Class 9-10 Math Chapter 8 (Circle) Exercise 8.3 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটি সম্পূরক হলে তার চার শীর্ষবিন্দু সমবৃত্ত (বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ)।
• কোনো রেখাংশের একই পাশে দুটি বিন্দু রেখাংশটির সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করলে বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
• একই বৃত্তের সমান বৃত্তস্থ কোণ সমান চাপ ও সমান জ্যা উৎপন্ন করে।
• ত্রিভুজের অন্তঃকোণের সমদ্বিখণ্ডক ও বহিঃকোণের সমদ্বিখণ্ডক পরস্পর লম্ব।
• অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। তাই সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ পরিবৃত্তের ব্যাস।

অনুশীলনী ৮.৩

1. $\triangle ABC$-এ $\angle B$ ও $\angle C$-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $P$ বিন্দুতে এবং বহির্দ্বিখণ্ডকদ্বয় $Q$ বিন্দুতে মিলিত হলে, প্রমাণ করো যে, $B, P, C, Q$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

সমাধান:

মনে করি, $\angle B$ ও $\angle C$-এর অন্তর্দ্বিখণ্ডক $BP, CP$ এবং বহির্দ্বিখণ্ডক $BQ, CQ$। প্রমাণ করতে হবে, $B, P, C, Q$ সমবৃত্ত।

প্রমাণ: $\angle PBQ = \angle PBC + \angle CBQ$

$= \dfrac{1}{2}\angle ABC + \dfrac{1}{2}(180\degree - \angle ABC)$

$= \dfrac{1}{2} \times 180\degree = 90\degree$। (১)

একইভাবে $\angle PCQ = 90\degree$। (২)

(১) ও (২) যোগ করে $\angle PBQ + \angle PCQ = 180\degree$।

চতুর্ভুজ $BPCQ$-এর বিপরীত কোণ দুটি সম্পূরক, তাই $B, P, C, Q$ সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: কোণের অন্তর্দ্বিখণ্ডক ও বহির্দ্বিখণ্ডক পরস্পর লম্ব। তাই $B$ ও $C$ বিন্দুতে দুটি সমকোণ পাওয়া যায়, আর বিপরীত কোণের যোগফল 180°।

উত্তর: $B, P, C, Q$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

2. $ABCD$ একটি বৃত্ত। $\angle CAB$ ও $\angle CBA$-এর সমদ্বিখণ্ডক দুইটি $P$ বিন্দুতে এবং $\angle DBA$ ও $\angle DAB$ কোণদ্বয়ের সমদ্বিখণ্ডক দুইটি $Q$ বিন্দুতে মিলিত হলে, প্রমাণ করো যে, $A, Q, P, B$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

সমাধান:

মনে করি, $\triangle ABC$-এ $P$ দুই কোণের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু এবং $\triangle ABD$-এ $Q$ দুই কোণের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু।

প্রমাণ: $\triangle APB$-এ $\angle APB = 180\degree - (\angle PAB + \angle PBA)$

$= 180\degree - \dfrac{1}{2}(\angle CAB + \angle CBA)$

$= 180\degree - \dfrac{1}{2}(180\degree - \angle ACB) = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle ACB$। (১)

একইভাবে $\triangle AQB$-এ $\angle AQB = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle ADB$। (২)

$\angle ACB = \angle ADB$ [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]।

অতএব (১) ও (২) থেকে $\angle APB = \angle AQB$।

$P, Q$ বিন্দু দুটি $AB$-এর একই পাশে। $AB$ রেখাংশ তাদের ওপর সমান কোণ উৎপন্ন করেছে।

তাই $A, Q, P, B$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: একই চাপের ওপর $C$ ও $D$ থেকে কোণ সমান। তাই $P$ ও $Q$ বিন্দু থেকে $AB$-কে দেখা কোণও সমান হয়, আর এই অবস্থায় বিন্দু চারটি একই বৃত্তে পড়ে।

উত্তর: $A, Q, P, B$ সমবৃত্ত।

3. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $AB$ ও $CD$ জ্যা দুইটি বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে সমকোণে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করো যে, $\angle AOD + \angle BOC =$ দুই সমকোণ।

সমাধান:

মনে করি, $AB$ ও $CD$ জ্যা $E$ বিন্দুতে $\angle BED = 90\degree$ কোণে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে, $\angle AOD + \angle BOC = 180\degree$।

অঙ্কন: $B, D$ ও $O, A$, $O, D$, $O, B$, $O, C$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\angle AOD = 2\angle ABD$ [$AD$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ ও বৃত্তস্থ কোণ]। (১)

$\angle BOC = 2\angle BDC$ [$BC$ চাপের ওপর]। (২)

(১) ও (২) যোগ করে $\angle AOD + \angle BOC = 2(\angle ABD + \angle BDC)$।

$\angle ABD = \angle EBD$ এবং $\angle BDC = \angle BDE$।

সমকোণী $\triangle BED$-এ $\angle EBD + \angle BDE = 90\degree$।

$\therefore \angle AOD + \angle BOC = 2 \times 90\degree = 180\degree$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই কেন্দ্রস্থ কোণ দুই বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। সমকোণী ত্রিভুজের দুই সূক্ষ্মকোণের সমষ্টি 90°, তাই ফল 180° হয়।

উত্তর: $\angle AOD + \angle BOC = 180\degree$

4. $ABCD$ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক। $AC$ রেখা যদি $\angle BAD$-এর সমদ্বিখণ্ডক হয়, তবে প্রমাণ করো যে, $BC = CD$।

সমাধান:

$ABCD$-এর বিপরীত কোণ সম্পূরক, তাই চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ। $A, B, C, D$ একই বৃত্তে আছে।

$AC$ হলো $\angle BAD$-এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle BAC = \angle CAD$।

$\angle BAC$ হলো $BC$ জ্যা-এর ওপর বৃত্তস্থ কোণ এবং $\angle CAD$ হলো $CD$ জ্যা-এর ওপর বৃত্তস্থ কোণ।

একই বৃত্তে সমান বৃত্তস্থ কোণ সমান জ্যা উৎপন্ন করে।

অতএব $BC = CD$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: বিপরীত কোণ সম্পূরক হওয়ায় চতুর্ভুজটি একটি বৃত্তে আছে। বৃত্তে সমান কোণ সমান জ্যা কেটে নেয়।

উত্তর: $BC = CD$

5. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2.5 সে.মি., $AB = 3$ সে.মি. এবং $BD, \angle ADC$-এর সমদ্বিখণ্ডক।

সমাধান:

চিত্র অনুযায়ী $BD$ কেন্দ্র $O$ দিয়ে গেছে, অর্থাৎ $BD$ ব্যাস।

ক) $AD$-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

$BD = 2 \times 2.5 = 5$ সে.মি.।

$\angle BAD = 90\degree$ [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]।

সমকোণী $\triangle ABD$-এ $AD^2 = BD^2 - AB^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$\therefore AD = 4$ সে.মি.।

খ) দেখাও যে, $\angle ADC + \angle ABC = 180\degree$।

$ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং $\angle ADC$, $\angle ABC$ বিপরীত কোণ।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ সম্পূরক, তাই $\angle ADC + \angle ABC = 180\degree$। (দেখানো হলো)

গ) প্রমাণ করো যে, $AB = BC$।

$BD, \angle ADC$-এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle ADB = \angle CDB$।

$\angle ADB$ হলো $AB$ জ্যা-এর ওপর বৃত্তস্থ কোণ এবং $\angle CDB$ হলো $BC$ জ্যা-এর ওপর বৃত্তস্থ কোণ।

সমান বৃত্তস্থ কোণ সমান জ্যা উৎপন্ন করে। তাই $AB = BC$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: ক) ব্যাস ধরে অর্ধবৃত্তের সমকোণ ও পিথাগোরাস; খ) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ধর্ম; গ) ৪ নম্বর প্রশ্নের মতো সমান কোণ থেকে সমান জ্যা।

উত্তর: ক) $AD = 4$ সে.মি.; খ) ও গ) প্রমাণিত (এখানে $AB = BC = 3$ সে.মি.)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় এই অধ্যায়ের উত্তর নেই। ৫(ক)-এর $AD = 4$ সে.মি. নিজে হিসাব করে নেওয়া। চিত্র থেকে বোঝা যায় $BD$ কেন্দ্র দিয়ে গেছে, তাই এটি ব্যাস ধরা হয়েছে।

6. সমান সমান ভূমির ওপর অবস্থিত যেকোনো দুইটি ত্রিভুজের শিরঃকোণদ্বয় সম্পূরক হলে, প্রমাণ করো যে, এদের পরিবৃত্তদ্বয় সমান হবে।

সমাধান:

মনে করি, $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$-এ $BC = EF$ এবং শিরঃকোণ $\angle A + \angle D = 180\degree$। প্রমাণ করতে হবে, দুই ত্রিভুজের পরিবৃত্ত সমান।

অঙ্কন: $\triangle DEF$-কে এমনভাবে সরাই যেন $EF$ বাহু $BC$-এর ওপর পড়ে (ভূমি সমান বলে সম্ভব) এবং $D$ বিন্দু $BC$-এর বিপরীত পাশে থাকে।

প্রমাণ: তখন $ABDC$ চতুর্ভুজে $\angle BAC + \angle BDC = 180\degree$ (দেওয়া আছে)।

বিপরীত কোণ সম্পূরক, তাই $A, B, D, C$ সমবৃত্ত।

অর্থাৎ একটি বৃত্তই $\triangle ABC$ ও $\triangle DBC$ উভয়ের পরিবৃত্ত।

$\triangle DBC$-কে আগের জায়গায় ফিরিয়ে নিলে সর্বসম ত্রিভুজের পরিবৃত্তও সর্বসম থাকে।

অতএব দুই ত্রিভুজের পরিবৃত্ত সমান। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: ভূমি সমান বলে দ্বিতীয় ত্রিভুজকে প্রথমটির ভূমির ওপর বসানো যায়। শিরঃকোণ সম্পূরক হলে দুই শীর্ষ একই বৃত্তে পড়ে, তাই একই বৃত্তই দুই ত্রিভুজকে ঘিরে থাকে।

উত্তর: দুই ত্রিভুজের পরিবৃত্ত সমান।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৬ নম্বর প্রশ্নে বইয়ে "পরিবৃত্তদ্বয় সমান" লেখা আছে। এখানে পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান, অর্থাৎ বৃত্ত দুটি সর্বসম, এই অর্থে প্রমাণ করা হয়েছে।

7. প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যেকোনো কোণের সমদ্বিখণ্ডক ও তার বিপরীত কোণের বহির্দ্বিখণ্ডক বৃত্তের ওপর ছেদ করে।

সমাধান:

মনে করি, $ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। $\angle A$-এর সমদ্বিখণ্ডক $AP$ বৃত্তকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, $\angle C$-এর বহির্দ্বিখণ্ডক $P$ বিন্দু দিয়ে যায়।

অঙ্কন: $\angle BCD$-এর অন্তর্দ্বিখণ্ডক $CQ$ আঁকি যা বৃত্তকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে। $P, Q$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\angle BAP = \angle PAD$, তাই $BP = PD$ (সমান বৃত্তস্থ কোণ সমান জ্যা কাটে)। অর্থাৎ $P$ হলো $BD$ চাপের (যে চাপে $C$ আছে) মধ্যবিন্দু।

$\angle BCQ = \angle QCD$, তাই $BQ = QD$। অর্থাৎ $Q$ হলো $BD$ চাপের (যে চাপে $A$ আছে) মধ্যবিন্দু।

$P$ ও $Q$ দুটিই $BD$ জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ওপর আছে। কিন্তু $BD$-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্র $O$ দিয়ে যায়।

তাই $PQ$ বৃত্তের ব্যাস এবং $\angle PCQ = 90\degree$ [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]।

$CQ$ হলো $\angle BCD$-এর অন্তর্দ্বিখণ্ডক এবং $CP \perp CQ$। কোণের অন্তর্দ্বিখণ্ডকের ওপর লম্ব রেখাই বহির্দ্বিখণ্ডক।

অতএব $\angle C$-এর বহির্দ্বিখণ্ডক $CP$ রেখাটি $P$ বিন্দু দিয়ে যায়। $\angle A$-এর সমদ্বিখণ্ডক ও $\angle C$-এর বহির্দ্বিখণ্ডক $P$ বিন্দুতে, অর্থাৎ বৃত্তের ওপর ছেদ করে। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: অন্তর্দ্বিখণ্ডক ও বহির্দ্বিখণ্ডক পরস্পর লম্ব। $PQ$ ব্যাস হওয়ায় $P$ বিন্দু $C$-এ সমকোণ উৎপন্ন করে, তাই $CP$ ঠিক বহির্দ্বিখণ্ডক।

উত্তর: দুই সমদ্বিখণ্ডক বৃত্তের ওপর $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।