. $AB$ ও $BC$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক আঁকি। এরা $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

২. $O$ কেন্দ্র ও $OA$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। এটিই পরিবৃত্ত।

ব্যাসার্ধ যাচাই: $s = 7.5$, $K = \sqrt{7.5 \times 3.5 \times 2.5 \times 1.5} = \sqrt{98.4375} \approx 9.92$

$R = \dfrac{4 \times 5 \times 6}{4 \times 9.92} = \dfrac{120}{39.69} \approx 3.02$ সে.মি.।

গ) ত্রিভুজের পরিবৃত্তের বাইরে যেকোনো একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বৃত্তের দুইটি স্পর্শক অঙ্কন করে দেখাও যে স্পর্শকদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

মনে করি, বাইরের বিন্দু $P$ এবং পরিবৃত্তের কেন্দ্র $O$।

১. $OP$ যোগ করে মধ্যবিন্দু $M$ নির্ণয় করি।

২. $M$ কেন্দ্র ও $MO$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। এটি পরিবৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. $PA$ ও $PB$ যোগ করি। এরা স্পর্শক, কারণ $OP$ ব্যাস হওয়ায় $\angle OAP = \angle OBP = 90\degree$।

প্রমাণ: সমকোণী $\triangle OAP$ ও $\triangle OBP$-এ $OP$ সাধারণ অতিভুজ এবং $OA = OB$ (ব্যাসার্ধ)।

$\therefore \triangle OAP \cong \triangle OBP$, অতএব $PA = PB$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: ক) তিন বাহু জানা থাকলে ত্রিভুজ আঁকা যায়। খ) পরিবৃত্তের কেন্দ্র দুই বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু। গ) বাইরের বিন্দু থেকে দুই স্পর্শক সমান।

উত্তর: ক) ত্রিভুজ অঙ্কিত; খ) পরিবৃত্ত অঙ্কিত, ব্যাসার্ধ $\approx 3.02$ সে.মি.; গ) $PA = PB$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৮.৫-এ ক্ষেত্রবিশেষে বইয়ে ধাপ বা মাপ দেওয়া নেই। অঙ্কন প্রশ্নে চূড়ান্ত চিত্র এবং ব্যাসার্ধের মান নিজে হিসাব করে মেলানো হয়েছে। ১৩(গ)-তে স্পর্শক অঙ্কনের পদ্ধতি ৮.৪-এর ৫(ক)-এর মতোই।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

1. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $x$-এর মান কত?

ক) 126°     খ) 108°     গ) 72°     ঘ) 54°

সমাধান:

চিত্রে $\angle BOD = 108\degree$ এবং $x = \angle BCD$।

$BD$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $108\degree$, তাই $A$ বিন্দুতে বৃত্তস্থ কোণ $\angle BAD = \dfrac{108\degree}{2} = 54\degree$।

$ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই বিপরীত কোণ সম্পূরক।

$x = \angle BCD = 180\degree - 54\degree = 126\degree$।

ব্যাখ্যা: বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক (54°)। বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ সম্পূরক, তাই 180° - 54° = 126°।

উত্তর: ক) 126°

2. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস 8 সে.মি. এবং অপরটির ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি. হবে?

ক) 0     খ) 4     গ) 8     ঘ) 12

সমাধান:

প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= \dfrac{8}{2} = 4$ সে.মি. এবং দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= 4$ সে.মি.।

বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

দূরত্ব $= 4 + 4 = 8$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: বহিঃস্পর্শের ক্ষেত্রে দূরত্ব $r_1 + r_2$। ব্যাস 8 সে.মি. মানে ব্যাসার্ধ 4 সে.মি., তাই দূরত্ব 8 সে.মি.।

উত্তর: গ) 8

নিচের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

$AB$ ও $AC$ রেখাদ্বয় $BCD$ বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং $\angle BAC = 60\degree$।

3. $\angle BOC$-এর মান কত?

ক) 300°     খ) 270°     গ) 120°     ঘ) 90°

সমাধান:

$AB, AC$ স্পর্শক, তাই $OB \perp AB$ ও $OC \perp AC$, অর্থাৎ $\angle OBA = \angle OCA = 90\degree$।

চতুর্ভুজ $ABOC$-এর চার কোণের সমষ্টি $360\degree$

$\angle BOC = 360\degree - 90\degree - 90\degree - 60\degree = 120\degree$।

ব্যাখ্যা: স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ ও স্পর্শক লম্ব। চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি 360° থেকে 90°, 90° ও 60° বাদ দিলে 120°।

উত্তর: গ) 120°

4. $D$, $BDC$ চাপের মধ্যবিন্দু হলে–
(i) $\angle BDC = \angle BAC$
(ii) $\angle BAC = \dfrac{1}{2}\angle BOC$
(iii) $\angle BOC = \angle DBC + \angle BCD$
নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(ii) $\angle BAC = 60\degree$ এবং ৩ নং থেকে $\angle BOC = 120\degree$, তাই $\angle BAC = \dfrac{1}{2}\angle BOC$ ✓।

(i) $D$ বড় চাপ $BDC$-এর ওপর। $\angle BDC = \dfrac{1}{2}\angle BOC = 60\degree = \angle BAC$ ✓।

(iii) $D$ চাপ $BDC$-এর মধ্যবিন্দু, তাই $DB = DC$ এবং $\angle DBC = \angle BCD$।

$\triangle BDC$-এ $\angle DBC + \angle BCD = 180\degree - \angle BDC = 180\degree - 60\degree = 120\degree = \angle BOC$ ✓।

তিনটি বিবৃতিই সঠিক।

ব্যাখ্যা: কেন্দ্রস্থ কোণ 120°, বৃত্তস্থ কোণ তার অর্ধেক 60°। $D$ মধ্যবিন্দু হওয়ায় $\triangle DBC$ সমদ্বিবাহু এবং তার দুই কোণের সমষ্টি 120°।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

সৃজনশীল প্রশ্ন

5. চিত্রে, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $ABC$ বৃত্তের দুটি সমান জ্যা $AB$ ও $AC$।

সমাধান:

ক) বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ $PQRS$-এর $\angle PQR = 110\degree$ হলে, $\angle PSR$ নির্ণয় করো।

$PQRS$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং $\angle PQR, \angle PSR$ বিপরীত কোণ।

বিপরীত কোণ সম্পূরক, তাই $\angle PSR = 180\degree - \angle PQR = 180\degree - 110\degree = 70\degree$।

খ) প্রমাণ করো যে, $AB$ জ্যা-এর মধ্যবিন্দু $D$।

দেওয়া আছে $OD \perp AB$। অঙ্কন: $O, A$ ও $O, B$ যোগ করি।

সমকোণী $\triangle OAD$ ও $\triangle OBD$-এ

$\angle ODA = \angle ODB = 90\degree$

অতিভুজ $OA = OB$ [ব্যাসার্ধ]

$OD$ সাধারণ বাহু।

$\therefore \triangle OAD \cong \triangle OBD$ [অতিভুজ-বাহু]

$\therefore AD = BD$, অর্থাৎ $D$ জ্যা $AB$-এর মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ করো যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত জ্যাদ্বয় কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।

মনে করি, $OE \perp AC$। প্রমাণ করতে হবে, $OD = OE$।

(খ) অনুযায়ী $AD = \dfrac{1}{2}AB$ এবং একইভাবে $AE = \dfrac{1}{2}AC$।

$AB = AC$ (দেওয়া আছে), তাই $AD = AE$।

সমকোণী $\triangle OAD$ ও $\triangle OAE$-এ $OA$ সাধারণ অতিভুজ এবং $AD = AE$।

$\therefore \triangle OAD \cong \triangle OAE$ [অতিভুজ-বাহু]।

$\therefore OD = OE$।

অতএব জ্যা $AB$ ও $AC$ কেন্দ্র $O$ থেকে সমদূরবর্তী। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: ক) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ সম্পূরক। খ) লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। গ) সমান জ্যা-এর অর্ধেকও সমান, তাই সর্বসম ত্রিভুজ থেকে দূরত্ব সমান।

উত্তর: ক) $\angle PSR = 70\degree$; খ) ও গ) প্রমাণিত

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৫ নম্বর সৃজনশীল প্রশ্নের চিত্রে শুধু $ABC$ বৃত্ত আছে, $PQRS$ চতুর্ভুজ নেই। তাই (ক) অংশের জন্য আলাদা চিত্র দেওয়া হয়নি। চিত্রে $E$ বিন্দুটি বইয়ে দেওয়া নেই; (গ)-এর জন্য $AC$-এর ওপর $O$ থেকে লম্বের পাদবিন্দু $E$ ধরা হয়েছে।

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

6. (ক) $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $BCD$ বৃত্তের জ্যা $BC = 8$ সে.মি. ও কেন্দ্র থেকে $BC$ জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব $OP = 3$ সে.মি. হলে, $OP$-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রশ্নে $OP = 3$ সে.মি. আগেই দেওয়া আছে। তাই প্রশ্নটি সম্ভবত ব্যাসার্ধ $OB$ (বা $OC$) নির্ণয়ের জন্য। সেটি করা হলো।

$OP \perp BC$, তাই $BP = \dfrac{1}{2}BC = 4$ সে.মি. [লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে]।

সমকোণী $\triangle OPB$-এ $OB^2 = OP^2 + BP^2 = 3^2 + 4^2 = 25$

$\therefore OB = 5$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: কেন্দ্র থেকে লম্ব জ্যা-কে সমান দুই ভাগে ভাগ করে। তারপর পিথাগোরাসের সূত্রে ব্যাসার্ধ পাওয়া যায়।

উত্তর: $OP = 3$ সে.মি. (দেওয়া আছে); বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OB = 5$ সে.মি.

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৬(ক)-তে বইয়ে $OP = 3$ সে.মি. দেওয়া থাকা সত্ত্বেও $OP$-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। এটি ছাপার ভুল মনে হয়। সম্ভবত $OB$-এর (ব্যাসার্ধ) মান চাওয়া হয়েছে, যা 5 সে.মি.।

(খ) $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $ABCD$ বৃত্তের $AB$ বাহুকে বর্ধিত করলে দেখাও যে, বহিঃস্থ কোণ $\angle CBE = \angle ADC$।

সমাধান:

মনে করি, $ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের $AB$ বাহুকে $E$ পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে।

$ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই $\angle ABC + \angle ADC = 180\degree$। (১)

$ABE$ সরলরেখা, তাই $\angle ABC + \angle CBE = 180\degree$। (২)

(১) ও (২) থেকে $\angle CBE = \angle ADC$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।

উত্তর: $\angle CBE = \angle ADC$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৬(খ)-তে বইয়ে $AB$-কে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত লেখা আছে এবং $\angle DBC = \angle ADC$ দেখাতে বলা হয়েছে। $D$ আগে থেকেই শীর্ষবিন্দু, তাই এটি ছাপার ভুল মনে হয়। এখানে বর্ধিত বিন্দুকে $E$ ধরে বহিঃস্থ কোণ $\angle CBE = \angle ADC$ দেখানো হয়েছে।

(গ) পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে 3 সে.মি. ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তচাপ $PQR$-এর কেন্দ্র নির্ণয় করো।

সমাধান:

অঙ্কনের ধাপ:

১. কম্পাস 3 সে.মি. খুলে একটি বৃত্তচাপ আঁকি এবং তার ওপর $P, Q, R$ তিনটি বিন্দু নিই।

২. $PQ$ ও $QR$ যোগ করি।

৩. $PQ$ ও $QR$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক আঁকি। এরা $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. $O$-ই বৃত্তচাপের কেন্দ্র। $OP$ মাপলে 3 সে.মি. পাওয়া যায়।

প্রমাণ: $O$ বিন্দু $PQ$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ওপর, তাই $OP = OQ$। আবার $O$ বিন্দু $QR$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ওপর, তাই $OQ = OR$। অতএব $OP = OQ = OR$, অর্থাৎ $O$ কেন্দ্র।

ব্যাখ্যা: বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্র দিয়ে যায়। দুটি জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুই কেন্দ্র।

উত্তর: $O$ হলো বৃত্তচাপের কেন্দ্র; $OP = OQ = OR = 3$ সে.মি.

(ঘ) $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $ABCD$ বৃত্তের $AB$ বৃত্তচাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB$ ও $\angle ADB$ হলে, দেখাও যে, $\angle ACB = \angle ADB$।

সমাধান:

অঙ্কন: $O, A$ ও $O, B$ যোগ করি।

$AB$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB$।

$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$ [বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]। (১)

$\angle ADB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$ [একই চাপের ওপর]। (২)

(১) ও (২) থেকে $\angle ACB = \angle ADB$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: একই চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ একটাই। তাই এর ওপর সব বৃত্তস্থ কোণ সেই কোণের অর্ধেক, অর্থাৎ পরস্পর সমান।

উত্তর: $\angle ACB = \angle ADB$