Class 9-10 Math Chapter 6 (Lines, Angles and Triangles) Exercise 6.3 and Sample Questions Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়।
• ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°।
• ত্রিভুজের একটি বাহু বাড়ালে যে বহিঃস্থ কোণ হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুইটির সমষ্টির সমান।
• সর্বসমতার শর্ত: বা-কো-বা (SAS), কো-বা-কো (ASA), বা-বা-বা (SSS)। সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও অনুরূপ কোণ সমান।
• সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণ সমান এবং বড় বাহুর বিপরীত কোণ বড়।
• সমান্তরাল রেখায় একান্তর কোণ সমান, অনুরূপ কোণ সমান এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয় সম্পূরক।

অনুশীলনী ৬.৩

1. নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব (সংখ্যাগুলো দৈর্ঘ্যের এককে)?

ক) 5, 6, 7     খ) 5, 7, 14     গ) 3, 4, 7     ঘ) 2, 4, 8

সমাধান:

ত্রিভুজ হতে হলে যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে। এর জন্য দুই ছোট বাহুর সমষ্টি সবচেয়ে বড় বাহুর সাথে মিলিয়ে দেখলেই চলে।

ক) $5 + 6 = 11 > 7$ ✓

খ) $5 + 7 = 12 < 14$ ✗

গ) $3 + 4 = 7$ (বড় নয়, সমান) ✗

ঘ) $2 + 4 = 6 < 8$ ✗

ব্যাখ্যা: গ-এর ক্ষেত্রে সমষ্টি ঠিক 7 হয়, তাই বাহু তিনটি একই সরলরেখায় পড়ে যায় এবং কোনো ত্রিভুজ হয় না।

উত্তর: ক) 5, 6, 7

2. চিত্রে ∠RPS এর মান কত?

ক) 40°     খ) 70°     গ) 90°     ঘ) 110°

সমাধান:

চিত্রে QP বাহুকে S পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে। তাই $\angle RPS$ ত্রিভুজ PQR-এর বহিঃস্থ কোণ।

বহিঃস্থ কোণ = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুইটির সমষ্টি

$\angle RPS = \angle PQR + \angle PRQ$

$= 30\degree + 40\degree = 70\degree$

ব্যাখ্যা: বহিঃস্থ কোণের উপপাদ্য অনুযায়ী যে বাহু বাড়ানো হয়েছে, তার বিপরীত দুই কোণ (Q ও R) যোগ করলেই বহিঃস্থ কোণ পাওয়া যায়।

উত্তর: খ) 70°

3. একটি ত্রিভুজকে অপর একটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে যদি ত্রিভুজ দুইটি সর্বতোভাবে মিলে যায় তবে— (i) ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম (ii) ত্রিভুজ দুইটির অনুরূপ বাহু সমান (iii) অনুরূপ কোণ সমান। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i, ii     খ) i, iii     গ) ii, iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

সর্বতোভাবে মিলে যাওয়াই সর্বসমতার সংজ্ঞা, তাই (i) সঠিক।

মিলে গেলে একটির প্রতিটি বাহু অপরটির অনুরূপ বাহুর ওপর পড়ে, তাই অনুরূপ বাহুগুলো সমান। (ii) সঠিক।

একইভাবে অনুরূপ কোণগুলোও সমান। (iii) সঠিক।

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সর্বসম ত্রিভুজের সংজ্ঞা ও বৈশিষ্ট্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

4. প্রমাণ করো যে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তা সমবাহু হবে।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের AB, BC ও CA বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে F, D ও E। প্রমাণ করতে হবে যে, △DEF সমবাহু, অর্থাৎ DE = EF = FD।

প্রমাণ: △AFE, △BDF ও △CED-এ,

$AF = BD = CE$ [সমান বাহুর অর্ধেক]

$AE = BF = CD$ [সমান বাহুর অর্ধেক]

$\angle A = \angle B = \angle C = 60\degree$

∴ $\triangle AFE \cong \triangle BDF \cong \triangle CED$ [বা-কো-বা]

সুতরাং $EF = FD = DE$ [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]

অতএব, △DEF একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: বড় ত্রিভুজের তিন কোণে তিনটি ছোট ত্রিভুজ কাটা পড়ে। এদের দুই বাহু ও মাঝের কোণ হুবহু সমান, তাই তিনটিই সর্বসম। সর্বসম হওয়ায় তাদের তৃতীয় বাহুগুলো (EF, FD, DE) সমান হয়।

উত্তর: △DEF একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

5. প্রমাণ করো যে, সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি পরস্পর সমান।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা AD, BE ও CF। প্রমাণ করতে হবে যে, AD = BE = CF।

প্রমাণ: △ABD ও △BCE-এ,

$AB = BC$ [সমবাহু ত্রিভুজ]

$BD = CE$ [$BD = \dfrac{1}{2}BC$, $CE = \dfrac{1}{2}CA$ এবং $BC = CA$]

অন্তর্ভুক্ত $\angle ABD =$ অন্তর্ভুক্ত $\angle BCE = 60\degree$

∴ $\triangle ABD \cong \triangle BCE$ [বা-কো-বা]

সুতরাং $AD = BE$ [অনুরূপ বাহু]

একইভাবে, △BCE ও △CAF-এ $BC = CA$, $CE = AF$ এবং $\angle BCE = \angle CAF = 60\degree$। তাই $\triangle BCE \cong \triangle CAF$, অর্থাৎ $BE = CF$।

∴ $AD = BE = CF$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: প্রতিটি মধ্যমা একটি করে কোণ থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুতে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের সব বাহু ও কোণ সমান বলে যেকোনো দুটি মধ্যমার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট ত্রিভুজ সর্বসম হয় এবং মধ্যমাগুলো সমান আসে।

উত্তর: সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।

6. প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, △ABC-এর CB বাহুকে D পর্যন্ত এবং BC বাহুকে E পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে। ফলে বহিঃস্থ কোণ $\angle ABD$ ও $\angle ACE$ উৎপন্ন হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle ABD + \angle ACE > 180\degree$।

প্রমাণ: $\angle ABD = 180\degree - \angle ABC$ [সম্পূরক কোণ]

$\angle ACE = 180\degree - \angle ACB$ [সম্পূরক কোণ]

∴ $\angle ABD + \angle ACE = 360\degree - (\angle ABC + \angle ACB)$

কিন্তু ত্রিভুজের যেকোনো দুই কোণের সমষ্টি 180°-এর চেয়ে ছোট। কারণ $\angle ABC + \angle ACB = 180\degree - \angle BAC < 180\degree$।

∴ $\angle ABD + \angle ACE > 360\degree - 180\degree = 180\degree$

অর্থাৎ বহিঃস্থ কোণ দুইটির সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 180° − (পাশের অন্তঃস্থ কোণ)। দুটি বহিঃস্থ কোণ যোগ করলে 360° থেকে দুইটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি বাদ যায়। অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180° থেকে কম হওয়ায় ফল 180°-এর বেশি হয়।

উত্তর: প্রমাণিত।

7. △ABC এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D হলে, প্রমাণ করো যে, AB + AC > 2AD

সমাধান:

অঙ্কন: AD কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $DE = AD$ হয়। C, E যোগ করি।

প্রমাণ: △ABD ও △ECD-এ,

$BD = CD$ [D, BC-এর মধ্যবিন্দু]

$AD = DE$ [অঙ্কন অনুযায়ী]

$\angle ADB = \angle CDE$ [বিপ্রতীপ কোণ]

∴ $\triangle ABD \cong \triangle ECD$ [বা-কো-বা]

সুতরাং $AB = CE$

এখন △ACE-এ $AC + CE > AE$ [দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়]

$AC + AB > 2AD$ [$CE = AB$ এবং $AE = 2AD$]

অর্থাৎ $AB + AC > 2AD$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: AD-কে দ্বিগুণ করে AE বানালে B-এর "প্রতিচ্ছবি" C-এর পাশে E বিন্দুতে আসে। এতে AB-এর সমান একটি বাহু CE পাওয়া যায়। তখন ত্রিভুজ ACE-এ ত্রিভুজের বাহু-অসমতা কাজে লাগানো যায়।

উত্তর: প্রমাণিত।

8. চিত্রে, দেওয়া আছে, ∠C = এক সমকোণ এবং ∠B = 2∠A। প্রমাণ করো যে, AB = 2BC

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\angle C = 90\degree$ এবং $\angle B = 2\angle A$।

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°, তাই $\angle A + \angle B = 90\degree$

বা, $\angle A + 2\angle A = 90\degree$

বা, $3\angle A = 90\degree$

∴ $\angle A = 30\degree$ এবং $\angle B = 60\degree$

অঙ্কন: BC কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $CD = BC$ হয়। A, D যোগ করি।

প্রমাণ: △ABC ও △ADC-এ,

$BC = CD$ [অঙ্কন]

$AC = AC$ [সাধারণ বাহু]

$\angle ACB = \angle ACD = 90\degree$

∴ $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ [বা-কো-বা]

সুতরাং $AB = AD$ এবং $\angle ADC = \angle ABC = 60\degree$

△ABD-এর $\angle B = \angle D = 60\degree$, তাই $\angle BAD = 60\degree$। ত্রিভুজটি সমবাহু।

∴ $AB = BD = BC + CD = 2BC$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: 30°-60°-90° ত্রিভুজে ছোট বাহুটি (30° কোণের বিপরীত বাহু BC) অতিভুজের অর্ধেক। BC-কে সমান দূরত্বে বাড়িয়ে একটি সমবাহু ত্রিভুজ বানালে বিষয়টি পরিষ্কার দেখা যায়।

উত্তর: প্রমাণিত।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নে চিত্রে B বিন্দু ডান দিকে এবং C বাম দিকে আছে। এখানে সুবিধার জন্য চিত্র উল্টো করে আঁকা হয়েছে। এতে প্রমাণে কোনো পার্থক্য হয় না।

9. প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, △ABC-এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle ACD = \angle BAC + \angle ABC$।

অঙ্কন: C বিন্দু দিয়ে BA-এর সমান্তরাল করে CE আঁকি।

প্রমাণ: $BA \parallel CE$ এবং AC ছেদক। তাই $\angle ACE = \angle BAC$ [একান্তর কোণ]

আবার, $BA \parallel CE$ এবং BD ছেদক। তাই $\angle ECD = \angle ABC$ [অনুরূপ কোণ]

∴ $\angle ACE + \angle ECD = \angle BAC + \angle ABC$

অর্থাৎ $\angle ACD = \angle BAC + \angle ABC$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: C বিন্দু থেকে AB-এর সমান্তরাল রেখা টানলে বহিঃস্থ কোণ ACD দুই ভাগে ভাগ হয়। এক ভাগ ∠A-এর সমান এবং অপর ভাগ ∠B-এর সমান।

উত্তর: প্রমাণিত।

10. প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, △ABC-এ $AB > AC$। প্রমাণ করতে হবে যে, $AB - AC < BC$।

প্রমাণ: ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়। তাই △ABC-এ $AB < AC + BC$

উভয় পক্ষ থেকে AC বিয়োগ করে পাই, $AB - AC < BC$।

একইভাবে $BC - AC < AB$ এবং $BC - AB < AC$।

অর্থাৎ যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই বাহুর যোগফল তৃতীয়টির চেয়ে বেশি—এই কথাটিকে একটু সরিয়ে লিখলেই দুই বাহুর বিয়োগফল তৃতীয়টির চেয়ে কম হয়।

উত্তর: প্রমাণিত।

11. চিত্রে, ABC ত্রিভুজের ∠B = এক সমকোণ এবং D, অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করো যে, BD = ½AC

সমাধান:

অঙ্কন: BD কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $DE = BD$ হয়। A, E এবং C, E যোগ করি।

প্রমাণ: △ABD ও △CED-এ,

$AD = CD$ [D, AC-এর মধ্যবিন্দু]

$BD = DE$ [অঙ্কন]

$\angle ADB = \angle CDE$ [বিপ্রতীপ কোণ]

∴ $\triangle ABD \cong \triangle CED$ [বা-কো-বা]

সুতরাং $AB = CE$ এবং $\angle BAD = \angle ECD$

$\angle BAD$ ও $\angle ECD$ একান্তর কোণ এবং সমান, তাই $AB \parallel CE$।

এখন AB ও CE সমান্তরাল এবং BC ছেদক, তাই $\angle ABC + \angle BCE = 180\degree$

বা, $90\degree + \angle BCE = 180\degree$, অর্থাৎ $\angle BCE = 90\degree$

এবার △ABC ও △EBC-এ, $AB = CE$, $BC = BC$ এবং $\angle ABC = \angle BCE = 90\degree$

∴ $\triangle ABC \cong \triangle ECB$ [বা-কো-বা]

সুতরাং $AC = BE$

$BD = \dfrac{1}{2}BE$ [অঙ্কন অনুযায়ী]

∴ $BD = \dfrac{1}{2}AC$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু থেকে তিন শীর্ষ সমান দূরত্বে থাকে। চিত্রে B-এর "বিপরীত" E বিন্দু আঁকলে ABCE একটি আয়তক্ষেত্র হয়, যার দুই কর্ণ AC ও BE সমান এবং একে অপরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উত্তর: প্রমাণিত।

12. △ABC এ AB > AC এবং ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক AD, BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, ∠ADB স্থূলকোণ।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $AB > AC$ এবং $\angle BAD = \angle CAD = \dfrac{1}{2}\angle A$।

প্রমাণ: $AB > AC$ হওয়ায় বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তর। তাই $\angle ACB > \angle ABC$, অর্থাৎ $\angle C > \angle B$।

△ADC-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle ADB = \angle C + \dfrac{1}{2}\angle A$

△ABD-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle ADC = \angle B + \dfrac{1}{2}\angle A$

$\angle C > \angle B$ বলে $\angle ADB > \angle ADC$

কিন্তু $\angle ADB + \angle ADC = 180\degree$ [রৈখিক যুগল কোণ]

দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে এবং একটি অপরটির চেয়ে বড় হলে বড়টি 90°-এর বেশি হবে।

∴ $\angle ADB > 90\degree$, অর্থাৎ $\angle ADB$ স্থূলকোণ। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুটি কোণ মিলে 180° এবং তারা সমান নয়। একটি বড় হলে অপরটি ছোট। বড় কোণটিকে অবশ্যই 90°-এর চেয়ে বেশি হতে হবে।

উত্তর: প্রমাণিত।

13. প্রমাণ করো যে, কোনো রেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপরিস্থিত যেকোনো বিন্দু উক্ত রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, AB রেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডক MP, যা AB-কে M বিন্দুতে ছেদ করে। P ওই রেখার উপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, $PA = PB$।

অঙ্কন: P, A এবং P, B যোগ করি।

প্রমাণ: △PMA ও △PMB-এ,

$AM = BM$ [M, AB-এর মধ্যবিন্দু]

$\angle PMA = \angle PMB = 90\degree$ [PM, AB-এর ওপর লম্ব]

$PM = PM$ [সাধারণ বাহু]

∴ $\triangle PMA \cong \triangle PMB$ [বা-কো-বা]

সুতরাং $PA = PB$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: লম্বসমদ্বিখণ্ডক রেখাংশটিকে সমান দুই ভাগ করে এবং ঠিক 90° কোণে ছেদ করে। এই রেখার উপরের যেকোনো বিন্দু থেকে দুই প্রান্তের দূরত্ব তাই সমান হয়।

উত্তর: প্রমাণিত।

14. প্রমাণ করো যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শিরঃকোণের সমদ্বিখণ্ডক ভূমিকেও সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং ভূমির উপর লম্ব।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, △ABC-এ $AB = AC$ এবং শিরঃকোণ ∠A-এর সমদ্বিখণ্ডক AD, ভূমি BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $BD = CD$ এবং $AD \perp BC$।

প্রমাণ: △ABD ও △ACD-এ,

$AB = AC$ [দেওয়া আছে]

$\angle BAD = \angle CAD$ [AD, ∠A-এর সমদ্বিখণ্ডক]

$AD = AD$ [সাধারণ বাহু]

∴ $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ [বা-কো-বা]

সুতরাং $BD = CD$ [অনুরূপ বাহু] এবং $\angle ADB = \angle ADC$ [অনুরূপ কোণ]

$\angle ADB + \angle ADC = 180\degree$ [রৈখিক যুগল কোণ]

∴ $\angle ADB = \angle ADC = 90\degree$, অর্থাৎ $AD \perp BC$

অতএব, AD ভূমি BC-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং ভূমির ওপর লম্ব। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: দুই অংশে ভাগ হওয়া ত্রিভুজ দুটি আয়নার প্রতিবিম্বের মতো সর্বসম। তাই D মধ্যবিন্দু এবং পাশাপাশি দুটি সমান কোণ সরলরেখার ওপর বলে প্রতিটি 90°।

উত্তর: প্রমাণিত।

15. প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি তার পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, △ABC-এর মধ্যমা AD, BE ও CF। প্রমাণ করতে হবে যে, $AD + BE + CF < AB + BC + CA$।

প্রমাণ: ৭নং প্রশ্নের ফল অনুযায়ী (একইভাবে প্রতিটি মধ্যমার জন্য),

$AB + AC > 2AD$

$AB + BC > 2BE$

$BC + CA > 2CF$

যোগ করে পাই, $2(AB + BC + CA) > 2(AD + BE + CF)$

∴ $AD + BE + CF < AB + BC + CA$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: প্রশ্ন ৭-এ প্রমাণ করা হয়েছে, দুই বাহুর সমষ্টি তাদের মধ্যবর্তী কোণ থেকে আঁকা মধ্যমার দ্বিগুণের চেয়ে বড়। তিনটি অসমতা যোগ করলেই কাজ শেষ।

উত্তর: প্রমাণিত।

16. পরিশ্রমী পিতার স্বর্ণ খুঁজে পাওয়ার সমস্যা: পুত্র কি স্বর্ণ খুঁজে পাবে? কীভাবে?

সমাধান:

ধরা যাক, বৃক্ষ A ও B এবং পাথর S। প্রথমে S থেকে A পর্যন্ত গিয়ে লম্বভাবে ঘুরে SA-এর সমান দূরত্ব হেঁটে C পাওয়া যায়। এরপর S থেকে B পর্যন্ত গিয়ে বিপরীত দিকে লম্বভাবে ঘুরে SB-এর সমান দূরত্ব হেঁটে D পাওয়া যায়। স্বর্ণ G হলো CD-এর মধ্যবিন্দু।

দুই ক্ষেত্রে বিপরীত দিকে ঘোরার কথা ধরা হয়েছে। এটিই এই ধাঁধার প্রচলিত রূপ।

S-কে মূলবিন্দু ধরে A ও B-এর স্থানাঙ্ক $A(a, b)$ ও $B(c, d)$ নিই।

90° ঘুরিয়ে একই দূরত্ব হাঁটলে $C = (a - b, a + b)$

বিপরীত দিকে ঘুরলে $D = (c + d, d - c)$

CD-এর মধ্যবিন্দু $G = \left(\dfrac{a - b + c + d}{2}, \dfrac{a + b + d - c}{2}\right)$

এটিকে ভেঙে লিখলে $G = \dfrac{A + B}{2} + \dfrac{1}{2}(d - b, a - c)$

অর্থাৎ G-এর অবস্থান শুধু A ও B-এর ওপর নির্ভর করে, S-এর ওপর নয়।

আরও দেখা যায়, $GA = GB$ এবং $\angle AGB = 90\degree$। অর্থাৎ AB-কে অতিভুজ ধরে একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণী শীর্ষবিন্দুতে স্বর্ণ আছে।

অঙ্কনের উপায়: AB-এর মধ্যবিন্দু M নিই। M বিন্দুতে AB-এর ওপর লম্ব আঁকি এবং সেই লম্বে $MG = \dfrac{1}{2}AB$ নিই (A, B থেকে হাঁটার ঘোরার দিক অনুযায়ী, S-এর বিপরীত পাশে)। G-ই স্বর্ণের স্থান।

ব্যাখ্যা: পাথর S হারিয়ে গেলেও বৃক্ষ A ও B পাওয়া গেছে। স্বর্ণের স্থান S-এর ওপর নির্ভর করে না বলে পুত্র A ও B থেকেই স্বর্ণ খুঁজে বের করতে পারবে। কাজটি এভাবে করবে: প্রথমে AB মাপবে, মধ্যবিন্দু M চিহ্নিত করবে, M থেকে লম্ব ধরে AB-এর অর্ধেক দূরত্বে হাঁটবে। সেখানে মাটি খুঁড়লেই স্বর্ণ পাওয়া যাবে।

উত্তর: হ্যাঁ, পুত্র স্বর্ণ খুঁজে পাবে। স্বর্ণের স্থান G, যেখানে $GA = GB$ এবং $\angle AGB = 90\degree$।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে "একইভাবে" বলা হলেও দুই ক্ষেত্রে ঘোরার দিক বিপরীত না হলে স্বর্ণের স্থান S-এর ওপর নির্ভর করত এবং S ছাড়া খুঁজে পাওয়া যেত না। এই ধাঁধার প্রচলিত রূপে দিক দুটি বিপরীত। তাই এই সমাধানে তা-ই ধরা হয়েছে। বইয়ে এই প্রশ্নের কোনো উত্তর দেওয়া নেই।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

1. সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল কত?

ক) 0°     খ) 120°     গ) 180°     ঘ) 240°

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 60°।

বাহুটিকে উভয় দিকে বাড়ালে প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ $180\degree - 60\degree = 120\degree$

বিয়োগফল $120\degree - 120\degree = 0\degree$

ব্যাখ্যা: দুই প্রান্তের অন্তঃস্থ কোণ দুটি সমান (60°), তাই দুই বহিঃস্থ কোণও সমান। সমান দুই সংখ্যার বিয়োগফল শূন্য।

উত্তর: ক) 0°

2. পাশের চিত্রে— (i) ∠AOC একটি সূক্ষ্মকোণ (ii) ∠AOB একটি সমকোণ (iii) ∠AOD একটি প্রবৃদ্ধকোণ। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i     খ) ii     গ) i ও ii     ঘ) ii ও iii

সমাধান:

চিত্র অনুযায়ী OA ডান দিকে এবং OB সোজা ওপরের দিকে, তাই $\angle AOB = 90\degree$। (ii) সঠিক।

OC রশ্মি OA ও OB-এর মাঝে অবস্থিত, তাই $\angle AOC < 90\degree$। (i) সঠিক।

OD রশ্মি OB-এর বাঁ দিকে, তাই $\angle AOD > 90\degree$ এবং এটি 180°-এর চেয়ে ছোট। এটি স্থূলকোণ, প্রবৃদ্ধকোণ নয়। (iii) ভুল।

ব্যাখ্যা: প্রবৃদ্ধকোণ হতে হলে কোণ 180°-এর চেয়ে বড় হতে হয়। চিত্রে $\angle AOD$ সরল কোণের চেয়ে ছোট।

উত্তর: গ) i ও ii

৩ ও ৪নং প্রশ্নের চিত্র: $AB \parallel EF \parallel CD$ এবং $BD \perp CD$। $\angle BAE = 120\degree$, $\angle ECD = 150\degree$ এবং A, E, G একই সরলরেখায়।

3. ∠AEF এর মান কত?

ক) 30°     খ) 60°     গ) 240°     ঘ) 270°

সমাধান:

$AB \parallel EF$ এবং AE ছেদক। তাই ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ $\angle BAE$ ও $\angle AEF$ সম্পূরক।

$\angle AEF = 180\degree - \angle BAE$

$= 180\degree - 120\degree = 60\degree$

ব্যাখ্যা: সমান্তরাল রেখার একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টি 180°।

উত্তর: খ) 60°

4. ∠BFE এর মান নিচের কোনটি?

ক) 30°     খ) 60°     গ) 90°     ঘ) 120°

সমাধান:

$BD \perp CD$ এবং $EF \parallel CD$, তাই $BD \perp EF$।

F বিন্দু BD ও EF-এর ছেদবিন্দু, তাই $\angle BFE = 90\degree$।

ব্যাখ্যা: একটি রেখা দুই সমান্তরাল রেখার একটির ওপর লম্ব হলে অপরটির ওপরও লম্ব।

উত্তর: গ) 90°

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৩ ও ৪নং প্রশ্নের চিত্রের কোণ-চিহ্ন বইয়ে ছোট আকারে আছে। চিত্রের 120°, 150° ও লম্ব চিহ্ন অনুযায়ী উত্তর নির্ণয় করা হয়েছে। বইয়ে উত্তরমালা না থাকায় মান যাচাই করা যায়নি।

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. ABC ত্রিভুজের ∠A = এক সমকোণ। BC বাহুর মধ্যবিন্দু D।

সমাধান:

ক) ∠DEF ও ∠PEF কোণদ্বয় পরস্পর সন্নিহিত ও পূরক কোণ হলে, চিত্র অঙ্কন করে কোণদ্বয় চিহ্নিত করো।

E বিন্দুতে ED ও EP পরস্পর লম্ব রশ্মি আঁকি, অর্থাৎ $\angle DEP = 90\degree$।

ঐ সমকোণের ভেতরে EF রশ্মি আঁকি।

তাহলে $\angle DEF$ ও $\angle FEP$ দুইটিরই শীর্ষবিন্দু E এবং সাধারণ বাহু EF। তারা সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে আছে, তাই সন্নিহিত।

আবার $\angle DEF + \angle FEP = \angle DEP = 90\degree$, তাই তারা পরস্পর পূরক।

খ) দেখাও যে, AB + AC > 2AD

এটি অনুশীলনী ৬.৩-এর ৭নং প্রশ্নের অনুরূপ। AD কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $DE = AD$ হয়। C, E যোগ করি।

△ABD ও △ECD-এ $BD = CD$, $AD = DE$ এবং $\angle ADB = \angle CDE$ [বিপ্রতীপ কোণ]। তাই $\triangle ABD \cong \triangle ECD$ এবং $AB = CE$।

△ACE-এ $AC + CE > AE$, অর্থাৎ $AC + AB > 2AD$। (দেখানো হলো)

গ) প্রমাণ করো যে, AD = ½BC

এটি অনুশীলনী ৬.৩-এর ১১নং প্রশ্নের অনুরূপ, কেবল সমকোণ A বিন্দুতে।

অঙ্কন: AD কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $DE = AD$ হয়। B, E এবং C, E যোগ করি।

△ABD ও △ECD-এ $BD = CD$, $AD = DE$ এবং $\angle ADB = \angle CDE$। তাই $\triangle ABD \cong \triangle ECD$।

সুতরাং $AB = CE$ এবং $\angle BAD = \angle ECD$। একান্তর কোণ সমান বলে $AB \parallel CE$।

$\angle BAC + \angle ACE = 180\degree$। বা, $90\degree + \angle ACE = 180\degree$, তাই $\angle ACE = 90\degree$।

△ABC ও △ECA-এ $AB = CE$, $AC = AC$ এবং $\angle BAC = \angle ACE = 90\degree$। তাই $\triangle ABC \cong \triangle ECA$, অর্থাৎ $BC = AE$।

$AD = \dfrac{1}{2}AE = \dfrac{1}{2}BC$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: ক-এ দুটি পূরক কোণ পাশাপাশি রেখে একটি সমকোণ গঠন করা হয়। খ ও গ অংশে মধ্যমাকে দ্বিগুণ করে একটি নতুন বিন্দু E নিলে সর্বসম ত্রিভুজ পাওয়া যায়।

উত্তর: ক) চিত্রে ∠DEF ও ∠FEP পূরক ও সন্নিহিত। খ) AB + AC > 2AD প্রমাণিত। গ) AD = ½BC প্রমাণিত।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নের (ক) অংশে ∠PEF-এর P বিন্দু বা E, F বিন্দু প্রশ্নের মূল চিত্রের সঙ্গে সম্পর্কিত নয়। তাই একটি সাধারণ চিত্র এঁকে কোণ দুটি চিহ্নিত করা হয়েছে।

৬. △ABC এর D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

সমাধান:

ক) △PQR সমবাহু ত্রিভুজের QR বাহুকে S পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে R বিন্দুতে উৎপন্ন সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ নির্ণয় করো।

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 60°।

QR বাহুকে S পর্যন্ত বাড়ালে R বিন্দুতে সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণ হলো $\angle PRQ = 60\degree$।

সন্নিহিত বহিঃস্থ কোণ $\angle PRS = 180\degree - 60\degree = 120\degree$।

উত্তর: সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণ 60°।

খ) প্রমাণ করো যে, DE ∥ BC এবং DE = ½BC

অঙ্কন: DE কে F পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $EF = DE$ হয়। C, F এবং D, C যোগ করি।

প্রমাণ: △ADE ও △CFE-এ $AE = CE$ [E, AC-এর মধ্যবিন্দু], $DE = EF$ [অঙ্কন] এবং $\angle AED = \angle CEF$ [বিপ্রতীপ কোণ]।

∴ $\triangle ADE \cong \triangle CFE$, সুতরাং $AD = CF$ এবং $\angle ADE = \angle CFE$।

$\angle ADE = \angle CFE$ একান্তর কোণ, তাই $AB \parallel CF$, অর্থাৎ $BD \parallel CF$।

$AD = BD$ [D, AB-এর মধ্যবিন্দু] এবং $AD = CF$, তাই $BD = CF$।

এখন △BDC ও △FCD-এ $BD = CF$, $DC = DC$ এবং $\angle BDC = \angle DCF$ [BD ∥ CF, DC ছেদক, একান্তর কোণ]।

∴ $\triangle BDC \cong \triangle FCD$, সুতরাং $BC = DF$ এবং $\angle BCD = \angle FDC$।

$\angle BCD = \angle FDC$ একান্তর কোণ, তাই $BC \parallel DF$, অর্থাৎ $DE \parallel BC$।

আবার $DE = \dfrac{1}{2}DF = \dfrac{1}{2}BC$ [$DF = DE + EF = 2DE$]।

অতএব, $DE \parallel BC$ এবং $DE = \dfrac{1}{2}BC$। (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ করো যে, ∠BOC = 90° + ½∠A

O বিন্দুতে BO ও CO যথাক্রমে ∠B ও ∠C-এর সমদ্বিখণ্ডক। তাই $\angle OBC = \dfrac{1}{2}\angle B$ এবং $\angle OCB = \dfrac{1}{2}\angle C$।

△BOC-এ $\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180\degree$

∴ $\angle BOC = 180\degree - \dfrac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

কিন্তু $\angle B + \angle C = 180\degree - \angle A$

∴ $\angle BOC = 180\degree - \dfrac{1}{2}(180\degree - \angle A)$

$= 180\degree - 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle A = 90\degree + \dfrac{1}{2}\angle A$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: খ অংশে পাওয়া যায়, দুই বাহুর মধ্যবিন্দু যোগ করলে যে রেখাংশ হয়, তা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং অর্ধেক। এটি "মধ্যবিন্দু উপপাদ্য" নামে পরিচিত। গ অংশে শুধু অর্ধেক কোণ ও ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি ব্যবহার করা হয়েছে।

উত্তর: ক) 60° (সন্নিহিত বহিঃস্থ কোণ 120°)। খ) DE ∥ BC এবং DE = ½BC প্রমাণিত। গ) ∠BOC = 90° + ½∠A প্রমাণিত।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ক অংশে "সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণ" কথাটির অর্থ R বিন্দুতে অন্তঃস্থ কোণ ∠PRQ ধরে 60° লেখা হয়েছে। প্রশ্নকর্তা বহিঃস্থ কোণ বুঝিয়ে থাকলে উত্তর 120°। দুটি মানই এখানে দেওয়া হলো।

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৭. ক) ΔABC-এ AB = AC, ∠BAC = 80° এবং BC-কে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে, ∠ACD নির্ণয় করো।

সমাধান:

$AB = AC$, তাই $\angle ABC = \angle ACB$ [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ]

$\angle ABC + \angle ACB = 180\degree - 80\degree = 100\degree$

∴ $\angle ACB = 50\degree$

$\angle ACD = 180\degree - \angle ACB = 180\degree - 50\degree = 130\degree$ [রৈখিক যুগল কোণ]

ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় উপায়ে বহিঃস্থ কোণ = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টি: $\angle ACD = \angle A + \angle B = 80\degree + 50\degree = 130\degree$। দুই উপায়ে একই ফল আসে।

উত্তর: ∠ACD = 130°

খ) ΔPQR-এ PQ = PR এবং QR, PR ও PQ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, DE = DF.

সমাধান:

△FQD ও △EDR-এ,

$FQ = ER$ [$PQ = PR$ এর অর্ধেক]

$QD = DR$ [D, QR-এর মধ্যবিন্দু]

$\angle FQD = \angle ERD$ [$PQ = PR$ হওয়ায় $\angle Q = \angle R$]

∴ $\triangle FQD \cong \triangle EDR$ [বা-কো-বা]

সুতরাং $DF = DE$। (দেখানো হলো)

ব্যাখ্যা: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে ভূমি-সংলগ্ন কোণ দুটি সমান। সেই সমান কোণের দুই পাশের বাহুগুলোও সমান (অর্ধেক হওয়ায়)। তাই ছোট দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হয়।

উত্তর: DE = DF (প্রমাণিত)

গ) ∠C ও ∠D পরস্পর সম্পূরক এবং ∠C − ∠D = 60° হলে, ∠C-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

সম্পূরক কোণ হওয়ায় $\angle C + \angle D = 180\degree$ …(১)

$\angle C - \angle D = 60\degree$ …(২)

(১) ও (২) যোগ করে পাই, $2\angle C = 240\degree$

∴ $\angle C = 120\degree$

(১) থেকে $\angle D = 180\degree - 120\degree = 60\degree$। যাচাই: $120\degree - 60\degree = 60\degree$ ✓

ব্যাখ্যা: দুটি কোণের যোগফল ও বিয়োগফল জানা থাকলে, যোগ করে বড় কোণের দ্বিগুণ পাওয়া যায়।

উত্তর: ∠C = 120°

ঘ) ΔABC-এর BC বাহুর উপর যেকোনো বিন্দু D হলে প্রমাণ করো যে, AB + BC + AC > 2AD.

সমাধান:

△ABD-এ $AB + BD > AD$ …(১) [দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়]

△ADC-এ $DC + AC > AD$ …(২)

(১) ও (২) যোগ করে পাই, $AB + AC + (BD + DC) > 2AD$

$BD + DC = BC$ [D বিন্দু BC-এর ওপর]

∴ $AB + BC + AC > 2AD$। (প্রমাণিত)

ব্যাখ্যা: D বিন্দু BC-এর ওপর থাকায় BD ও DC যোগ করলে পুরো BC পাওয়া যায়। তাই দুটি ত্রিভুজের বাহু-অসমতা যোগ করলেই পরিসীমা সংক্রান্ত ফল আসে।

উত্তর: প্রমাণিত।