Class 9-10 Math Chapter 5 (Equations in One Variable) Exercise 5.2 and Model Questions Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ: $ax^2+bx+c=0$ (যেখানে $a\ne 0$)
• উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে: $(x-p)(x-q)=0$ হলে $x=p$ অথবা $x=q$
• দুই রাশির গুণফল শূন্য হলে অন্তত একটি রাশি শূন্য: $xy=0$ হলে $x=0$ অথবা $y=0$
• অভেদ হলো এমন সমীকরণ, যা চলকের সকল মানের জন্য সত্য। যেমন $(x+1)^2+(x-1)^2=2(x^2+1)$
• বাস্তব সমস্যায় দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করে সমাধান করে অগ্রহণযোগ্য মান (যেমন ঋণাত্মক দৈর্ঘ্য বা সংখ্যা) বাদ দিই।

অনুশীলনী ৫.২

1. $x$ কে চলক ধরে $a^2x+b=0$ সমীকরণটির ঘাত নিচের কোনটি?

ক) 3     খ) 2     গ) 1     ঘ) 0

সমাধান:

$x$ এর সর্বোচ্চ ঘাত $1$

ব্যাখ্যা: $a^2$ ও $b$ ধ্রুবক। চলক $x$ এর সর্বোচ্চ ঘাতই সমীকরণের ঘাত।

উত্তর: গ) 1

2. নিচের কোনটি অভেদ?

ক) $(x+1)^2+(x-1)^2=4x$     খ) $(x+1)^2+(x-1)^2=2(x^2+1)$     গ) $(a+b)^2+(a-b)^2=2ab$     ঘ) $(a-b)^2=a^2+2ab+b^2$

সমাধান:

$(x+1)^2+(x-1)^2=x^2+2x+1+x^2-2x+1=2x^2+2=2(x^2+1)$

এটি $x$ এর সকল মানের জন্য সত্য

ক) তে বামপক্ষ $2x^2+2$, যা $4x$ নয়

গ) তে বামপক্ষ $2a^2+2b^2$, যা $2ab$ নয়

ঘ) তে সঠিক হলো $a^2-2ab+b^2$

ব্যাখ্যা: অভেদ প্রমাণের জন্য বামপক্ষ খুলে ডানপক্ষের সমান করা যায় কিনা দেখি।

উত্তর: খ) $(x+1)^2+(x-1)^2=2(x^2+1)$

3. $x^2-x-12=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?

ক) $3, 4$     খ) $3, -4$     গ) $-3, 4$     ঘ) $-3, -4$

সমাধান:

$x^2-4x+3x-12=0$

$x(x-4)+3(x-4)=0$

$(x-4)(x+3)=0$

$x=4$ অথবা $x=-3$

ব্যাখ্যা: গুণফল $-12$ ও যোগফল $-1$ এমন দুটি সংখ্যা $-4$ ও $3$।

উত্তর: গ) $-3, 4$

4. $3x^2-x+5=0$ সমীকরণে $x$ এর সহগ কত?

ক) 3     খ) 2     গ) 1     ঘ) -1

সমাধান:

$3x^2-x+5=3x^2+(-1)x+5$

$x$ এর সহগ $-1$

ব্যাখ্যা: চিহ্নসহ সহগ ধরতে হয়।

উত্তর: ঘ) $-1$

5. $x^2-(a+b)x+ab=0$ সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি?

ক) ${a, b}$     খ) ${a, -b}$     গ) ${-a, b}$     ঘ) ${-a, -b}$

সমাধান:

$x^2-ax-bx+ab=0$

$x(x-a)-b(x-a)=0$

$(x-a)(x-b)=0$

$x=a$ অথবা $x=b$

ব্যাখ্যা: মধ্যপদকে ভেঙে জোড়া করে উৎপাদক বের করেছি।

উত্তর: ক) ${a, b}$

সমাধান করো (৬–১২):

6. $(y+5)(y-5)=24$

সমাধান:

$y^2-25=24$

$y^2=49$

$y=\pm 7$

ব্যাখ্যা: বামপক্ষ বর্গের অন্তর, তাই সরাসরি $y^2$ পাই।

উত্তর: $y=7$ অথবা $y=-7$

7. $(\sqrt{2}x+3)(\sqrt{3}x-2)=0$

সমাধান:

$\sqrt{2}x+3=0$ অথবা $\sqrt{3}x-2=0$

$\sqrt{2}x=-3$, তাই $x=-\dfrac{3}{\sqrt{2}}=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{3}x=2$, তাই $x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

ব্যাখ্যা: গুণফল শূন্য হলে যেকোনো একটি উৎপাদক শূন্য।

উত্তর: $x=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ অথবা $x=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

8. $2(z^2-9)+9z=0$

সমাধান:

$2z^2-18+9z=0$

$2z^2+9z-18=0$

$2z^2+12z-3z-18=0$

$2z(z+6)-3(z+6)=0$

$(z+6)(2z-3)=0$

$z=-6$ অথবা $z=\dfrac{3}{2}$

ব্যাখ্যা: গুণফল $2\times (-18)=-36$, যোগফল $9$; তাই $12$ ও $-3$ দিয়ে ভেঙেছি।

উত্তর: $z=-6$ অথবা $z=\dfrac{3}{2}$

9. $\dfrac{3}{2z+1}+\dfrac{4}{5z-1}=2$

সমাধান:

$\dfrac{3(5z-1)+4(2z+1)}{(2z+1)(5z-1)}=2$

$\dfrac{23z+1}{10z^2+3z-1}=2$

$23z+1=2(10z^2+3z-1)=20z^2+6z-2$

$20z^2-17z-3=0$

$20z^2-20z+3z-3=0$

$20z(z-1)+3(z-1)=0$

$(z-1)(20z+3)=0$

$z=1$ অথবা $z=-\dfrac{3}{20}$

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশ দূর করে দ্বিঘাত সমীকরণ পেয়েছি। দুটি মানেই হর শূন্য হয় না।

উত্তর: $z=1$ অথবা $z=-\dfrac{3}{20}$

10. $\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{6(x-2)}{x-6}=1$

সমাধান:

$(x-2){\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{6}{x-6}}=1$

$(x-2)\cdot \dfrac{(x-6)+6(x+2)}{(x+2)(x-6)}=1$

$(x-2)(7x+6)=(x+2)(x-6)$

$7x^2-8x-12=x^2-4x-12$

$6x^2-4x=0$

$2x(3x-2)=0$

$x=0$ অথবা $x=\dfrac{2}{3}$

ব্যাখ্যা: $(x-2)$ সাধারণ উৎপাদক বের করে ভগ্নাংশ যোগ করেছি।

উত্তর: $x=0$ অথবা $x=\dfrac{2}{3}$

11. $\dfrac{x}{a}+\dfrac{a}{x}=\dfrac{x}{b}+\dfrac{b}{x}$

সমাধান:

$\dfrac{x}{a}-\dfrac{x}{b}=\dfrac{b}{x}-\dfrac{a}{x}$

$x\cdot \dfrac{b-a}{ab}=\dfrac{b-a}{x}$

$a\ne b$ হলে দুই পক্ষকে $(b-a)$ দিয়ে ভাগ করে $\dfrac{x}{ab}=\dfrac{1}{x}$

$x^2=ab$

$x=\pm \sqrt{ab}$

ব্যাখ্যা: $x$ যুক্ত পদ এক পাশে, বাকিগুলো অন্য পাশে সরিয়েছি।

উত্তর: $x=\sqrt{ab}$ অথবা $x=-\sqrt{ab}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় শুধু $\sqrt{ab}$ দেওয়া আছে। কিন্তু $x^2=ab$ থেকে $x=-\sqrt{ab}$ ও সমীকরণকে সিদ্ধ করে। তাই সম্পূর্ণ উত্তর $\pm \sqrt{ab}$।

12. $\dfrac{x-a}{x-b}+\dfrac{x-b}{x-a}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$

সমাধান:

ধরি, $u=\dfrac{x-a}{x-b}$

$u+\dfrac{1}{u}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$

অতএব $u=\dfrac{a}{b}$ অথবা $u=\dfrac{b}{a}$

$u=\dfrac{a}{b}$ হলে $b(x-a)=a(x-b)$

$bx-ab=ax-ab$, $x(b-a)=0$, $x=0$

$u=\dfrac{b}{a}$ হলে $a(x-a)=b(x-b)$

$ax-a^2=bx-b^2$, $x(a-b)=a^2-b^2$, $x=a+b$

ব্যাখ্যা: $u+\dfrac{1}{u}=k+\dfrac{1}{k}$ আকারের সমীকরণের সমাধান $u=k$ অথবা $u=\dfrac{1}{k}$।

উত্তর: $x=0$ অথবা $x=a+b$

সমাধান সেট নির্ণয় করো (১৩–১৭):

13. $\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x+1}=2$

সমাধান:

$\dfrac{3(x+1)+4x}{x(x+1)}=2$

$7x+3=2x^2+2x$

$2x^2-5x-3=0$

$2x^2-6x+x-3=0$

$2x(x-3)+1(x-3)=0$

$(x-3)(2x+1)=0$

$x=3$ অথবা $x=-\dfrac{1}{2}$

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশ যোগ করে আড়গুণন করেছি।

উত্তর: সমাধান সেট ${3, -\dfrac{1}{2}}$

14. $\dfrac{x+7}{x+1}+\dfrac{2x+6}{2x+1}=5$

সমাধান:

$(x+7)(2x+1)+(2x+6)(x+1)=5(x+1)(2x+1)$

$2x^2+15x+7+2x^2+8x+6=5(2x^2+3x+1)$

$4x^2+23x+13=10x^2+15x+5$

$6x^2-8x-8=0$

$3x^2-4x-4=0$

$3x^2-6x+2x-4=0$

$3x(x-2)+2(x-2)=0$

$(x-2)(3x+2)=0$

$x=2$ অথবা $x=-\dfrac{2}{3}$

ব্যাখ্যা: সমীকরণ সরল করার পর সব সহগের সাধারণ উৎপাদক $2$ দিয়ে ভাগ করা যায়।

উত্তর: সমাধান সেট ${2, -\dfrac{2}{3}}$

15. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{x+a+b}$

সমাধান:

$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+a+b}=-(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$

$\dfrac{a+b}{x(x+a+b)}=-\dfrac{a+b}{ab}$

$x(x+a+b)=-ab$ (যেখানে $a+b\ne 0$)

$x^2+(a+b)x+ab=0$

$(x+a)(x+b)=0$

$x=-a$ অথবা $x=-b$

ব্যাখ্যা: $x$ যুক্ত ভগ্নাংশ আলাদা করে বিয়োগ করলে লবে $a+b$ আসে।

উত্তর: সমাধান সেট ${-a, -b}$

16. $x+\dfrac{1}{x}=2$

সমাধান:

$x^2+1=2x$

$x^2-2x+1=0$

$(x-1)^2=0$

$x=1, 1$

ব্যাখ্যা: পূর্ণবর্গ হলে দুটি মূল সমান হয়।

উত্তর: সমাধান সেট ${1}$ (মূল দুটি সমান: $1, 1$)

17. $\dfrac{(x+1)^3-(x-1)^3}{(x+1)^2-(x-1)^2}=2$

সমাধান:

লব $=(x+1)^3-(x-1)^3=6x^2+2$

হর $=(x+1)^2-(x-1)^2=4x$

$\dfrac{6x^2+2}{4x}=2$

$6x^2+2=8x$

$6x^2-8x+2=0$

$3x^2-4x+1=0$

$3x^2-3x-x+1=0$

$3x(x-1)-1(x-1)=0$

$(x-1)(3x-1)=0$

$x=1$ অথবা $x=\dfrac{1}{3}$

ব্যাখ্যা: ঘনের ও বর্গের অন্তরের সূত্র ব্যবহার করে লব ও হর সরল করেছি।

উত্তর: সমাধান সেট ${1, \dfrac{1}{3}}$

সমীকরণ গঠন করে সমাধান করো (১৮–২৬):

18. দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ১৫ এবং এদের গুণফল ৫৬; সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$, একক স্থানীয় অঙ্ক $15-x$

$x(15-x)=56$

$15x-x^2=56$

$x^2-15x+56=0$

$x^2-7x-8x+56=0$

$(x-7)(x-8)=0$

$x=7$ হলে একক অঙ্ক $8$, সংখ্যা $78$

$x=8$ হলে একক অঙ্ক $7$, সংখ্যা $87$

ব্যাখ্যা: দুটি মানই বৈধ, কারণ দুই ক্ষেত্রেই অঙ্ক দুটি ০ থেকে ৯ এর মধ্যে।

উত্তর: সংখ্যাটি ৭৮ অথবা ৮৭

19. একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমালে ও প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, দৈর্ঘ্য $l$ মিটার ও প্রস্থ $w$ মিটার

$lw=192$…(১)

$(l-4)(w+4)=192$…(২)

(২) থেকে $lw+4l-4w-16=192$

(১) বসিয়ে $4l-4w-16=0$

$l=w+4$

(১) এ বসিয়ে $w(w+4)=192$

$w^2+4w-192=0$

$(w+16)(w-12)=0$

$w=12$ (ঋণাত্মক হতে পারে না), $l=16$

ব্যাখ্যা: দুটি শর্ত থেকে দুটি সমীকরণ পেয়ে একটি চলক বাদ দিয়েছি।

উত্তর: দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার, প্রস্থ ১২ মিটার

20. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৫ সে.মি. ও অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অন্তর ৩ সে.মি.। ঐ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, ছোট বাহু $x$ সে.মি., তাহলে অপর বাহু $(x+3)$ সে.মি.

পিথাগোরাসের সূত্রে $x^2+(x+3)^2=15^2$

$2x^2+6x+9=225$

$x^2+3x-108=0$

$x^2+12x-9x-108=0$

$(x+12)(x-9)=0$

$x=9$ (ঋণাত্মক বাদ)

অপর বাহু $=9+3=12$

ব্যাখ্যা: সমকোণী ত্রিভুজে বাহুদ্বয়ের বর্গের যোগফল অতিভুজের বর্গের সমান।

উত্তর: ৯ সে.মি. ও ১২ সে.মি.

21. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ সে.মি. বেশি। ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৮১০ বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি, উচ্চতা $h$ সে.মি., ভূমি $(2h+6)$ সে.মি.

ক্ষেত্রফল $=\dfrac{1}{2}\times$ভূমি$\times$উচ্চতা

$\dfrac{1}{2}(2h+6)h=810$

$h^2+3h=810$

$h^2+3h-810=0$

$h^2+30h-27h-810=0$

$(h+30)(h-27)=0$

$h=27$ (ঋণাত্মক বাদ)

ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল সূত্রে ভূমির জায়গায় $2h+6$ বসিয়েছি।

উত্তর: ২৭ সে.মি.

22. একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট ৪২০ টাকা চাঁদা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত এবং প্রত্যেকে কত টাকা করে চাঁদা দিল?

সমাধান:

ধরি, ছাত্র-ছাত্রী $x$ জন

সহপাঠীর সংখ্যা $=x-1$

প্রত্যেকে $(x-1)$ টাকা করে দিল

$x(x-1)=420$

$x^2-x-420=0$

$x^2-21x+20x-420=0$

$(x-21)(x+20)=0$

$x=21$ (ঋণাত্মক বাদ)

প্রত্যেকের চাঁদা $=21-1=20$ টাকা

ব্যাখ্যা: নিজেকে বাদ দিলে সহপাঠী $x-1$ জন।

উত্তর: ২১ জন ছাত্র-ছাত্রী; প্রত্যেকে ২০ টাকা

23. একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ৩০ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়াতে মোট ৭০ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান:

ধরি, ছাত্র-ছাত্রী $x$ জন

প্রত্যেকের চাঁদা $=(x+30)$ পয়সা

মোট $=x(x+30)$ পয়সা

$70$ টাকা $=7000$ পয়সা

$x^2+30x=7000$

$x^2+30x-7000=0$

$x^2+100x-70x-7000=0$

$(x+100)(x-70)=0$

$x=70$ (ঋণাত্মক বাদ)

ব্যাখ্যা: টাকা ও পয়সার একক এক করে সমীকরণ করেছি।

উত্তর: ৭০ জন

২৪. দৃশ্যকল্প ১: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ৭; অঙ্কদ্বয়ের স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে ৯ বেশি। দৃশ্যকল্প ২: করিম সাহেব ৬৪০০ টাকার কিছু টাকা বিনিয়োগ করেন বার্ষিক ৮% মুনাফায় এবং বার্ষিক ৯% মুনাফায় অবশিষ্ট টাকা বিনিয়োগ করেন। ২ বছর পরে তিনি ১০৯২ টাকা মুনাফা পান।

ক) সমাধান সেট নির্ণয় করো: $\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x+1}=2$

সমাধান:

১৩ নং প্রশ্নের মতো: $2x^2-5x-3=0$

$(x-3)(2x+1)=0$

$x=3$ অথবা $x=-\dfrac{1}{2}$

খ) দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$, একক স্থানীয় অঙ্ক $7-x$

সংখ্যাটি $=10x+7-x=9x+7$

স্থান বিনিময়ে সংখ্যা $=10(7-x)+x=70-9x$

$70-9x=9x+7+9$

$54=18x$

$x=3$

একক স্থানীয় অঙ্ক $=7-3=4$

সংখ্যাটি $34$

গ) বার্ষিক ৮% ও ৯% মুনাফায় বিনিয়োগ করা মূলধনের অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, ৮% হারে $x$ টাকা, ৯% হারে $(6400-x)$ টাকা

$\dfrac{x\times 8\times 2}{100}+\dfrac{(6400-x)\times 9\times 2}{100}=1092$

$16x+18(6400-x)=109200$

$16x+115200-18x=109200$

$-2x=-6000$

$x=3000$

অন্য অংশ $=6400-3000=3400$

অনুপাত $=3000:3400=15:17$

ব্যাখ্যা: (ক) আগের প্রশ্নের মতো সমীকরণ। (খ) অঙ্ক দুটিকে $x$ ও $7-x$ ধরে স্থান বিনিময়ের শর্ত খাটিয়েছি। (গ) ২ বছরের সরল মুনাফা যোগ করে সমীকরণ করেছি।

উত্তর: ক) ${3, -\dfrac{1}{2}}$ খ) ৩৪ গ) ১৫ : ১৭

25. নাবিলের বয়স যখন শুভর বর্তমান বয়সের সমান ছিল তখন শুভর যে বয়স ছিল নাবিলের বর্তমান বয়স তার দ্বিগুণ। শুভর বয়স যখন নাবিলের বর্তমান বয়সের সমান হবে তখন তাদের দুইজনের বয়সের যোগফল ৬৩ হলে প্রত্যেকের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:

ধরি, নাবিলের বর্তমান বয়স $n$ বছর, শুভর $s$ বছর ($n>s$)

$n-s$ বছর আগে নাবিলের বয়স ছিল $s$, তখন শুভর বয়স $=s-(n-s)=2s-n$

শর্তমতে $n=2(2s-n)$

$3n=4s$…(১)

$n-s$ বছর পরে শুভর বয়স $=s+(n-s)=n$, নাবিলের বয়স $=n+(n-s)=2n-s$

$n+(2n-s)=63$

$3n-s=63$…(২)

(১) থেকে $s=\dfrac{3n}{4}$

(২) এ বসিয়ে $3n-\dfrac{3n}{4}=63$

$\dfrac{9n}{4}=63$

$n=28$

$s=\dfrac{3\times 28}{4}=21$

ব্যাখ্যা: বয়সের পার্থক্য $n-s$ সবসময় একই থাকে। এই পার্থক্য ধরে অতীত ও ভবিষ্যৎ বয়স লিখেছি।

উত্তর: নাবিলের বয়স ২৮ বছর, শুভর বয়স ২১ বছর

26. বাসে ওঠার লাইনে সোহাগের পিছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সামনে তার থেকে দুইজন বেশি দাঁড়িয়ে আছে। তার পিছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সম্পূর্ণ লাইনে তার তিনগুণ যাত্রী। লাইনে কতজন যাত্রী দাঁড়িয়ে আছে?

সমাধান:

ধরি, সোহাগের পিছনে $x$ জন

সোহাগের সামনে $(x+2)$ জন

মোট যাত্রী $=x+(x+2)+1=2x+3$ (সোহাগকে গুনে)

শর্তমতে $2x+3=3x$

$x=3$

মোট যাত্রী $=3x=9$

ব্যাখ্যা: সোহাগ নিজেও লাইনের একজন যাত্রী, তাই মোটে $+1$ যোগ করেছি।

উত্তর: ৯ জন

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

1. $(x-4)^2=0$ সমীকরণের মূল কয়টি?

ক) ১ টি     খ) ২ টি     গ) ৩ টি     ঘ) ৪ টি

সমাধান:

$(x-4)^2=(x-4)(x-4)=0$

$x=4$ অথবা $x=4$

দুটি মূল সমান

ব্যাখ্যা: দ্বিঘাত সমীকরণের মূল ২টি। এখানে দুটি মূল একই সংখ্যা $4$।

উত্তর: খ) ২ টি

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এখানে মূল দুটি সমান ($4, 4$)। যদি আলাদা (distinct) মূল গোনা হয়, তাহলে মূল ১টি। দ্বিঘাত সমীকরণের মূল সংখ্যা ২ ধরা হয় বলে আমরা খ) নিয়েছি; বইয়ে নমুনা প্রশ্নের উত্তর না থাকায় নিশ্চিত করা যায়নি।

2. দুইটি বীজগাণিতিক রাশি $x$ ও $y$ এর গুণফল $xy=0$ হলে—

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i) $x=0$ অথবা $y=0$: সঠিক

(ii) $x=0$, যখন $y\ne 0$: সঠিক (যেহেতু $y$ শূন্য নয়, $x$ কে শূন্য হতে হবে)

(iii) $y=0$, যখন $x\ne 0$: সঠিক

ব্যাখ্যা: গুণফল শূন্য হলে অন্তত একটি রাশি শূন্য। একটি শূন্য না হলে অন্যটি অবশ্যই শূন্য।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক $x$। এই তথ্যের আলোকে নিচের ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

3. সংখ্যাটি কত?

ক) $2x$     খ) $3x$     গ) $12x$     ঘ) $21x$

সমাধান:

দশক স্থানীয় অঙ্ক $=2x$

সংখ্যাটি $=10\times 2x+x=21x$

ব্যাখ্যা: দশক স্থানীয় অঙ্ককে $10$ দিয়ে গুণ করে একক যোগ করতে হয়।

উত্তর: ঘ) $21x$

4. অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি কত হবে?

ক) $3x$     খ) $4x$     গ) $12x$     ঘ) $21x$

সমাধান:

এখন দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$, একক স্থানীয় অঙ্ক $2x$

সংখ্যাটি $=10x+2x=12x$

ব্যাখ্যা: স্থান বদলালে দশকে $x$ ও এককে $2x$ বসে।

উত্তর: গ) $12x$

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. একটি জমির ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমালে এবং প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আবার জমিটির মাঝখানে ২০ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকা হলো। বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে একটি জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা এর অর্ধেকের চেয়ে ২ সে.মি. কম।

ক) সমাধান করো: $\dfrac{3x}{2}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{2x}{3}$

সমাধান:

দুই পক্ষকে $6$ দিয়ে গুণ করে $9x-10=4x$

$5x=10$

$x=2$

খ) জমিটির পরিসীমা নির্ণয় করো।

সমাধান:

৫.২ এর ১৯ নং প্রশ্নের মতো: দৈর্ঘ্য $=16$ মিটার, প্রস্থ $=12$ মিটার

পরিসীমা $=2(16+12)=56$ মিটার

গ) বৃত্তটির জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r=10$ সে.মি.

ধরি, জ্যা এর অর্ধেক $h$ সে.মি., তাহলে কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য $=(h-2)$ সে.মি.

সমকোণী ত্রিভুজে $r^2=h^2+(h-2)^2$

$100=2h^2-4h+4$

$h^2-2h-48=0$

$(h-8)(h+6)=0$

$h=8$ (ঋণাত্মক বাদ)

জ্যা $=2h=16$ সে.মি.

ব্যাখ্যা: (ক) ভগ্নাংশ দূর করে সরল সমীকরণ পেয়েছি। (খ) আগের প্রশ্নের ফল ব্যবহার করেছি। (গ) কেন্দ্র থেকে জ্যা এ লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই পিথাগোরাসের সূত্র খাটে।

উত্তর: ক) $x=2$ খ) ৫৬ মিটার গ) ১৬ সে.মি.

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬.

ক) সমাধান করো: $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{2}{x+3}$

সমাধান:

$\dfrac{2x+3}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{2}{x+3}$

$(2x+3)(x+3)=2(x+1)(x+2)$

$2x^2+9x+9=2x^2+6x+4$

$3x=-5$

$x=-\dfrac{5}{3}$

খ) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা অপর একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার $\dfrac{2}{5}$ অংশ থেকে ৩ বেশি হলে, সংখ্যাটি নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, অপর সংখ্যা $y$, প্রথম সংখ্যা $x$

$x=\dfrac{2}{5}y+3$

$x$ পূর্ণসংখ্যা হতে $y$ কে ৫ এর গুণিতক হতে হবে, ধরি $y=5k$

$x=2k+3$ (যেখানে $k$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নে শুধু একটি শর্ত আছে, কিন্তু অজানা দুটি। তাই একটি নির্দিষ্ট উত্তর পাওয়া যায় না; উত্তর হলো $(x, y)=(2k+3, 5k)$, যেমন $k=1$ হলে $(5, 5)$, $k=2$ হলে $(7, 10)$। সম্ভবত প্রশ্নে আরও একটি শর্ত ছাপা হয়নি। বইয়ের নমুনা প্রশ্নের উত্তর না থাকায় নিশ্চিত করা যায়নি।

গ) দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ৭ এবং গুণফল ১০ হলে, সংখ্যাটি নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$, একক স্থানীয় অঙ্ক $7-x$

$x(7-x)=10$

$x^2-7x+10=0$

$(x-2)(x-5)=0$

$x=2$ হলে সংখ্যা $25$

$x=5$ হলে সংখ্যা $52$

ব্যাখ্যা: (ক) আড়গুণন করে $x^2$ কাটা গেছে। (খ) একটি সমীকরণে দুই চলক, তাই সাধারণ সমাধান দেখিয়েছি। (গ) যোগফল ও গুণফল থেকে দ্বিঘাত সমীকরণ।

উত্তর: ক) $x=-\dfrac{5}{3}$ খ) $(x,y)=(2k+3,5k)$ গ) ২৫ অথবা ৫২