Class 9-10 Math Chapter 8 (Circle) Exercise 8.1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। উল্টোভাবে, কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
• সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। আবার কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী জ্যা পরস্পর সমান। কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কম হলে জ্যা বড় হয়।
• ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
• একই চাপের ওপর বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
• একই বৃত্তাংশস্থ সব কোণ পরস্পর সমান।

অনুশীলনী ৮.১

1. প্রমাণ করো যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যা-দ্বয়ের ওপর লম্ব।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB \parallel CD$ এবং $M, N$ যথাক্রমে $AB, CD$-এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে, $MN$ কেন্দ্রগামী এবং $AB, CD$-এর ওপর লম্ব।

অঙ্কন: $O, M$ এবং $O, N$ যোগ করি।

প্রমাণ: $M$ জ্যা $AB$-এর মধ্যবিন্দু, তাই $OM \perp AB$ [কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখা জ্যা-এর ওপর লম্ব]।

একইভাবে, $ON \perp CD$।

$AB \parallel CD$ এবং $OM \perp AB$ হওয়ায় $OM \perp CD$ [দুই সমান্তরাল রেখার একটির ওপর লম্ব অপরটির ওপরও লম্ব]।

$O$ বিন্দু থেকে $CD$-এর ওপর লম্ব একটিই হতে পারে। তাই $OM$ ও $ON$ একই সরলরেখা।

অতএব $M, O, N$ এক সরলরেখায়, অর্থাৎ $MN$ কেন্দ্রগামী এবং $AB, CD$-এর ওপর লম্ব। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর মধ্যবিন্দুতে গেলে সেটি লম্ব হয়। দুই জ্যা সমান্তরাল হলে দুটি লম্ব একই রেখা হয়ে যায়, আর সেটিই কেন্দ্র দিয়ে যায়।

উত্তর: দুই সমান্তরাল জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যা-দ্বয়ের ওপর লম্ব।

2. কোনো বৃত্তের $AB$ এবং $AC$ জ্যা দুইটি $A$ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ করো যে, $AB = AC$।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $\angle OAB = \angle OAC$। প্রমাণ করতে হবে, $AB = AC$।

অঙ্কন: $O$ থেকে $AB$ ও $AC$-এর ওপর যথাক্রমে $OM$ ও $ON$ লম্ব আঁকি।

প্রমাণ: $\triangle OAM$ ও $\triangle OAN$-এ

$\angle OAM = \angle OAN$ [দেওয়া আছে]

$\angle OMA = \angle ONA = 90\degree$ [অঙ্কন অনুসারে]

$OA$ সাধারণ বাহু।

$\therefore \triangle OAM \cong \triangle OAN$ [কোণ-কোণ-বাহু]

$\therefore OM = ON$

অর্থাৎ $AB$ ও $AC$ জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।

$\therefore AB = AC$ [কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী জ্যা পরস্পর সমান]। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুটি জ্যা ব্যাসার্ধ $OA$-এর সাথে একই কোণ করলে তারা $OA$-এর দুই পাশে সমান ঢালে থাকে। তাই কেন্দ্র থেকে তাদের দূরত্ব সমান হয়, ফলে জ্যা দুটিও সমান।

উত্তর: $AB = AC$

3. কোনো বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাও যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু।

সমাধান:

মনে করি, $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90\degree$; $BC$ অতিভুজ এবং $A, B, C$ দিয়ে বৃত্ত যায়। দেখাতে হবে, বৃত্তের কেন্দ্র $BC$-এর মধ্যবিন্দু।

$\angle BAC$ হলো $BC$ চাপের ওপর বৃত্তস্থ কোণ। এর মান $90\degree$।

চাপ $BC$-এর ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $= 2 \times 90\degree = 180\degree$ [বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]।

কেন্দ্রস্থ কোণ $180\degree$ হলে কোণের বাহু দুটি একই সরলরেখায় থাকে। অর্থাৎ $B, O, C$ এক সরলরেখায় এবং $BC$ বৃত্তের ব্যাস।

ব্যাসের মধ্যবিন্দু কেন্দ্র। তাই কেন্দ্র $O$, অতিভুজ $BC$-এর মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: অতিভুজের বিপরীত কোণ সমকোণ। সমকোণ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, তাই অতিভুজই ব্যাস আর কেন্দ্র তার মধ্যবিন্দু।

উত্তর: বৃত্তের কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু।

4. দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের একটির জ্যা $AB$ অপর বৃত্তকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, $AC = BD$।

সমাধান:

মনে করি, $O$ সাধারণ কেন্দ্র। বড় বৃত্তের জ্যা $AB$ ছোট বৃত্তকে $C, D$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে, $AC = BD$।

অঙ্কন: $O$ থেকে $AB$-এর ওপর $OM$ লম্ব আঁকি।

প্রমাণ: বড় বৃত্তে $OM \perp AB$, তাই $AM = BM$ [কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে]। (১)

ছোট বৃত্তে $CD$ জ্যা এবং $OM \perp CD$, তাই $CM = DM$। (২)

(১) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই, $AM - CM = BM - DM$

অর্থাৎ $AC = BD$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: একটি লম্বই দুই বৃত্তের জ্যা-কেই সমান দুই ভাগে ভাগ করে। সমান থেকে সমান বিয়োগ করলে বাকি অংশ সমান থাকে।

উত্তর: $AC = BD$

5. বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে দেখাও যে, এদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB = CD$ এবং জ্যা দুটি $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাতে হবে, $AE = CE$ এবং $BE = DE$।

অঙ্কন: $O$ থেকে $AB, CD$-এর ওপর $OM, ON$ লম্ব আঁকি এবং $O, E$ যোগ করি।

প্রমাণ: সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী, তাই $OM = ON$।

$\triangle OME$ ও $\triangle ONE$ সমকোণী ত্রিভুজে

অতিভুজ $OE$ সাধারণ এবং $OM = ON$

$\therefore \triangle OME \cong \triangle ONE$ [অতিভুজ-বাহু]

$\therefore ME = NE$। (১)

আবার $AM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = CN$। (২)

(১) ও (২) যোগ করে $AM + ME = CN + NE$, অর্থাৎ $AE = CE$।

$AB = CD$ থেকে $AE$ ও $CE$ বাদ দিয়ে পাই $BE = DE$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমান দূরে, তাই $E$ বিন্দু থেকে দুই জ্যা-এর অংশগুলো সমান হয়। আমরা $OE$ বরাবর প্রতিসাম্য ব্যবহার করেছি।

উত্তর: $AE = CE$ এবং $BE = DE$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৫ নম্বর প্রশ্নে অংশগুলো কোনটি কোনটির সমান তা বইয়ে লেখা নেই। চিত্রের নামকরণ অনুযায়ী $AE = CE$, $BE = DE$ দেখানো হয়েছে। $E$ বিন্দুটি $M$ ও $N$ বিন্দুর যে পাশে, সেই অনুযায়ী যোগের ক্রম ঠিক রাখতে হয়।

6. দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান জ্যা অঙ্কন করলে তারা সমান্তরাল হয়।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $AB$ ব্যাস। $AC$ ও $BD$ সমান জ্যা $AB$-এর বিপরীত দিকে আঁকা হয়েছে। দেখাতে হবে, $AC \parallel BD$।

অঙ্কন: $O, C$ ও $O, D$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle AOC$ ও $\triangle BOD$-এ

$OA = OB$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

$OC = OD$ [ব্যাসার্ধ]

$AC = BD$ [দেওয়া আছে]

$\therefore \triangle AOC \cong \triangle BOD$ [বাহু-বাহু-বাহু]

$\therefore \angle OAC = \angle OBD$

এরা $AC$ ও $BD$ রেখা এবং $AB$ ছেদকের একান্তর কোণ।

একান্তর কোণ সমান, তাই $AC \parallel BD$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ায় $A$ ও $B$ বিন্দুর কোণ সমান পাওয়া যায়। এই দুটি একান্তর কোণ, তাই রেখা দুটি সমান্তরাল।

উত্তর: $AC \parallel BD$

7. দেখাও যে, বৃত্তের দুইটি জ্যা এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যাটি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB > CD$। $O$ থেকে $AB, CD$-এর ওপর লম্ব $OM, ON$। দেখাতে হবে, $OM < ON$।

প্রমাণ: $OM \perp AB$ ও $ON \perp CD$, তাই $AM = \dfrac{1}{2}AB$ এবং $CN = \dfrac{1}{2}CD$।

$AB > CD$ হওয়ায় $AM > CN$, অর্থাৎ $AM^2 > CN^2$। (১)

সমকোণী $\triangle OAM$-এ $OM^2 = OA^2 - AM^2$ এবং সমকোণী $\triangle OCN$-এ $ON^2 = OC^2 - CN^2$

কিন্তু $OA = OC$ (ব্যাসার্ধ), তাই (১) থেকে $OM^2 < ON^2$

অতএব $OM < ON$। অর্থাৎ বৃহত্তর জ্যা $AB$ কেন্দ্রের নিকটতর। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: পিথাগোরাসের সূত্রে $OM^2 = r^2 - AM^2$। $AM$ যত বড়, $OM$ তত ছোট হয়। তাই বড় জ্যা কেন্দ্রের কাছে থাকে।

উত্তর: বৃহত্তর জ্যা কেন্দ্রের নিকটতর।

8. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা $PQ = x$ সে.মি. এবং $OR \perp PQ$।

সমাধান:

চিত্রে $PS$ কেন্দ্র $O$ দিয়ে গেছে, অর্থাৎ $PS$ ব্যাস। $R$ বিন্দু $PQ$-এর মধ্যবিন্দু এবং $\angle OQR = 30\degree$।

ক) $\angle QOS$ কোণের পরিমাণ কত?

$OP = OQ$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OPQ = \angle OQP = 30\degree$।

$\triangle OPQ$-এ $\angle POQ = 180\degree - 30\degree - 30\degree = 120\degree$

$P, O, S$ এক সরলরেখায়, তাই $\angle QOS = 180\degree - 120\degree = 60\degree$।

খ) প্রমাণ কর যে, $PS$ জ্যা বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা।

$PS$ কেন্দ্রগামী, তাই $PS = 2r$ (ব্যাস)।

বৃত্তের যেকোনো জ্যা $XY$-এর জন্য $\triangle OXY$-এ $XY < OX + OY = 2r$ (ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়)।

কিন্তু $PS = 2r$। তাই $PS$ সবচেয়ে বড় জ্যা। (প্রমাণিত)

গ) $OR = \left(\dfrac{x}{2} - 2\right)$ সে.মি. হলে, $x$ এর মান নির্ণয় করো।

$R$ মধ্যবিন্দু, তাই $RQ = \dfrac{x}{2}$ সে.মি.।

সমকোণী $\triangle ORQ$-এ $\tan 30\degree = \dfrac{OR}{RQ}$

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\dfrac{x}{2} - 2}{\dfrac{x}{2}} = 1 - \dfrac{4}{x}$

$\dfrac{4}{x} = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}$

$x = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{4\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2} = 2\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 6 + 2\sqrt{3}$

যাচাই: $x \approx 9.46$, $OR = \dfrac{x}{2} - 2 \approx 2.73$ এবং $RQ \tan 30\degree = 4.73 \times 0.577 \approx 2.73$ ✓

ব্যাখ্যা: ক) সরলরেখার ওপর সরলকোণ 180°; খ) ব্যাসই সবচেয়ে লম্বা জ্যা; গ) $30\degree$ কোণের ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে সমীকরণ বানিয়েছি।

উত্তর: ক) $60\degree$; খ) প্রমাণিত; গ) $x = 6 + 2\sqrt{3} \approx 9.46$ সে.মি.

9. প্রমাণ করো যে, দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তার একই পাশে অপর দুই বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন করলে, বিন্দু চারটি সমবৃত্ত হবে।

সমাধান:

মনে করি, $AB$ রেখাংশের একই পাশে $C, D$ বিন্দু এবং $\angle ACB = \angle ADB$। প্রমাণ করতে হবে, $A, B, C, D$ সমবৃত্ত।

অঙ্কন: $A, B, C$ বিন্দু সমরেখ নয়, তাই এদের দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। ধরি $D$ বিন্দুটি এই বৃত্তের ওপর নেই।

ক্ষেত্র ১: $D$ বৃত্তের বাইরে। $AD$ রেখা বৃত্তকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে। $B, E$ যোগ করি।

$\angle AEB = \angle ACB$ [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]। কিন্তু $\angle ACB = \angle ADB$ (দেওয়া আছে), তাই $\angle AEB = \angle ADB$।

অথচ $\triangle BED$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle AEB$ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ $\angle ADB$-এর চেয়ে বড়। এটি অসম্ভব।

ক্ষেত্র ২: $D$ বৃত্তের ভেতরে। $AD$-কে বাড়ালে বৃত্তকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে। তখন $\angle AEB = \angle ACB = \angle ADB$।

কিন্তু $\triangle BDE$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle ADB > \angle AEB$। এটিও অসম্ভব।

দুই ক্ষেত্রেই বিরোধ হয়। তাই $D$ বৃত্তের ওপরই আছে। অতএব $A, B, C, D$ সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: যদি $D$ বৃত্তের ভেতরে বা বাইরে থাকত, তাহলে একটি বহিঃস্থ কোণ তার অন্তঃস্থ কোণের চেয়ে বড় হতো। কিন্তু দেওয়া আছে কোণ দুটি সমান, তাই এটি ঘটতে পারে না।

উত্তর: $A, B, C, D$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

10. প্রমাণ করো যে, বৃত্তের সমান সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB = CD = EF$ সমান জ্যা এবং এদের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $M, N, K$।

অঙ্কন: $OM, ON, OK$ যোগ করি।

প্রমাণ: $M$ মধ্যবিন্দু, তাই $OM \perp AB$, অর্থাৎ $OM$ হলো কেন্দ্র থেকে $AB$-এর দূরত্ব। একইভাবে $ON, OK$ হলো $CD, EF$-এর দূরত্ব।

সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী, তাই $OM = ON = OK = d$ (ধরি)।

অতএব $M, N, K$ সবাই $O$ কেন্দ্র এবং $d$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ওপর অবস্থিত। এই বিন্দুগুলো সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: সব সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে একই দূরত্বে থাকে। মধ্যবিন্দুগুলো সেই দূরত্বেই থাকে, তাই কেন্দ্র থেকে এদের দূরত্ব সমান এবং এরা একই বৃত্তে পড়ে।

উত্তর: সমান জ্যা-এর মধ্যবিন্দুগুলো $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তে অবস্থিত।

11. দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান্তরাল জ্যা আঁকলে তারা সমান হয়।

সমাধান:

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $AB$ ব্যাস। $AC \parallel BD$ এবং জ্যা দুটি $AB$-এর বিপরীত পাশে আছে। দেখাতে হবে, $AC = BD$।

অঙ্কন: $O, C$ ও $O, D$ যোগ করি।

প্রমাণ: $AC \parallel BD$ এবং $AB$ ছেদক, তাই $\angle OAC = \angle OBD$ [একান্তর কোণ]। (১)

$OA = OC$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OCA = \angle OAC$। (২)

$OB = OD$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle ODB = \angle OBD$। (৩)

(১), (২), (৩) থেকে $\angle OCA = \angle ODB$।

এখন $\triangle AOC$ ও $\triangle BOD$-এ $\angle OAC = \angle OBD$, $\angle OCA = \angle ODB$ এবং $OA = OB$।

$\therefore \triangle AOC \cong \triangle BOD$ [কোণ-কোণ-বাহু]।

$\therefore AC = BD$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: এটি ৬ নম্বর প্রশ্নের উল্টো। সেখানে সমান জ্যা থেকে সমান্তরাল পেয়েছি, এখানে সমান্তরাল থেকে সমান জ্যা পেলাম। চিত্র একই।

উত্তর: $AC = BD$

12. প্রমাণ করো যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে এদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে।

সমাধান:

মনে করি, বৃত্তের $AB$ ও $CD$ জ্যা পরস্পরকে $E$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে, অর্থাৎ $AE = EB$ ও $CE = ED$। প্রমাণ করতে হবে, $E$ বৃত্তের কেন্দ্র।

অঙ্কন: $A, C$, $C, B$, $B, D$ ও $D, A$ যোগ করি।

প্রমাণ: চতুর্ভুজ $ACBD$-এর কর্ণ $AB$ ও $CD$ পরস্পরকে $E$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই $ACBD$ একটি সামান্তরিক।

সামান্তরিকের বিপরীত কোণ সমান, তাই $\angle ACB = \angle ADB$। (১)

আবার $ACBD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই $\angle ACB + \angle ADB = 180\degree$। (২)

(১) ও (২) থেকে $\angle ACB = 90\degree$।

অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ, তাই $AB$ বৃত্তের ব্যাস। একইভাবে $\angle CAD = 90\degree$ ও $CD$-ও ব্যাস।

দুই ব্যাসের ছেদবিন্দুই কেন্দ্র। তাই $E$ বৃত্তটির কেন্দ্র। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে চতুর্ভুজটি সামান্তরিক হয়। বৃত্তে আঁকা সামান্তরিক সবসময় আয়ত হয়, ফলে কর্ণ দুটি ব্যাস।

উত্তর: ছেদবিন্দু $E$ বৃত্তের কেন্দ্র।