Class 9-10 Math Chapter 4 (Exponents and Logarithms) Exercise 4.2 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• $a^x=N$ হলে $\log_aN=x$ (শর্ত: $a>0, a\ne 1, N>0$)
• $\log_aa=1$, $\log_a1=0$
• $\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$
• $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$
• $\log_aM^r=r\log_aM$
• $\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$ (ভিত্তি পরিবর্তন)

অনুশীলনী ৪.২

১. মান নির্ণয় করো:

ক) $\log_381$

সমাধান:

ধরি, $\log_381=x$

$3^x=81=3^4$

$x=4$

উত্তর: $4$

খ) $\log_5\sqrt[3]{5}$

সমাধান:

$\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}$

$\log_55^{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\log_55=\dfrac{1}{3}$

উত্তর: $\dfrac{1}{3}$

গ) $\log_42$

সমাধান:

ধরি, $\log_42=x$

$4^x=2$

$2^{2x}=2^1$

$2x=1$

$x=\dfrac{1}{2}$

উত্তর: $\dfrac{1}{2}$

ঘ) $\log_{2\sqrt{5}}400$

সমাধান:

$(2\sqrt{5})^2=4\times 5=20$

$(2\sqrt{5})^4=20^2=400$

অতএব $\log_{2\sqrt{5}}400=4$

উত্তর: $4$

ঙ) $\log_5(\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt{5})$

সমাধান:

$\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt{5}=5^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=5^{\frac{5}{6}}$

$\log_55^{\frac{5}{6}}=\dfrac{5}{6}$

উত্তর: $\dfrac{5}{6}$

ব্যাখ্যা: লগের মান মানে ভিত্তিকে কত ঘাত করলে রাশিটি পাওয়া যায়। রাশিটিকে ভিত্তির ঘাতে লিখতে পারলেই উত্তর পাওয়া যায়।

২. $x$ এর মান নির্ণয় করো:

ক) $\log_5x=3$

সমাধান:

$x=5^3=125$

উত্তর: $x=125$

খ) $\log_x25=2$

সমাধান:

$x^2=25=5^2$

$x=5$ (ভিত্তি ধনাত্মক)

উত্তর: $x=5$

গ) $\log_x\dfrac{1}{16}=-2$

সমাধান:

$x^{-2}=\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{16}$

$x^2=16$

$x=4$ (ভিত্তি ধনাত্মক)

উত্তর: $x=4$

ব্যাখ্যা: লগ সমীকরণকে সূচকের রূপে লিখে (ভিত্তি ^ উত্তর = রাশি) সমাধান করি। ভিত্তি সবসময় ধনাত্মক ও $1$ ছাড়া অন্য সংখ্যা।

৩. দেখাও যে,

ক) $5\log_{10}5-\log_{10}25=\log_{10}125$

সমাধান:

বামপক্ষ $=5\log_{10}5-\log_{10}5^2$

$=5\log_{10}5-2\log_{10}5=3\log_{10}5$

$=\log_{10}5^3=\log_{10}125=$ডানপক্ষ

খ) $\log_{10}\dfrac{50}{147}=\log_{10}2+2\log_{10}5-\log_{10}3-2\log_{10}7$

সমাধান:

$50=2\times 5^2$, $147=3\times 7^2$

বামপক্ষ $=\log_{10}50-\log_{10}147$

$=\log_{10}(2\times 5^2)-\log_{10}(3\times 7^2)$

$=\log_{10}2+2\log_{10}5-\log_{10}3-2\log_{10}7=$ডানপক্ষ

গ) $3\log_{10}2+2\log_{10}3+\log_{10}5=\log_{10}360$

সমাধান:

বামপক্ষ $=\log_{10}2^3+\log_{10}3^2+\log_{10}5$

$=\log_{10}(8\times 9\times 5)$

$=\log_{10}360=$ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: গুণের লগ যোগ হয়, ভাগের লগ বিয়োগ হয়, ঘাত সামনে নামে। এই তিন নিয়ম বারবার কাজে লাগে।

উত্তর: প্রমাণিত।

৪. সরল করো:

ক) $7\log_{10}\dfrac{10}{9}-2\log_{10}\dfrac{25}{24}+3\log_{10}\dfrac{81}{80}$

সমাধান:

$=\log_{10}(\dfrac{10}{9})^7-\log_{10}(\dfrac{25}{24})^2+\log_{10}(\dfrac{81}{80})^3$

মৌলিক উৎপাদকে ভাঙি: $10=2\cdot 5$, $9=3^2$, $25=5^2$, $24=2^3\cdot 3$, $81=3^4$, $80=2^4\cdot 5$

$(\dfrac{10}{9})^7=2^7\cdot 5^7\cdot 3^{-14}$

$(\dfrac{25}{24})^2=5^4\cdot 2^{-6}\cdot 3^{-2}$

$(\dfrac{81}{80})^3=3^{12}\cdot 2^{-12}\cdot 5^{-3}$

$2$ এর ঘাত $=7+6-12=1$

$3$ এর ঘাত $=-14+2+12=0$

$5$ এর ঘাত $=7-4-3=0$

প্রদত্ত রাশি $=\log_{10}(2^1\cdot 3^0\cdot 5^0)=\log_{10}2$

খ) $\log_7(\sqrt[5]{7}\cdot \sqrt{7})-\log_3\sqrt[3]{3}+\log_42$

সমাধান:

$\log_7(7^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{1}{2}})=\log_77^{\frac{7}{10}}=\dfrac{7}{10}$

$\log_3\sqrt[3]{3}=\log_33^{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}$

$\log_42=\dfrac{1}{2}$

প্রদত্ত রাশি $=\dfrac{7}{10}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}$

$=\dfrac{21-10+15}{30}=\dfrac{26}{30}=\dfrac{13}{15}$

গ) $\log_e\dfrac{a^3b^3}{c^3}+\log_e\dfrac{b^3c^3}{d^3}+\log_e\dfrac{c^3d^3}{a^3}-3\log_eb^2c$

সমাধান:

প্রথম তিন পদের যোগফল $=\log_e(\dfrac{a^3b^3}{c^3}\cdot \dfrac{b^3c^3}{d^3}\cdot \dfrac{c^3d^3}{a^3})$

$=\log_e(b^6c^3)$

$3\log_eb^2c=\log_e(b^2c)^3=\log_e(b^6c^3)$

প্রদত্ত রাশি $=\log_e(b^6c^3)-\log_e(b^6c^3)=0$

ব্যাখ্যা: (ক) সব সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে ভেঙে ঘাত মিলিয়েছি। (খ) প্রতিটি লগ ঘাতে নামিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করেছি। (গ) গুণফলের মধ্যে সব কাটা পড়ে।

উত্তর: ক) $\log_{10}2$ খ) $\dfrac{13}{15}$ গ) $0$

৫. $x=2, y=3, z=5, w=7$

ক) $\sqrt{y^3}$ এর ৩ ভিত্তিক লগ নির্ণয় করো।

সমাধান:

$y=3$ হলে $\sqrt{y^3}=\sqrt{3^3}=3^{\frac{3}{2}}$

$\log_33^{\frac{3}{2}}=\dfrac{3}{2}$

খ) $w\log\dfrac{xz}{y^2}-x\log\dfrac{z^2}{x^2y}+y\log\dfrac{y^4}{x^4z}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

মান বসিয়ে: $7\log\dfrac{10}{9}-2\log\dfrac{25}{12}+3\log\dfrac{81}{80}$

$xz=10$, $y^2=9$, $z^2=25$, $x^2y=12$, $y^4=81$, $x^4z=80$

$7\log\dfrac{10}{9}=7(\log2+\log5-2\log3)=7\log2+7\log5-14\log3$

$2\log\dfrac{25}{12}=2(2\log5-2\log2-\log3)=4\log5-4\log2-2\log3$

$3\log\dfrac{81}{80}=3(4\log3-4\log2-\log5)=12\log3-12\log2-3\log5$

$\log2$ এর সহগ $=7+4-12=-1$

$\log3$ এর সহগ $=-14+2+12=0$

$\log5$ এর সহগ $=7-4-3=0$

প্রদত্ত রাশি $=-\log2=\log\dfrac{1}{2}$

গ) দেখাও যে, $\dfrac{\log\sqrt{y^3}+y\log x-\dfrac{y}{x}\log(xz)}{\log(xy)-\log z}=\log_y\sqrt{y^3}$

সমাধান:

$\log_y\sqrt{y^3}=\log_yy^{\frac{3}{2}}=\dfrac{3}{2}$

লব $=\log3^{\frac{3}{2}}+3\log2-\dfrac{3}{2}\log10$

$=\dfrac{3}{2}\log3+3\log2-\dfrac{3}{2}\log10$

$=\dfrac{3}{2}(\log3+2\log2-\log10)$

$=\dfrac{3}{2}\log\dfrac{3\times 4}{10}=\dfrac{3}{2}\log\dfrac{6}{5}$

হর $=\log(xy)-\log z=\log6-\log5=\log\dfrac{6}{5}$

বামপক্ষ $=\dfrac{\dfrac{3}{2}\log\dfrac{6}{5}}{\log\dfrac{6}{5}}=\dfrac{3}{2}=$ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: (ক) বর্গমূলকে ভগ্নাংশ সূচকে লিখে ভিত্তি বসাই। (খ) মান বসিয়ে প্রতিটি লগ $\log2, \log3, \log5$ এ ভেঙে সহগ যোগ করেছি। (গ) লব ও হর আলাদা করে সরল করে ভাগ করেছি।

উত্তর: ক) $\dfrac{3}{2}$ খ) $-\log2$ (অর্থাৎ $\log\dfrac{1}{2}$) গ) প্রমাণিত।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ৩ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর নেই। এগুলো আমরা নিজে হিসাব করে মিলিয়েছি।