Class 9-10 Math Chapter 4 (Exponents and Logarithms) Exercise 4.1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• $a^m\times a^n=a^{m+n}$
• $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $(ab)^n=a^nb^n$
• $a^0=1$ (যেখানে $a\ne 0$), $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$
• $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
• $a>0, a\ne 1$ হলে $a^x=a^y$ থেকে $x=y$

অনুশীলনী ৪.১

সরল করো (১–৮):

1. $\dfrac{7^3\times 7^{-3}}{3\times 3^{-4}}$

সমাধান:

লব $=7^{3-3}=7^0=1$

হর $=3^{1-4}=3^{-3}=\dfrac{1}{27}$

প্রদত্ত রাশি $=\dfrac{1}{1/27}=27$

ব্যাখ্যা: একই ভিত্তির গুণে সূচক যোগ হয়। লবে $7^3\times 7^{-3}=1$।

উত্তর: $27$

2. $\dfrac{\sqrt[3]{7^2}\cdot \sqrt[3]{7}}{\sqrt{7}}$

সমাধান:

$\sqrt[3]{7^2}=7^{\frac{2}{3}}$, $\sqrt[3]{7}=7^{\frac{1}{3}}$, $\sqrt{7}=7^{\frac{1}{2}}$

প্রদত্ত রাশি $=\dfrac{7^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

$=\dfrac{7^1}{7^{\frac{1}{2}}}=7^{1-\frac{1}{2}}=7^{\frac{1}{2}}=\sqrt{7}$

ব্যাখ্যা: মূলকে ভগ্নাংশ সূচকে লিখে সূত্র খাটাই।

উত্তর: $\sqrt{7}$

3. $(2^{-1}+5^{-1})^{-1}$

সমাধান:

$2^{-1}=\dfrac{1}{2}$, $5^{-1}=\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{5+2}{10}=\dfrac{7}{10}$

$(\dfrac{7}{10})^{-1}=\dfrac{10}{7}$

ব্যাখ্যা: যোগ করার আগে ঋণাত্মক সূচক সরিয়ে ভগ্নাংশ বানাতে হয়; $2^{-1}+5^{-1}$ কে সরাসরি $7^{-1}$ করা যায় না।

উত্তর: $\dfrac{10}{7}$

4. $(2a^{-1}+3b^{-1})^{-1}$

সমাধান:

$=(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b})^{-1}$

$=(\dfrac{2b+3a}{ab})^{-1}$

$=\dfrac{ab}{3a+2b}$

ব্যাখ্যা: প্রথমে ভগ্নাংশ বানিয়ে যোগ করি, তারপর উল্টে দিই।

উত্তর: $\dfrac{ab}{3a+2b}$

5. $(\dfrac{a^2b^{-1}}{a^{-2}b})^2$

সমাধান:

$\dfrac{a^2b^{-1}}{a^{-2}b}=a^{2-(-2)}b^{-1-1}=a^4b^{-2}$

$(a^4b^{-2})^2=a^8b^{-4}$

$=\dfrac{a^8}{b^4}$

ব্যাখ্যা: ভিতরের ভগ্নাংশ আগে সরল করে বর্গ করা সহজ।

উত্তর: $\dfrac{a^8}{b^4}$

6. $\sqrt{x^{-1}y}\cdot \sqrt{y^{-1}z}\cdot \sqrt{z^{-1}x} («x>0, y>0, z>0$)»

সমাধান:

$=\sqrt{x^{-1}y\cdot y^{-1}z\cdot z^{-1}x}$

$=\sqrt{x^{-1+1}y^{1-1}z^{1-1}}$

$=\sqrt{x^0y^0z^0}=\sqrt{1}=1$

ব্যাখ্যা: তিনটি বর্গমূল গুণ করলে একটি বর্গমূলের ভিতরে গুণ হয়। $x,y,z$ সব কাটা যায়।

উত্তর: $1$

7. $\dfrac{2^{n+4}-4\cdot 2^{n+1}}{2^{n+2}\div 2}$

সমাধান:

লব $=2^n\cdot 2^4-2^2\cdot 2^n\cdot 2=2^n(16-8)=8\cdot 2^n$

হর $=2^{n+2}\div 2=2^{n+1}=2\cdot 2^n$

প্রদত্ত রাশি $=\dfrac{8\cdot 2^n}{2\cdot 2^n}=4$

ব্যাখ্যা: সব পদে $2^n$ সাধারণ উৎপাদক। তাই কাটাকাটি করা যায়।

উত্তর: $4$

8. $\dfrac{3^{m+1}}{(3^m)^{m-1}}\div \dfrac{9^{m+1}}{(3^{m-1})^{m+1}}$

সমাধান:

প্রথম ভগ্নাংশ $=\dfrac{3^{m+1}}{3^{m(m-1)}}=3^{m+1-m^2+m}=3^{-m^2+2m+1}$

$9^{m+1}=3^{2m+2}$

দ্বিতীয় ভগ্নাংশ $=\dfrac{3^{2m+2}}{3^{(m-1)(m+1)}}=3^{2m+2-m^2+1}=3^{-m^2+2m+3}$

প্রদত্ত রাশি $=3^{-m^2+2m+1-(-m^2+2m+3)}$

$=3^{-2}=\dfrac{1}{9}$

ব্যাখ্যা: দুই ভগ্নাংশকে ৩ এর ঘাতে লিখে ভাগ করলে সূচক বিয়োগ হয়।

উত্তর: $\dfrac{1}{9}$

প্রমাণ করো (৯–১৫):

9. $\dfrac{4^n-1}{2^n-1}=2^n+1$

সমাধান:

বামপক্ষ $=\dfrac{(2^2)^n-1}{2^n-1}=\dfrac{(2^n)^2-1^2}{2^n-1}$

$=\dfrac{(2^n+1)(2^n-1)}{2^n-1}$

$=2^n+1=$ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: $4^n=(2^n)^2$, তাই লব বর্গের অন্তর।

উত্তর: প্রমাণিত।

10. $\dfrac{2^{2p+1}\cdot 3^{2p+q}\cdot 5^{p+q}\cdot 6^p}{3^{p-2}\cdot 6^{2p+2}\cdot 10^p\cdot 15^q}=\dfrac{1}{2}$

সমাধান:

$6^p=2^p3^p$, $6^{2p+2}=2^{2p+2}3^{2p+2}$, $10^p=2^p5^p$, $15^q=3^q5^q$

লবে $2$ এর সূচক $=2p+1+p=3p+1$

লবে $3$ এর সূচক $=2p+q+p=3p+q$

লবে $5$ এর সূচক $=p+q$

হরে $3$ এর সূচক $=p-2+2p+2+q=3p+q$

হরে $2$ এর সূচক $=2p+2+p=3p+2$

হরে $5$ এর সূচক $=p+q$

বামপক্ষ $=2^{3p+1-(3p+2)}\cdot 3^0\cdot 5^0=2^{-1}=\dfrac{1}{2}=$ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: সংখ্যাগুলোকে মৌলিক উৎপাদক ২, ৩, ৫ এ ভেঙে প্রত্যেকের সূচক আলাদা করে মিলিয়েছি।

উত্তর: প্রমাণিত।

11. $(\dfrac{a^l}{a^m})^n\cdot (\dfrac{a^m}{a^n})^l\cdot (\dfrac{a^n}{a^l})^m=1$

সমাধান:

বামপক্ষ $=(a^{l-m})^n\cdot (a^{m-n})^l\cdot (a^{n-l})^m$

$=a^{n(l-m)+l(m-n)+m(n-l)}$

$=a^{nl-nm+lm-ln+mn-ml}$

$=a^0=1=$ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: সব সূচক যোগ করলে প্রতিটি গুণফল দুইবার আসে, একবার ধনাত্মক ও একবার ঋণাত্মক চিহ্নে।

উত্তর: প্রমাণিত।

12. $\dfrac{a^{p+q}}{a^{2r}}\times \dfrac{a^{q+r}}{a^{2p}}\times \dfrac{a^{r+p}}{a^{2q}}=1$

সমাধান:

বামপক্ষ $=a^{(p+q)-2r}\cdot a^{(q+r)-2p}\cdot a^{(r+p)-2q}$

$=a^{(p+q-2r)+(q+r-2p)+(r+p-2q)}$

$=a^{0}=1=$ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: তিনটি সূচকের যোগফল শূন্য হয়।

উত্তর: প্রমাণিত।

13. $(\dfrac{x^a}{x^b})^{\frac{1}{ab}}\cdot (\dfrac{x^b}{x^c})^{\frac{1}{bc}}\cdot (\dfrac{x^c}{x^a})^{\frac{1}{ca}}=1$

সমাধান:

বামপক্ষ $=x^{\frac{a-b}{ab}}\cdot x^{\frac{b-c}{bc}}\cdot x^{\frac{c-a}{ca}}$

সূচক $=\dfrac{a-b}{ab}+\dfrac{b-c}{bc}+\dfrac{c-a}{ca}$

$=(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a})+(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{b})+(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{c})=0$

বামপক্ষ $=x^0=1=$ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: প্রতিটি ভগ্নাংশ ভেঙে দুটি অংশ করলে সব কেটে যায়।

উত্তর: প্রমাণিত।

14. $(\dfrac{x^a}{x^b})^{a+b}\cdot (\dfrac{x^b}{x^c})^{b+c}\cdot (\dfrac{x^c}{x^a})^{c+a}=1$

সমাধান:

বামপক্ষ $=x^{(a-b)(a+b)}\cdot x^{(b-c)(b+c)}\cdot x^{(c-a)(c+a)}$

সূচক $=(a^2-b^2)+(b^2-c^2)+(c^2-a^2)=0$

বামপক্ষ $=x^0=1=$ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ সূত্র ব্যবহার করেছি।

উত্তর: প্রমাণিত।

15. $(\dfrac{x^p}{x^q})^{p+q-r}\cdot (\dfrac{x^q}{x^r})^{q+r-p}\cdot (\dfrac{x^r}{x^p})^{r+p-q}=1$

সমাধান:

বামপক্ষ $=x^{(p-q)(p+q-r)}\cdot x^{(q-r)(q+r-p)}\cdot x^{(r-p)(r+p-q)}$

$(p-q)(p+q-r)=p^2-q^2-r(p-q)=p^2-q^2-rp+rq$

$(q-r)(q+r-p)=q^2-r^2-p(q-r)=q^2-r^2-pq+pr$

$(r-p)(r+p-q)=r^2-p^2-q(r-p)=r^2-p^2-qr+pq$

তিনটি যোগ করে সূচক $=0$

বামপক্ষ $=x^0=1=$ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: প্রতিটি সূচককে বর্গের অন্তররূপে ভেঙে যোগ করলে সব বাদ যায়।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৬. যদি $a^x=b$, $b^y=c$ এবং $c^z=a$ হয়, তবে দেখাও যে, $xyz=1$।

সমাধান:

$a=c^z=(b^y)^z=b^{yz}$

$b=a^x$, তাই $a=(a^x)^{yz}=a^{xyz}$

$a^1=a^{xyz}$

অতএব $xyz=1$

ব্যাখ্যা: একটি রাশিকে ঘুরিয়ে আবার নিজের ঘাতে প্রকাশ করেছি। দুই পক্ষে ভিত্তি এক হলে সূচকও সমান।

উত্তর: প্রমাণিত।

সমাধান করো (১৭–২০):

১৭. $4^x=8$

সমাধান:

$(2^2)^x=2^3$

$2^{2x}=2^3$

$2x=3$

$x=\dfrac{3}{2}$

ব্যাখ্যা: দুই পক্ষকে ২ এর ঘাতে লিখে সূচক সমান করেছি।

উত্তর: $x=\dfrac{3}{2}$

১৮. $2^{2x+1}=128$

সমাধান:

$128=2^7$

$2^{2x+1}=2^7$

$2x+1=7$

$2x=6$

$x=3$

ব্যাখ্যা: $128$ কে $2^7$ লিখেছি।

উত্তর: $x=3$

১৯. $(\sqrt{3})^{x+1}=(\sqrt[3]{3})^{2x-1}$

সমাধান:

$3^{\frac{x+1}{2}}=3^{\frac{2x-1}{3}}$

$\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{2x-1}{3}$

$3(x+1)=2(2x-1)$

$3x+3=4x-2$

$x=5$

ব্যাখ্যা: বর্গমূল ও ঘনমূলকে ভগ্নাংশ সূচকে লিখে ভিত্তি এক করেছি।

উত্তর: $x=5$

২০. $2^x+2^{1-x}=3$

সমাধান:

ধরি, $2^x=t$

$2^{1-x}=\dfrac{2}{2^x}=\dfrac{2}{t}$

$t+\dfrac{2}{t}=3$

$t^2-3t+2=0$

$(t-1)(t-2)=0$

$t=1$ অথবা $t=2$

$2^x=1=2^0$ হলে $x=0$

$2^x=2=2^1$ হলে $x=1$

ব্যাখ্যা: $2^x$ কে একটি অক্ষর ধরলে সমীকরণ দ্বিঘাত হয়ে যায়।

উত্তর: $x=0, 1$

২১. $P=x^a$, $Q=x^b$ এবং $R=x^c$

ক) ${(\dfrac{P}{Q})^{a+b}\times (\dfrac{Q}{R})^{b+c}}\div 2(RP)^{a-c}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$\dfrac{P}{Q}=x^{a-b}$, $\dfrac{Q}{R}=x^{b-c}$, $RP=x^{c+a}$

$(\dfrac{P}{Q})^{a+b}=x^{(a-b)(a+b)}=x^{a^2-b^2}$

$(\dfrac{Q}{R})^{b+c}=x^{(b-c)(b+c)}=x^{b^2-c^2}$

গুণফল $=x^{a^2-b^2+b^2-c^2}=x^{a^2-c^2}$

$2(RP)^{a-c}=2x^{(c+a)(a-c)}=2x^{a^2-c^2}$

প্রদত্ত রাশি $=\dfrac{x^{a^2-c^2}}{2x^{a^2-c^2}}=\dfrac{1}{2}$

খ) দেখাও যে, $(\dfrac{P}{Q})^{a^2+ab+b^2}\times (\dfrac{Q}{R})^{b^2+bc+c^2}\times (\dfrac{R}{P})^{c^2+ca+a^2}=1$

সমাধান:

বামপক্ষ $=x^{(a-b)(a^2+ab+b^2)}\cdot x^{(b-c)(b^2+bc+c^2)}\cdot x^{(c-a)(c^2+ca+a^2)}$

$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

$(b-c)(b^2+bc+c^2)=b^3-c^3$

$(c-a)(c^2+ca+a^2)=c^3-a^3$

সূচক $=a^3-b^3+b^3-c^3+c^3-a^3=0$

বামপক্ষ $=x^0=1=$ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: $P, Q, R$ কে $x$ এর ঘাতে লিখলে সবকিছু সূচকের হিসাব হয়ে যায়। $a^3-b^3$ সূত্র কাজে লাগে।

উত্তর: ক) $\dfrac{1}{2}$ খ) প্রমাণিত।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ২১ নং প্রশ্নের উত্তর নেই। (ক) অংশে আমরা $÷ 2(RP)^{a-c}$ কে পুরো $2(RP)^{a-c}$ দ্বারা ভাগ ধরেছি।

২২. $X=(2a^{-1}+3b^{-1})^{-1}$, $Y=\sqrt[pq]{\dfrac{x^p}{x^q}}\times \sqrt[qr]{\dfrac{x^q}{x^r}}\times \sqrt[rp]{\dfrac{x^r}{x^p}}$, $Z=\dfrac{25^{m+1}}{(5^{m-1})^{m+1}}\div \dfrac{5^{m+1}}{(5^m)^{m-1}}+(5^2)^x$, $p,q,r>0$

ক) $X$ এর সরলমান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$X=(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b})^{-1}=(\dfrac{2b+3a}{ab})^{-1}=\dfrac{ab}{3a+2b}$

খ) দেখাও যে, $Y=1$।

সমাধান:

$Y=x^{\frac{p-q}{pq}}\cdot x^{\frac{q-r}{qr}}\cdot x^{\frac{r-p}{rp}}$

সূচক $=(\dfrac{1}{q}-\dfrac{1}{p})+(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{q})+(\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{r})=0$

$Y=x^0=1$

গ) $Z=30$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথম ভগ্নাংশ $=\dfrac{5^{2m+2}}{5^{(m-1)(m+1)}}=5^{2m+2-m^2+1}=5^{-m^2+2m+3}$

দ্বিতীয় ভগ্নাংশ $=\dfrac{5^{m+1}}{5^{m(m-1)}}=5^{m+1-m^2+m}=5^{-m^2+2m+1}$

ভাগফল $=5^{(-m^2+2m+3)-(-m^2+2m+1)}=5^2=25$

$Z=25+(5^2)^x=25+25^x$

$25+25^x=30$

$25^x=5$

$5^{2x}=5^1$

$2x=1$

$x=\dfrac{1}{2}$

ব্যাখ্যা: (ক) ভগ্নাংশ বানিয়ে উল্টে দিয়েছি। (খ) মূলের সূচক ভগ্নাংশ হয়ে $x$ এর ঘাত হয়। (গ) $m$ যুক্ত অংশ কেটে গিয়ে $25$ হয়।

উত্তর: ক) $\dfrac{ab}{3a+2b}$ খ) প্রমাণিত। গ) $x=\dfrac{1}{2}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর নেই; ৯–১৬ নং প্রমাণের প্রশ্ন। আমরা নিজে হিসাব করে মিলিয়েছি।