Class 9-10 Math Chapter 4 (Exponents and Logarithms) Exercise 4.3 and Model Questions Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• বৈজ্ঞানিক রূপ: $a\times 10^n$, যেখানে $1\le a<10$ এবং $n$ পূর্ণসংখ্যা
• সাধারণ লগ: ভিত্তি $10$। $\log N=$ পূর্ণক + অংশক (অংশক সবসময় ০ থেকে বড় ও ১ এর ছোট)
• $N≥1$ হলে পূর্ণক = (পূর্ণ অংশের অঙ্কসংখ্যা − ১)
• $0 হলে দশমিকের পর যতটি শূন্য, পূর্ণক = −(শূন্যসংখ্যা + ১) (ঋণাত্মক পূর্ণক \bar{n}$ লেখা হয়)
• $\log(MN)=\log M+\log N$, $\log\dfrac{M}{N}=\log M-\log N$

অনুশীলনী ৪.৩

1. কোন শর্তে $a^0=1$?

ক) $a=0$     খ) $a\ne 0$     গ) $a>0$     ঘ) $a\ne 1$

সমাধান:

$a^0=\dfrac{a^n}{a^n}=1$ (যেখানে $a^n\ne 0$)

এটি শুধু $a\ne 0$ হলেই সম্ভব

ব্যাখ্যা: $a=0$ হলে $\dfrac{0}{0}$ হয়, যা অসংজ্ঞায়িত।

উত্তর: খ) $a\ne 0$

2. $\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{5}$ এর মান নিচের কোনটি?

ক) $\sqrt[6]{5}$     খ) $(\sqrt[3]{5})^3$     গ) $(\sqrt{5})^3$     ঘ) $\sqrt[3]{25}$

সমাধান:

$\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{2}{3}}$

$5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25}$

ব্যাখ্যা: একই ভিত্তির গুণে সূচক যোগ হয়।

উত্তর: ঘ) $\sqrt[3]{25}$

3. $\log_aa=1$ সঠিক কোন শর্তে?

ক) $a>0$     খ) $a\ne 1$     গ) $a>0, a\ne 1$     ঘ) $a\ne 0, a>1$

সমাধান:

লগের ভিত্তি অবশ্যই ধনাত্মক হবে

ভিত্তি $1$ হলে $1^x$ সবসময় $1$, তাই ভিত্তি $1$ হতে পারবে না

ব্যাখ্যা: লগের ভিত্তির দুটি শর্ত: ধনাত্মক এবং $1$ নয়।

উত্তর: গ) $a>0, a\ne 1$

4. একটি সংখ্যাকে $a\times 10^n$ আকারে লেখার জন্য শর্ত কোনটি?

ক) $1     খ) 1\le a\le 10$     গ) $1\le a<10$     ঘ) $1$

সমাধান:

$a$ এর মান $1$ হতে পারে ($1\times 10^3=1000$)

$a=10$ হলে $10\times 10^n=1\times 10^{n+1}$; তাই $10$ নেওয়া যায় না

ব্যাখ্যা: বৈজ্ঞানিক রূপে $a$ হবে $1$ বা তার বেশি, কিন্তু $10$ এর কম।

উত্তর: গ) $1\le a<10$

5. $0.0035$ এর সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

ক) 3     খ) 1     গ) $\bar{2}$     ঘ) $\bar{3}$

সমাধান:

$0.0035=3.5\times 10^{-3}$

দশমিকের পর ২টি শূন্য, তাই পূর্ণক $=-(2+1)=-3=\bar{3}$

ব্যাখ্যা: বৈজ্ঞানিক রূপে $10$ এর ঘাতই পূর্ণক।

উত্তর: ঘ) $\bar{3}$

৬. বৈজ্ঞানিক রূপে প্রকাশ করো:

ক) $6530$

সমাধান:

$6530=6.530\times 1000$

$=6.530\times 10^3$

উত্তর: $6.530\times 10^3$

খ) $60.831$

সমাধান:

$60.831=6.0831\times 10$

$=6.0831\times 10^1$

উত্তর: $6.0831\times 10^1$

গ) $0.000245$

সমাধান:

$0.000245=2.45\times 0.0001$

$=2.45\times 10^{-4}$

উত্তর: $2.45\times 10^{-4}$

ঘ) $37500000$

সমাধান:

$37500000=3.75\times 10000000$

$=3.75\times 10^7$

উত্তর: $3.75\times 10^7$

ঙ) $0.00000014$

সমাধান:

$0.00000014=1.4\times 0.0000001$

$=1.4\times 10^{-7}$

উত্তর: $1.4\times 10^{-7}$

ব্যাখ্যা: দশমিক বিন্দুকে সরিয়ে প্রথম অঙ্কের পরে বসাই। যত ঘর সরালাম, সেটিই $10$ এর ঘাত। বামে সরালে ঘাত ধনাত্মক, ডানে সরালে ঋণাত্মক।

৭. সাধারণ দশমিক রূপে প্রকাশ করো:

ক) $10^5$

সমাধান:

$10^5=100000$

উত্তর: $100000$

খ) $10^{-5}$

সমাধান:

$10^{-5}=\dfrac{1}{10^5}=\dfrac{1}{100000}$

$=0.00001$

উত্তর: $0.00001$

গ) $2.53\times 10^4$

সমাধান:

$2.53\times 10000=25300$

উত্তর: $25300$

ঘ) $9.813\times 10^{-3}$

সমাধান:

$9.813\times 0.001=0.009813$

উত্তর: $0.009813$

ঙ) $3.12\times 10^{-5}$

সমাধান:

$3.12\times 0.00001=0.0000312$

উত্তর: $0.0000312$

ব্যাখ্যা: এবার উল্টো কাজ: ঘাত ধনাত্মক হলে দশমিক ডানে, ঋণাত্মক হলে বামে সরাই।

৮. সাধারণ লগের পূর্ণক বের করো (ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে):

ক) $4820$

সমাধান:

পূর্ণ অংশে ৪টি অঙ্ক

পূর্ণক $=4-1=3$

উত্তর: $3$

খ) $72.245$

সমাধান:

পূর্ণ অংশে ২টি অঙ্ক

পূর্ণক $=2-1=1$

উত্তর: $1$

গ) $1.734$

সমাধান:

পূর্ণ অংশে ১টি অঙ্ক

পূর্ণক $=1-1=0$

উত্তর: $0$

ঘ) $0.045$

সমাধান:

দশমিকের পর ১টি শূন্য

পূর্ণক $=-(1+1)=-2=\bar{2}$

উত্তর: $\bar{2}$

ঙ) $0.000036$

সমাধান:

দশমিকের পর ৪টি শূন্য

পূর্ণক $=-(4+1)=-5=\bar{5}$

উত্তর: $\bar{5}$

ব্যাখ্যা: $1$ বা তার বেশি সংখ্যায় পূর্ণ অংশের অঙ্ক গুনে ১ বাদ দিই। $1$ এর কম সংখ্যায় শূন্য গুনে ১ যোগ করে ঋণাত্মক চিহ্ন দিই।

৯. ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে সাধারণ লগের পূর্ণক ও অংশক নির্ণয় করো:

ক) $27$

সমাধান:

ক্যালকুলেটরে $\log27=1.43136$

উত্তর: পূর্ণক $1$, অংশক $.43136$

খ) $63.147$

সমাধান:

$\log63.147=1.80035$

উত্তর: পূর্ণক $1$, অংশক $.80035$

গ) $1.405$

সমাধান:

$\log1.405=0.14768$

উত্তর: পূর্ণক $0$, অংশক $.14768$

ঘ) $0.0456$

সমাধান:

$\log0.0456=-1.34104$

$-1.34104=-2+0.65896=\bar{2}.65896$

উত্তর: পূর্ণক $\bar{2}$, অংশক $.65896$

ঙ) $0.000673$

সমাধান:

$\log0.000673=-3.17198$

$-3.17198=-4+0.82802=\bar{4}.82802$

উত্তর: পূর্ণক $\bar{4}$, অংশক $.82802$

ব্যাখ্যা: ঋণাত্মক লগকে সরাসরি পড়া যায় না। পরের পূর্ণসংখ্যায় ওঠানোর জন্য $-1.34104=-2+0.65896$ লিখে অংশকটিকে ধনাত্মক রাখি।

১০. গুণফলের/ভাগফলের সাধারণ লগ (আসন্ন পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত) নির্ণয় করো:

ক) $5.34\times 8.7$

সমাধান:

$\log(5.34\times 8.7)=\log5.34+\log8.7$

$=0.72754+0.93952$

$=1.66706$

উত্তর: $1.66706$

খ) $0.79\times 0.56$

সমাধান:

$\log0.79=\bar{1}.89763$, $\log0.56=\bar{1}.74819$

$\log(0.79\times 0.56)=\bar{1}.89763+\bar{1}.74819$

$=\bar{2}+1.64582=\bar{1}.64582$

উত্তর: $\bar{1}.64582$

গ) $22.2642\div 3.42$

সমাধান:

$\log(22.2642\div 3.42)=\log22.2642-\log3.42$

$=1.347602-0.534026$

$=0.813576\approx 0.81358$

উত্তর: $0.81358$

ঘ) $0.19926\div 32.4$

সমাধান:

$\log0.19926=\bar{1}.29942=-0.70058$, $\log32.4=1.51055$

$\log(0.19926\div 32.4)=-0.70058-1.51055=-2.21113$

$-2.21113=-3+0.78887$

$\approx \bar{3}.78888$ (আরও নিখুঁত মানে $\bar{3}.788875$)

উত্তর: $\bar{3}.78888$

ব্যাখ্যা: গুণফলের লগ হলো দুই লগের যোগ, ভাগফলের লগ হলো দুই লগের বিয়োগ। ঋণাত্মক পূর্ণক থাকলে পূর্ণক ও অংশক আলাদা করে হিসাব করি।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ১০(খ) এর উত্তর $\bar{1}.64562$ ছাপা আছে। কিন্তু $\log0.79$ ও $\log0.56$ এর মান যোগ করলে $\bar{1}.64582$ হয় (সঠিক মান $-0.35418$)। সম্ভবত ছাপার ভুল। ১০(ঘ) এ সামান্য রাউন্ডিং এর কারণে শেষ অঙ্ক আলাদা হতে পারে।

১১. যদি $\log2=0.30103$, $\log3=0.47712$ এবং $\log7=0.85410$ হয়, তবে নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় করো:

ক) $\log9$

সমাধান:

$\log9=\log3^2=2\log3$

$=2\times 0.47712=0.95424$

উত্তর: $0.95424$

খ) $\log28$

সমাধান:

$28=4\times 7=2^2\times 7$

$\log28=2\log2+\log7$

প্রশ্নে দেওয়া মানে: $2\times 0.30103+0.85410=1.45616$

সঠিক $\log7=0.84510$ ধরলে: $0.60206+0.84510=1.44716$

উত্তর: $1.44716\approx 1.4471$ (সঠিক $\log7$ ধরে)

গ) $\log42$

সমাধান:

$42=2\times 3\times 7$

$\log42=\log2+\log3+\log7$

প্রশ্নে দেওয়া মানে: $0.30103+0.47712+0.85410=1.63225$

সঠিক $\log7=0.84510$ ধরলে: $0.30103+0.47712+0.84510=1.62325$

উত্তর: $1.62325$ (সঠিক $\log7$ ধরে)

ব্যাখ্যা: গুণফলকে মৌলিক উৎপাদকে ভেঙে লগের যোগ করেছি।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে $\log7=0.85410$ ছাপা আছে, কিন্তু সঠিক মান $0.84510$। বইয়ের উত্তরমালার $1.44710$ ও $1.62325$ সঠিক মান $0.84510$ ধরেই করা। তাই প্রশ্নের ছাপায় অঙ্ক উল্টে গেছে বলে মনে হয়। পরীক্ষায় $\log7=0.84510$ ধরে উত্তর লিখলে উত্তরমালার সঙ্গে মিলবে।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. $\log_x4=2$ হলে $x$ এর মান কত?

ক) 2     খ) $\pm 2$     গ) 4     ঘ) 10

সমাধান:

$x^2=4$

$x=\pm 2$

লগের ভিত্তি ঋণাত্মক হয় না, তাই $x=2$

ব্যাখ্যা: ভিত্তি সবসময় ধনাত্মক, তাই $-2$ বাদ।

উত্তর: ক) $2$

২. $a=\log_23$, $b=\log_25$ হলে—

(i) $\dfrac{a}{b}=\log_53$     (ii) $a+b=\log_28$     (iii) $a^2+b^2=8$

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\log_23}{\log_25}=\log_53$ সঠিক

(ii) $a+b=\log_23+\log_25=\log_2(3\times 5)=\log_215$, যা $\log_28$ নয়

(iii) $a^2+b^2\approx 2.51+5.39=7.9$, যা $8$ নয়

ব্যাখ্যা: ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্রে $\dfrac{\log_23}{\log_25}=\log_53$। বাকি দুটি মেলে না।

উত্তর: ছাপা অনুযায়ী শুধু (i) সঠিক

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ছাপানো অবস্থায় কোনো অপশনেই শুধু (i) নেই। সম্ভবত প্রশ্নের (ii) তে $\log_215$ হওয়ার কথা ছিল; তাহলে সঠিক উত্তর হতো ক) i ও ii। বইয়ে নমুনা প্রশ্নের উত্তরমালা না থাকায় নিশ্চিত করা যায়নি।

$0.0225$ সংখ্যাটি বিবেচনা করে নিচের ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

৩. সংখ্যাটির বৈজ্ঞানিক আকার নিচের কোনটি?

ক) $225\times 10^{-4}$     খ) $22.5\times 10^{-3}$     গ) $2.25\times 10^{-2}$     ঘ) $.225\times 10^{-1}$

সমাধান:

$0.0225=2.25\times 0.01$

$=2.25\times 10^{-2}$

ব্যাখ্যা: বৈজ্ঞানিক রূপে $a$ হবে $1$ থেকে $10$ এর মধ্যে। শুধু গ) এই শর্ত পূরণ করে।

উত্তর: গ) $2.25\times 10^{-2}$

৪. সংখ্যাটির সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

ক) $\bar{2}$     খ) $\bar{1}$     গ) 0     ঘ) 2

সমাধান:

$0.0225=2.25\times 10^{-2}$

পূর্ণক $=-2=\bar{2}$

ব্যাখ্যা: বৈজ্ঞানিক রূপের $10$ এর ঘাতই পূর্ণক।

উত্তর: ক) $\bar{2}$

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. $A=\dfrac{7\log(\frac{16}{15})+5\log(\frac{25}{24})-13\log(\frac{2}{3})}{\log3+3\log5}$, $B=\dfrac{3^{2x+3}-9\cdot 3^{2x-1}}{3^{x+2}\div 3}$

ক) $\sqrt{3}$ ভিত্তিতে 9 এর লগ নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, $\log_{\sqrt{3}}9=m$

$(\sqrt{3})^m=9$

$3^{\frac{m}{2}}=3^2$

$\dfrac{m}{2}=2$

$m=4$

খ) দেখাও যে, $A=1$।

সমাধান:

ধরি, $\log2=a$, $\log3=b$, $\log5=c$

$\log\dfrac{16}{15}=4a-b-c$

$\log\dfrac{25}{24}=2c-3a-b$

$\log\dfrac{2}{3}=a-b$

লব $=7(4a-b-c)+5(2c-3a-b)-13(a-b)$

$=28a-7b-7c+10c-15a-5b-13a+13b$

$=(28-15-13)a+(-7-5+13)b+(-7+10)c$

$=0\cdot a+b+3c=b+3c$

হর $=\log3+3\log5=b+3c$

$A=\dfrac{b+3c}{b+3c}=1$

গ) $B=72$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

লব $=3^{2x+3}-9\cdot 3^{2x-1}=3^{2x+3}-3^2\cdot 3^{2x-1}$

$=3^{2x+3}-3^{2x+1}=3^{2x+1}(3^2-1)=8\cdot 3^{2x+1}$

হর $=3^{x+2}\div 3=3^{x+1}$

$B=\dfrac{8\cdot 3^{2x+1}}{3^{x+1}}=8\cdot 3^{x}$

$8\cdot 3^x=72$

$3^x=9=3^2$

$x=2$

ব্যাখ্যা: (ক) সূচকের সংজ্ঞায় ভিত্তি $\sqrt{3}$ এর কত ঘাতে $9$ হয় তা বের করেছি। (খ) লবের প্রতিটি লগকে $\log2, \log3, \log5$ এ ভেঙে সহগ মিলিয়েছি। (গ) লবের সাধারণ উৎপাদক $3^{2x+1}$ বের করে সরল করেছি।

উত্তর: ক) $4$ খ) প্রমাণিত। গ) $x=2$

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬.

ক) দেখাও যে, $\dfrac{25^n-4}{5^n+2}+2=5^n$।

সমাধান:

$25^n-4=(5^n)^2-2^2=(5^n+2)(5^n-2)$

বামপক্ষ $=\dfrac{(5^n+2)(5^n-2)}{5^n+2}+2$

$=5^n-2+2=5^n=$ডানপক্ষ

খ) $(\sqrt[3]{a})^{x-2}=1$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$a^{\frac{x-2}{3}}=1=a^0$

$\dfrac{x-2}{3}=0$

$x=2$

গ) $\log_y27=6$ হলে $y$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$y^6=27=3^3$

$y^6=3^3$

$y=3^{\frac{3}{6}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

ঘ) ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে $1234567$ এর সাধারণ লগের পূর্ণক নির্ণয় করো।

সমাধান:

$1234567$ এর পূর্ণ অংশে ৭টি অঙ্ক

পূর্ণক $=7-1=6$

ব্যাখ্যা: (ক) বর্গের অন্তরের সূত্র। (খ) $a^0=1$ তাই সূচক শূন্য। (গ) সূচকের রূপে লিখে $y$ বের করেছি। (ঘ) অঙ্কসংখ্যা গুনে ১ বাদ।

উত্তর: ক) প্রমাণিত। খ) $x=2$ গ) $y=\sqrt{3}$ ঘ) $6$