Class 9-10 Math Chapter 6 (Lines, Angles and Triangles) Exercise 6.1 Solutions with Explanation
By SH SOHEL. . 5 minute read.
নবম-দশম শ্রেণির গণিত বইয়ের ষষ্ঠ অধ্যায় "রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ"-এর অনুশীলনী ৬.১-এর সব প্রশ্নের সমাধান এখানে দেওয়া হলো। প্রতিটি উত্তর বইয়ের পাঠ অনুযায়ী ধাপে ধাপে এবং সহজ ভাষায় ব্যাখ্যাসহ লেখা।
বিশেষ দ্রষ্টব্য: এই অনুশীলনীর সব প্রশ্ন বর্ণনামূলক (সংজ্ঞা ও স্বীকার্য), তাই কোনো সংখ্যাগত উত্তর নেই। বইয়ের উত্তরমালায় অধ্যায় ৬-এর কোনো উত্তর দেওয়া নেই। তাই প্রতিটি উত্তর বইয়ের পাঠের বক্তব্য থেকেই লেখা হয়েছে।
আগে জেনে নিই
- স্বতঃসিদ্ধ (axiom): সর্বজনস্বীকৃত সত্য, যা প্রমাণ ছাড়াই মেনে নেওয়া হয় (যেমন: পূর্ণ তার অংশের চেয়ে বড়)।
- স্বীকার্য (postulate): জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য, যা প্রমাণ ছাড়াই মেনে নেওয়া হয় (যেমন: দুই বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা আঁকা যায়)।
- বিন্দু, সরলরেখা ও সমতল জ্যামিতির তিনটি প্রাথমিক ধারণা; এদের সংজ্ঞা দেওয়া যায় না, শুধু বর্ণনা করা যায়।
অনুশীলনী ৬.১
1. স্থান, তল, রেখা এবং বিন্দুর ধারণা দাও।
সমাধান:
স্থান: আমাদের চারপাশের জগৎ সীমাহীন। এর বিভিন্ন অংশ জুড়ে আছে ছোট-বড় নানা বস্তু। প্রতিটি ঘনবস্তু যে জায়গা দখল করে, তা তিন দিকে বিস্তৃত: দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা। তাই ঘনবস্তু ত্রিমাত্রিক।
তল: ঘনবস্তুর উপরিভাগকে তল বলে। তলের শুধু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নেই। তাই তল দ্বিমাত্রিক। তল দুই রকম: সমতল (যেমন বাক্সের পৃষ্ঠ) ও বক্রতল (যেমন গোলকের পৃষ্ঠ)।
রেখা: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা উৎপন্ন হয়। রেখার শুধু দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নেই। তাই রেখা একমাত্রিক। রেখা সরল বা বক্র হতে পারে।
বিন্দু: দুটি রেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থানে বিন্দু পাওয়া যায়। বিন্দুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নেই, শুধু অবস্থান আছে। তাই বিন্দু শূন্য মাত্রার।
ব্যাখ্যা: একটি বাক্সের কথা ভাবো। বাক্সটি ঘনবস্তু (তিন মাত্রা)। এর একটি পৃষ্ঠ হলো তল (দুই মাত্রা)। দুটি পৃষ্ঠ যেখানে মিলেছে, সেই ধার হলো রেখা (এক মাত্রা)। দুটি ধার যেখানে মিলেছে, সেই কোনা হলো বিন্দু (শূন্য মাত্রা)। এভাবে ঘনবস্তু থেকে ধাপে ধাপে বিন্দুর ধারণা আসে।
উত্তর: ঘনবস্তু ৩ মাত্রা, তল ২ মাত্রা, রেখা ১ মাত্রা, বিন্দু ০ মাত্রা।
2. ইউক্লিডের পাঁচটি স্বীকার্য বর্ণনা করো।
সমাধান:
স্বীকার্য ১: একটি বিন্দু থেকে অন্য একটি বিন্দু পর্যন্ত একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য ২: খণ্ডিত রেখাকে (রেখাংশকে) যথেচ্ছভাবে বাড়ানো যায়।
স্বীকার্য ৩: যেকোনো কেন্দ্র ও যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য ৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য ৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের চেয়ে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের চেয়ে কম, সেদিকে মিলিত হয়।
ব্যাখ্যা: প্রথম চারটি স্বীকার্য খুব সহজ ও স্পষ্ট। পঞ্চম স্বীকার্যটি একটু জটিল। এর সহজ অর্থ: ছেদকের একই পাশের দুটি অন্তঃস্থ কোণ মিলে ১৮০°-এর কম হলে রেখা দুটি সেই দিকে একসময় মিলিত হবেই, অর্থাৎ সমান্তরাল হবে না। এটি সমান্তরাল রেখার ধারণার সঙ্গে জড়িত।
উত্তর: ইউক্লিডের পাঁচটি স্বীকার্য উপরে বর্ণনা করা হলো।
3. পাঁচটি আপতন স্বীকার্য বর্ণনা করো।
সমাধান:
স্বীকার্য ১: জগৎ (space) সকল বিন্দুর সেট এবং সমতল ও সরলরেখা এই সেটের উপসেট।
স্বীকার্য ২: দুইটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য একটি ও কেবল একটি সরলরেখা আছে, যাতে উভয় বিন্দু অবস্থিত।
স্বীকার্য ৩: একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য একটি ও কেবল একটি সমতল আছে, যাতে বিন্দু তিনটি অবস্থিত।
স্বীকার্য ৪: কোনো সমতলের দুইটি ভিন্ন বিন্দু দিয়ে যায় এমন সরলরেখা ওই সমতলে অবস্থিত।
স্বীকার্য ৫: (ক) জগতে একাধিক সমতল বিদ্যমান।
(খ) প্রত্যেক সমতলে একাধিক সরলরেখা অবস্থিত।
(গ) প্রত্যেক সরলরেখার বিন্দুসমূহ এবং বাস্তব সংখ্যাসমূহকে এমনভাবে সম্পর্কিত করা যায় যেন রেখাটির প্রত্যেক বিন্দুর সঙ্গে একটি বাস্তব সংখ্যা সংশ্লিষ্ট হয় এবং প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার সঙ্গে রেখাটির একটি অনন্য বিন্দু সংশ্লিষ্ট হয়।
ব্যাখ্যা: স্বীকার্য ১ থেকে ৫-কে একসঙ্গে আপতন স্বীকার্য বলা হয়। সহজভাবে: দুই বিন্দু দিয়ে ঠিক একটি সরলরেখা যায়; একই রেখায় নেই এমন তিন বিন্দু দিয়ে ঠিক একটি সমতল যায়। যেমন, টেবিলের তিন পায়া সবসময় মাটি ছুঁয়ে থাকে, কিন্তু চার পায়া অসমান হলে নড়ে।
উত্তর: পাঁচটি আপতন স্বীকার্য উপরে বর্ণনা করা হলো।
4. দূরত্ব স্বীকার্যটি বর্ণনা করো।
সমাধান:
স্বীকার্য ৬ (দূরত্ব স্বীকার্য):
(ক) P ও Q বিন্দুযুগল একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যা নির্দিষ্ট করে। সংখ্যাটিকে P বিন্দু থেকে Q বিন্দুর দূরত্ব বলে এবং PQ দ্বারা সূচিত করা হয়।
(খ) P ও Q ভিন্ন বিন্দু হলে PQ সংখ্যাটি ধনাত্মক। অন্যথায় PQ = 0।
(গ) P থেকে Q-এর দূরত্ব এবং Q থেকে P-এর দূরত্ব একই। অর্থাৎ PQ = QP।
ব্যাখ্যা: দূরত্ব সবসময় একটি বাস্তব সংখ্যা। দুটি আলাদা বিন্দুর দূরত্ব শূন্য হতে পারে না, ধনাত্মক হয়। আর যেদিক থেকেই মাপি, দূরত্ব একই থাকে। যেমন ঢাকা থেকে চট্টগ্রাম ও চট্টগ্রাম থেকে ঢাকার দূরত্ব সমান।
উত্তর: দূরত্ব স্বীকার্যের তিনটি অংশ উপরে বর্ণনা করা হলো।
5. রুলারের স্বীকার্যটি বর্ণনা করো।
সমাধান:
স্বীকার্য ৭ (রুলার স্বীকার্য): কোনো সরলরেখায় অবস্থিত বিন্দুসমূহের সেট এবং বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে এমনভাবে এক-এক মিল স্থাপন করা যায়, যেন রেখাটির যেকোনো দুইটি বিন্দু P, Q-এর জন্য PQ = |a − b| হয়।
এখানে মিলকরণের ফলে P ও Q-এর সঙ্গে যথাক্রমে a ও b বাস্তব সংখ্যা সংশ্লিষ্ট হয়।
ব্যাখ্যা: রুলারের দাগ যেমন সংখ্যা দিয়ে চিহ্নিত থাকে, তেমনি রেখার প্রতিটি বিন্দুর একটি করে সংখ্যা থাকে। রুলারে ৩ সেমি ও ৮ সেমি দাগের মধ্যবর্তী দূরত্ব হলো |৮ − ৩| = ৫ সেমি। একইভাবে দুই বিন্দুর সংখ্যার পার্থক্যের পরম মান (ধনাত্মক মান) হলো তাদের দূরত্ব।
উত্তর: রুলার স্বীকার্য: PQ = |a − b|।
6. সংখ্যারেখা বর্ণনা করো।
সমাধান:
রুলার স্বীকার্য অনুযায়ী কোনো সরলরেখার বিন্দুগুলোর সঙ্গে বাস্তব সংখ্যার এক-এক মিল স্থাপন করা হলে রেখাটিকে সংখ্যারেখায় পরিণত করা হয়েছে বলা হয়।
সংখ্যারেখায় P বিন্দুর সঙ্গে a সংখ্যা সংশ্লিষ্ট হলে P-কে a-এর লেখবিন্দু এবং a-কে P-এর স্থানাঙ্ক বলা হয়।
যেকোনো সরলরেখাকে সংখ্যারেখায় পরিণত করতে প্রথমে রেখাটির একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক 0 এবং অপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক 1 ধরে নেওয়া হয়। এতে রেখাটিতে একটি একক দূরত্ব এবং একটি ধনাত্মক দিক নির্দিষ্ট হয়।
ব্যাখ্যা: সংখ্যারেখা হলো এমন একটি সরলরেখা, যার প্রতিটি বিন্দু একটি সংখ্যা দিয়ে চেনা যায়। 0 বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে 1-এর দিকে ধনাত্মক এবং উল্টো দিকে ঋণাত্মক সংখ্যা বসানো হয়।
উত্তর: সংখ্যারেখার বর্ণনা উপরে দেওয়া হলো।
7. রুলার স্থাপন স্বীকার্যটি বর্ণনা করো।
সমাধান:
স্বীকার্য ৮ (রুলার স্থাপন স্বীকার্য): যেকোনো সরলরেখা AB-কে এমনভাবে সংখ্যারেখায় পরিণত করা যায় যে, A-এর স্থানাঙ্ক 0 এবং B-এর স্থানাঙ্ক ধনাত্মক হয়।
ব্যাখ্যা: রুলার রাখার সময় আমরা শূন্য দাগটি আগে A বিন্দুতে বসাই। তাহলে B বিন্দু যে দাগে পড়ে, সেটি ধনাত্মক সংখ্যা, আর সেটিই AB রেখাংশের দৈর্ঘ্য। অর্থাৎ যেকোনো দুই বিন্দুর দূরত্ব এভাবে মাপা যায়।
উত্তর: রুলার স্থাপন স্বীকার্য: A-এর স্থানাঙ্ক 0 এবং B-এর স্থানাঙ্ক ধনাত্মক।
8. পরস্পরচ্ছেদী সরলরেখা ও সমান্তরাল সরলরেখার সংজ্ঞা দাও।
সমাধান:
পরস্পরচ্ছেদী সরলরেখা: একই সমতলে অবস্থিত দুইটি সরলরেখার যদি একটি সাধারণ বিন্দু থাকে, অর্থাৎ উভয় রেখায় অবস্থিত একটি বিন্দু থাকে, তবে রেখা দুইটি পরস্পরচ্ছেদী।
সমান্তরাল সরলরেখা: একই সমতলে অবস্থিত দুইটি সরলরেখার কোনো সাধারণ বিন্দু না থাকলে রেখা দুইটি সমান্তরাল। অর্থাৎ রেখা দুইটিকে দুই দিকে যতই বাড়ানো হোক, তারা কখনও ছেদ করে না।
ব্যাখ্যা: দুটি রেখা এক বিন্দুতে মিললে পরস্পরচ্ছেদী (যেমন ইংরেজি X অক্ষর)। কখনও না মিললে সমান্তরাল (যেমন রেললাইনের দুই পাশ)। দুই ভিন্ন সরলরেখার একের বেশি সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে না।
উত্তর: পরস্পরচ্ছেদী: একটি সাধারণ বিন্দু আছে। সমান্তরাল: কোনো সাধারণ বিন্দু নেই।
Comments (0)
No comments yet. Be the first.