Class 9-10 Math Chapter 5 (Equations in One Variable) Exercise 5.1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• সমীকরণের দুই পক্ষে একই সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, বা শূন্য ছাড়া একই সংখ্যা দিয়ে গুণ-ভাগ করলে সমাধান বদলায় না।
• ভগ্নাংশযুক্ত সমীকরণে হরের ল.সা.গু. দিয়ে গুণ করে ভগ্নাংশ দূর করি।
• সমাধান পাওয়ার পর মূল সমীকরণে বসিয়ে দেখি কোনো হর শূন্য হচ্ছে কিনা। হর শূন্য হলে সেই মান গ্রহণযোগ্য নয়।
• বাস্তব সমস্যায়: অজানা রাশিকে চলক ধরে শর্ত অনুযায়ী সমীকরণ গঠন করি।

অনুশীলনী ৫.১

সমাধান করো (১–৮):

1. $\dfrac{ay}{b}-\dfrac{by}{a}=a^2-b^2$

সমাধান:

বামপক্ষ $=y(\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a})=y\cdot \dfrac{a^2-b^2}{ab}$

$y\cdot \dfrac{a^2-b^2}{ab}=a^2-b^2$

দুই পক্ষকে $(a^2-b^2)$ দ্বারা ভাগ করে (যেখানে $a^2\ne b^2$)

$\dfrac{y}{ab}=1$

$y=ab$

ব্যাখ্যা: $y$ কে সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করে সমীকরণ সরল করেছি।

উত্তর: $y=ab$

2. $(z+1)(z-2)=(z-4)(z+2)$

সমাধান:

$z^2-z-2=z^2-2z-8$

$-z+2z=-8+2$

$z=-6$

ব্যাখ্যা: দুই পক্ষে $z^2$ কাটা যায়, তাই সমীকরণ একঘাত হয়ে যায়।

উত্তর: $z=-6$

3. $\dfrac{4}{2x+1}+\dfrac{9}{3x+2}=\dfrac{25}{5x+4}$

সমাধান:

বামপক্ষ $=\dfrac{4(3x+2)+9(2x+1)}{(2x+1)(3x+2)}=\dfrac{30x+17}{6x^2+7x+2}$

$\dfrac{30x+17}{6x^2+7x+2}=\dfrac{25}{5x+4}$

আড়গুণন করে $(30x+17)(5x+4)=25(6x^2+7x+2)$

$150x^2+205x+68=150x^2+175x+50$

$30x=-18$

$x=-\dfrac{3}{5}$

ব্যাখ্যা: আড়গুণনের পর $150x^2$ দুই পক্ষে কাটা যায়।

উত্তর: $x=-\dfrac{3}{5}$

4. $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+4}=\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}$

সমাধান:

$\dfrac{2x+5}{(x+1)(x+4)}=\dfrac{2x+5}{(x+2)(x+3)}$

$(2x+5){(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)}=0$

$(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=x^2+5x+6-x^2-5x-4=2$

$2(2x+5)=0$

$x=-\dfrac{5}{2}$

ব্যাখ্যা: দুই পক্ষে আলাদা করে যোগ করলে লব একই $2x+5$ হয়। তাই সরাসরি আড়গুণনের চেয়ে সহজ।

উত্তর: $x=-\dfrac{5}{2}$

5. $\dfrac{a}{x-a}+\dfrac{b}{x-b}=\dfrac{a+b}{x-a-b}$

সমাধান:

বামপক্ষ $=\dfrac{a(x-b)+b(x-a)}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{(a+b)x-2ab}{(x-a)(x-b)}$

আড়গুণন: ${(a+b)x-2ab}(x-a-b)=(a+b)(x-a)(x-b)$

বামপক্ষ $=(a+b)x^2-(a+b)^2x-2abx+2ab(a+b)$

ডানপক্ষ $=(a+b)x^2-(a+b)^2x+ab(a+b)$

$-2abx+2ab(a+b)=ab(a+b)$

$2abx=ab(a+b)$

$x=\dfrac{a+b}{2}$

ব্যাখ্যা: দুই পক্ষের সমান অংশ কেটে গিয়ে একঘাত সমীকরণ থাকে। শেষে $ab$ দিয়ে ভাগ করেছি।

উত্তর: $x=\dfrac{a+b}{2}$

6. $\dfrac{x-a}{b}+\dfrac{x-b}{a}+\dfrac{x-3a-3b}{a+b}=0$

সমাধান:

$\dfrac{x-a}{b}-1=\dfrac{x-a-b}{b}$

$\dfrac{x-b}{a}-1=\dfrac{x-a-b}{a}$

$\dfrac{x-3a-3b}{a+b}+2=\dfrac{x-a-b}{a+b}$

সমীকরণের বামপক্ষে $-1-1+2=0$ যোগ করে ভেঙে লিখলে

$(x-a-b)(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a+b})=0$

দ্বিতীয় বন্ধনী শূন্য নয়, তাই $x-a-b=0$

$x=a+b$

ব্যাখ্যা: প্রতিটি ভগ্নাংশের সঙ্গে সুবিধামতো সংখ্যা যোগ-বিয়োগ করলে $(x-a-b)$ সাধারণ উৎপাদক হয়ে যায়।

উত্তর: $x=a+b$

7. $\dfrac{x-a}{a^2-b^2}=\dfrac{x-b}{b^2-a^2}$

সমাধান:

$b^2-a^2=-(a^2-b^2)$

$\dfrac{x-a}{a^2-b^2}=-\dfrac{x-b}{a^2-b^2}$

$x-a=-(x-b)$ (যেখানে $a^2\ne b^2$)

$x-a=-x+b$

$2x=a+b$

$x=\dfrac{a+b}{2}$

ব্যাখ্যা: দুই হরই $a^2-b^2$ এর সমান বা বিপরীত, তাই হর কেটে দেওয়া যায়।

উত্তর: $x=\dfrac{a+b}{2}$

8. $(3+\sqrt{3})z+2=5+3\sqrt{3}$

সমাধান:

$(3+\sqrt{3})z=5+3\sqrt{3}-2=3+3\sqrt{3}$

$z=\dfrac{3+3\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$

লবে $3(1+\sqrt{3})$, হরে $\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)$

$z=\dfrac{3(1+\sqrt{3})}{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

ব্যাখ্যা: লব ও হরে সাধারণ উৎপাদক $(1+\sqrt{3})$ বের করে কেটেছি।

উত্তর: $z=\sqrt{3}$

সমাধান সেট নির্ণয় করো (৯–১৪):

9. $2x+\sqrt{2}=3x-4-3\sqrt{2}$

সমাধান:

$\sqrt{2}+4+3\sqrt{2}=3x-2x$

$x=4+4\sqrt{2}$

$=4(1+\sqrt{2})$

ব্যাখ্যা: $x$ যুক্ত পদ এক পাশে ও বাকিগুলো অন্য পাশে সরিয়েছি।

উত্তর: সমাধান সেট ${4(1+\sqrt{2})}$

10. $\dfrac{z-2}{z-1}=2-\dfrac{1}{z-1}$

সমাধান:

দুই পক্ষকে $(z-1)$ দিয়ে গুণ করে (যেখানে $z\ne 1$)

$z-2=2(z-1)-1$

$z-2=2z-3$

$z=1$

কিন্তু $z=1$ হলে $z-1=0$, হর শূন্য হয়ে যায়

সুতরাং $z=1$ গ্রহণযোগ্য নয়

ব্যাখ্যা: সমাধান বের হলেও সেটি মূল সমীকরণের হর শূন্য করে। তাই কোনো সমাধান নেই।

উত্তর: সমাধান সেট $\varnothing$

11. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{x-1}$

সমাধান:

বামপক্ষ $=\dfrac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$

$\dfrac{2x+1}{x(x+1)}=\dfrac{2}{x-1}$

$(2x+1)(x-1)=2x(x+1)$

$2x^2-x-1=2x^2+2x$

$-3x=1$

$x=-\dfrac{1}{3}$

ব্যাখ্যা: $2x^2$ দুই পক্ষে কাটা যায়।

উত্তর: সমাধান সেট ${-\dfrac{1}{3}}$

12. $\dfrac{m}{m-x}+\dfrac{n}{n-x}=\dfrac{m+n}{m+n-x}$

সমাধান:

ধরি, $s=m+n$, $p=mn$

বামপক্ষ $=\dfrac{m(n-x)+n(m-x)}{(m-x)(n-x)}=\dfrac{2p-sx}{(m-x)(n-x)}$

আড়গুণন: $(2p-sx)(s-x)=s(m-x)(n-x)$

বামপক্ষ $=2ps-2px-s^2x+sx^2$

$(m-x)(n-x)=p-sx+x^2$, তাই ডানপক্ষ $=sp-s^2x+sx^2$

$2ps-2px=sp$

$ps=2px$

$x=\dfrac{s}{2}=\dfrac{m+n}{2}$

ব্যাখ্যা: $m+n$ ও $mn$ কে সংক্ষিপ্ত অক্ষরে লিখলে হিসাব ছোট হয়।

উত্তর: সমাধান সেট ${\dfrac{m+n}{2}}$

13. $\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4}$

সমাধান:

$\dfrac{2x+7}{(x+2)(x+5)}=\dfrac{2x+7}{(x+3)(x+4)}$

$(2x+7){(x+3)(x+4)-(x+2)(x+5)}=0$

$(x^2+7x+12)-(x^2+7x+10)=2$

$2(2x+7)=0$

$x=-\dfrac{7}{2}$

ব্যাখ্যা: ৪ নং এর মতো একই কৌশল।

উত্তর: সমাধান সেট ${-\dfrac{7}{2}}$

14. $\dfrac{2t-6}{9}+\dfrac{15-2t}{12-5t}=\dfrac{4t-15}{18}$

সমাধান:

দুই পক্ষকে $18(12-5t)$ দিয়ে গুণ করি

$2(2t-6)(12-5t)+18(15-2t)=(4t-15)(12-5t)$

বামপক্ষ $=2(-10t^2+54t-72)+270-36t=-20t^2+72t+126$

ডানপক্ষ $=-20t^2+123t-180$

$72t+126=123t-180$

$306=51t$

$t=6$

ব্যাখ্যা: ল.সা.গু. দিয়ে গুণ করে ভগ্নাংশ দূর করেছি। $t=6$ বসালে বামপক্ষ ও ডানপক্ষ দুটিই $\dfrac{1}{2}$ হয়।

উত্তর: সমাধান সেট ${6}$

সমীকরণ গঠন করে সমাধান করো (১৫–২৪):

15. একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার $\dfrac{2}{5}$ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ৯৮ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, বড় সংখ্যা $x$, ছোট সংখ্যা $\dfrac{2}{5}x$

$x+\dfrac{2}{5}x=98$

$\dfrac{7x}{5}=98$

$x=98\times \dfrac{5}{7}=70$

ছোট সংখ্যা $=\dfrac{2}{5}\times 70=28$

ব্যাখ্যা: একটি সংখ্যাকে $x$ ধরে অন্যটিকে $x$ এর মাধ্যমে লিখেছি।

উত্তর: সংখ্যা দুইটি ২৮ ও ৭০

16. একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ১; লব থেকে ২ বিয়োগ ও হরের সাথে ২ যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা $\dfrac{1}{6}$ এর সমান। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, লব $x$, তাহলে হর $x+1$ (প্রকৃত ভগ্নাংশে হর বড়)

$\dfrac{x-2}{x+1+2}=\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{x-2}{x+3}=\dfrac{1}{6}$

$6x-12=x+3$

$5x=15$

$x=3$

হর $=3+1=4$

ব্যাখ্যা: প্রকৃত ভগ্নাংশে হর লবের চেয়ে বড়, তাই হর $=x+1$।

উত্তর: ভগ্নাংশটি $\dfrac{3}{4}$

17. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ৯; অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে ৪৫ কম হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক $x$, দশক স্থানীয় অঙ্ক $9-x$

সংখ্যাটি $=10(9-x)+x=90-9x$

স্থান বিনিময়ে সংখ্যা $=10x+(9-x)=9x+9$

$90-9x-(9x+9)=45$

$81-18x=45$

$18x=36$

$x=2$

দশক স্থানীয় অঙ্ক $=9-2=7$

ব্যাখ্যা: দশকের ঘর বদলালে সংখ্যার মান $10$ গুণ হারে বদলায়, তাই সংখ্যা $10\times$ দশক + একক।

উত্তর: সংখ্যাটি ৭২

18. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। দেখাও যে, সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ।

সমাধান:

ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক $b$, দশক স্থানীয় অঙ্ক $2b$

সংখ্যাটি $=10\times 2b+b=21b$

অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি $=2b+b=3b$

$7\times 3b=21b=$সংখ্যাটি

ব্যাখ্যা: অঙ্ক দুটি $b$ এর মাধ্যমে লিখে সংখ্যা ও সমষ্টি আলাদা করে বের করেছি।

উত্তর: প্রমাণিত।

19. একজন ক্ষুদ্র ব্যবসায়ী ৫৬০০ টাকা বিনিয়োগ করে এক বছর পর কিছু টাকার উপর ৫% এবং অবশিষ্ট টাকার উপর ৪% লাভ করলেন। মোট ২৫৬ টাকা লাভ করলে, তিনি কত টাকার উপর ৫% লাভ করলেন?

সমাধান:

ধরি, $x$ টাকার উপর ৫% লাভ

অবশিষ্ট $(5600-x)$ টাকার উপর ৪% লাভ

$\dfrac{5x}{100}+\dfrac{4(5600-x)}{100}=256$

$5x+22400-4x=25600$

$x=3200$

ব্যাখ্যা: দুই অংশের লাভ যোগ করে মোট লাভের সমান করেছি।

উত্তর: ৩২০০ টাকা

20. একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, বেঞ্চের সংখ্যা $x$

প্রথম ক্ষেত্রে ছাত্রী $=6(x-2)$

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ছাত্রী $=5x+6$

ছাত্রীসংখ্যা একই, তাই $6(x-2)=5x+6$

$6x-12=5x+6$

$x=18$

ব্যাখ্যা: দুই ক্ষেত্রেই মোট ছাত্রীসংখ্যা সমান।

উত্তর: ১৮টি

21. একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৪৭। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ১৬৮০ টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:

কেবিনের ভাড়া $=2\times 30=60$ টাকা

ধরি, কেবিনের যাত্রী $x$ জন, ডেকের যাত্রী $(47-x)$ জন

$60x+30(47-x)=1680$

$60x+1410-30x=1680$

$30x=270$

$x=9$

ব্যাখ্যা: দুই ধরনের যাত্রীর ভাড়া আলাদা করে লিখে যোগ করেছি।

উত্তর: ৯ জন

22. মোট ১২০টি পঁচিশ পয়সার মুদ্রা ও পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রায় মোট ৩৫ টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:

ধরি, পঁচিশ পয়সার মুদ্রা $x$ টি, পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা $(120-x)$ টি

$0.25x+0.50(120-x)=35$

$0.25x+60-0.50x=35$

$-0.25x=-25$

$x=100$

পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা $=120-100=20$

ব্যাখ্যা: পয়সাকে টাকায় (১০০ পয়সা = ১ টাকা) লিখে সমীকরণ করেছি।

উত্তর: ২৫ পয়সার মুদ্রা ১০০টি, ৫০ পয়সার মুদ্রা ২০টি

23. একটি গাড়ি ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে কিছু পথ এবং ঘণ্টায় ৪০ কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। গাড়িটি মোট ৫ ঘণ্টায় ২৪০ কি.মি. পথ অতিক্রম করলে, ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে কতদূর গিয়েছে?

সমাধান:

ধরি, ৬০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে $t$ ঘণ্টা চলেছে, ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে $(5-t)$ ঘণ্টা

$60t+40(5-t)=240$

$60t+200-40t=240$

$20t=40$

$t=2$

৬০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে দূরত্ব $=60\times 2=120$ কি.মি.

ব্যাখ্যা: দূরত্ব = বেগ × সময়। দুই অংশের দূরত্বের যোগফল মোট দূরত্ব।

উত্তর: ১২০ কি.মি.

24. ঢাকার নিউমার্কেট থেকে গাবতলীর দূরত্ব ১২ কি.মি.। সজল নিউমার্কেট থেকে রিক্সায় ঘণ্টায় ৬ কি.মি. বেগে এবং কাজল একই স্থান থেকে পায়ে হেঁটে ঘণ্টায় ৪ কি.মি. বেগে গাবতলীর দিকে রওনা হলো। সজল গাবতলী পৌঁছে সেখানে ৩০ মিনিট বিশ্রাম নিয়ে আবার নিউমার্কেটের দিকে একই বেগে রওনা হলো। তারা নিউমার্কেট থেকে কতদূরে মিলিত হবে?

সমাধান:

সজলের গাবতলী পৌঁছাতে সময় লাগে $=\dfrac{12}{6}=2$ ঘণ্টা

৩০ মিনিট বিশ্রামের পর সজল ফেরা শুরু করে $2.5$ ঘণ্টা পরে

ধরি, শুরু থেকে $t$ ঘণ্টা পরে তারা মিলিত হয়

কাজলের দূরত্ব নিউমার্কেট থেকে $=4t$

সজলের দূরত্ব নিউমার্কেট থেকে $=12-6(t-2.5)=27-6t$

মিলিত হলে $4t=27-6t$

$10t=27$

$t=2.7$ ঘণ্টা

নিউমার্কেট থেকে দূরত্ব $=4\times 2.7=10.8$ কি.মি.

ব্যাখ্যা: দুজনের নিউমার্কেট থেকে দূরত্ব সমান হলেই তারা মিলিত হয়। সজল ফেরার সময় ৩০ মিনিট (০.৫ ঘণ্টা) আটকে ছিল, তা বাদ দিয়ে হিসাব করেছি। যাচাই: কাজল এই সময় ১২ কি.মি. এর ভিতরেই আছে।

উত্তর: $10\dfrac{4}{5}$ কি.মি. (অর্থাৎ ১০.৮ কি.মি.)