Class 9-10 Math Chapter 8 (Circle) Exercise 8.2 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
• একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান সব বৃত্তস্থ কোণ সমান। অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
• বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির সমষ্টি 180°।
• কোনো বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r$, যেখানে $r$ ব্যাসার্ধ।
• বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যেকোনো বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।

অনুশীলনী ৮.২

1. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তে $ABCD$ একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। $AC, BD$ কর্ণদ্বয় $E$ বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করো যে, $\angle AOB + \angle COD = 2\angle AEB$।

সমাধান:

মনে করি, $ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কর্ণ $AC$ ও $BD$ পরস্পরকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

অঙ্কন: $B, C$ ও $A, O$, $B, O$, $C, O$, $D, O$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\angle AOB = 2\angle ACB$ [$AB$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]। (১)

$\angle COD = 2\angle DBC$ [$CD$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ]। (২)

(১) ও (২) যোগ করে পাই, $\angle AOB + \angle COD = 2(\angle ACB + \angle DBC)$। (৩)

$\triangle EBC$-এ $AC$ রেখা $CE$-কে $A$ পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে, তাই $\angle AEB$ বহিঃস্থ কোণ।

$\angle AEB = \angle ECB + \angle EBC = \angle ACB + \angle DBC$ [বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টির সমান]। (৪)

(৩) ও (৪) থেকে $\angle AOB + \angle COD = 2\angle AEB$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। আবার $\triangle EBC$-এর বহিঃস্থ কোণ $AEB$ দুই অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি। এ দুটি মিলিয়ে ফল পাওয়া যায়।

উত্তর: $\angle AOB + \angle COD = 2\angle AEB$

2. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $ABCD$ একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। $\angle ADB + \angle BDC =$ এক সমকোণ। প্রমাণ করো যে, $A, O, C$ এক সরলরেখায় অবস্থিত।

সমাধান:

মনে করি, $ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে $\angle ADB + \angle BDC = 90\degree$।

$BD$ কর্ণ $\angle ADC$-এর ভেতরে থাকায় $\angle ADB + \angle BDC = \angle ADC$।

তাই $\angle ADC = 90\degree$।

$\angle ADC$ হলো $AC$ চাপের ওপর বৃত্তস্থ কোণ। এর মান $90\degree$।

চাপ $AC$-এর ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $= 2 \times 90\degree = 180\degree$।

কেন্দ্রস্থ কোণ $180\degree$ হলে $A, O, C$ এক সরলরেখায় থাকে। অর্থাৎ $AC$ বৃত্তের ব্যাস। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই কোণের সমষ্টি 90° মানে $ADC$ কোণই সমকোণ। সমকোণ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ হলে তার বিপরীত বাহু $AC$ ব্যাস হয়, তাই $A, O, C$ একই সরলরেখায়।

উত্তর: $A, O, C$ এক সরলরেখায় অবস্থিত।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ২ নম্বর প্রশ্নে বইয়ে $\angle ADB + \angle BDC =$ এক সমকোণ লেখা আছে। এখানে $BD$ কর্ণ $\angle ADC$-এর ভেতরে থাকায় দুই কোণের সমষ্টিই $\angle ADC$। এটি ধরে প্রমাণ করা হয়েছে।

3. দেখাও যে, বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।

সমাধান:

মনে করি, বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম $ABCD$-এ $AD \parallel BC$। দেখাতে হবে, তির্যক বাহু $AB = CD$।

অঙ্কন: $AC$ ও $BD$ যোগ করি।

প্রমাণ: $AD \parallel BC$ এবং $AB$ ছেদক, তাই $\angle A + \angle B = 180\degree$ [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক]। (১)

$ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই $\angle A + \angle C = 180\degree$। (২)

(১) ও (২) থেকে $\angle ABC = \angle DCB$। (৩)

আবার $AD \parallel BC$ ও $AC$ ছেদক, তাই $\angle ACB = \angle CAD$ [একান্তর কোণ]।

$\angle CAD = \angle CBD$ [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]।

অতএব $\angle ACB = \angle DBC$। (৪)

$\triangle ABC$ ও $\triangle DCB$-এ

$\angle ABC = \angle DCB$ [(৩) থেকে]

$\angle ACB = \angle DBC$ [(৪) থেকে]

$BC$ সাধারণ বাহু।

$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DCB$ [কোণ-বাহু-কোণ]।

$\therefore AB = DC$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: বৃত্তে আঁকা ট্রাপিজিয়ামের ভূমিসংলগ্ন কোণ দুটি সমান হয়। তাই দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হয়ে তির্যক বাহু সমান পাওয়া যায়।

উত্তর: $AB = CD$

4. চিত্রে, $O$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $OB = 2.5$ সে.মি.।

সমাধান:

ক) $ABCD$ বৃত্তটির পরিধি নির্ণয় করো।

ব্যাসার্ধ $r = OB = 2.5$ সে.মি.।

পরিধি $= 2\pi r = 2 \times \pi \times 2.5 = 5\pi$ সে.মি.

$\pi = 3.1416$ ধরলে পরিধি $= 5 \times 3.1416 = 15.708 \approx 15.71$ সে.মি.।

খ) প্রমাণ করো যে, $\angle BAD = \dfrac{1}{2}\angle BOD$।

অঙ্কন: $A, O$ যোগ করে $F$ পর্যন্ত বাড়াই।

প্রমাণ: $\triangle OAB$-এ $OA = OB$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OAB = \angle OBA$।

$\angle BOF$ বহিঃস্থ কোণ $= \angle OAB + \angle OBA = 2\angle OAB$। (১)

একইভাবে $\triangle OAD$-এ $\angle DOF = 2\angle OAD$। (২)

(১) ও (২) যোগ করে $\angle BOF + \angle DOF = 2(\angle OAB + \angle OAD)$

অর্থাৎ $\angle BOD = 2\angle BAD$, তাই $\angle BAD = \dfrac{1}{2}\angle BOD$। (প্রমাণিত)

গ) $AC$ ও $BD$ পরস্পর $E$ বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করো যে, $\angle AOB + \angle COD = 2\angle AEB$।

$\angle AOB = 2\angle ACB$ এবং $\angle COD = 2\angle DBC$ [বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]।

যোগ করে $\angle AOB + \angle COD = 2(\angle ACB + \angle DBC)$।

$\triangle EBC$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle AEB = \angle ACB + \angle DBC$।

অতএব $\angle AOB + \angle COD = 2\angle AEB$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: ক) পরিধির সূত্র $2\pi r$; খ) কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ; গ) ১ নম্বর প্রশ্নের মতোই বহিঃস্থ কোণ ব্যবহার করেছি।

উত্তর: ক) $5\pi \approx 15.71$ সে.মি.; খ) ও গ) প্রমাণিত

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৪(খ)-তে $O$ বিন্দু $\angle BAD$-এর অভ্যন্তরে আছে ধরে চিত্র অনুযায়ী প্রমাণ করা হয়েছে। $O$ বাইরে থাকলে একই কথা কোণের বিয়োগ করে প্রমাণ করা যায়।

5. $ABCD$ বৃত্তে $AB$ ও $CD$ জ্যা দুইটি পরস্পর $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাও যে, $\triangle AED$ ও $\triangle BEC$ সদৃশকোণী।

সমাধান:

মনে করি, $AB$ ও $CD$ জ্যা $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $A, D$ এবং $B, C$ যোগ করি। দেখাতে হবে, $\triangle AED$ ও $\triangle BEC$ সদৃশকোণী।

প্রমাণ: $\triangle AED$ ও $\triangle BEC$-এ

$\angle AED = \angle BEC$ [বিপ্রতীপ কোণ]

$\angle EAD = \angle BAD$ ও $\angle ECB = \angle DCB$; এরা $BD$ চাপের ওপর একই বৃত্তাংশস্থ কোণ। তাই $\angle EAD = \angle ECB$।

$\angle ADE = \angle ADC$ ও $\angle EBC = \angle ABC$; এরা $AC$ চাপের ওপর একই বৃত্তাংশস্থ কোণ। তাই $\angle ADE = \angle EBC$।

তিন জোড়া কোণ পরস্পর সমান, তাই $\triangle AED$ ও $\triangle BEC$ সদৃশকোণী। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই ত্রিভুজের তিন জোড়া কোণ সমান হলে তারা সদৃশকোণী। এখানে এক জোড়া বিপ্রতীপ কোণ আর দুই জোড়া একই চাপের ওপর কোণ সমান।

উত্তর: $\triangle AED$ ও $\triangle BEC$ সদৃশকোণী।