Class 9-10 Math Chapter 7 (Practical Geometry) Exercise 7.2 and Sample Questions Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• চতুর্ভুজ নির্দিষ্টভাবে আঁকতে পাঁচটি স্বাধীন উপাত্ত লাগে: চার বাহু ও এক কোণ; চার বাহু ও এক কর্ণ; তিন বাহু ও দুই কর্ণ; তিন বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত দুই কোণ; দুই বাহু ও তিন কোণ।
• কর্ণ চতুর্ভুজকে দুটি ত্রিভুজে ভাগ করে। তাই কর্ণ দেওয়া থাকলে ত্রিভুজ অঙ্কনের পদ্ধতি কাজে লাগে।
• চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি 360°।
• সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। বর্গের একটি বাহু জানলেই বর্গ আঁকা যায়।

অনুশীলনী ৭.২

1. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটির পরিমাণ দেওয়া থাকলে নিম্নের কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

ক) 60° ও 36°     খ) 40° ও 50°     গ) 30° ও 70°     ঘ) 80° ও 20°

সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ 90°। তাই বাকি দুই সূক্ষ্মকোণের সমষ্টি $180\degree - 90\degree = 90\degree$ হতে হবে।

ক) $60\degree + 36\degree = 96\degree$ ✗

খ) $40\degree + 50\degree = 90\degree$ ✓

গ) $30\degree + 70\degree = 100\degree$ ✗

ঘ) $80\degree + 20\degree = 100\degree$ ✗

ব্যাখ্যা: সমকোণী ত্রিভুজের দুই সূক্ষ্মকোণ পরস্পর পূরক কোণ, অর্থাৎ যোগফল 90°।

উত্তর: খ) 40° ও 50°

2. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4 সে.মি. ও 9 সে.মি. হলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক) 4     খ) 5     গ) 6     ঘ) 13

সমাধান:

তৃতীয় বাহু x হলে, দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় এবং অন্তর তৃতীয় বাহুর চেয়ে ছোট হতে হবে।

$9 - 4 < x < 9 + 4$, অর্থাৎ $5 < x < 13$

ক) 4 ✗ (5-এর ছোট), খ) 5 ✗ (সমান), গ) 6 ✓, ঘ) 13 ✗ (সমান)

ব্যাখ্যা: x = 5 হলে $4 + 5 = 9$, x = 13 হলে $4 + 9 = 13$। দুই ক্ষেত্রেই বাহুগুলো একই সরলরেখায় পড়ে, ত্রিভুজ হয় না।

উত্তর: গ) 6

3. নির্দিষ্ট একটি চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব যদি দেয়া থাকে— (i) চারটি বাহু ও একটি কোণ (ii) তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ (iii) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i     খ) ii     গ) i, ii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

পাঠের তালিকা অনুযায়ী পাঁচটি স্বাধীন উপাত্তের উপায়: চারটি বাহু ও একটি কোণ, চারটি বাহু ও একটি কর্ণ, তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ, তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ, দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

(i), (ii) ও (iii) তিনটিই এই তালিকায় আছে। তাই তিনটিই সঠিক।

ব্যাখ্যা: প্রতিটি ক্ষেত্রে পাঁচটি উপাত্ত আছে। যেমন (i) চার বাহু + এক কোণ = পাঁচ, (ii) তিন বাহু + দুই কোণ = পাঁচ, (iii) দুই বাহু + তিন কোণ = পাঁচ।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

প্রশ্ন ৪: নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে চতুর্ভুজ অঙ্কন করো:

৪(ক). চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি., 3.5 সে.মি., 2.5 সে.মি. ও 3 সে.মি. এবং একটি কোণ 45°।

সমাধান:

মনে করি, ABCD চতুর্ভুজে $AB = 3$, $BC = 3.5$, $CD = 2.5$, $DA = 3$ সে.মি. এবং $\angle B = 45\degree$ (AB ও BC-এর অন্তর্ভুক্ত কোণ)।

অঙ্কন:

১. $BC = 3.5$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে $\angle CBE = 45\degree$ আঁকি এবং BE থেকে $BA = 3$ সে.মি. কেটে নিই।

৩. A কে কেন্দ্র করে 3 সে.মি. এবং C কে কেন্দ্র করে 2.5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি। চাপ দুটি D বিন্দুতে ছেদ করে (AC-এর যে পাশে B নেই)।

৪. A, D এবং C, D যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।

হিসাব: $AC \approx 2.53$ সে.মি.। কোণ: $\angle A \approx 130.9\degree$, $\angle C \approx 130.2\degree$, $\angle D \approx 53.8\degree$ (যোগফল 360°)।

ব্যাখ্যা: কর্ণ AC আঁকলে চতুর্ভুজ দুটি ত্রিভুজে ভাগ হয়। △ABC-এর দুই বাহু ও মাঝের কোণ জানা, তাই AC নির্ধারিত। এরপর △ACD-এর তিন বাহু (AC, CD, DA) জানা, তাই D বিন্দু পাওয়া যায়।

উত্তর: চতুর্ভুজ ABCD, যার $AB = 3$, $BC = 3.5$, $CD = 2.5$, $DA = 3$ সে.মি. এবং $\angle B = 45\degree$।

৪(খ). চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3.5 সে.মি., 4 সে.মি., 2.5 সে.মি. ও 3.5 সে.মি. এবং একটি কর্ণ 5 সে.মি.।

সমাধান:

মনে করি, $AB = 3.5$, $BC = 4$, $CD = 2.5$, $DA = 3.5$ সে.মি. এবং কর্ণ $BD = 5$ সে.মি.।

যাচাই: △ABD-এর বাহু 3.5, 3.5, 5 এবং △BCD-এর বাহু 4, 2.5, 5। দুটি ক্ষেত্রেই দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয়টির চেয়ে বড়, তাই অঙ্কন সম্ভব।

অঙ্কন:

১. $BD = 5$ সে.মি. আঁকি।

২. B ও D কে কেন্দ্র করে 3.5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে BD-এর একই পাশে দুটি চাপ আঁকি। চাপ দুটি A বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. B কে কেন্দ্র করে 4 সে.মি. এবং D কে কেন্দ্র করে 2.5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে BD-এর অপর পাশে দুটি চাপ আঁকি। চাপ দুটি C বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. A, B; A, D; C, B এবং C, D যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।

ব্যাখ্যা: কর্ণ BD-এর দুই পাশে দুটি ত্রিভুজ আঁকা হয়েছে। দুটি ত্রিভুজের তিনটি করে বাহু জানা আছে, তাই দুটিই নির্ধারিত।

উত্তর: চতুর্ভুজ ABCD, যার $AB = 3.5$, $BC = 4$, $CD = 2.5$, $DA = 3.5$ এবং $BD = 5$ সে.মি.।

৪(গ). তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3.2 সে.মি., 3 সে.মি., 3.5 সে.মি. এবং দুইটি কর্ণ 2.8 সে.মি. ও 4.5 সে.মি.।

সমাধান:

মনে করি, $AB = 3.2$, $BC = 3$, $CD = 3.5$ সে.মি. এবং কর্ণ $BD = 2.8$, $AC = 4.5$ সে.মি.।

যাচাই: △BCD-এর বাহু 3, 3.5, 2.8 এবং △ABC-এর বাহু 3.2, 3, 4.5। দুটিই ত্রিভুজ হওয়ার শর্ত মানে।

অঙ্কন:

১. $BD = 2.8$ সে.মি. আঁকি।

২. B কে কেন্দ্র করে 3 সে.মি. এবং D কে কেন্দ্র করে 3.5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি চাপ আঁকি। এরা C বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে △BCD আঁকা হলো।

৩. B কে কেন্দ্র করে 3.2 সে.মি. এবং C কে কেন্দ্র করে 4.5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে BD-এর যে পাশে C নেই সেই পাশে দুটি চাপ আঁকি। এরা A বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. A, B; A, C এবং A, D যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।

মাপ যাচাই: $AD \approx 1.06$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: এখানে তিনটি বাহু ও দুটি কর্ণ আছে। কর্ণ BD দিয়ে প্রথমে △BCD তৈরি হয়। পরে A বিন্দু B থেকে 3.2 এবং C থেকে 4.5 সে.মি. দূরে থাকে।

উত্তর: চতুর্ভুজ ABCD, যার $AB = 3.2$, $BC = 3$, $CD = 3.5$, $BD = 2.8$, $AC = 4.5$ সে.মি.।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে বাহু ও কর্ণ কোন কোন জায়গায় বসবে তা বলা নেই। তাই এখানে AB = 3.2, BC = 3, CD = 3.5 এবং BD = 2.8, AC = 4.5 ধরা হয়েছে। অন্যভাবে বসালে আকার বদলাবে, কিন্তু অঙ্কনের পদ্ধতি একই থাকবে।

৪(ঘ). তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি., 3.5 সে.মি., 4 সে.মি. এবং দুইটি কোণ 60° ও 135°।

সমাধান:

মনে করি, $AB = 3$, $BC = 3.5$, $CD = 4$ সে.মি.। BC বাহুর দুই প্রান্তের কোণ $\angle B = 60\degree$ ও $\angle C = 135\degree$ (বাহু তিনটির অন্তর্ভুক্ত দুই কোণ)।

অঙ্কন:

১. $BC = 3.5$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে $\angle CBE = 60\degree$ এবং C বিন্দুতে $\angle BCF = 135\degree$ আঁকি (একই পাশে)।

৩. BE থেকে $BA = 3$ সে.মি. এবং CF থেকে $CD = 4$ সে.মি. কেটে নিই।

৪. A, D যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।

হিসাব: $AD \approx 4.83$ সে.মি., $\angle A \approx 122.7\degree$, $\angle D \approx 42.3\degree$ (চার কোণের যোগফল 360°)।

ব্যাখ্যা: এখানে দুই কোণ ও তিনটি বাহু সরাসরি ব্যবহার করা হয়েছে। চতুর্থ বাহু AD যোগ করলেই চতুর্ভুজ সম্পূর্ণ হয়।

উত্তর: চতুর্ভুজ ABCD, যার $AB = 3$, $BC = 3.5$, $CD = 4$ সে.মি., $\angle B = 60\degree$ ও $\angle C = 135\degree$।

প্রশ্ন ৫: নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে সামান্তরিক অঙ্কন করো:

৫(ক). দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি., 6.5 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45°।

সমাধান:

অঙ্কন:

১. যেকোনো রশ্মি AE থেকে $AC = 6.5$ সে.মি. কেটে নিই।

২. AC-এর মধ্যবিন্দু O নির্ণয় করি।

৩. O বিন্দুতে $\angle AOP = 45\degree$ আঁকি। OP-এর বিপরীত রশ্মি OQ আঁকি।

৪. OP ও OQ থেকে $OB = OD = \dfrac{4}{2} = 2$ সে.মি. কেটে নিই।

৫. A, B; B, C; C, D এবং D, A যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।

প্রমাণ: △AOB ও △COD-এ $OA = OC$, $OB = OD$ এবং $\angle AOB = \angle COD$ [বিপ্রতীপ কোণ]। তাই $\triangle AOB \cong \triangle COD$, অর্থাৎ $AB = CD$ এবং $\angle ABO = \angle CDO$ (একান্তর কোণ), তাই $AB \parallel CD$। অনুরূপভাবে $AD = BC$ এবং $AD \parallel BC$।

হিসাব: $AB = CD \approx 4.87$ সে.মি., $AD = BC \approx 2.32$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে। তাই আগে কর্ণের মধ্যবিন্দু ঠিক করে, তারপর অন্য কর্ণকে সেই বিন্দুতেই সমদ্বিখণ্ডিত করে বসাতে হয়।

উত্তর: সামান্তরিক ABCD, যার $AC = 6.5$, $BD = 4$ সে.মি. এবং $\angle AOB = 45\degree$।

৫(খ). একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. এবং দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি., 6.5 সে.মি.।

সমাধান:

মনে করি, $AB = 4$, $AC = 6.5$, $BD = 5$ সে.মি.। কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে, তাই $AO = 3.25$ এবং $BO = 2.5$ সে.মি.।

যাচাই: △AOB-এর বাহু 4, 3.25, 2.5। দুই ছোট বাহুর সমষ্টি $3.25 + 2.5 = 5.75 > 4$, তাই ত্রিভুজ হয়।

অঙ্কন:

১. $AB = 4$ সে.মি. আঁকি।

২. A কে কেন্দ্র করে 3.25 সে.মি. এবং B কে কেন্দ্র করে 2.5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে AB-এর একই পাশে দুটি চাপ আঁকি। এরা O বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. AO কে C পর্যন্ত বাড়াই যেন $OC = AO = 3.25$ হয়। BO কে D পর্যন্ত বাড়াই যেন $OD = BO = 2.5$ হয়।

৪. B, C; C, D এবং D, A যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।

হিসাব: $BC \approx 4.20$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: সামান্তরিকের কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই AO ও BO হলো কর্ণের অর্ধেক, আর সেগুলো দিয়ে △AOB আঁকা যায়।

উত্তর: সামান্তরিক ABCD, যার $AB = 4$, $AC = 6.5$, $BD = 5$ সে.মি.।

6. ABCD চতুর্ভুজের AB ও BC বাহু এবং ∠B, ∠C ও ∠D কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকো।

সমাধান:

উদাহরণ: $AB = 4$, $BC = 5$ সে.মি., $\angle B = 80\degree$, $\angle C = 95\degree$, $\angle D = 85\degree$ ধরি।

চতুর্থ কোণ: $\angle A = 360\degree - (80\degree + 95\degree + 85\degree) = 100\degree$।

অঙ্কন:

১. $BC = 5$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে $\angle CBE = 80\degree$ আঁকি এবং BE থেকে $BA = 4$ সে.মি. কেটে নিই।

৩. C বিন্দুতে BC-এর একই পাশে $\angle BCF = 95\degree$ আঁকি।

৪. A বিন্দুতে $\angle BAG = 100\degree$ আঁকি। AG ও CF রশ্মি D বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।

যাচাই: $\angle D = 360\degree - (80\degree + 95\degree + 100\degree) = 85\degree$ ✓। মাপ: $CD \approx 3.95$, $DA \approx 4.65$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: তিনটি কোণ জানলে চতুর্থ কোণ চার কোণের সমষ্টি 360° থেকে বের করা যায়। তখন দুই বাহু ও তিন কোণ দিয়ে চতুর্ভুজ আঁকা যায়।

উত্তর: চতুর্ভুজ ABCD (উদাহরণ মান): $AB = 4$, $BC = 5$, $\angle B = 80\degree$, $\angle C = 95\degree$, $\angle D = 85\degree$, $\angle A = 100\degree$।

7. ABCD চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটির ছেদবিন্দু দ্বারা কর্ণ দুইটির চারটি খণ্ডিত অংশ এবং এদের একটি কোণ যথাক্রমে OA = 4 সে.মি., OB = 5 সে.মি., OC = 3.5 সে.মি., OD = 4.5 সে.মি. ও ∠AOB = 80° দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকো।

সমাধান:

অঙ্কন:

১. যেকোনো রেখা XY-এর ওপর O বিন্দু নিই। O থেকে এক দিকে $OA = 4$ সে.মি. এবং বিপরীত দিকে $OC = 3.5$ সে.মি. কেটে A ও C পাই।

২. O বিন্দুতে $\angle AOB = 80\degree$ আঁকি এবং এই রশ্মি থেকে $OB = 5$ সে.মি. কেটে নিই।

৩. OB-এর বিপরীত রশ্মি থেকে $OD = 4.5$ সে.মি. কেটে নিই।

৪. A, B; B, C; C, D এবং D, A যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।

হিসাব: $\angle BOC = \angle AOD = 100\degree$, $\angle COD = 80\degree$। বাহু: $AB \approx 5.84$, $BC \approx 6.58$, $CD \approx 5.20$, $DA \approx 6.52$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: কর্ণ দুটি O বিন্দুতে ছেদ করে। তাই A, O, C এক রেখায় এবং B, O, D এক রেখায় থাকে। চারটি অংশের দৈর্ঘ্য ও একটি কোণ জানলে চার শীর্ষবিন্দু পাওয়া যায়।

উত্তর: চতুর্ভুজ ABCD, যার $OA = 4$, $OB = 5$, $OC = 3.5$, $OD = 4.5$ সে.মি. এবং $\angle AOB = 80\degree$।

8. রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3.5 সে.মি. ও একটি কোণ 45°; রম্বসটি আঁকো।

সমাধান:

অঙ্কন:

১. $AB = 3.5$ সে.মি. আঁকি।

২. A বিন্দুতে $\angle BAE = 45\degree$ আঁকি এবং AE থেকে $AD = 3.5$ সে.মি. কেটে নিই।

৩. B ও D কে কেন্দ্র করে 3.5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে $\angle BAD$-এর অভ্যন্তরে দুটি চাপ আঁকি। এরা C বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. B, C এবং D, C যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট রম্বস।

হিসাব: কর্ণ $AC = 2 \cdot 3.5 \cos 22.5\degree \approx 6.47$ সে.মি. এবং $BD = 2 \cdot 3.5 \sin 22.5\degree \approx 2.68$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: রম্বসের চার বাহু সমান। দুই বাহু ও মাঝের কোণ আঁকলে বাকি দুই বাহুও 3.5 সে.মি. নিয়ে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু C পাওয়া যায়।

উত্তর: রম্বস ABCD, যার প্রতিটি বাহু 3.5 সে.মি. এবং $\angle A = 45\degree$।

9. রম্বসের একটি বাহু এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকো।

সমাধান:

উদাহরণ: বাহু 5 সে.মি. এবং কর্ণ $AC = 8$ সে.মি. ধরি।

অঙ্কন:

১. $AC = 8$ সে.মি. আঁকি।

২. A ও C কে কেন্দ্র করে 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে AC-এর দুই পাশে চাপ আঁকি। চাপগুলো B ও D বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. A, B; B, C; C, D এবং D, A যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট রম্বস।

হিসাব: কর্ণ দুটি সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, তাই $OB = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$। অপর কর্ণ $BD = 6$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: রম্বসের চার বাহু সমান। কর্ণ AC-এর দুই প্রান্ত থেকে বাহুর সমান দূরত্বে দুই পাশে B ও D পাওয়া যায়।

উত্তর: রম্বস ABCD, যার বাহু 5 সে.মি. ও কর্ণ 8 সে.মি. (অপর কর্ণ 6 সে.মি.)।

10. রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকো।

সমাধান:

উদাহরণ: কর্ণ $AC = 6$ সে.মি. এবং $BD = 8$ সে.মি. ধরি।

অঙ্কন:

১. $AC = 6$ সে.মি. আঁকি।

২. AC-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক XY আঁকি। এটি AC-কে O বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. O থেকে XY-এর দুই দিকে $OB = OD = 4$ সে.মি. (BD-এর অর্ধেক) কেটে B ও D পাই।

৪. A, B; B, C; C, D এবং D, A যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট রম্বস।

হিসাব: $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: রম্বসের কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই লম্বসমদ্বিখণ্ডক ব্যবহার করলে দ্বিতীয় কর্ণের অবস্থান পাওয়া যায়।

উত্তর: রম্বস ABCD (উদাহরণ মান), যার কর্ণ 6 ও 8 সে.মি. এবং প্রতিটি বাহু 5 সে.মি.।

11. বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা দেওয়া আছে। বর্গক্ষেত্রটি আঁকো।

সমাধান:

উদাহরণ: পরিসীমা $p = 16$ সে.মি. ধরি। তাহলে প্রতি বাহু $\dfrac{p}{4} = 4$ সে.মি.।

অঙ্কন:

১. $AB = 4$ সে.মি. আঁকি।

২. A বিন্দুতে AB-এর ওপর লম্ব AE আঁকি।

৩. AE থেকে $AD = 4$ সে.মি. কেটে নিই।

৪. B ও D কে কেন্দ্র করে 4 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে $\angle BAD$-এর অভ্যন্তরে দুটি চাপ আঁকি। এরা C বিন্দুতে ছেদ করে।

৫. B, C এবং D, C যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট বর্গক্ষেত্র।

ব্যাখ্যা: বর্গের চার বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ। তাই পরিসীমাকে 4 দিয়ে ভাগ করে এক বাহু পাওয়া যায়, আর সমকোণ আঁকলেই আকার নির্ধারিত হয়।

উত্তর: বর্গক্ষেত্র ABCD (উদাহরণ মান), যার প্রতিটি বাহু 4 সে.মি.।

১২. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 5 সে.মি. ও এক বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.। উপরের তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

সমাধান:

ক) ত্রিভুজটির অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী $(\text{অপর বাহু})^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$

∴ অপর বাহু $= \sqrt{9} = 3$ সে.মি.।

খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন করো।

অঙ্কন:

১. $BC = 4$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে BC-এর ওপর লম্ব BE আঁকি।

৩. C কে কেন্দ্র করে 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি, যা BE-কে A বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. A, C যোগ করি। তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ, যার $AB = 3$ সে.মি.।

গ) ত্রিভুজটির পরিসীমার সমান পরিসীমাবিশিষ্ট একটি বর্গ অঙ্কন করো।

ত্রিভুজের পরিসীমা $= 3 + 4 + 5 = 12$ সে.মি.।

বর্গের পরিসীমা 12 সে.মি. হলে প্রতি বাহু $= \dfrac{12}{4} = 3$ সে.মি.।

অঙ্কন:

১. $AB = 3$ সে.মি. আঁকি।

২. A বিন্দুতে লম্ব AE আঁকি এবং $AD = 3$ সে.মি. কেটে নিই।

৩. B ও D কে কেন্দ্র করে 3 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে $\angle BAD$-এর ভেতরে দুটি চাপ আঁকি। এরা C বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. B, C এবং D, C যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট বর্গক্ষেত্র।

ব্যাখ্যা: (ক) ত্রিভুজের তিন বাহু 3, 4, 5। (গ)-তে পরিসীমা 12 হওয়ায় বর্গের প্রতি বাহু 3 সে.মি.।

উত্তর: ক) 3 সে.মি.। খ) সমকোণী △ABC অঙ্কিত (বাহু 3, 4, 5)। গ) বর্গ ABCD, যার প্রতি বাহু 3 সে.মি.।

১৩. ABCD চতুর্ভুজের AB = 4 সে.মি., BC = 5, ∠A = 85°, ∠B = 80° এবং ∠C = 95°। উপরের তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

সমাধান:

ক) ∠D এর মান নির্ণয় করো।

চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি 360°।

$\angle D = 360\degree - (85\degree + 80\degree + 95\degree)$

$= 360\degree - 260\degree = 100\degree$

খ) প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী ABCD চতুর্ভুজটি অঙ্কন করো।

অঙ্কন:

১. $AB = 4$ সে.মি. আঁকি।

২. A বিন্দুতে $\angle BAE = 85\degree$ আঁকি।

৩. B বিন্দুতে $\angle ABF = 80\degree$ আঁকি (AB-এর একই পাশে) এবং BF থেকে $BC = 5$ সে.মি. কেটে নিই।

৪. C বিন্দুতে $\angle BCG = 95\degree$ আঁকি। CG রশ্মি AE-কে D বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।

যাচাই: মাপ নিলে $\angle D = 100\degree$ পাওয়া যাবে। বাহু: $CD \approx 2.73$, $DA \approx 4.70$ সে.মি.।

গ) প্রদত্ত বাহু দুইটিকে একটি সামান্তরিকের বাহু এবং ∠B = 80° ধরে সামান্তরিকটি অঙ্কন করো।

অঙ্কন:

১. $BC = 5$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে $\angle CBE = 80\degree$ আঁকি এবং BE থেকে $BA = 4$ সে.মি. কেটে নিই।

৩. A কে কেন্দ্র করে 5 সে.মি. এবং C কে কেন্দ্র করে 4 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি চাপ আঁকি। এরা D বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. A, D এবং C, D যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।

প্রমাণ: $AD = BC = 5$ ও $DC = AB = 4$, অর্থাৎ বিপরীত বাহুগুলো সমান। তাই ABCD সামান্তরিক।

ব্যাখ্যা: (ক) চার কোণের সমষ্টি 360° ব্যবহার করে ∠D পাওয়া গেছে। (খ)-তে চতুর্ভুজের দুই বাহু ও তিন কোণ জানা আছে। (গ)-তে বিপরীত বাহু সমান বলে সামান্তরিক হয়।

উত্তর: ক) ∠D = 100°। খ) চতুর্ভুজ ABCD অঙ্কিত। গ) সামান্তরিক ABCD অঙ্কিত।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্ন ৬, ৯, ১০ ও ১১-এ বইয়ে কোনো সংখ্যা দেওয়া নেই। তাই উদাহরণের জন্য মান ধরা হয়েছে। বইয়ে এই অধ্যায়ের উত্তরমালা নেই।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

1. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 18 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক) 36     খ) 81     গ) 162     ঘ) 324

সমাধান:

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে সমান বাহু দুটিই সমকোণ সংলগ্ন (ভূমি ও উচ্চতা)।

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 18 \times 18 = 162$ বর্গ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × (সমকোণ সংলগ্ন দুই বাহুর গুণফল)।

উত্তর: গ) 162

2. রম্বসের— (i) চারটি বাহু পরস্পর সমান (ii) বিপরীত কোণ সমান (iii) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i, ii     খ) i, iii     গ) ii, iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

রম্বসের চার বাহু সমান। (i) সঠিক।

রম্বস একটি সামান্তরিক, তাই বিপরীত কোণ সমান। (ii) সঠিক।

রম্বসের কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (iii) সঠিক।

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই রম্বসের বৈশিষ্ট্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

৩ ও ৪নং প্রশ্নের চিত্র: ABCD আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। $BF = 2$ সে.মি. এবং $EF = 3$ সে.মি.। চিত্রে F বিন্দু AB বাহুর ওপর এবং $EF \perp AB$।

3. BD কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক) 1     খ) √5     গ) √13     ঘ) 5

সমাধান:

আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই E বিন্দু আয়তক্ষেত্রের কেন্দ্র। $EF \perp AB$ হওয়ায় F হলো AB-এর মধ্যবিন্দু।

সুতরাং $AB = 2 \times BF = 4$ সে.মি. এবং $AD = 2 \times EF = 6$ সে.মি.।

△ABD সমকোণী, তাই $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ সে.মি.।

এখানে $BE = \sqrt{BF^2 + EF^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$।

ব্যাখ্যা: BD পুরো কর্ণ, BE তার অর্ধেক। বিকল্পে $\sqrt{13}$ আছে, যা BE-এর মান।

উত্তর: গ) √13 (প্রশ্নের উত্তর হিসেবে বিকল্পে এটিই আছে; আসলে এটি BE-এর মান)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: হিসাব অনুযায়ী পুরো কর্ণ $BD = 2\sqrt{13} \approx 7.21$ সে.মি., যা বিকল্পগুলোর কোনোটিই নয়। বিকল্প গ) $\sqrt{13}$ হলো অর্ধেক কর্ণ BE। তাই প্রশ্নে সম্ভবত BE বা কর্ণের অর্ধেক বোঝানো হয়েছে অথবা ছাপার ভুল আছে। বইয়ে উত্তরমালা না থাকায় নিশ্চিত করা যায়নি।

4. আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক) 8√5     খ) 24     গ) 12√5     ঘ) 32√5

সমাধান:

৩নং প্রশ্ন থেকে $AB = 4$ সে.মি. এবং $AD = 6$ সে.মি.।

ক্ষেত্রফল $= AB \times AD = 4 \times 6 = 24$ বর্গ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।

উত্তর: খ) 24

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. ও 6 সে.মি. এবং বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠x = 60° এবং ∠y = 50°।

সমাধান:

ক) 5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করো।

অঙ্কন:

১. $BC = 5$ সে.মি. আঁকি।

২. B ও C কে কেন্দ্র করে 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে BC-এর একই পাশে দুটি চাপ আঁকি। এরা A বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. A, B এবং A, C যোগ করি। তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ।

প্রমাণ: $AB = BC = CA = 5$ সে.মি. [অঙ্কন]।

খ) ট্রাপিজিয়ামটি আঁকো।

মনে করি, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু $AB = 6$ সে.মি. (বৃহত্তর) ও $CD = 4$ সে.মি. এবং $\angle A = 60\degree$, $\angle B = 50\degree$।

অঙ্কন:

১. $AB = 6$ সে.মি. আঁকি। A বিন্দুতে $\angle BAY = 60\degree$ এবং B বিন্দুতে $\angle ABZ = 50\degree$ আঁকি (একই পাশে)।

২. AB থেকে $AE = 4$ সে.মি. কেটে নিই।

৩. E বিন্দুতে AY-এর সমান্তরাল EC আঁকি, যা BZ রশ্মিকে C বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. C বিন্দুতে BA-এর সমান্তরাল CD আঁকি। CD রশ্মি AY-কে D বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট ট্রাপিজিয়াম।

প্রমাণ: $AE \parallel DC$ ও $AD \parallel EC$, তাই AECD সামান্তরিক এবং $CD = AE = 4$ সে.মি.। আবার $AB \parallel CD$, $AB = 6$, $\angle A = 60\degree$, $\angle B = 50\degree$।

হিসাব: উচ্চতা $\approx 1.41$, $AD \approx 1.63$, $BC \approx 1.84$ সে.মি.।

গ) উদ্দীপকের বাহু দুইটিকে সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ ও ∠y কে অন্তর্ভুক্ত কোণ বিবেচনা করে সামান্তরিক আঁকো।

এখানে কর্ণ $AC = 6$ সে.মি., $BD = 4$ সে.মি. এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle y = 50\degree$।

অঙ্কন:

১. $AC = 6$ সে.মি. আঁকি এবং এর মধ্যবিন্দু O নির্ণয় করি।

২. O বিন্দুতে $\angle AOP = 50\degree$ আঁকি। OP-এর বিপরীত রশ্মি OQ আঁকি।

৩. OP ও OQ থেকে $OB = OD = 2$ সে.মি. কেটে নিই।

৪. A, B; B, C; C, D এবং D, A যোগ করি। তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।

হিসাব: বাহু $AB \approx 2.30$, $BC \approx 4.55$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: (খ)-তে পরপর দুটি সমান্তরাল রেখা ব্যবহার করে ছোট সমান্তরাল বাহু 4 সে.মি. সংযুক্ত করা হয়েছে। (গ)-তে উদ্দীপকের 4 ও 6 সে.মি. বাহু দুটি কর্ণ হিসেবে ব্যবহার হয়েছে।

উত্তর: ক) সমবাহু ত্রিভুজ, বাহু 5 সে.মি.। খ) ট্রাপিজিয়াম ABCD অঙ্কিত। গ) সামান্তরিক ABCD অঙ্কিত।

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. ক) ΔDEF-এর DE = DF = 4 সে.মি. ও ∠EDF = 50° হলে, ΔDEF অঙ্কন করো।

সমাধান:

অঙ্কন:

১. $DE = 4$ সে.মি. আঁকি।

২. D বিন্দুতে $\angle EDG = 50\degree$ আঁকি এবং DG থেকে $DF = 4$ সে.মি. কেটে নিই।

৩. E, F যোগ করি। তাহলে △DEF-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

হিসাব: $EF = 2 \cdot 4 \sin 25\degree \approx 3.38$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: দুই সমান বাহু ও মাঝের কোণ দেওয়া থাকলে ত্রিভুজ একটাই হয়।

উত্তর: △DEF, যার $DE = DF = 4$ সে.মি. এবং $\angle EDF = 50\degree$।

খ) ΔPQR-এর PQ = PR = 5 সে.মি. এবং QR = 6 সে.মি. হলে, ΔPQR টি অঙ্কন করো।

সমাধান:

অঙ্কন:

১. $QR = 6$ সে.মি. আঁকি।

২. Q ও R কে কেন্দ্র করে 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে QR-এর একই পাশে দুটি চাপ আঁকি। এরা P বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. P, Q এবং P, R যোগ করি। তাহলে △PQR-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

যাচাই: $5 + 5 > 6$ ও $5 + 6 > 5$, তাই ত্রিভুজ সম্ভব। উচ্চতা $= \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: তিন বাহু জানা থাকলে ত্রিভুজ নির্দিষ্টভাবে আঁকা যায়।

উত্তর: △PQR, যার $PQ = PR = 5$, $QR = 6$ সে.মি.।

গ) রুলার-কম্পাসের সাহায্যে MN = 7 সে.মি রেখাংশের Q বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডক PQ অঙ্কন করো যেন ∠PQN = 45° হয়।

সমাধান:

মনে করি, Q বিন্দুটি MN রেখাংশের ওপর অবস্থিত (এখানে M থেকে 3 সে.মি. দূরে ধরা হয়েছে)।

অঙ্কন:

১. $MN = 7$ সে.মি. আঁকি এবং এর ওপর Q বিন্দু নিই।

২. Q বিন্দুতে MN-এর ওপর লম্ব QR আঁকি, অর্থাৎ $\angle NQR = 90\degree$।

৩. $\angle NQR$-এর সমদ্বিখণ্ডক QP আঁকি।

তাহলে QP-ই উদ্দিষ্ট সমদ্বিখণ্ডক।

প্রমাণ: QP সমকোণ NQR-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই $\angle PQN = \dfrac{1}{2} \times 90\degree = 45\degree$।

ব্যাখ্যা: 45° কোণ আঁকার সহজ উপায় হলো আগে 90° (লম্ব) আঁকা, তারপর তাকে সমদ্বিখণ্ডিত করা।

উত্তর: $\angle PQN = 45\degree$, অর্থাৎ QP সমকোণের সমদ্বিখণ্ডক।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৬(গ)-তে Q বিন্দুর অবস্থান MN-এ দেওয়া নেই। তাই যেকোনো বিন্দু Q ধরে পদ্ধতি দেখানো হয়েছে। সৃজনশীল ৫-এ বইয়ে কোনো ছবি নেই; (ক)-এর জন্য আলাদা চিত্র দেওয়া হয়নি, কারণ এটি সাধারণ সমবাহু ত্রিভুজ।