Class 9-10 Math Chapter 3 (Algebraic Expressions) Exercise 3.5 and Model Questions Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• মোট মূল্য = জনপ্রতি টাকা × লোকসংখ্যা
• কাজ: কাজ = প্রতিদিনের কাজ × দিন; একজনের ১ দিনের কাজ $\dfrac{1}{n}$ অংশ (যদি $n$ দিনে করে)
• দূরত্ব = বেগ × সময়; স্রোতের অনুকূলে বেগ = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ, প্রতিকূলে বেগ = নৌকার বেগ − স্রোতের বেগ
• নল ও চৌবাচ্চা: পূর্ণ করে $+$, খালি করে $-$
• লাভে বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য $×(1+r)$, ক্ষতিতে ক্রয়মূল্য $×(1-r)$
• সরল মুনাফা $I=Pnr$, সবৃদ্ধিমূল $A=P(1+nr)$; চক্রবৃদ্ধি $C=P(1+r)^n$

অনুশীলনী ৩.৫

১. $f(x)=x^2-4x+4$ হলে $f(2)$ এর মান নিচের কোনটি?

ক) 4     খ) 2     গ) 1     ঘ) 0

সমাধান:

$f(2)=2^2-4\cdot 2+4$

$=4-8+4=0$

ব্যাখ্যা: $x$ এর জায়গায় $2$ বসিয়ে হিসাব করেছি।

উত্তর: ঘ) $0$

২. $x+\dfrac{2}{x}=3$ হলে $x^3+\dfrac{8}{x^3}$ এর মান কত?

ক) 1     খ) 8     গ) 9     ঘ) 16

সমাধান:

$(x+\dfrac{2}{x})^3=x^3+\dfrac{8}{x^3}+3\cdot x\cdot \dfrac{2}{x}(x+\dfrac{2}{x})$

$3^3=x^3+\dfrac{8}{x^3}+6\cdot 3$

$27=x^3+\dfrac{8}{x^3}+18$

$x^3+\dfrac{8}{x^3}=9$

ব্যাখ্যা: ঘনের সূত্রে $3ab(a+b)$ অংশে $ab=x\cdot \dfrac{2}{x}=2$ হয়।

উত্তর: গ) $9$

৩. $p^4+p^2+1$ এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ নিচের কোনটি?

ক) $(p^2-p+1)(p^2+p-1)$     খ) $(p^2-p-1)(p^2+p+1)$     গ) $(p^2+p+1)(p^2+p+1)$     ঘ) $(p^2+p+1)(p^2-p+1)$

সমাধান:

$p^4+p^2+1=(p^4+2p^2+1)-p^2$

$=(p^2+1)^2-p^2$

$=(p^2+1+p)(p^2+1-p)$

$=(p^2+p+1)(p^2-p+1)$

ব্যাখ্যা: মাঝের পদে $p^2$ যোগ করে ও বিয়োগ করে পূর্ণবর্গ বানালাম।

উত্তর: ঘ) $(p^2+p+1)(p^2-p+1)$

৪. যদি $x=2-\sqrt{3}$ হয়, $x^2$ তবে এর মান কত?

ক) 1     খ) $7-4\sqrt{3}$     গ) $2+\sqrt{3}$     ঘ) $\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$

সমাধান:

$x^2=(2-\sqrt{3})^2$

$=4-4\sqrt{3}+3$

$=7-4\sqrt{3}$

ব্যাখ্যা: গ ও ঘ অপশনের মান আসলে $\dfrac{1}{x}$; $x^2$ নয়।

উত্তর: খ) $7-4\sqrt{3}$

৫. $f(x)=x^2-5x+6$ এবং $f(x)=0$ হলে $x$ = কত?

ক) 2, 3     খ) -5, 1     গ) -2, 3     ঘ) 1, -5

সমাধান:

$x^2-5x+6=0$

$x^2-2x-3x+6=0$

$x(x-2)-3(x-2)=0$

$(x-2)(x-3)=0$

$x=2$ অথবা $x=3$

ব্যাখ্যা: উৎপাদকে ভেঙে প্রতিটি উৎপাদককে শূন্য ধরলে $x$ এর মান পাওয়া যায়।

উত্তর: ক) $2, 3$

৬. $9x^2+16y^2$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

ক) $6xy$     খ) $12xy$     গ) $24xy$     ঘ) $144xy$

সমাধান:

$9x^2+16y^2=(3x)^2+(4y)^2$

$(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$

তাই যোগ করতে হবে $24xy$

ব্যাখ্যা: পূর্ণবর্গ হতে হলে মাঝের পদ হবে $2\cdot 3x\cdot 4y=24xy$।

উত্তর: গ) $24xy$

৭. $a^2+b^2=9$ এবং $ab=3$ হলে—

(i) $(a-b)^2=3$     (ii) $(a+b)^2=15$     (iii) $a^2+b^2+a^2b^2=18$

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i, ii     খ) i, iii     গ) ii, iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i) $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=9-6=3$ সঠিক

(ii) $(a+b)^2=9+6=15$ সঠিক

(iii) $a^2+b^2+a^2b^2=9+3^2=9+9=18$ সঠিক

ব্যাখ্যা: প্রতিটি বিবৃতি আলাদা করে মান বসিয়ে যাচাই করেছি; তিনটিই ঠিক।

উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

৮. $p^3-\dfrac{1}{64}$ এর উৎপাদক—

(i) $p-\dfrac{1}{4}$     (ii) $p^2+\dfrac{p}{4}+\dfrac{1}{8}$     (iii) $p^2+\dfrac{p}{4}+\dfrac{1}{16}$

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i, ii     খ) i, iii     গ) ii, iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

$p^3-\dfrac{1}{64}=p^3-(\dfrac{1}{4})^3$

$=(p-\dfrac{1}{4})(p^2+p\cdot \dfrac{1}{4}+(\dfrac{1}{4})^2)$

$=(p-\dfrac{1}{4})(p^2+\dfrac{p}{4}+\dfrac{1}{16})$

অতএব (i) ও (iii) সঠিক, (ii) ভুল

ব্যাখ্যা: ঘনের অন্তরের সূত্রে শেষ পদ $(\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{1}{16}$; $\dfrac{1}{8}$ নয়।

উত্তর: খ) i, iii

৯. ক একটি কাজ $p$ দিনে করে এবং খ, $2p$ দিনে করে। তারা একটি কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে গেল। বাকি কাজটুকু খ $r$ দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল?

সমাধান:

ক এর ১ দিনের কাজ $\dfrac{1}{p}$, খ এর $\dfrac{1}{2p}$

দুজনের ১ দিনের কাজ $=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{2p}=\dfrac{3}{2p}$

ধরি, একসঙ্গে $x$ দিন কাজ করেছে

$x$ দিনে কাজ $=\dfrac{3x}{2p}$

বাকি কাজ খ $r$ দিনে করেছে: $\dfrac{r}{2p}$

$\dfrac{3x}{2p}+\dfrac{r}{2p}=1$

$3x+r=2p$

$x=\dfrac{2p-r}{3}$

মোট সময় $=x+r=\dfrac{2p-r}{3}+r=\dfrac{2p+2r}{3}$

ব্যাখ্যা: মোট কাজকে $1$ ধরে দুজনের ও একজনের কাজের অংশ যোগ করে সমীকরণ বানিয়েছি।

উত্তর: $\dfrac{2}{3}(p+r)$ দিনে

১০. দৈনিক ৬ ঘণ্টা পরিশ্রম করে ১০ জন লোক একটি কাজ ৭ দিনে করতে পারে। দৈনিক কত ঘণ্টা পরিশ্রম করে ১৪ জনে ৬ দিনে ঐ কাজটি করতে পারবে?

সমাধান:

কাজের পরিমাণ $=10\times 6\times 7=420$ জন-ঘণ্টা

ধরি, দৈনিক $h$ ঘণ্টা পরিশ্রম করতে হবে

$14\times h\times 6=420$

$84h=420$

$h=5$

ব্যাখ্যা: কাজ একই থাকে, তাই জন × ঘণ্টা × দিন সমান।

উত্তর: ৫ ঘণ্টা

১১. মিতা একটি কাজ ১০ দিনে করতে পারে। রিতা সে কাজ ১৫ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধান:

মিতার ১ দিনের কাজ $=\dfrac{1}{10}$

রিতার ১ দিনের কাজ $=\dfrac{1}{15}$

দুজনের ১ দিনের কাজ $=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{3+2}{30}=\dfrac{1}{6}$

সুতরাং কাজটি শেষ হবে ৬ দিনে

ব্যাখ্যা: ১ দিনের কাজ যোগ করে তার উল্টো করলে মোট দিন পাওয়া যায়।

উত্তর: ৬ দিনে

১২. বনভোজনে যাওয়ার জন্য ৫৭০০ টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হলো এবং শর্ত হলো যে, প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে। ৫ জন যাত্রী না যাওয়ায় মাথাপিছু ভাড়া ৩ টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে কতজন যাত্রী গিয়েছিল?

সমাধান:

ধরি, মোট যাত্রী ছিল $x$ জন

৫ জন না গেলে গিয়েছিল $(x-5)$ জন

$\dfrac{5700}{x-5}-\dfrac{5700}{x}=3$

$5700\cdot \dfrac{5}{x(x-5)}=3$

$x(x-5)=9500$

$x^2-5x-9500=0$

$x^2-100x+95x-9500=0$

$x(x-100)+95(x-100)=0$

$(x-100)(x+95)=0$

$x=100$ (কারণ $x>0$)

যারা গিয়েছিল $=100-5=95$ জন

ব্যাখ্যা: আগে ঠিক করেছি মোট যাত্রী কত ছিল। এরপর প্রশ্নে যারা গিয়েছিল তাদের সংখ্যা বের করেছি। যাচাই: $\dfrac{5700}{95}=60$ টাকা এবং $\dfrac{5700}{100}=57$ টাকা; পার্থক্য ৩ টাকা।

উত্তর: ৯৫ জন

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় $100$ জন দেওয়া আছে। কিন্তু ১০০ জন হলো যাওয়ার কথা থাকা মোট যাত্রী। প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে কতজন গিয়েছিল, তাই সঠিক উত্তর ৯৫ জন। সম্ভবত বইয়ের উত্তরে মোট যাত্রীসংখ্যা ছাপা হয়ে গেছে।

১৩. একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে $p$ ঘণ্টায় $d$ কি.মি. যেতে পারে। স্রোতের অনুকূলে ঐ পথ যেতে তার $q$ ঘণ্টা লাগে। স্রোতের বেগ ও নৌকার বেগ কত?

সমাধান:

ধরি, নৌকার বেগ $u$ কি.মি./ঘণ্টা, স্রোতের বেগ $v$ কি.মি./ঘণ্টা

প্রতিকূলে: $u-v=\dfrac{d}{p}$…(১)

অনুকূলে: $u+v=\dfrac{d}{q}$…(২)

(১) ও (২) যোগ করে $2u=\dfrac{d}{p}+\dfrac{d}{q}$

$u=\dfrac{d}{2}(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q})$

(২) থেকে (১) বিয়োগ করে $2v=\dfrac{d}{q}-\dfrac{d}{p}$

$v=\dfrac{d}{2}(\dfrac{1}{q}-\dfrac{1}{p})$

ব্যাখ্যা: বেগ = দূরত্ব ÷ সময়। দুটি সমীকরণ যোগ করলে নৌকার বেগ, বিয়োগ করলে স্রোতের বেগ পাওয়া যায়।

উত্তর: স্রোতের বেগ $\dfrac{d}{2}(\dfrac{1}{q}-\dfrac{1}{p})$ কি.মি./ঘণ্টা এবং নৌকার বেগ $\dfrac{d}{2}(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q})$ কি.মি./ঘণ্টা

১৪. একজন মাঝির দাঁড় বেয়ে ১৫ কি.মি. যেতে এবং সেখান থেকে ফিরে আসতে ৪ ঘণ্টা সময় লাগে। সে স্রোতের অনুকূলে যতক্ষণে ৫ কি.মি. যায়, স্রোতের প্রতিকূলে ততক্ষণে ৩ কি.মি. যায়। দাঁড়ের বেগ ও স্রোতের বেগ নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, দাঁড়ের বেগ $u$ এবং স্রোতের বেগ $v$ কি.মি./ঘণ্টা

একই সময়ে দূরত্বের অনুপাত $=$ বেগের অনুপাত

$\dfrac{u+v}{u-v}=\dfrac{5}{3}$

$3u+3v=5u-5v$

$8v=2u$

$u=4v$

অনুকূলে বেগ $=5v$, প্রতিকূলে বেগ $=3v$

$\dfrac{15}{5v}+\dfrac{15}{3v}=4$

$\dfrac{3}{v}+\dfrac{5}{v}=4$

$\dfrac{8}{v}=4$

$v=2$, $u=4\times 2=8$

ব্যাখ্যা: সমান সময়ে যাওয়া দূরত্ব বেগের সমানুপাতিক। এভাবে $u$ ও $v$ এর সম্পর্ক বের করে মোট সময়ের সমীকরণে বসিয়েছি।

উত্তর: দাঁড়ের বেগ ৮ কি.মি./ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ ২ কি.মি./ঘণ্টা

১৫. একটি চৌবাচ্চায় দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি $t_1$ মিনিটে পূর্ণ হয় এবং দ্বিতীয় নল দ্বারা $t_2$ মিনিটে খালি হয়। নল দুইটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে? (এখানে $t_2>t_1$)

সমাধান:

প্রথম নল ১ মিনিটে ভরে $\dfrac{1}{t_1}$ অংশ

দ্বিতীয় নল ১ মিনিটে খালি করে $\dfrac{1}{t_2}$ অংশ

একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় $\dfrac{1}{t_1}-\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{t_2-t_1}{t_1t_2}$ অংশ

পূর্ণ হতে সময় লাগবে $\dfrac{t_1t_2}{t_2-t_1}$ মিনিট

ব্যাখ্যা: $t_2>t_1$ বলে ভরার হার বেশি, তাই চৌবাচ্চা শেষ পর্যন্ত ভরবে।

উত্তর: $\dfrac{t_1t_2}{t_2-t_1}$ মিনিট

১৬. একটি নল দ্বারা ১২ মিনিটে একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়। অপর একটি নল দ্বারা ১ মিনিটে তা থেকে ১৫ লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসঙ্গে খুলে দেওয়া হয় এবং চৌবাচ্চাটি ৪৮ মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান:

ধরি, চৌবাচ্চায় $x$ লিটার পানি ধরে

প্রথম নল ১ মিনিটে ভরে $\dfrac{x}{12}$ লিটার

একত্রে ১ মিনিটে ভরে $\dfrac{x}{48}$ লিটার

$\dfrac{x}{12}-15=\dfrac{x}{48}$

$\dfrac{x}{12}-\dfrac{x}{48}=15$

$\dfrac{4x-x}{48}=15$

$\dfrac{3x}{48}=15$

$x=240$

ব্যাখ্যা: ভরার হার থেকে বের করার হার বিয়োগ করলে নিট হার পাওয়া যায়।

উত্তর: ২৪০ লিটার

১৭. ক, খ ও গ এর মধ্যে ২৬০ টাকা এরূপে ভাগ করে দাও যেন ক এর অংশের ২ গুণ, খ এর অংশের ৩ গুণ এবং গ এর অংশের ৪ গুণ পরস্পর সমান হয়।

সমাধান:

ধরি, $2\times$ ক এর অংশ $=3\times$ খ এর অংশ $=4\times$ গ এর অংশ $=k$

ক এর অংশ $=\dfrac{k}{2}$, খ এর অংশ $=\dfrac{k}{3}$, গ এর অংশ $=\dfrac{k}{4}$

$\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{3}+\dfrac{k}{4}=260$

$\dfrac{6k+4k+3k}{12}=260$

$\dfrac{13k}{12}=260$

$k=240$

ক $=\dfrac{240}{2}=120$ টাকা

খ $=\dfrac{240}{3}=80$ টাকা

গ $=\dfrac{240}{4}=60$ টাকা

ব্যাখ্যা: সমান গুণফলকে $k$ ধরে প্রত্যেকের অংশ $k$ এর মাধ্যমে লিখেছি।

উত্তর: ক) ১২০ টাকা খ) ৮০ টাকা গ) ৬০ টাকা

১৮. একটি দ্রব্য $x$ ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়া যায়, $3x$ লাভে বিক্রয় করলে তার চেয়ে $18x$ টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?

সমাধান:

ধরি, ক্রয়মূল্য $C$ টাকা

$x$ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $=C(1-\dfrac{x}{100})$

$3x$ লাভে বিক্রয়মূল্য $=C(1+\dfrac{3x}{100})$

$C(1+\dfrac{3x}{100})-C(1-\dfrac{x}{100})=18x$

$C\cdot \dfrac{4x}{100}=18x$

$C=\dfrac{18x\times 100}{4x}=450$

ব্যাখ্যা: দুই বিক্রয়মূল্যের পার্থক্যে $x$ কাটাকাটি হয়ে যায়।

উত্তর: ৪৫০ টাকা

১৯. একটি কলম ১১ টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হয়। কলমটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:

ধরি, ক্রয়মূল্য $C$ টাকা

$C(1+\dfrac{10}{100})=11$

$C\times \dfrac{11}{10}=11$

$C=10$

ব্যাখ্যা: লাভে বিক্রয়মূল্য $=C(1+r)$ সূত্রে $C$ বের করেছি।

উত্তর: ১০ টাকা

২০. একটি খাতা ৩৬ টাকায় বিক্রয় করায় যত ক্ষতি হলো, ৭২ টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হতো, খাতাটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:

ধরি, ক্রয়মূল্য $C$ টাকা

৩৬ টাকায় ক্ষতি $=C-36$

৭২ টাকায় লাভ $=72-C$

$72-C=2(C-36)$

$72-C=2C-72$

$3C=144$

$C=48$

ব্যাখ্যা: শর্ত অনুযায়ী লাভ = ২ × ক্ষতি, এই সমীকরণ থেকে $C$ পেয়েছি।

উত্তর: ৪৮ টাকা

২১. মুনাফার একই হারে ৩০০ টাকার ৪ বছরের সরল মুনাফা ও ৪০০ টাকার ৫ বছরের সরল মুনাফা একত্রে ১২৮ টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?

সমাধান:

ধরি, শতকরা হার $r$

$I=Pnr$ সূত্রে

প্রথম মুনাফা $=300\times 4\times \dfrac{r}{100}=12r$

দ্বিতীয় মুনাফা $=400\times 5\times \dfrac{r}{100}=20r$

$12r+20r=128$

$32r=128$

$r=4$

ব্যাখ্যা: দুটি মুনাফা আলাদা করে $r$ এর মাধ্যমে লিখে যোগ করেছি।

উত্তর: ৪%

২২. ৪% হার মুনাফায় কোনো টাকার ২ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ১ টাকা হলে, মূলধন কত?

সমাধান:

ধরি, মূলধন $P$ টাকা

সরল মুনাফা $=P\times 2\times \dfrac{4}{100}=0.08P$

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা $=P(1.04^2-1)=P(1.0816-1)=0.0816P$

$0.0816P-0.08P=1$

$0.0016P=1$

$P=\dfrac{1}{0.0016}=625$

ব্যাখ্যা: চক্রবৃদ্ধি মুনাফা বের করতে $(1+r)^2$ ব্যবহার করে সবৃদ্ধিমূল থেকে মূলধন বিয়োগ করেছি।

উত্তর: ৬২৫ টাকা

২৩. কোনো আসল ৩ বছরে সরল মুনাফাসহ ৪৬০ টাকা এবং ৫ বছরে সরল মুনাফাসহ ৬০০ টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?

সমাধান:

ধরি, আসল $P$ এবং বার্ষিক মুনাফার হার $r$

$P+3Pr=460$…(১)

$P+5Pr=600$…(২)

(২) − (১): $2Pr=140$

$Pr=70$

(১) থেকে $P=460-3\times 70=250$

$r=\dfrac{70}{250}=0.28=28$

ব্যাখ্যা: দুই সমীকরণ বিয়োগ করে আগে $Pr$ (বছরে মুনাফা) বের করেছি।

উত্তর: ২৮%

২৪. শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা ১৩ বছরে সবৃদ্ধিমূল ৯৯০ টাকা হবে?

সমাধান:

ধরি, আসল $P$ টাকা

$P(1+13\times \dfrac{5}{100})=990$

$P(1+0.65)=990$

$1.65P=990$

$P=600$

ব্যাখ্যা: সবৃদ্ধিমূল $A=P(1+nr)$।

উত্তর: ৬০০ টাকা

২৫. ৫% হার মুনাফায় ৮০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

সরল মুনাফা $=8000\times 3\times 0.05=1200$ টাকা

চক্রবৃদ্ধিতে সবৃদ্ধিমূল $=8000(1.05)^3$

$=8000\times 1.157625=9261$

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা $=9261-8000=1261$ টাকা

পার্থক্য $=1261-1200=61$ টাকা

ব্যাখ্যা: দুই ধরনের মুনাফা আলাদা করে বের করে বিয়োগ করেছি।

উত্তর: ৬১ টাকা

২৬. মিষ্টির উপর মূল্য সংযোজন কর (VAT) $x$। একজন বিক্রেতা ভ্যাটসহ $P$ টাকার মিষ্টি বিক্রয় করলে তাকে কত ভ্যাট দিতে হবে? $x=15$, $P=2300$ হলে, ভ্যাটের পরিমাণ কত?

সমাধান:

ধরি, ভ্যাট ছাড়া মূল্য $B$ টাকা

$B+B\cdot \dfrac{x}{100}=P$

$B=\dfrac{100P}{100+x}$

ভ্যাট $=P-B=P-\dfrac{100P}{100+x}$

$=\dfrac{Px}{100+x}$

$x=15$, $P=2300$ হলে ভ্যাট $=\dfrac{2300\times 15}{100+15}=\dfrac{34500}{115}=300$

ব্যাখ্যা: মোট মূল্যে ভ্যাট আগেই যুক্ত আছে। তাই ভ্যাট ছাড়া মূল্য আগে বের করে তবেই ভ্যাট পাওয়া যায়।

উত্তর: ভ্যাট $\dfrac{Px}{100+x}$ টাকা; ভ্যাটের পরিমাণ ৩০০ টাকা

২৭. দাঁড় বেয়ে একটি খালের $A$ বিন্দু থেকে $B$ বিন্দুতে যেয়ে ফিরে আসতে হবে। দাঁড়ের বেগ ধ্রুব হলে স্রোত থাকলে সময় বেশি লাগবে না স্রোত না থাকলে সময় বেশি লাগবে?

সমাধান:

ধরি, দূরত্ব $d$, দাঁড়ের বেগ $u$, স্রোতের বেগ $v$ ($u>v$)

স্রোত না থাকলে মোট সময় $T_1=\dfrac{2d}{u}$

স্রোত থাকলে মোট সময় $T_2=\dfrac{d}{u+v}+\dfrac{d}{u-v}$

$=d\cdot \dfrac{2u}{u^2-v^2}=\dfrac{2du}{u^2-v^2}$

$T_2-T_1=\dfrac{2du}{u^2-v^2}-\dfrac{2d}{u}$

$=2d\cdot \dfrac{u^2-(u^2-v^2)}{u(u^2-v^2)}=\dfrac{2dv^2}{u(u^2-v^2)}>0$

ব্যাখ্যা: $v=0$ হলে $T_1=T_2$। স্রোত থাকলে $v^2>0$, তাই $T_2>T_1$; যাওয়ার সময় যতটুকু লাভ হয়, ফেরার সময় তার চেয়ে বেশি ক্ষতি হয়।

উত্তর: স্রোত থাকলে সময় বেশি লাগবে।

২৮. একটি মাঠে ধ্রুব হারে ঘাস বৃদ্ধি পায়। ১৭টি গরু ৩০ দিনে সব ঘাস খেয়ে ফেলতে পারে। তবে ১৯টি গরুর লাগে ২৪ দিন। একদল গরু ৬ দিন ঘাস খাওয়ার পর ৪টি গরু বিক্রয় করা হলে ঘাস খাওয়া শেষ করতে আরও ২ দিন লাগলো। দলটিতে শুরুতে কতগুলো গরু ছিল?

সমাধান:

ধরি, মাঠে শুরুতে ঘাস $G$ একক এবং প্রতিদিন বাড়ে $g$ একক

১টি গরু প্রতিদিন ১ একক ঘাস খায়

১৭টি গরু ৩০ দিনে: $G+30g=17\times 30=510$…(১)

১৯টি গরু ২৪ দিনে: $G+24g=19\times 24=456$…(২)

(১) − (২): $6g=54$, $g=9$

(১) থেকে $G=510-30\times 9=240$

ধরি, শুরুতে গরু ছিল $n$ টি

মোট ঘাস $=G+8g=240+72=312$

গরুরা খেয়েছে $6n+2(n-4)=8n-8$

$8n-8=312$

$8n=320$

$n=40$

ব্যাখ্যা: মোট ঘাস = শুরুর ঘাস + ৮ দিনে বেড়ে ওঠা ঘাস। গরুদের খাওয়া ঘাসও একই। এই দুটিকে সমান করে $n$ পেয়েছি।

উত্তর: ৪০টি

২৯. দুই ভাইয়ের একটি প্রশিক্ষিত ঘোড়া ছিল যা যেকোনো নির্দেশই পালন করতে পারে। দুই ভাই একই সময়ে বাসা থেকে রওয়ানা হয়ে ২০ মাইল দূরে একটি বৈশাখী মেলায় যেতে চায়। ঘোড়া যেকোনো মুহূর্তে মাত্র একজন ভাইকে বহন করতে পারে। ভাইদের বেগ ঘণ্টায় ৪ মাইল এবং ঘোড়ার বেগ ঘণ্টায় (মানুষসহ কিংবা ছাড়া) ১০ মাইল হলে সর্বনিম্ন কত সময়ে তারা মেলায় পৌঁছতে পারবে? প্রত্যেক ভাই কতটা পথ হাঁটবে?

সমাধান:

ধরি, প্রথম ভাই ঘোড়ায় $x$ মাইল গিয়ে নেমে হেঁটে বাকি পথ যায়

ঘোড়া তখন ফিরে এসে দ্বিতীয় ভাইকে তুলে নেয়

দ্বিতীয় ভাই $y$ মাইল হেঁটে ঘোড়ায় উঠে বাকি পথ যায়

প্রথম ভাই ঘোড়া ছাড়ে $\dfrac{x}{10}$ ঘণ্টা পরে

তখন দ্বিতীয় ভাই হেঁটেছে $4\times \dfrac{x}{10}=\dfrac{2x}{5}$ মাইল

দূরত্ব $x-\dfrac{2x}{5}=\dfrac{3x}{5}$ মাইল, ঘোড়া ও ভাই কাছে আসছে $10+4=14$ মাইল/ঘণ্টায়

মিলতে সময় $\dfrac{3x}{5}\div 14=\dfrac{3x}{70}$ ঘণ্টা

মিলনস্থল ছাড়ার জায়গা থেকে $y=\dfrac{2x}{5}+4\times \dfrac{3x}{70}=\dfrac{4x}{7}$ মাইল

সবচেয়ে কম সময়ে দুজনে একসঙ্গে পৌঁছবে, তাই দুজনের হাঁটা ও চড়ার পথ সমান: $y=20-x$

$\dfrac{4x}{7}=20-x$

$4x=140-7x$

$11x=140$

$x=\dfrac{140}{11}$

প্রত্যেকের হাঁটা পথ $=20-\dfrac{140}{11}=\dfrac{80}{11}$ মাইল

মোট সময় $=\dfrac{x}{10}+\dfrac{20-x}{4}=\dfrac{14}{11}+\dfrac{20}{11}=\dfrac{34}{11}$ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা: ঘোড়া একজনকে কিছু দূর পৌঁছে দিয়ে ফিরে এসে অন্যজনকে তোলে। দুজনই একই দূরত্ব ঘোড়ায় চড়ে এবং একই দূরত্ব হাঁটে, তখনই মোট সময় সবচেয়ে কম হয়।

উত্তর: সর্বনিম্ন $\dfrac{34}{11}=3\dfrac{1}{11}$ ঘণ্টা; প্রত্যেকে $\dfrac{80}{11}=7\dfrac{3}{11}$ মাইল হাঁটবে।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. $\dfrac{1}{2}{(a+b)^2-(a-b)^2}$ এর মান নিচের কোনটি?

ক) $2(a^2+b^2)$     খ) $a^2+b^2$     গ) $2ab$     ঘ) $4ab$

সমাধান:

$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$

$\dfrac{1}{2}\times 4ab=2ab$

ব্যাখ্যা: দুই বর্গের অন্তর $4ab$ হয়; তার অর্ধেক $2ab$।

উত্তর: গ) $2ab$

২. $3a^5-6a^4+3a+14$ একটি বীজগাণিতিক রাশি হলে—

(i) রাশিটির চলক $a$     (ii) রাশিটির মাত্রা 5     (iii) $a^4$ এর সহগ 6

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i, ii     খ) i, iii     গ) ii, iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i) চলক $a$: সঠিক

(ii) সর্বোচ্চ ঘাত $5$, তাই মাত্রা $5$: সঠিক

(iii) $a^4$ এর সহগ $-6$, $6$ নয়: ভুল

ব্যাখ্যা: সহগের চিহ্ন সহ পড়তে হয়।

উত্তর: ক) i, ii

$x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{3}$ হলে নিচের ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

৩. $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ এর মান কত?

ক) 4     খ) 2     গ) 1     ঘ) 0

সমাধান:

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2-2$

$=(\sqrt{3})^2-2=3-2=1$

ব্যাখ্যা: বর্গ করে $2$ বিয়োগ করি।

উত্তর: গ) $1$

৪. $x^3+\dfrac{1}{x^3}$ এর মান কত?

ক) 3     খ) 2     গ) 1     ঘ) 0

সমাধান:

$x^3+\dfrac{1}{x^3}=(x+\dfrac{1}{x})^3-3(x+\dfrac{1}{x})$

$=(\sqrt{3})^3-3\sqrt{3}$

$=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0$

ব্যাখ্যা: $(\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}$ এবং $3(x+\dfrac{1}{x})=3\sqrt{3}$, তাই বিয়োগফল শূন্য।

উত্তর: ঘ) $0$

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. $x+\dfrac{1}{x}=3$ এবং $p^2+\dfrac{1}{p^2}=7$

ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: $a^4-7a^2-18$।

সমাধান:

$a^4-7a^2-18=a^4-9a^2+2a^2-18$

$=a^2(a^2-9)+2(a^2-9)$

$=(a^2-9)(a^2+2)$

$=(a+3)(a-3)(a^2+2)$

খ) $(x^3-\dfrac{1}{x^3})$ এর মান নির্ণয় করো; যখন $x>1$।

সমাধান:

$(x-\dfrac{1}{x})^2=(x+\dfrac{1}{x})^2-4=9-4=5$

$x>1$ বলে $x>\dfrac{1}{x}$, তাই $x-\dfrac{1}{x}=\sqrt{5}$

$x^3-\dfrac{1}{x^3}=(x-\dfrac{1}{x})^3+3(x-\dfrac{1}{x})$

$=(\sqrt{5})^3+3\sqrt{5}$

$=5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5}$

গ) প্রমাণ করো যে, $p^5+\dfrac{1}{p^5}=123$, যখন $p>0$।

সমাধান:

$(p+\dfrac{1}{p})^2=p^2+\dfrac{1}{p^2}+2=7+2=9$

$p>0$ বলে $p+\dfrac{1}{p}=3$

$p^3+\dfrac{1}{p^3}=(p+\dfrac{1}{p})^3-3(p+\dfrac{1}{p})=27-9=18$

$(p^2+\dfrac{1}{p^2})(p^3+\dfrac{1}{p^3})=p^5+\dfrac{1}{p^5}+p+\dfrac{1}{p}$

$7\times 18=p^5+\dfrac{1}{p^5}+3$

$p^5+\dfrac{1}{p^5}=126-3=123$

ব্যাখ্যা: (ক) অংশে $a^2$ কে একটি অক্ষর ধরে সাধারণ দ্বিঘাত ভেঙেছি। (খ) ও (গ) তে ধাপে ধাপে ঘাত বাড়িয়েছি। (খ) তে $x>1$ শর্তের জন্য শুধু ধনাত্মক মান নিয়েছি।

উত্তর: ক) $(a+3)(a-3)(a^2+2)$ খ) $8\sqrt{5}$ গ) প্রমাণিত।

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬.

ক) $a^2+b^2=25$ এবং $ab=12$ হলে $(a^2-b^2)$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2-4a^2b^2$

$=25^2-4\times 12^2=625-576=49$

$a^2-b^2=\pm 7$

খ) $x^3-y^3=208$ এবং $x-y=4$ হলে $xy$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$x^3-y^3=(x-y)^3+3xy(x-y)$

$208=64+12xy$

$12xy=144$

$xy=12$

গ) শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার মুনাফায় কত টাকা ১২ বছরে সবৃদ্ধিমূল ১২৮০ টাকা হবে?

সমাধান:

ধরি, আসল $P$ টাকা

$P(1+12\times \dfrac{5}{100})=1280$

$P\times 1.6=1280$

$P=800$

ঘ) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: $2x^3-4x^2+3x-1$।

সমাধান:

ধরি, $f(x)=2x^3-4x^2+3x-1$

$f(1)=2-4+3-1=0$

অতএব $(x-1)$ একটি উৎপাদক

$2x^3-4x^2+3x-1=2x^3-2x^2-2x^2+2x+x-1$

$=2x^2(x-1)-2x(x-1)+1(x-1)$

$=(x-1)(2x^2-2x+1)$

ব্যাখ্যা: (ক) বর্গ করে $a^2-b^2$ এর বর্গ বের করেছি, তাই উত্তর $\pm 7$। (খ) ঘনের অন্তরের সূত্র। (গ) সরল মুনাফার সবৃদ্ধিমূল সূত্র। (ঘ) $x=1$ বসালে শূন্য, তাই উৎপাদক উপপাদ্য।

উত্তর: ক) $\pm 7$ খ) $12$ গ) ৮০০ টাকা ঘ) $(x-1)(2x^2-2x+1)$