Class 9-10 Math Chapter 3 (Algebraic Expressions) Exercise 3.4 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• ভাগশেষ উপপাদ্য: $f(x)$ কে $(x-a)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $f(a)$।
• উৎপাদক উপপাদ্য: $f(a)=0$ হলে $(x-a)$ হলো $f(x)$ এর একটি উৎপাদক।
• $(ax+b)$ উৎপাদক হবে যদি $f(-\dfrac{b}{a})=0$ হয়।
• কোথা থেকে মান বসাব: ধ্রুব পদের উৎপাদকগুলো ($\pm 1$, $\pm 2$ ...) এবং প্রয়োজনে ভগ্নাংশ।
• একটি উৎপাদক পেলে পদ ভেঙে ভাগ না করেই উৎপাদক বের করা যায়।

অনুশীলনী ৩.৪

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো:

1. $3a^3+2a+5$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(a)=3a^3+2a+5$

$f(-1)=-3-2+5=0$

অতএব $(a+1)$ একটি উৎপাদক

$3a^3+2a+5=3a^3+3a^2-3a^2-3a+5a+5$

$=3a^2(a+1)-3a(a+1)+5(a+1)$

$=(a+1)(3a^2-3a+5)$

ব্যাখ্যা: $a=-1$ বসালে মান শূন্য হয়, তাই $(a+1)$ উৎপাদক। এরপর পদগুলোকে $(a+1)$ যুক্ত করে ভেঙে নিয়েছি।

উত্তর: $(a+1)(3a^2-3a+5)$

2. $x^3-7xy^2-6y^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$x$ কে চলক এবং $y$ কে ধ্রুবক ধরি

ধরি, $f(x)=x^3-7xy^2-6y^3$

$f(-y)=-y^3+7y^3-6y^3=0$

অতএব $(x+y)$ একটি উৎপাদক

$x^3-7xy^2-6y^3=x^3+x^2y-x^2y-xy^2-6xy^2-6y^3$

$=x^2(x+y)-xy(x+y)-6y^2(x+y)$

$=(x+y)(x^2-xy-6y^2)$

$x^2-xy-6y^2=x^2-3xy+2xy-6y^2=(x-3y)(x+2y)$

$=(x+y)(x-3y)(x+2y)$

ব্যাখ্যা: এখানে দুটি চলক আছে। $x$ কে চলক ধরলে $x=-y$ বসিয়ে শূন্য পাই।

উত্তর: $(x+y)(x-3y)(x+2y)$

3. $x^3+2x^2-5x-6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(x)=x^3+2x^2-5x-6$

$f(-1)=-1+2+5-6=0$

অতএব $(x+1)$ একটি উৎপাদক

$x^3+2x^2-5x-6=x^3+x^2+x^2+x-6x-6$

$=x^2(x+1)+x(x+1)-6(x+1)$

$=(x+1)(x^2+x-6)$

$=(x+1)(x^2+3x-2x-6)$

$=(x+1)(x+3)(x-2)$

ব্যাখ্যা: $-6$ এর উৎপাদকগুলো একে একে বসিয়ে প্রথম শূন্য মানটি পেয়েছি।

উত্তর: $(x-2)(x+1)(x+3)$

4. $x^3+4x^2+x-6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(x)=x^3+4x^2+x-6$

$f(1)=1+4+1-6=0$

অতএব $(x-1)$ একটি উৎপাদক

$x^3+4x^2+x-6=x^3-x^2+5x^2-5x+6x-6$

$=x^2(x-1)+5x(x-1)+6(x-1)$

$=(x-1)(x^2+5x+6)$

$=(x-1)(x+2)(x+3)$

ব্যাখ্যা: $x=1$ বসালেই শূন্য। বাকি দ্বিঘাতটি সহজে ভাঙে।

উত্তর: $(x-1)(x+2)(x+3)$

5. $a^3+3a+36$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(a)=a^3+3a+36$

$f(-3)=-27-9+36=0$

অতএব $(a+3)$ একটি উৎপাদক

$a^3+3a+36=a^3+3a^2-3a^2-9a+12a+36$

$=a^2(a+3)-3a(a+3)+12(a+3)$

$=(a+3)(a^2-3a+12)$

ব্যাখ্যা: $a^2-3a+12$ কে আর ভাঙা যায় না, কারণ এর মূলগুলো বাস্তব নয়।

উত্তর: $(a+3)(a^2-3a+12)$

6. $a^4-4a+3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(a)=a^4-4a+3$

$f(1)=1-4+3=0$

অতএব $(a-1)$ একটি উৎপাদক

$a^4-4a+3=a^4-a^3+a^3-a^2+a^2-a-3a+3$

$=a^3(a-1)+a^2(a-1)+a(a-1)-3(a-1)$

$=(a-1)(a^3+a^2+a-3)$

আবার, $g(a)=a^3+a^2+a-3$

$g(1)=1+1+1-3=0$

অতএব $(a-1)$ আবার উৎপাদক

$a^3+a^2+a-3=a^3-a^2+2a^2-2a+3a-3$

$=a^2(a-1)+2a(a-1)+3(a-1)=(a-1)(a^2+2a+3)$

$a^4-4a+3=(a-1)(a-1)(a^2+2a+3)$

ব্যাখ্যা: এক উৎপাদক বের করার পর যে ঘনরাশি পাওয়া গেল, তাতেও $a=1$ শূন্য দেয়। তাই $(a-1)$ দুইবার আছে।

উত্তর: $(a-1)^2(a^2+2a+3)$

7. $a^3-a^2-10a-8$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(a)=a^3-a^2-10a-8$

$f(-1)=-1-1+10-8=0$

অতএব $(a+1)$ একটি উৎপাদক

$a^3-a^2-10a-8=a^3+a^2-2a^2-2a-8a-8$

$=a^2(a+1)-2a(a+1)-8(a+1)$

$=(a+1)(a^2-2a-8)$

$=(a+1)(a^2-4a+2a-8)$

$=(a+1)(a-4)(a+2)$

ব্যাখ্যা: $a=-1$ বসালে শূন্য, পরে দ্বিঘাত ভাঙি।

উত্তর: $(a+1)(a-4)(a+2)$

8. $x^3-3x^2+4x-4$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(x)=x^3-3x^2+4x-4$

$f(2)=8-12+8-4=0$

অতএব $(x-2)$ একটি উৎপাদক

$x^3-3x^2+4x-4=x^3-2x^2-x^2+2x+2x-4$

$=x^2(x-2)-x(x-2)+2(x-2)$

$=(x-2)(x^2-x+2)$

ব্যাখ্যা: $x=2$ বসালে শূন্য। $x^2-x+2$ আর ভাঙা যায় না।

উত্তর: $(x-2)(x^2-x+2)$

9. $a^3-7a^2b+7ab^2-b^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$a$ কে চলক এবং $b$ কে ধ্রুবক ধরি

ধরি, $f(a)=a^3-7a^2b+7ab^2-b^3$

$f(b)=b^3-7b^3+7b^3-b^3=0$

অতএব $(a-b)$ একটি উৎপাদক

$a^3-7a^2b+7ab^2-b^3=a^3-a^2b-6a^2b+6ab^2+ab^2-b^3$

$=a^2(a-b)-6ab(a-b)+b^2(a-b)$

$=(a-b)(a^2-6ab+b^2)$

ব্যাখ্যা: $a=b$ বসালে শূন্য, তাই $(a-b)$ উৎপাদক।

উত্তর: $(a-b)(a^2-6ab+b^2)$

10. $x^3-x-24$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(x)=x^3-x-24$

$f(3)=27-3-24=0$

অতএব $(x-3)$ একটি উৎপাদক

$x^3-x-24=x^3-3x^2+3x^2-9x+8x-24$

$=x^2(x-3)+3x(x-3)+8(x-3)$

$=(x-3)(x^2+3x+8)$

ব্যাখ্যা: $x=1,2$ বসালে শূন্য হয় না, $x=3$ এ হয়।

উত্তর: $(x-3)(x^2+3x+8)$

11. $x^3+6x^2+11x+6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(x)=x^3+6x^2+11x+6$

$f(-1)=-1+6-11+6=0$

অতএব $(x+1)$ একটি উৎপাদক

$x^3+6x^2+11x+6=x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6$

$=x^2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)$

$=(x+1)(x^2+5x+6)$

$=(x+1)(x+2)(x+3)$

ব্যাখ্যা: সব সহগ ধনাত্মক হলে $x=-1,-2,-3$ ইত্যাদি বসিয়ে দেখি।

উত্তর: $(x+1)(x+2)(x+3)$

12. $2x^4-3x^3-3x-2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(x)=2x^4-3x^3-3x-2$

$f(2)=32-24-6-2=0$

অতএব $(x-2)$ একটি উৎপাদক

$2x^4-3x^3-3x-2=2x^4-4x^3+x^3-2x^2+2x^2-4x+x-2$

$=2x^3(x-2)+x^2(x-2)+2x(x-2)+(x-2)$

$=(x-2)(2x^3+x^2+2x+1)$

$2x^3+x^2+2x+1=x^2(2x+1)+1(2x+1)=(2x+1)(x^2+1)$

$=(x-2)(2x+1)(x^2+1)$

ব্যাখ্যা: চার ঘাতের রাশিতে উৎপাদক পাওয়ার পর তিন ঘাতের রাশিটি জোড়া করে ভাঙা হয়েছে।

উত্তর: $(x-2)(2x+1)(x^2+1)$

13. $4x^4+12x^3+7x^2-3x-2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(x)=4x^4+12x^3+7x^2-3x-2$

$f(-1)=4-12+7+3-2=0$

অতএব $(x+1)$ একটি উৎপাদক

$f(x)=4x^4+4x^3+8x^3+8x^2-x^2-x-2x-2$

$=4x^3(x+1)+8x^2(x+1)-x(x+1)-2(x+1)$

$=(x+1)(4x^3+8x^2-x-2)$

$4x^3+8x^2-x-2=4x^2(x+2)-1(x+2)=(x+2)(4x^2-1)$

$=(x+2)(2x-1)(2x+1)$

$f(x)=(x+1)(x+2)(2x-1)(2x+1)$

ব্যাখ্যা: $4x^2-1$ বর্গের অন্তর, তাই আরও ভেঙেছে।

উত্তর: $(2x-1)(2x+1)(x+1)(x+2)$

14. $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=x(x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)$

$=x{x^4(x-1)+x^2(x-1)+(x-1)}$

$=x(x-1)(x^4+x^2+1)$

$x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2$

$=(x^2+1+x)(x^2+1-x)$

$=x(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

ব্যাখ্যা: আগে সাধারণ উৎপাদক $x$, তারপর জোড়া করে $(x-1)$। শেষে $x^4+x^2+1$ কে বর্গের অন্তররূপে ভাঙি।

উত্তর: $x(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

15. $4x^3-5x^2+5x-1$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(x)=4x^3-5x^2+5x-1$

$f(\dfrac{1}{4})=4\cdot \dfrac{1}{64}-5\cdot \dfrac{1}{16}+\dfrac{5}{4}-1$

$=\dfrac{1}{16}-\dfrac{5}{16}+\dfrac{20}{16}-\dfrac{16}{16}=0$

অতএব $(4x-1)$ একটি উৎপাদক

$4x^3-5x^2+5x-1=4x^3-x^2-4x^2+x+4x-1$

$=x^2(4x-1)-x(4x-1)+1(4x-1)$

$=(4x-1)(x^2-x+1)$

ব্যাখ্যা: $4x-1=0$ থেকে $x=\dfrac{1}{4}$। তাই ভগ্নাংশ বসিয়ে দেখেছি।

উত্তর: $(4x-1)(x^2-x+1)$

16. $18x^3+15x^2-x-2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি, $f(x)=18x^3+15x^2-x-2$

$f(-\dfrac{1}{2})=18\cdot (-\dfrac{1}{8})+15\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-2$

$=-\dfrac{9}{4}+\dfrac{15}{4}+\dfrac{2}{4}-\dfrac{8}{4}=0$

অতএব $(2x+1)$ একটি উৎপাদক

$18x^3+15x^2-x-2=18x^3+9x^2+6x^2+3x-4x-2$

$=9x^2(2x+1)+3x(2x+1)-2(2x+1)$

$=(2x+1)(9x^2+3x-2)$

$9x^2+3x-2=9x^2+6x-3x-2=(3x+2)(3x-1)$

$=(2x+1)(3x+2)(3x-1)$

ব্যাখ্যা: $x=-\dfrac{1}{2}$ বসিয়ে শূন্য পেয়েছি, তাই $(2x+1)$ উৎপাদক।

উত্তর: $(2x+1)(3x+2)(3x-1)$