Class 9-10 Math Chapter 8 (Circle) Exercise 8.4 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• বৃত্তের স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।
• বৃত্তের বাইরের কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁকা যায় এবং স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সমান।
• বাইরের বিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখা স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
• দুই বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান এবং অন্তঃস্পর্শ করলে ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।
• বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ হলো এমন চতুর্ভুজ যার চার বাহুই বৃত্তকে স্পর্শ করে।

অনুশীলনী ৮.৪

1. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু $P$ থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানা হলো। প্রমাণ করো যে, $OP$ সরলরেখা স্পর্শ-জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।

সমাধান:

মনে করি, $P$ থেকে $PA$ ও $PB$ স্পর্শক $A$ ও $B$ বিন্দুতে বৃত্তকে স্পর্শ করেছে। $AB$ স্পর্শ-জ্যা। প্রমাণ করতে হবে, $OP$ রেখা $AB$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।

অঙ্কন: $O, A$, $O, B$, $A, B$ যোগ করি।

প্রমাণ: $OA \perp PA$ ও $OB \perp PB$ [স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব]।

সমকোণী $\triangle OAP$ ও $\triangle OBP$-এ

অতিভুজ $OP$ সাধারণ এবং $OA = OB$ [ব্যাসার্ধ]

$\therefore \triangle OAP \cong \triangle OBP$ [অতিভুজ-বাহু]

$\therefore PA = PB$

$OA = OB$ এবং $PA = PB$। তাই $O$ ও $P$ দুটি বিন্দুই $AB$-এর দুই প্রান্ত থেকে সমদূরবর্তী।

যে বিন্দু দুই প্রান্ত থেকে সমদূরবর্তী, সেটি জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ওপর থাকে। তাই $OP$ রেখা $AB$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান ও দুই ব্যাসার্ধ সমান। তাই $O$ ও $P$ দুটিই $A, B$ থেকে সমান দূরে, আর সমান দূরের সব বিন্দুই লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ওপর থাকে।

উত্তর: $OP$ হলো স্পর্শ-জ্যা $AB$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।

2. প্রমাণ করো যে, দুইটি বৃত্ত এককেন্দ্রিক হলে এবং বৃহত্তর বৃত্তটির কোনো জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে স্পর্শ করলে উক্ত জ্যা স্পর্শবিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

সমাধান:

মনে করি, $O$ সাধারণ কেন্দ্র। বৃহত্তর বৃত্তের জ্যা $AB$ ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে $C$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, $AC = BC$।

অঙ্কন: $O, C$ যোগ করি।

প্রমাণ: $AB$ ক্ষুদ্রতর বৃত্তের স্পর্শক এবং $C$ স্পর্শবিন্দু। তাই $OC \perp AB$ [স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব]।

বৃহত্তর বৃত্তে $OC \perp AB$, অর্থাৎ কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর লম্ব।

তাই $AC = BC$ [কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে]। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: ছোট বৃত্তের স্পর্শক হওয়ায় জ্যাটি স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব। আবার কেন্দ্র থেকে লম্ব সবসময় জ্যা-কে সমান দুই ভাগে ভাগ করে।

উত্তর: জ্যা $AB$ স্পর্শবিন্দু $C$-তে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

3. $AB$ কোনো বৃত্তের ব্যাস এবং $BC$ ব্যাসার্ধের সমান একটি জ্যা। যদি $A$ ও $C$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর $D$ বিন্দুতে মিলিত হয়, তবে প্রমাণ করো যে, $\triangle ACD$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্র এবং $r$ ব্যাসার্ধ। $AB$ ব্যাস, $BC = r$ এবং $A, C$ বিন্দুর স্পর্শক $DA, DC$ $D$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

অঙ্কন: $O, C$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle OBC$-এ $OB = OC = BC = r$। তাই এটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং $\angle BOC = 60\degree$।

$AOB$ সরলরেখা, তাই $\angle AOC = 180\degree - 60\degree = 120\degree$।

$DA \perp OA$ এবং $DC \perp OC$, অর্থাৎ $\angle OAD = \angle OCD = 90\degree$।

চতুর্ভুজ $AOCD$-এর চার কোণের সমষ্টি $360\degree$

$\angle ADC = 360\degree - 90\degree - 90\degree - 120\degree = 60\degree$।

$DA = DC$ [বহিঃস্থ বিন্দু থেকে স্পর্শকদ্বয় সমান]।

$\triangle ACD$-এ $DA = DC$, তাই $\angle DAC = \angle DCA$

$\angle DAC = \angle DCA = \dfrac{180\degree - 60\degree}{2} = 60\degree$

তিনটি কোণই $60\degree$, তাই $\triangle ACD$ সমবাহু। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: জ্যা ব্যাসার্ধের সমান হলে কেন্দ্রে 60° কোণ পাওয়া যায়। তাই দুই স্পর্শকের মধ্যবর্তী কোণ 60° হয়। আবার স্পর্শকদ্বয় সমান, ফলে ত্রিভুজটি সমবাহু।

উত্তর: $\triangle ACD$ সমবাহু ত্রিভুজ।

4. প্রমাণ করো যে, কোনো বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত বাহু কেন্দ্রে যে দুইটি কোণ ধারণ করে, তারা পরস্পর সম্পূরক।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ $ABCD$-এর বাহুগুলো $AB, BC, CD, DA$ বৃত্তকে যথাক্রমে $E, F, G, H$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, $\angle AOB + \angle COD = 180\degree$।

অঙ্কন: $O, A$, $O, B$, $O, C$, $O, D$ এবং $O, E$, $O, F$, $O, G$, $O, H$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle AOE$ ও $\triangle AOH$ সমকোণী ($OE \perp AB$, $OH \perp AD$), $OE = OH$ (ব্যাসার্ধ) এবং $OA$ সাধারণ।

$\therefore \triangle AOE \cong \triangle AOH$ [অতিভুজ-বাহু], তাই $\angle AOE = \angle AOH$। (১)

একইভাবে $\angle BOE = \angle BOF$, $\angle COF = \angle COG$, $\angle DOG = \angle DOH$। (২)

$O$ বিন্দুর চারপাশের কোণের সমষ্টি $360\degree$

$\angle AOE + \angle AOH + \angle BOE + \angle BOF + \angle COF + \angle COG + \angle DOG + \angle DOH = 360\degree$

(১) ও (২) ব্যবহার করে $2(\angle AOE + \angle BOE + \angle COG + \angle DOG) = 360\degree$

$\therefore \angle AOE + \angle BOE + \angle COG + \angle DOG = 180\degree$

অর্থাৎ $\angle AOB + \angle COD = 180\degree$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: প্রতিটি শীর্ষ থেকে কেন্দ্রের সংযোজক রেখা শীর্ষের কোণ সমান দুই ভাগে ভাগ করে। কেন্দ্রের চারপাশের মোট 360°-এর অর্ধেকই বিপরীত দুই বাহুর কোণের সমষ্টি।

উত্তর: $\angle AOB + \angle COD = 180\degree$; একইভাবে $\angle BOC + \angle DOA = 180\degree$।

5. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে বৃত্তে $PA$ ও $PB$ দুইটি স্পর্শক।

সমাধান:

ক) উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁকো।

১. $O$ কেন্দ্র নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি এবং বৃত্তের বাইরে $P$ বিন্দু নিই।

২. $O, P$ যোগ করি এবং $OP$-এর মধ্যবিন্দু $M$ নির্ণয় করি।

৩. $M$ কেন্দ্র ও $MO$ ব্যাসার্ধ নিয়ে আরেকটি বৃত্ত আঁকি। এটি প্রথম বৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. $P, A$ এবং $P, B$ যোগ করি। $PA$ ও $PB$ হলো উদ্দিষ্ট স্পর্শক। $O, A$, $O, B$ যোগ করলে চিত্র সম্পূর্ণ হয়।

(কারণ $OP$ ব্যাস হওয়ায় $\angle OAP = 90\degree$, অর্থাৎ $PA$ ব্যাসার্ধ $OA$-এর ওপর লম্ব।)

খ) প্রমাণ করো যে, $PA = PB$।

$OA \perp PA$ ও $OB \perp PB$ [স্পর্শক ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব]।

সমকোণী $\triangle OAP$ ও $\triangle OBP$-এ অতিভুজ $OP$ সাধারণ এবং $OA = OB$ (ব্যাসার্ধ)।

$\therefore \triangle OAP \cong \triangle OBP$ [অতিভুজ-বাহু]।

$\therefore PA = PB$। (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ করো যে, $OP$ রেখাংশ স্পর্শ-জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।

মনে করি, $OP$ রেখাংশ $AB$-কে $M$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

(খ) থেকে $\triangle OAP \cong \triangle OBP$, তাই $\angle AOP = \angle BOP$।

$\triangle OAM$ ও $\triangle OBM$-এ $OA = OB$, $\angle AOM = \angle BOM$ এবং $OM$ সাধারণ।

$\therefore \triangle OAM \cong \triangle OBM$ [বাহু-কোণ-বাহু]

$\therefore AM = BM$ এবং $\angle OMA = \angle OMB$। দুটি কোণ রৈখিক জোড়া, তাই প্রতিটি $90\degree$।

অতএব $OP$ স্পর্শ-জ্যা $AB$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: (ক) $OP$-কে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত আঁকলে অর্ধবৃত্তের সমকোণ থেকে স্পর্শবিন্দু পাওয়া যায়। (খ) ও (গ) সর্বসম ত্রিভুজ ব্যবহার করে।

উত্তর: ক) চিত্র অঙ্কিত; খ) $PA = PB$; গ) $OP$ স্পর্শ-জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৫(ক)-তে চিত্র আঁকার কোনো ধাপ বইয়ে নেই। এখানে $OP$-কে ব্যাস ধরে অর্ধবৃত্ত এঁকে স্পর্শবিন্দু বের করা হয়েছে। উপরের চিত্রে শুধু চূড়ান্ত চিত্র দেখানো হয়েছে।

6. দেওয়া আছে, $O$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $PA$ ও $PB$ স্পর্শকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে $A$ ও $B$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রমাণ করো যে, $PO, \angle APB$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সমাধান:

অঙ্কন: $O, A$ ও $O, B$ যোগ করি।

প্রমাণ: $OA \perp PA$ ও $OB \perp PB$ [স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব]।

সমকোণী $\triangle OAP$ ও $\triangle OBP$-এ

অতিভুজ $OP$ সাধারণ এবং $OA = OB$ [ব্যাসার্ধ]

$\therefore \triangle OAP \cong \triangle OBP$ [অতিভুজ-বাহু]

$\therefore \angle APO = \angle BPO$

অতএব $PO$, $\angle APB$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সাধারণ ও একটি বাহু সমান হওয়ায় তারা সর্বসম। তাই $P$ বিন্দুর দুই কোণ সমান।

উত্তর: $PO$, $\angle APB$-এর সমদ্বিখণ্ডক।