Class 9-10 Math Chapter 3 (Algebraic Expressions) Exercise 3.2 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$
• $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$
• $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$
• $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$
• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
• $x^3+\dfrac{1}{x^3}=(x+\dfrac{1}{x})^3-3(x+\dfrac{1}{x})$
• $x^3-\dfrac{1}{x^3}=(x-\dfrac{1}{x})^3+3(x-\dfrac{1}{x})$
• $a+b+c=0$ হলে $a^3+b^3+c^3=3abc$

অনুশীলনী ৩.২

১. সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় করো:

ক) $2x^2+3y^2$

সমাধান:

$(2x^2+3y^2)^3$

$=(2x^2)^3+3(2x^2)^2(3y^2)+3(2x^2)(3y^2)^2+(3y^2)^3$

$=8x^6+3\cdot 4x^4\cdot 3y^2+3\cdot 2x^2\cdot 9y^4+27y^6$

$=8x^6+36x^4y^2+54x^2y^4+27y^6$

ব্যাখ্যা: দুই পদের যোগফলের ঘনে চারটি পদ থাকে: প্রথমের ঘন, প্রথমের বর্গ × দ্বিতীয় × ৩, প্রথম × দ্বিতীয়ের বর্গ × ৩ এবং দ্বিতীয়ের ঘন।

উত্তর: $8x^6+36x^4y^2+54x^2y^4+27y^6$

খ) $7m^2-2n$

সমাধান:

$(7m^2-2n)^3$

$=(7m^2)^3-3(7m^2)^2(2n)+3(7m^2)(2n)^2-(2n)^3$

$=343m^6-3\cdot 49m^4\cdot 2n+3\cdot 7m^2\cdot 4n^2-8n^3$

$=343m^6-294m^4n+84m^2n^2-8n^3$

ব্যাখ্যা: বিয়োগের ঘনে চিহ্ন একটি পরপর বদলায়: $+, -, +, -$।

উত্তর: $343m^6-294m^4n+84m^2n^2-8n^3$

গ) $2a-b-3c$

সমাধান:

$2a-b-3c=2a-(b+3c)$

$(2a-(b+3c))^3=(2a)^3-3(2a)^2(b+3c)+3(2a)(b+3c)^2-(b+3c)^3$

$(2a)^3=8a^3$

$3(2a)^2(b+3c)=12a^2b+36a^2c$

$3(2a)(b+3c)^2=6a(b^2+6bc+9c^2)=6ab^2+36abc+54ac^2$

$(b+3c)^3=b^3+9b^2c+27bc^2+27c^3$

$=8a^3-12a^2b-36a^2c+6ab^2+36abc+54ac^2-b^3-9b^2c-27bc^2-27c^3$

ব্যাখ্যা: তিন পদ থাকলে $b$ ও $3c$ কে একসঙ্গে একটি পদ ধরে ঘন সূত্র প্রয়োগ করি, তারপর অংশগুলো আলাদা করে খুলি।

উত্তর: $8a^3-b^3-27c^3-12a^2b-36a^2c+6ab^2+54ac^2-9b^2c-27bc^2+36abc$

২. সরল করো:

ক) $(7x+3b)^3-(5x+3b)^3-6x(7x+3b)(5x+3b)$

সমাধান:

ধরি, $a=7x+3b$, $b=5x+3b$

$a-b=2x$

প্রদত্ত রাশি $=a^3-b^3-3\cdot 2x\cdot ab$

$=a^3-b^3-3ab(a-b)=(a-b)^3$

$=(2x)^3=8x^3$

ব্যাখ্যা: $6x=3\cdot (2x)=3(a-b)$ বুঝলেই রাশিটি $(a-b)^3$ আকারে আসে।

উত্তর: $8x^3$

খ) $(a+b+c)^3-(a-b-c)^3-6(b+c){a^2-(b+c)^2}$

সমাধান:

ধরি, $u=a$, $v=b+c$

প্রদত্ত রাশি $=(u+v)^3-(u-v)^3-6v(u^2-v^2)$

$(u+v)^3-(u-v)^3=6u^2v+2v^3$

$6v(u^2-v^2)=6u^2v-6v^3$

প্রদত্ত রাশি $=6u^2v+2v^3-6u^2v+6v^3=8v^3$

$=8(b+c)^3$

ব্যাখ্যা: $b+c$ কে একটি অক্ষর $v$ ধরলে রাশি ছোট হয়ে যায়।

উত্তর: $8(b+c)^3$

গ) $(m+n)^6-(m-n)^6-12mn(m^2-n^2)^2$

সমাধান:

ধরি, $A=(m+n)^2$, $B=(m-n)^2$

$A-B=4mn$, $AB=(m^2-n^2)^2$

প্রদত্ত রাশি $=A^3-B^3-3\cdot 4mn\cdot AB$

$=A^3-B^3-3AB(A-B)=(A-B)^3$

$=(4mn)^3=64m^3n^3$

ব্যাখ্যা: $(m+n)^6=((m+n)^2)^3$ লিখে ঘনের সূত্র ব্যবহার করেছি।

উত্তর: $64m^3n^3$

ঘ) $(x+y)(x^2-xy+y^2)+(y+z)(y^2-yz+z^2)+(z+x)(z^2-zx+x^2)$

সমাধান:

$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$

$(y+z)(y^2-yz+z^2)=y^3+z^3$

$(z+x)(z^2-zx+x^2)=z^3+x^3$

যোগ করে পাই $2x^3+2y^3+2z^3=2(x^3+y^3+z^3)$

ব্যাখ্যা: প্রতিটি পদ $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ সূত্রের রূপ।

উত্তর: $2(x^3+y^3+z^3)$

ঙ) $(2x+3y-4z)^3+(2x-3y+4z)^3+12x{4x^2-(3y-4z)^2}$

সমাধান:

ধরি, $u=2x$, $v=3y-4z$

প্রদত্ত রাশি $=(u+v)^3+(u-v)^3+6u(u^2-v^2)$

$(u+v)^3+(u-v)^3=2u^3+6uv^2$

$6u(u^2-v^2)=6u^3-6uv^2$

প্রদত্ত রাশি $=2u^3+6uv^2+6u^3-6uv^2=8u^3$

$=8(2x)^3=64x^3$

ব্যাখ্যা: $12x=6\cdot 2x=6u$ এবং $4x^2-(3y-4z)^2=u^2-v^2$।

উত্তর: $64x^3$

৩. $a-b=5$ এবং $ab=36$ হলে $a^3-b^3$ এর মান কত?

সমাধান:

$a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$

$=5^3+3\cdot 36\cdot 5$

$=125+540=665$

ব্যাখ্যা: $a^3-b^3$ এর সূত্রে $a-b$ ও $ab$ এর মান বসাই।

উত্তর: $665$

৪. $a^3-b^3=513$ এবং $a-b=3$ হলে $ab$ এর মান কত?

সমাধান:

$a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$

$513=27+9ab$

$9ab=486$

$ab=54$

ব্যাখ্যা: একই সূত্র থেকে অজানা $ab$ আলাদা করি।

উত্তর: $54$

৫. $x=19$ এবং $y=-12$ হলে $8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3=(2x)^3+3(2x)^2(3y)+3(2x)(3y)^2+(3y)^3$

$=(2x+3y)^3$

$=(2\cdot 19+3\cdot (-12))^3=(38-36)^3=2^3=8$

ব্যাখ্যা: রাশিটি $(2x+3y)^3$ এর বিস্তার। তাই মান বসানোর আগে ঘনরূপে লিখে ফেলাই সহজ।

উত্তর: $8$

৬. $a=15$ হলে $8a^3+60a^2+150a+130$ এর মান কত?

সমাধান:

$8a^3+60a^2+150a+125=(2a)^3+3(2a)^2\cdot 5+3\cdot 2a\cdot 5^2+5^3=(2a+5)^3$

$8a^3+60a^2+150a+130=(2a+5)^3+5$

$=(2\cdot 15+5)^3+5=35^3+5$

$=42875+5=42880$

ব্যাখ্যা: শেষ পদ $130$ কে $125+5$ ভাগ করলে পূর্ণঘন পাওয়া যায়।

উত্তর: $42880$

৭. $a+b=m$, $a^2+b^2=n$ এবং $a^3+b^3=p^3$ হলে দেখাও যে, $m^3+2p^3=3mn$।

সমাধান:

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

$m^2=n+2ab$

$ab=\dfrac{m^2-n}{2}$

$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$

$p^3=m^3-3\cdot \dfrac{m^2-n}{2}\cdot m$

$2p^3=2m^3-3m^3+3mn$

$2p^3=-m^3+3mn$

$m^3+2p^3=3mn$

ব্যাখ্যা: আগে $ab$ কে $m$ ও $n$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করি, তারপর ঘনের সূত্রে বসাই।

উত্তর: প্রমাণিত।

৮. $a+b=3$ এবং $ab=2$ হলে, ক) $a^2-ab+b^2$ এবং খ) $a^3+b^3$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ক) $a^2-ab+b^2$

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=9-4=5$

$a^2-ab+b^2=5-2=3$

খ) $a^3+b^3$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$=3\times 3=9$

ব্যাখ্যা: (ক) এর ফল সরাসরি (খ) এ কাজে লাগে।

উত্তর: ক) $3$ খ) $9$

৯. $a-b=5$ এবং $ab=36$ হলে, ক) $a^2+ab+b^2$ এবং খ) $a^3-b^3$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ক) $a^2+ab+b^2$

$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=25+72=97$

$a^2+ab+b^2=97+36=133$

খ) $a^3-b^3$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$=5\times 133=665$

ব্যাখ্যা: (ক) এর ফল দিয়ে (খ) বের করেছি। ৩ নং প্রশ্নের উত্তরের সঙ্গেও মিলে যায়।

উত্তর: ক) $133$ খ) $665$

১০. $m+\dfrac{1}{m}=a$ হলে $m^3+\dfrac{1}{m^3}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$m^3+\dfrac{1}{m^3}=(m+\dfrac{1}{m})^3-3(m+\dfrac{1}{m})$

$=a^3-3a$

ব্যাখ্যা: $x+\dfrac{1}{x}$ এর ঘন করলে মাঝের পদ $3(x+\dfrac{1}{x})$ আসে, তা সরিয়ে দিলেই ঘনের যোগফল।

উত্তর: $a^3-3a$

১১. $x-\dfrac{1}{x}=p$ হলে $x^3-\dfrac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$x^3-\dfrac{1}{x^3}=(x-\dfrac{1}{x})^3+3(x-\dfrac{1}{x})$

$=p^3+3p$

ব্যাখ্যা: বিয়োগের ক্ষেত্রে মাঝের অংশ যোগ হয়।

উত্তর: $p^3+3p$

১২. $a-\dfrac{1}{a}=1$ হলে দেখাও যে, $a^3-\dfrac{1}{a^3}=4$।

সমাধান:

$a^3-\dfrac{1}{a^3}=(a-\dfrac{1}{a})^3+3(a-\dfrac{1}{a})$

$=1^3+3\cdot 1=4$

ব্যাখ্যা: ১১ নং এর সূত্রে $p=1$ বসালেই হয়।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৩. $a+b+c=0$ হলে দেখাও যে,

ক) $a^3+b^3+c^3=3abc$

সমাধান:

$a+b=-c$

$(a+b)^3=-c^3$

$a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3$

$a^3+b^3+3ab(-c)=-c^3$

$a^3+b^3+c^3=3abc$

খ) $\dfrac{(b+c)^2}{3bc}+\dfrac{(c+a)^2}{3ca}+\dfrac{(a+b)^2}{3ab}=1$

সমাধান:

$a+b+c=0$ হলে $b+c=-a$, $c+a=-b$, $a+b=-c$

বামপক্ষ $=\dfrac{a^2}{3bc}+\dfrac{b^2}{3ca}+\dfrac{c^2}{3ab}$

$=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3abc}$

$=\dfrac{3abc}{3abc}=1$

ব্যাখ্যা: (ক) অংশের ফল ব্যবহার করেছি। হরকে $3abc$ করলে লবে প্রতিটি ঘন আসে।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৪. $p-q=r$ হলে দেখাও যে, $p^3-q^3-r^3=3pqr$।

সমাধান:

$p-q=r$ থেকে $p+(-q)+(-r)=0$

তিন সংখ্যার যোগফল শূন্য হলে ঘনের যোগফল গুণফলের তিনগুণ

$p^3+(-q)^3+(-r)^3=3p(-q)(-r)$

$p^3-q^3-r^3=3pqr$

ব্যাখ্যা: ১৩(ক) এর ফল $p$, $-q$, $-r$ এর জন্য প্রয়োগ করেছি।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৫. $2x-\dfrac{2}{x}=3$ হলে দেখাও যে, $8(x^3-\dfrac{1}{x^3})=63$।

সমাধান:

$2(x-\dfrac{1}{x})=3$

$x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2}$

$x^3-\dfrac{1}{x^3}=(\dfrac{3}{2})^3+3\cdot \dfrac{3}{2}$

$=\dfrac{27}{8}+\dfrac{9}{2}=\dfrac{27+36}{8}=\dfrac{63}{8}$

$8(x^3-\dfrac{1}{x^3})=8\cdot \dfrac{63}{8}=63$

ব্যাখ্যা: আগে $2$ সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করে $x-\dfrac{1}{x}$ এর মান বের করি, তারপর ঘনের সূত্র।

উত্তর: প্রমাণিত।

১৬. $a=\sqrt{6}+\sqrt{5}$ হলে $\dfrac{a^6-1}{a^3}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$\dfrac{a^6-1}{a^3}=a^3-\dfrac{1}{a^3}$

$\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$

$a-\dfrac{1}{a}=(\sqrt{6}+\sqrt{5})-(\sqrt{6}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$

$a^3-\dfrac{1}{a^3}=(2\sqrt{5})^3+3\cdot 2\sqrt{5}$

$=40\sqrt{5}+6\sqrt{5}=46\sqrt{5}$

ব্যাখ্যা: হরকে মূলদীকরণ করে $a$ এর অন্যোন্যক বের করি। তারপর ১১ নং এর সূত্র প্রয়োগ করি।

উত্তর: $46\sqrt{5}$

১৭. $x-\dfrac{1}{x}=\sqrt{3}$, যেখানে $x\ne 0$।

ক) প্রমাণ করো যে, $x^2-\sqrt{3}x=1$

সমাধান:

$x-\dfrac{1}{x}=\sqrt{3}$

দুই পাশে $x$ গুণ করে $x^2-1=\sqrt{3}x$

$x^2-\sqrt{3}x=1$

খ) প্রমাণ করো যে, $23(x^2+\dfrac{1}{x^2})=5(x^4+\dfrac{1}{x^4})$

সমাধান:

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x-\dfrac{1}{x})^2+2=3+2=5$

$x^4+\dfrac{1}{x^4}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2-2=25-2=23$

বামপক্ষ $=23\times 5=115$

ডানপক্ষ $=5\times 23=115$

অতএব বামপক্ষ = ডানপক্ষ

গ) $x^6+\dfrac{1}{x^6}$ এর মান নির্ণয় করো

সমাধান:

$x^6+\dfrac{1}{x^6}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^3-3(x^2+\dfrac{1}{x^2})$

$=5^3-3\cdot 5=125-15=110$

ব্যাখ্যা: $x^2$ কে একটি অক্ষর ধরে ঘনের সূত্র ব্যবহার করি।

উত্তর: ক) ও খ) প্রমাণিত। গ) $110$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১৭(গ) এর উত্তর বইয়ের উত্তরমালার যে অংশ আমরা দেখেছি তাতে নেই; হিসাব করে $110$ পাওয়া গেছে (যাচাই করা হয়েছে)।