Class 9-10 Math Chapter 3 (Algebraic Expressions) Exercise 3.3 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• সাধারণ উৎপাদক বের করা: সব পদে যা সাধারণ আছে তা বাইরে আনি।
• পূর্ণবর্গ: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
• বর্গের অন্তর: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
• ঘনের সূত্র: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
• মধ্যপদ ভাঙা: $x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$
• জটিল রাশিতে একই অংশকে একটি নতুন অক্ষর ধরা যায়।

অনুশীলনী ৩.৩

নিচের রাশিগুলোকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো (১–৩০):

1. $ab(x-y)-bc(x-y)$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$(x-y)$ দুই পদেই আছে

$ab(x-y)-bc(x-y)=b(x-y)(a-c)$

ব্যাখ্যা: দুই পদে সাধারণ উৎপাদক $b$ এবং $(x-y)$।

উত্তর: $b(x-y)(a-c)$

2. $9x^2+24x+16$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$9x^2=(3x)^2$, $16=4^2$

$2\cdot 3x\cdot 4=24x$

$9x^2+24x+16=(3x+4)^2$

ব্যাখ্যা: প্রথম ও শেষ পদ বর্গ এবং মাঝের পদ তাদের গুণফলের দ্বিগুণ, তাই এটি পূর্ণবর্গ।

উত্তর: $(3x+4)^2$

3. $a^4-27a^2+1$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$a^4-27a^2+1=(a^4-2a^2+1)-25a^2$

$=(a^2-1)^2-(5a)^2$

$=(a^2-1+5a)(a^2-1-5a)$

$=(a^2+5a-1)(a^2-5a-1)$

ব্যাখ্যা: মাঝের পদ থেকে $-2a^2$ আলাদা করলে পূর্ণবর্গ পাওয়া যায়, বাকিটা $25a^2$ যা নিজেও বর্গ।

উত্তর: $(a^2+5a-1)(a^2-5a-1)$

4. $x^4-6x^2y^2+y^4$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=(x^4-2x^2y^2+y^4)-4x^2y^2$

$=(x^2-y^2)^2-(2xy)^2$

$=(x^2-y^2+2xy)(x^2-y^2-2xy)$

$=(x^2+2xy-y^2)(x^2-2xy-y^2)$

ব্যাখ্যা: ৩ নং এর মতো পূর্ণবর্গ বানিয়ে বর্গের অন্তর পাই।

উত্তর: $(x^2+2xy-y^2)(x^2-2xy-y^2)$

5. $(a^2-b^2)(x^2-y^2)+4abxy$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=a^2x^2-a^2y^2-b^2x^2+b^2y^2+4abxy$

$=(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)-(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)$

$=(ax+by)^2-(ay-bx)^2$

$=(ax+by+ay-bx)(ax+by-ay+bx)$

ব্যাখ্যা: $4abxy$ কে $2abxy+2abxy$ ভেঙে দুটি পূর্ণবর্গ গড়ি।

উত্তর: $(ax+by+ay-bx)(ax+by-ay+bx)$

6. $4a^2-12ab+9b^2-4c^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=(2a)^2-2\cdot 2a\cdot 3b+(3b)^2-(2c)^2$

$=(2a-3b)^2-(2c)^2$

$=(2a-3b+2c)(2a-3b-2c)$

ব্যাখ্যা: প্রথম তিন পদ পূর্ণবর্গ, তারপর বর্গের অন্তর।

উত্তর: $(2a-3b+2c)(2a-3b-2c)$

7. $a^2+6a+8-y^2+2y$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=(a^2+6a+9)-(y^2-2y+1)$

$=(a+3)^2-(y-1)^2$

$=(a+3+y-1)(a+3-y+1)$

$=(a+y+2)(a-y+4)$

ব্যাখ্যা: $8=9-1$ ভেঙে $a$ এর পদ আর $y$ এর পদ আলাদা পূর্ণবর্গ করেছি।

উত্তর: $(a+y+2)(a-y+4)$

8. $16x^2-25y^2-8xz+10yz$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=(4x+5y)(4x-5y)-2z(4x-5y)$

$=(4x-5y)(4x+5y-2z)$

ব্যাখ্যা: প্রথম দুই পদ বর্গের অন্তর এবং শেষ দুই পদে $-2z(4x-5y)$ আছে।

উত্তর: $(4x-5y)(4x+5y-2z)$

9. $x^2+13x+36$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$4+9=13$ এবং $4\times 9=36$

$x^2+13x+36=x^2+4x+9x+36$

$=x(x+4)+9(x+4)=(x+4)(x+9)$

ব্যাখ্যা: যে দুটি সংখ্যার যোগফল মধ্যপদের সহগ এবং গুণফল ধ্রুব পদ, সেগুলো খুঁজি।

উত্তর: $(x+4)(x+9)$

10. $x^4+x^2-20$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি $u=x^2$

$u^2+u-20=u^2+5u-4u-20$

$=u(u+5)-4(u+5)=(u+5)(u-4)$

$=(x^2+5)(x^2-4)$

$=(x^2+5)(x+2)(x-2)$

ব্যাখ্যা: $x^2$ কে $u$ ধরলে দ্বিঘাত রাশি হয়। শেষে $x^2-4$ কেও ভাঙতে ভুলো না।

উত্তর: $(x+2)(x-2)(x^2+5)$

11. $a^2-30a+216$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$12+18=30$, $12\times 18=216$

$a^2-18a-12a+216$

$=a(a-18)-12(a-18)=(a-18)(a-12)$

ব্যাখ্যা: মধ্যপদ ঋণাত্মক, তাই দুই সংখ্যাই ঋণাত্মক।

উত্তর: $(a-18)(a-12)$

12. $a^8-a^4-2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি $u=a^4$

$u^2-u-2=u^2-2u+u-2$

$=u(u-2)+1(u-2)=(u-2)(u+1)$

$=(a^4-2)(a^4+1)$

ব্যাখ্যা: $a^4$ কে $u$ ধরে সাধারণ দ্বিঘাতের মতো ভাঙি।

উত্তর: $(a^4-2)(a^4+1)$

13. $x^2-37x-650$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$-50+13=-37$, $(-50)\times 13=-650$

$x^2-50x+13x-650$

$=x(x-50)+13(x-50)=(x-50)(x+13)$

ব্যাখ্যা: গুণফল ঋণাত্মক হলে দুই সংখ্যার চিহ্ন আলাদা হয়।

উত্তর: $(x+13)(x-50)$

14. $9x^2y^2-5xy^2-14y^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=y^2(9x^2-5x-14)$

$9x^2-5x-14=9x^2-14x+9x-14$

$=x(9x-14)+1(9x-14)=(9x-14)(x+1)$

$y^2(9x^2-5x-14)=y^2(x+1)(9x-14)$

ব্যাখ্যা: আগে সাধারণ উৎপাদক $y^2$ বের করি, তারপর বাকি অংশ ভাঙি।

উত্তর: $y^2(x+1)(9x-14)$

15. $4x^4-27x^2-81$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি $u=x^2$

$4u^2-27u-81=4u^2-36u+9u-81$

$=4u(u-9)+9(u-9)=(u-9)(4u+9)$

$=(x^2-9)(4x^2+9)$

$=(x+3)(x-3)(4x^2+9)$

ব্যাখ্যা: সহগের গুণফল $4\times (-81)=-324$; $-36$ ও $9$ নিলে যোগফল $-27$ হয়।

উত্তর: $(x+3)(x-3)(4x^2+9)$

16. $ax^2+(a^2+1)x+a$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=ax^2+a^2x+x+a$

$=ax(x+a)+1(x+a)$

$=(x+a)(ax+1)$

ব্যাখ্যা: মধ্যপদকে $a^2x+x$ ভেঙে দুটি করে পদ জোড়া বাঁধি।

উত্তর: $(x+a)(ax+1)$

17. $3(a^2+2a)^2-22(a^2+2a)+40$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি $u=a^2+2a$

$3u^2-22u+40=3u^2-12u-10u+40$

$=3u(u-4)-10(u-4)=(u-4)(3u-10)$

$=(a^2+2a-4)(3a^2+6a-10)$

ব্যাখ্যা: পুনরাবৃত্ত অংশ $a^2+2a$ কে একটি অক্ষর ধরলে সহজ দ্বিঘাত হয়।

উত্তর: $(a^2+2a-4)(3a^2+6a-10)$

18. $(a-1)x^2+a^2xy+(a+1)y^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$a^2xy=xy+(a^2-1)xy$

$=(a-1)x^2+xy+(a^2-1)xy+(a+1)y^2$

$=x{(a-1)x+y}+(a+1)y{(a-1)x+y}$

$=((a-1)x+y)(x+(a+1)y)$

$=(ax-x+y)(x+ay+y)$

ব্যাখ্যা: মধ্যপদ ভাঙার সময় $(a-1)(a+1)y^2=(a^2-1)y^2$ গুণফল মাথায় রাখি; তাই ভাগ $xy$ ও $(a^2-1)xy$।

উত্তর: $(x+ay+y)(ax-x+y)$

19. $x^3+3x^2+3x+2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=(x^3+3x^2+3x+1)+1$

$=(x+1)^3+1^3$

$=(x+1+1){(x+1)^2-(x+1)+1}$

$=(x+2)(x^2+2x+1-x-1+1)$

$=(x+2)(x^2+x+1)$

ব্যাখ্যা: $2=1+1$ ভেঙে পূর্ণঘন পাই, তারপর ঘনের যোগফলের সূত্র।

উত্তর: $(x+2)(x^2+x+1)$

20. $a^3-6a^2+12a-9$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=(a^3-6a^2+12a-8)-1$

$=(a-2)^3-1^3$

$=(a-2-1){(a-2)^2+(a-2)+1}$

$=(a-3)(a^2-4a+4+a-2+1)$

$=(a-3)(a^2-3a+3)$

ব্যাখ্যা: $9=8+1$; $a^3-6a^2+12a-8=(a-2)^3$।

উত্তর: $(a-3)(a^2-3a+3)$

21. $a^3-9b^3+(a+b)^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$a^3-9b^3+(a+b)^3=(a^3-b^3)+{(a+b)^3-(2b)^3}$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$(a+b)^3-(2b)^3=(a-b){(a+b)^2+2b(a+b)+4b^2}=(a-b)(a^2+4ab+7b^2)$

প্রদত্ত রাশি $=(a-b)(a^2+ab+b^2+a^2+4ab+7b^2)$

$=(a-b)(2a^2+5ab+8b^2)$

ব্যাখ্যা: $-9b^3=-b^3-8b^3$ ভেঙে দুটি ঘনের অন্তর গড়ি: $a^3-b^3$ এবং $(a+b)^3-(2b)^3$।

উত্তর: $(a-b)(2a^2+5ab+8b^2)$

22. $8x^3+12x^2+6x-63$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=(8x^3+12x^2+6x+1)-64$

$=(2x+1)^3-4^3$

$=(2x+1-4){(2x+1)^2+4(2x+1)+16}$

$=(2x-3)(4x^2+4x+1+8x+4+16)$

$=(2x-3)(4x^2+12x+21)$

ব্যাখ্যা: $-63=1-64$; $8x^3+12x^2+6x+1=(2x+1)^3$ এবং $64=4^3$।

উত্তর: $(2x-3)(4x^2+12x+21)$

23. $8a^3+\dfrac{b^3}{27}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=(2a)^3+(\dfrac{b}{3})^3$

$=(2a+\dfrac{b}{3})(4a^2-2a\cdot \dfrac{b}{3}+\dfrac{b^2}{9})$

$=\dfrac{6a+b}{3}\cdot \dfrac{36a^2-6ab+b^2}{9}$

$=\dfrac{1}{27}(6a+b)(36a^2-6ab+b^2)$

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশ থাকলেও ঘনের যোগফলের সূত্র একই। শেষে হরগুলো একত্র করে $\dfrac{1}{27}$ বাইরে এনেছি।

উত্তর: $\dfrac{1}{27}(6a+b)(36a^2-6ab+b^2)$

24. $\dfrac{a^6}{27}-b^6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=(\dfrac{a^2}{3})^3-(b^2)^3$

$=(\dfrac{a^2}{3}-b^2){(\dfrac{a^2}{3})^2+\dfrac{a^2}{3}\cdot b^2+(b^2)^2}$

$=(\dfrac{a^2}{3}-b^2)(\dfrac{a^4}{9}+\dfrac{a^2b^2}{3}+b^4)$

ব্যাখ্যা: দুটিই পূর্ণঘন: $\dfrac{a^6}{27}=(\dfrac{a^2}{3})^3$।

উত্তর: $(\dfrac{a^2}{3}-b^2)(\dfrac{a^4}{9}+\dfrac{a^2b^2}{3}+b^4)$

25. $4a^2+\dfrac{1}{4a^2}-2+4a-\dfrac{1}{a}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি $t=2a-\dfrac{1}{2a}$

$t^2=4a^2-2+\dfrac{1}{4a^2}$

$2t=4a-\dfrac{1}{a}$

প্রদত্ত রাশি $=t^2+2t=t(t+2)$

$=(2a-\dfrac{1}{2a})(2a-\dfrac{1}{2a}+2)$

ব্যাখ্যা: প্রথম তিন পদ $t^2$, শেষ দুই পদ $2t$।

উত্তর: $(2a-\dfrac{1}{2a})(2a-\dfrac{1}{2a}+2)$

26. $(3a+1)^3-(2a-3)^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=(3a+1-2a+3){(3a+1)^2+(3a+1)(2a-3)+(2a-3)^2}$

$=(a+4)(9a^2+6a+1+6a^2-7a-3+4a^2-12a+9)$

$=(a+4)(19a^2-13a+7)$

ব্যাখ্যা: $A^3-B^3$ সূত্রে $A=3a+1$, $B=2a-3$।

উত্তর: $(a+4)(19a^2-13a+7)$

27. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-48$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

জোড়া বাঁধি: $(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$

$(x+3)(x+4)=x^2+7x+12$

ধরি $u=x^2+7x$

$(u+10)(u+12)-48=u^2+22u+72$

$=u^2+4u+18u+72=(u+4)(u+18)$

$=(x^2+7x+4)(x^2+7x+18)$

ব্যাখ্যা: প্রান্তের দুটি ও মাঝের দুটি গুণ করলে $x$ এর পদ একই হয়।

উত্তর: $(x^2+7x+4)(x^2+7x+18)$

28. $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-65$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$(x-1)(x-7)=x^2-8x+7$

$(x-3)(x-5)=x^2-8x+15$

ধরি $u=x^2-8x$

$(u+7)(u+15)-65=u^2+22u+40$

$=u^2+2u+20u+40=(u+2)(u+20)$

$=(x^2-8x+2)(x^2-8x+20)$

ব্যাখ্যা: ২৭ নং এর মতোই পদ্ধতি।

উত্তর: $(x^2-8x+20)(x^2-8x+2)$

29. $2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

$=4a^2b^2-(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2)$

$=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2$

$=(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)$

$={(a+b)^2-c^2}{c^2-(a-b)^2}$

$=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)$

ব্যাখ্যা: $2a^2b^2$ আলাদা করে $4a^2b^2$ বানাই। বাকি অংশ $(a^2+b^2-c^2)^2$ হয়।

উত্তর: $(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$

30. $14(x+z)^2-29(x+z)(x+1)-15(x+1)^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ধরি $u=x+z$, $v=x+1$

$14u^2-29uv-15v^2=14u^2-35uv+6uv-15v^2$

$=7u(2u-5v)+3v(2u-5v)=(2u-5v)(7u+3v)$

$2u-5v=2x+2z-5x-5=2z-3x-5$

$7u+3v=7x+7z+3x+3=10x+7z+3$

ব্যাখ্যা: দুটি অংশকে $u$ ও $v$ ধরলে $14u^2-29uv-15v^2$ আকারে সরল দ্বিঘাত হয়।

উত্তর: $(2z-3x-5)(10x+7z+3)$

৩১. দেখাও যে, $(x+1)(x+2)(3x-1)(3x-4)=(3x^2+2x-1)(3x^2+2x-8)$।

সমাধান:

বামপক্ষ $=(x+1)(3x-1)\cdot (x+2)(3x-4)$

$(x+1)(3x-1)=3x^2-x+3x-1=3x^2+2x-1$

$(x+2)(3x-4)=3x^2-4x+6x-8=3x^2+2x-8$

বামপক্ষ $=(3x^2+2x-1)(3x^2+2x-8)$=ডানপক্ষ

ব্যাখ্যা: চারটি উৎপাদক সুবিধামতো দুই জোড়া করে গুণ করলে $x^2$ ও $x$ এর পদ দুই জোড়ায় এক হয়ে যায়।

উত্তর: প্রমাণিত।