Class 9-10 Math Chapter 6 (Lines, Angles and Triangles) Exercise 6.2 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• একই সমতলে দুইটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু একই হলে কোণ তৈরি হয়। রশ্মি দুইটি কোণের বাহু এবং সাধারণ প্রান্তবিন্দু কোণের শীর্ষবিন্দু।
• এক সমকোণ = 90° এবং দুই সমকোণ (সরল কোণ) = 180°।
• কোণের নাম লিখতে শীর্ষবিন্দুর অক্ষর মাঝখানে বসে। যেমন $\angle POQ$-এর শীর্ষবিন্দু O।

অনুশীলনী ৬.২

1. কোণের অভ্যন্তর ও বহির্ভাগের সংজ্ঞা দাও।

সমাধান:

মনে করি, OP ও OQ রশ্মিদ্বয় সাধারণ প্রান্তবিন্দু O-তে $\angle POQ$ উৎপন্ন করেছে।

অভ্যন্তর: OP-এর যে পার্শ্বে Q আছে সেই পার্শ্বে এবং OQ-এর যে পার্শ্বে P আছে সেই পার্শ্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সেটকে $\angle POQ$-এর অভ্যন্তর বলা হয়।

বহির্ভাগ: কোণটির অভ্যন্তরে অথবা কোনো বাহুতে অবস্থিত নয়, এমন সকল বিন্দুর সেটকে কোণটির বহির্ভাগ বলা হয়।

ব্যাখ্যা: চিত্রে হালকা নীল অংশটি কোণের অভ্যন্তর। কোণের দুই বাহুর "ভেতরের" অংশ হলো অভ্যন্তর। কোণের বাহু দুটি এবং অভ্যন্তর বাদে সমতলের বাকি সব অংশ বহির্ভাগ।

উত্তর: বইয়ের সংজ্ঞা অনুযায়ী অভ্যন্তর ও বহির্ভাগ উপরে লেখা হলো।

2. একই সরলরেখাস্থ তিনটি ভিন্ন বিন্দু দিয়ে উৎপন্ন কোণগুলোর নামকরণ করো।

সমাধান:

মনে করি, A, B, C একই সরলরেখার তিনটি ভিন্ন বিন্দু এবং B বিন্দুটি A ও C-এর মাঝখানে আছে।

BA ও BC রশ্মি দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি এবং এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু B।

দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরল কোণ বলে।

অতএব, উৎপন্ন কোণটি $\angle ABC$ (অথবা $\angle CBA$) এবং এটি একটি সরল কোণ।

সরল কোণের পরিমাণ দুই সমকোণ, অর্থাৎ $\angle ABC = 180\degree$।

ব্যাখ্যা: তিনটি বিন্দু একই রেখায় থাকলে রেখাটি সোজা, কোনো "বাঁক" তৈরি হয় না। তাই মাঝের বিন্দুতে দুই পাশের রশ্মি সোজা উল্টো দিকে যায় এবং সরল কোণ তৈরি হয়। A বা C বিন্দুতে বাহু দুটি একই রশ্মির ওপর পড়ে, তাই সেখানে কোনো প্রকৃত কোণ হয় না।

উত্তর: একটি সরল কোণ $\angle ABC$, যার পরিমাণ 180°।

3. সন্নিহিত কোণের সংজ্ঞা দাও এবং এর বাহুগুলো চিহ্নিত করো।

সমাধান:

সংজ্ঞা: কোনো সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু থাকলে, এদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকলে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পাশে অবস্থান করলে, ওই কোণদ্বয়কে পরস্পর সন্নিহিত কোণ বলা হয়।

চিত্রে, A বিন্দুটি $\angle BAC$ ও $\angle CAD$-এর সাধারণ শীর্ষবিন্দু।

সাধারণ বাহু (রশ্মি) হলো AC।

$\angle BAC$-এর বাহু দুইটি AB ও AC। $\angle CAD$-এর বাহু দুইটি AC ও AD।

কোণ দুইটি সাধারণ রশ্মি AC-এর বিপরীত পাশে অবস্থিত। তাই $\angle BAC$ ও $\angle CAD$ পরস্পর সন্নিহিত কোণ।

ব্যাখ্যা: দুইটি কোণ পাশাপাশি থাকলে, একই কোণবিন্দুতে ও একটি বাহু ভাগাভাগি করে থাকলে এবং একটি অপরটির ওপর না চড়লে তারা সন্নিহিত। যেমন পাশাপাশি রাখা দুটি দরজার পাল্লা, যাদের মাঝের কবজা সাধারণ।

উত্তর: সন্নিহিত কোণ $\angle BAC$ ও $\angle CAD$; সাধারণ বাহু AC; অপর বাহু AB ও AD।

৪. চিত্রসহ সংজ্ঞা দাও: বিপ্রতীপ কোণ, পূরক কোণ, সম্পূরক কোণ, সমকোণ, সূক্ষ্মকোণ এবং স্থূলকোণ।

সমাধান:

(ক) বিপ্রতীপ কোণ: কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ তৈরি করে, তা ওই কোণের বিপ্রতীপ কোণ। চিত্রে OA ও OB পরস্পর বিপরীত রশ্মি এবং OC ও OD পরস্পর বিপরীত রশ্মি। তাই $\angle BOD$ ও $\angle AOC$ পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। আবার $\angle BOC$ ও $\angle DOA$ও পরস্পর বিপ্রতীপ।

(খ) পূরক কোণ: দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ (90°) হলে কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ। চিত্রে $\angle AOB$ একটি সমকোণ এবং OC রশ্মি এর অভ্যন্তরে আছে। তাই $\angle AOC + \angle COB = 90\degree$, অর্থাৎ $\angle AOC$ ও $\angle COB$ পরস্পর পূরক।

(গ) সম্পূরক কোণ: দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ (180°) হলে কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক। চিত্রে O বিন্দু AB সরলরেখার ওপর এবং OC রশ্মি রেখার বাইরে। তাই $\angle AOC + \angle COB = 180\degree$, অর্থাৎ কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক।

(ঘ) সমকোণ: একই রেখার ওপর অবস্থিত দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সমান হলে, প্রত্যেকটি কোণকে সমকোণ বলে। সমকোণের পরিমাণ 90°। এই অবস্থায় বাহু দুইটি পরস্পরের ওপর লম্ব।

(ঙ) সূক্ষ্মকোণ: এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। অর্থাৎ কোণটি 0° থেকে বড় ও 90° থেকে ছোট।

(চ) স্থূলকোণ: এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে। অর্থাৎ কোণটি 90° থেকে বড় ও 180° থেকে ছোট।

ব্যাখ্যা: মনে রাখার সহজ উপায়: পূরক = মিলে 90°, সম্পূরক = মিলে 180°। বিপ্রতীপ কোণ দুটি পরস্পর সমান (এটি উপপাদ্য ২)। সূক্ষ্ম মানে "ছোট" (90°-এর কম), স্থূল মানে "মোটা" (90° থেকে বেশি কিন্তু 180°-এর কম)।

উত্তর: বিপ্রতীপ কোণ: বিপরীত রশ্মিদ্বয়ের কোণ। পূরক: যোগফল 90°। সম্পূরক: যোগফল 180°। সমকোণ: 90°। সূক্ষ্মকোণ: 90°-এর কম। স্থূলকোণ: 90° থেকে বেশি, 180°-এর কম।