Class 9-10 Math Chapter 7 (Practical Geometry) Exercise 7.1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• ত্রিভুজ নির্দিষ্টভাবে আঁকতে তিনটি স্বাধীন উপাত্ত লাগে (যেমন তিন বাহু; দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ; দুই কোণ ও একটি বাহু)।
• তিন বাহু দিয়ে ত্রিভুজ আঁকতে হলে যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয়টির চেয়ে বড় হতে হবে।
• ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°। দুই কোণ জানা থাকলে তৃতীয় কোণ বের করা যায়।
• কোণ আঁকা, কোণের সমদ্বিখণ্ডক, রেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডক এবং লম্ব আঁকার নিয়ম আগের শ্রেণির মতোই।

অনুশীলনী ৭.১

প্রশ্ন ১: নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন করো:

১(ক). তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 3.5 সে.মি., 2.8 সে.মি.।

সমাধান:

যাচাই: $3 + 2.8 = 5.8 > 3.5$, $3 + 3.5 > 2.8$ এবং $3.5 + 2.8 > 3$। তাই ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।

অঙ্কন:

১. যেকোনো রশ্মি BX থেকে $BC = 3.5$ সে.মি. কেটে নিই।

২. B কে কেন্দ্র করে 3 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে BC-এর একই পাশে একটি বৃত্তচাপ আঁকি।

৩. C কে কেন্দ্র করে 2.8 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে আরেকটি বৃত্তচাপ আঁকি, যা আগের চাপকে A বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. A, B এবং A, C যোগ করি। তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

মাপ যাচাই: $\angle A \approx 74.1\degree$, $\angle B \approx 50.3\degree$, $\angle C \approx 55.5\degree$ (যোগফল 180°)।

ব্যাখ্যা: দুটি চাপ যেখানে ছেদ করে, সেই বিন্দু B থেকে 3 সে.মি. এবং C থেকে 2.8 সে.মি. দূরে। তাই A থেকে B ও C-এর দূরত্ব ঠিক প্রশ্নের মাপ অনুযায়ী হয়।

উত্তর: △ABC, যার $AB = 3$ সে.মি., $BC = 3.5$ সে.মি., $CA = 2.8$ সে.মি.।

১(খ). দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি., 3 সে.মি. এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°।

সমাধান:

অঙ্কন:

১. $BC = 4$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে $\angle CBE = 60\degree$ আঁকি।

৩. BE রশ্মি থেকে $BA = 3$ সে.মি. কেটে নিই।

৪. A, C যোগ করি। তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

হিসাব: $AC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cos 60\degree = 25 - 12 = 13$, তাই $AC = \sqrt{13} \approx 3.61$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: দুই বাহু ও তাদের মাঝের কোণ জানা থাকলে ত্রিভুজ একটাই হয়। এখানে তৃতীয় বাহু AC মেপে 3.61 সে.মি.-এর কাছাকাছি পাওয়া গেলে অঙ্কন ঠিক আছে।

উত্তর: △ABC, যার $BC = 4$, $BA = 3$ সে.মি. এবং $\angle B = 60\degree$।

১(গ). দুইটি কোণ 60° ও 45° এবং এদের সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.।

সমাধান:

অঙ্কন:

১. $BC = 5$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে $\angle CBE = 60\degree$ এবং C বিন্দুতে $\angle BCF = 45\degree$ আঁকি। কোণ দুটি BC-এর একই পাশে হবে।

৩. BE ও CF রশ্মি দুটি A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

হিসাব: তৃতীয় কোণ $\angle A = 180\degree - (60\degree + 45\degree) = 75\degree$। সাইন সূত্রে $AB = 5 \cdot \dfrac{\sin 45\degree}{\sin 75\degree} \approx 3.66$, $AC = 5 \cdot \dfrac{\sin 60\degree}{\sin 75\degree} \approx 4.48$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: বাহুটি যে দুটি কোণের মাঝে আছে, সেই দুই কোণের রশ্মি বাহুর দুই প্রান্ত থেকে আঁকলে তারা এক বিন্দুতে মিলবে এবং ত্রিভুজ তৈরি হবে (কো-বা-কো)।

উত্তর: △ABC, যার $\angle B = 60\degree$, $\angle C = 45\degree$ এবং $BC = 5$ সে.মি.।

১(ঘ). দুইটি কোণ 60° ও 45° এবং 45° কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.।

সমাধান:

তৃতীয় কোণ নির্ণয়: $180\degree - (60\degree + 45\degree) = 75\degree$।

মনে করি, $\angle A = 45\degree$, $\angle B = 60\degree$, $\angle C = 75\degree$। 45° কোণের বিপরীত বাহু $BC = 5$ সে.মি.। BC বাহুর দুই প্রান্তের কোণ হলো B (60°) ও C (75°)।

অঙ্কন:

১. $BC = 5$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে $\angle CBE = 60\degree$ এবং C বিন্দুতে $\angle BCF = 75\degree$ আঁকি (একই পাশে)।

৩. BE ও CF রশ্মি A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

হিসাব: $AB = 5 \cdot \dfrac{\sin 75\degree}{\sin 45\degree} \approx 6.83$, $AC = 5 \cdot \dfrac{\sin 60\degree}{\sin 45\degree} \approx 6.12$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: এখানে প্রদত্ত বাহু দুই দেওয়া কোণের সংলগ্ন নয়। তাই আগে তৃতীয় কোণ বের করলে বাহুটি দুই কোণের মাঝখানে চলে আসে এবং অঙ্কন আগের (গ)-এর মতোই সহজ হয়।

উত্তর: △ABC, যার $\angle A = 45\degree$, $\angle B = 60\degree$ (এবং $\angle C = 75\degree$), $BC = 5$ সে.মি.।

১(ঙ). দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4.5 সে.মি. ও 3.5 সে.মি. এবং দ্বিতীয় বাহুর বিপরীত কোণ 30°।

সমাধান:

মনে করি, $AB = 4.5$ সে.মি., $AC = 3.5$ সে.মি. এবং AC-এর বিপরীত কোণ $\angle B = 30\degree$।

অঙ্কন:

১. $BA = 4.5$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে $\angle ABE = 30\degree$ আঁকি।

৩. A কে কেন্দ্র করে 3.5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। চাপটি BE রশ্মিকে C ও C' দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. A, C এবং A, C' যোগ করি। তাহলে △ABC এবং △ABC' দুটিই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

কেন দুটি ত্রিভুজ? A থেকে BE রশ্মির লম্ব-দূরত্ব $4.5 \sin 30\degree = 2.25$ সে.মি., যা 3.5 সে.মি.-এর চেয়ে ছোট এবং 3.5 < 4.5। তাই চাপ রশ্মিকে দুই বিন্দুতে কাটে।

হিসাব: $\sin C = \dfrac{4.5 \sin 30\degree}{3.5} \approx 0.643$, তাই $\angle C \approx 40\degree$ (△ABC-তে, তখন $BC \approx 6.58$ সে.মি.) অথবা $\angle C' \approx 140\degree$ (△ABC'-তে, তখন $BC' \approx 1.22$ সে.মি.)।

ব্যাখ্যা: দুই বাহু ও একটি অন্তর্ভুক্ত নয় এমন কোণ দেওয়া থাকলে কখনও কখনও দুটি ত্রিভুজ সম্ভব। বইয়ের পাঠে (৫নং ধরন) এই কারণে C ও C' দুটি বিন্দু দেখানো হয়েছে।

উত্তর: দুটি ত্রিভুজ সম্ভব: △ABC (BC ≈ 6.58 সে.মি.) এবং △ABC' (BC' ≈ 1.22 সে.মি.)।

১(চ). সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও একটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি. ও 4 সে.মি.।

সমাধান:

অপর বাহু: $\sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} \approx 4.47$ সে.মি.।

অঙ্কন:

১. $BC = 4$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে BC-এর ওপর লম্ব BE আঁকি, অর্থাৎ $\angle CBE = 90\degree$।

৩. C কে কেন্দ্র করে 6 সে.মি. (অতিভুজ) ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি, যা BE রশ্মিকে A বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. A, C যোগ করি। তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজ।

মাপ যাচাই: $AB \approx 4.47$ সে.মি. এবং $AC = 6$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সবসময় সমকোণের বিপরীত এবং সবচেয়ে বড় বাহু। অতিভুজকে ব্যাসার্ধ ধরে চাপ আঁকলে লম্বের ওপর ঠিক সেই বিন্দু পাওয়া যায়।

উত্তর: সমকোণী △ABC, যার $\angle B = 90\degree$, $BC = 4$, $AC = 6$ সে.মি. এবং $AB \approx 4.47$ সে.মি.।

প্রশ্ন ২: নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন করো।

২(ক). ভূমি 3.5 সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ 60° ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি 8 সে.মি.।

সমাধান:

অঙ্কন:

১. $BC = 3.5$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে $\angle CBF = 60\degree$ আঁকি।

৩. BF রশ্মি থেকে $BD = 8$ সে.মি. (অপর দুই বাহুর সমষ্টি) কেটে নিই। C, D যোগ করি।

৪. CD-এর যে পাশে B আছে সেই পাশে C বিন্দুতে $\angle DCG = \angle BDC$ আঁকি।

৫. CG রশ্মি BD-কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

প্রমাণ: △ACD-এ $\angle ADC = \angle ACD$ [অঙ্কন অনুযায়ী], তাই $AC = AD$।

এখন △ABC-এ $\angle ABC = 60\degree$, $BC = 3.5$ এবং $BA + AC = BA + AD = BD = 8$।

মাপ যাচাই: $AB \approx 4.14$, $AC \approx 3.86$ সে.মি. (যোগফল 8)।

ব্যাখ্যা: AC = AD করার ফলে BD রেখাংশ A বিন্দুতে ভেঙে BA ও AC-এর সমষ্টির সমান হয়ে যায়। সেজন্য BD-কে অপর দুই বাহুর সমষ্টি ধরা হয়েছে।

উত্তর: △ABC, যার $BC = 3.5$, $\angle B = 60\degree$ এবং $AB + AC = 8$ সে.মি.।

২(খ). ভূমি 5 সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ 45° ও অপর দুই বাহুর অন্তর 1 সে.মি.।

সমাধান:

অঙ্কন:

১. $BC = 5$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে $\angle CBE = 45\degree$ আঁকি।

৩. BE রশ্মি থেকে $BD = 1$ সে.মি. (অপর দুই বাহুর অন্তর) কেটে নিই। C, D যোগ করি।

৪. CD-এর যে পাশে E আছে সেই পাশে C বিন্দুতে $\angle DCA = \angle EDC$ আঁকি।

৫. CA রশ্মি BE-কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

প্রমাণ: △ACD-এ $\angle ACD = \angle ADC$, তাই $AC = AD$।

সুতরাং $AB - AC = AB - AD = BD = 1$ সে.মি.।

মাপ যাচাই: $AB \approx 4.73$, $AC \approx 3.73$ সে.মি. (অন্তর 1)।

ব্যাখ্যা: এখানে A বিন্দু BD-র বাইরে (D-র পরে) পড়ে। তাই AB, BD ও AD মিলে $AB = BD + AD$। AD = AC হওয়ায় AB-AC = BD।

উত্তর: △ABC, যার $BC = 5$, $\angle B = 45\degree$ এবং $AB - AC = 1$ সে.মি.।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের "কাজ" অংশে বলা আছে, প্রদত্ত কোণ সূক্ষ্মকোণ না হলে এই পদ্ধতিতে অঙ্কন সম্ভব নয়। এখানে 45° সূক্ষ্মকোণ, তাই পদ্ধতিটি প্রযোজ্য।

২(গ). ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি যথাক্রমে 60° ও 45° ও পরিসীমা 12 সে.মি.।

সমাধান:

অঙ্কন:

১. যেকোনো রশ্মি DF থেকে $DE = 12$ সে.মি. (পরিসীমা) কেটে নিই।

২. D ও E বিন্দুতে DE-এর একই পাশে যথাক্রমে $\angle EDL = 60\degree$ এবং $\angle DEM = 45\degree$ আঁকি।

৩. কোণ দুটির সমদ্বিখণ্ডক DG ও EH আঁকি। এরা পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. A বিন্দুতে $\angle DAB = \angle ADE$ এবং $\angle EAC = \angle AED$ আঁকি। AB ও AC রশ্মি DE-কে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

প্রমাণ: △ABD-এ $\angle ADB = \angle DAB$, তাই $AB = DB$। একইভাবে △ACE-এ $CA = CE$।

সুতরাং পরিসীমা $AB + BC + CA = DB + BC + CE = DE = 12$ সে.মি.।

আবার $\angle ABC = \angle ADB + \angle DAB = 2 \cdot 30\degree = 60\degree$ এবং $\angle ACB = 2 \cdot 22.5\degree = 45\degree$।

হিসাব: $BC \approx 4.57$, $AB \approx 3.34$, $AC \approx 4.09$ সে.মি. (যোগফল 12)।

ব্যাখ্যা: D ও E থেকে সমদ্বিখণ্ডক টানলে অর্ধেক কোণ (30° ও 22.5°) পাওয়া যায়। A বিন্দুতে সেই অর্ধেক কোণ আবার বসালে △ABD ও △ACE সমদ্বিবাহু হয়, তাই DB = AB ও CE = AC হয়। এতে DE-ই পুরো পরিসীমা হয়ে যায়।

উত্তর: △ABC, যার $\angle B = 60\degree$, $\angle C = 45\degree$ এবং পরিসীমা 12 সে.মি.।

প্রশ্ন ৩ থেকে ৭ (সংখ্যা দেওয়া নেই, তাই উদাহরণের জন্য মান ধরা হয়েছে)

3. একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ এবং শীর্ষ থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।

সমাধান:

উদাহরণ: ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle x = 50\degree$, $\angle y = 60\degree$ এবং উচ্চতা $h = 3$ সে.মি. ধরি।

অঙ্কন:

১. যেকোনো সরলরেখা XY আঁকি। এর ওপর যেকোনো বিন্দু D নিই।

২. D বিন্দুতে XY-এর ওপর লম্ব আঁকি এবং তার ওপর $DA = 3$ সে.মি. নিই। (এতে A বিন্দু ভূমি থেকে 3 সে.মি. উঁচুতে)।

৩. A বিন্দু দিয়ে XY-এর সমান্তরাল রেখা PQ আঁকি।

৪. A বিন্দুতে PQ-এর সাথে $\angle PAB = \angle x$ এবং $\angle QAC = \angle y$ আঁকি (একান্তর কোণ হিসেবে)। AB ও AC রশ্মি XY-কে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

প্রমাণ: $PQ \parallel XY$, তাই একান্তর কোণ সমান: $\angle ABC = \angle PAB = 50\degree$ এবং $\angle ACB = \angle QAC = 60\degree$। আর A থেকে ভূমির লম্ব-দূরত্ব 3 সে.মি.।

হিসাব: $BC = 3 \cot 50\degree + 3 \cot 60\degree \approx 2.52 + 1.73 = 4.25$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: ভূমির দৈর্ঘ্য দেওয়া নেই, তাই ভূমি যেখানে ইচ্ছা আঁকা যায়। উচ্চতার সমান দূরত্বে একটি সমান্তরাল রেখা টানলে সেই রেখার যেকোনো বিন্দু A হলে A থেকে ভূমির দূরত্ব সবসময় 3 সে.মি. থাকে।

উত্তর: △ABC, যার $\angle B = 50\degree$, $\angle C = 60\degree$ এবং A থেকে BC-এর ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. (উদাহরণ মান)।

4. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।

সমাধান:

উদাহরণ: অতিভুজ $= 5$ সে.মি., অপর দুই বাহুর সমষ্টি $s = 7$ সে.মি. ধরি।

অঙ্কন:

১. $PQ = 7$ সে.মি. আঁকি।

২. P বিন্দুতে $\angle QPR = 45\degree$ আঁকি।

৩. Q কে কেন্দ্র করে 5 সে.মি. (অতিভুজ) ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি, যা PR রশ্মিকে S বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. S থেকে PQ-এর ওপর লম্ব SO আঁকি। এটি PQ-কে O বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে △SOQ-ই উদ্দিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রমাণ: △POS-এ $\angle P = 45\degree$ ও $\angle POS = 90\degree$, তাই $\angle PSO = 45\degree$ এবং $PO = SO$।

সুতরাং △SOQ-এ $SO + OQ = PO + OQ = PQ = 7$, আর অতিভুজ $SQ = 5$।

হিসাব: $SO^2 + OQ^2 = 25$ এবং $SO + OQ = 7$, তাই $SO \cdot OQ = 12$। বাহু দুটি 3 সে.মি. ও 4 সে.মি.।

ব্যাখ্যা: 45° কোণ বসানোর কারণে PO ও SO সমান হয়, তাই PQ-কে অন্য বাহুদুটির সমষ্টি হিসেবে ব্যবহার করা যায়। অতিভুজকে ব্যাসার্ধ ধরে S বিন্দু পাওয়া যায়। এই অঙ্কন সম্ভব হতে হলে অতিভুজ $\dfrac{s}{\sqrt{2}}$-এর চেয়ে বড় হতে হবে। এখানে 5 > 4.95।

উত্তর: সমকোণী △SOQ, যার অতিভুজ $SQ = 5$ সে.মি., অপর দুই বাহু 3 সে.মি. ও 4 সে.মি. (সমষ্টি 7)।

5. ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ, উচ্চতা ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।

সমাধান:

উদাহরণ: ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle B = 60\degree$, উচ্চতা $h = 3$ সে.মি. এবং $AB + AC = 9$ সে.মি. ধরি।

অঙ্কন:

১. যেকোনো রশ্মি BX আঁকি। B বিন্দুতে $\angle XBE = 60\degree$ আঁকি।

২. BX-এর সমান্তরাল করে BX থেকে 3 সে.মি. উচ্চতায় একটি রেখা আঁকি। এটি BE রশ্মিকে A বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. BE রশ্মি থেকে $BD = 9$ সে.মি. কেটে নিই (A বিন্দু B ও D-র মাঝে পড়বে)।

৪. A কে কেন্দ্র করে AD ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি, যা BX রশ্মিকে C বিন্দুতে ছেদ করে।

৫. A, C যোগ করি। তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

প্রমাণ: $AC = AD$ [অঙ্কন], তাই $AB + AC = AB + AD = BD = 9$ সে.মি.। আর A থেকে BC-এর লম্ব-দূরত্ব 3 সে.মি. এবং $\angle B = 60\degree$।

হিসাব: $AB = 3 \div \sin 60\degree \approx 3.46$, $AC = 9 - 3.46 = 5.54$, $BC \approx 6.38$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: উচ্চতা ও কোণ থেকে AB সরাসরি পাওয়া যায়। এরপর BD = সমষ্টি ধরে AC-এর সমান AD করলে C বিন্দু নির্ধারিত হয়ে যায়।

উত্তর: △ABC, যার $\angle B = 60\degree$, উচ্চতা 3 সে.মি. এবং $AB + AC = 9$ সে.মি. (উদাহরণ মান)।

6. সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।

সমাধান:

উদাহরণ: পরিসীমা $p = 12$ সে.মি. ধরি। তাহলে প্রতিটি বাহু $\dfrac{12}{3} = 4$ সে.মি.।

অঙ্কন (পরিসীমা ও দুই কোণ থেকে):

১. যেকোনো রশ্মি DF থেকে $DE = 12$ সে.মি. কেটে নিই।

২. D ও E বিন্দুতে DE-এর একই পাশে $\angle EDL = 60\degree$ এবং $\angle DEM = 60\degree$ আঁকি (সমবাহুর প্রতি কোণ 60°)।

৩. কোণ দুটির সমদ্বিখণ্ডক আঁকি। এরা A বিন্দুতে ছেদ করে।

৪. A বিন্দুতে $\angle DAB = \angle ADE$ এবং $\angle EAC = \angle AED$ আঁকি। AB ও AC রশ্মি DE-কে B ও C বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ।

প্রমাণ: ২(গ)-এর মতো $AB + BC + CA = DE = 12$। আবার $\angle B = \angle C = 60\degree$, তাই $\angle A = 60\degree$। সুতরাং ত্রিভুজটি সমবাহু এবং প্রতি বাহু 4 সে.মি.।

ব্যাখ্যা: সমবাহু ত্রিভুজ মানেই তিন কোণ 60°। তাই সমবাহুর পরিসীমা দেওয়া থাকলে সেটি "পরিসীমা ও ভূমি সংলগ্ন দুই কোণ" সম্পাদ্যের বিশেষ রূপ। চাইলে সহজ উপায়ে প্রতি বাহু 4 সে.মি. নিয়েও আঁকা যায়।

উত্তর: সমবাহু △ABC, যার প্রতিটি বাহু 4 সে.মি. (উদাহরণ মান: পরিসীমা 12 সে.মি.)।

7. ত্রিভুজের ভূমি, ভূমি সংলগ্ন একটি স্থূলকোণ ও অপর দুই বাহুর অন্তর দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।

সমাধান:

উদাহরণ: ভূমি $BC = 6$ সে.মি., স্থূলকোণ $\angle B = 120\degree$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $AC - AB = 5$ সে.মি. ধরি।

(স্থূলকোণ B হলে এর বিপরীত বাহু AC সবচেয়ে বড় হয়, তাই অন্তর AC − AB।)

অঙ্কন:

১. $BC = 6$ সে.মি. আঁকি।

২. B বিন্দুতে $\angle CBE = 120\degree$ আঁকি।

৩. EB রশ্মির বিপরীত দিকে (B-র অপর পাশে) $BD = 5$ সে.মি. (অপর দুই বাহুর অন্তর) কেটে নিই। C, D যোগ করি।

৪. CD-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক আঁকি। এটি BE রশ্মিকে A বিন্দুতে ছেদ করে।

৫. A, C যোগ করি। তাহলে △ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

প্রমাণ: A বিন্দু CD-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকে আছে, তাই $AC = AD$। আবার D, B, A একই রেখায় এবং B, D-র ও A-র মাঝে, তাই $AD = AB + BD$।

∴ $AC = AB + BD$, অর্থাৎ $AC - AB = BD = 5$ সে.মি.।

হিসাব: $AB = 2.75$, $AC = 7.75$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: D বিন্দুকে B-র অপর পাশে নেওয়ার কারণে AD দুটি অংশ AB ও BD দিয়ে গঠিত হয়। লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ওপর থাকা বিন্দু C ও D থেকে সমদূরবর্তী (৬.৩-এর ১৩নং প্রশ্ন), তাই AC = AD।

উত্তর: △ABC, যার $BC = 6$, $\angle B = 120\degree$ এবং $AC - AB = 5$ সে.মি. (উদাহরণ মান)।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৩ থেকে ৭ নম্বর প্রশ্নে বইয়ে কোনো সংখ্যা দেওয়া নেই এবং অধ্যায়টির উত্তরমালাও নেই। তাই প্রতিটি প্রশ্নে বুঝতে সুবিধার জন্য একটি করে উদাহরণ মান বেছে নিয়ে অঙ্কন দেখানো হয়েছে। অন্য মান নিলেও ধাপগুলো একই থাকবে। ৭ নম্বরে স্থূলকোণ 120° হলে অন্তর অবশ্যই 3 সে.মি.-এর (= BC-এর অর্ধেক) বেশি হতে হয়, তাই 5 নেওয়া হয়েছে।