Class 9-10 Math Chapter 3 (Algebraic Expressions) Exercise 3.1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
• $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
• $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
• $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
• $(a+\dfrac{1}{a})^2=a^2+\dfrac{1}{a^2}+2$
• $(a-\dfrac{1}{a})^2=a^2+\dfrac{1}{a^2}-2$

অনুশীলনী ৩.১

১. সূত্র প্রয়োগ করে বর্গ নির্ণয় করো:

ক) $2a+3b$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধান:

$(2a+3b)^2$

$=(2a)^2+2\cdot 2a\cdot 3b+(3b)^2$

$=4a^2+12ab+9b^2$

ব্যাখ্যা: দুই পদের যোগফলের বর্গে প্রথম পদের বর্গ, দ্বিতীয় পদের বর্গ এবং দুই পদের গুণফলের দ্বিগুণ যোগ হয়। রাশিতে তিন বা বেশি পদ থাকলে প্রতিটি পদের বর্গ এবং প্রতি জোড়া পদের গুণফলের দ্বিগুণ (চিহ্নসহ) যোগ করতে হয়।

উত্তর: $4a^2+12ab+9b^2$

খ) $x^2+\dfrac{2}{y^2}$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধান:

$(x^2+\dfrac{2}{y^2})^2$

$=(x^2)^2+2\cdot x^2\cdot \dfrac{2}{y^2}+(\dfrac{2}{y^2})^2$

$=x^4+\dfrac{4x^2}{y^2}+\dfrac{4}{y^4}$

উত্তর: $x^4+\dfrac{4x^2}{y^2}+\dfrac{4}{y^4}$

গ) $4y-5x$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধান:

$(4y-5x)^2$

$=(4y)^2-2\cdot 4y\cdot 5x+(5x)^2$

$=16y^2-40xy+25x^2$

উত্তর: $16y^2-40xy+25x^2$

ঘ) $5x^2-y$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধান:

$(5x^2-y)^2$

$=(5x^2)^2-2\cdot 5x^2\cdot y+y^2$

$=25x^4-10x^2y+y^2$

উত্তর: $25x^4-10x^2y+y^2$

ঙ) $3b-5c-2a$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধান:

$(3b-5c-2a)^2$

$=(3b)^2+(5c)^2+(2a)^2+2(3b)(-5c)+2(-5c)(-2a)+2(-2a)(3b)$

$=9b^2+25c^2+4a^2-30bc+20ca-12ab$

উত্তর: $9b^2+25c^2+4a^2-30bc+20ca-12ab$

চ) $ax-by-cz$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধান:

$(ax-by-cz)^2$

$=(ax)^2+(by)^2+(cz)^2+2(ax)(-by)+2(-by)(-cz)+2(-cz)(ax)$

$=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2-2abxy+2bcyz-2cazx$

উত্তর: $a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2-2abxy+2bcyz-2cazx$

ছ) $2a+3x-2y-5z$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধান:

$(2a+3x-2y-5z)^2$

$=(2a)^2+(3x)^2+(-2y)^2+(-5z)^2$

$+2(2a)(3x)+2(2a)(-2y)+2(2a)(-5z)$

$+2(3x)(-2y)+2(3x)(-5z)+2(-2y)(-5z)$

$=4a^2+9x^2+4y^2+25z^2+12ax-8ay-20az-12xy-30xz+20yz$

উত্তর: $4a^2+9x^2+4y^2+25z^2+12ax-8ay-20az-12xy-30xz+20yz$

জ) $1007$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধান:

$1007=1000+7$

$1007^2=(1000+7)^2$

$=1000^2+2\cdot 1000\cdot 7+7^2$

$=1000000+14000+49$

$=1014049$

উত্তর: $1014049$

২. মান নির্ণয় করো / সরল করো:

ক) $(7p+3q-5r)^2-2(7p+3q-5r)(8p-4q-5r)+(8p-4q-5r)^2$

সমাধান:

ধরি, $a=7p+3q-5r$ এবং $b=8p-4q-5r$

প্রদত্ত রাশি $=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

$a-b=(7p+3q-5r)-(8p-4q-5r)$

$=7p+3q-5r-8p+4q+5r=-p+7q$

$(a-b)^2=(7q-p)^2=p^2-14pq+49q^2$

ব্যাখ্যা: রাশিটি $a^2-2ab+b^2$ আকারের, তাই এটি $(a-b)^2$ এর সমান। বড় রাশি দুটিকে a ও b ধরলে হিসাব ছোট হয়ে যায়।

উত্তর: $p^2-14pq+49q^2$

খ) $(2m+3n-p)^2+(2m-3n+p)^2-2(2m+3n-p)(2m-3n+p)$

সমাধান:

ধরি, $a=2m+3n-p$ এবং $b=2m-3n+p$

প্রদত্ত রাশি $=a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$

$a-b=(2m+3n-p)-(2m-3n+p)=6n-2p$

$(6n-2p)^2=36n^2-24pn+4p^2$

ব্যাখ্যা: এখানেও রাশিটি $a^2+b^2-2ab$ আকারের, অর্থাৎ $(a-b)^2$। তাই a-b বের করে বর্গ করলেই উত্তর পাওয়া যায়।

উত্তর: $36n^2-24pn+4p^2$

গ) $6.35\times 6.35+2\times 6.35\times 3.65+3.65\times 3.65$

সমাধান:

রাশিটি $=(6.35)^2+2\cdot 6.35\cdot 3.65+(3.65)^2$

$=(6.35+3.65)^2$

$=10^2=100$

ব্যাখ্যা: এটি $a^2+2ab+b^2$ আকারের, যেখানে $a=6.35$, $b=3.65$। সূত্র ব্যবহার করলে বড় গুণ করতে হয় না।

উত্তর: $100$

ঘ) $\dfrac{2345\times 2345-759\times 759}{2345-759}$

সমাধান:

লব $=2345^2-759^2=(2345+759)(2345-759)$

প্রদত্ত রাশি $=\dfrac{(2345+759)(2345-759)}{2345-759}$

$=2345+759=3104$

ব্যাখ্যা: লব $a^2-b^2$ আকারের, তাই $(a+b)(a-b)$ লিখে হরের সঙ্গে কাটাকাটি করা যায়।

উত্তর: $3104$

৩. $a-b=4$ এবং $ab=60$ হলে $a+b$ এর মান কত?

সমাধান:

$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$

$=4^2+4\cdot 60=16+240=256$

$a+b=\pm \sqrt{256}=\pm 16$

ব্যাখ্যা: $(a+b)^2$ ও $(a-b)^2$ এর মধ্যে সম্পর্ক $4ab$। বর্গমূল নেওয়ার সময় ধনাত্মক ও ঋণাত্মক দুটি মানই হয়।

উত্তর: $\pm 16$

৪. $a+b=9m$ এবং $ab=18m^2$ হলে $a-b$ এর মান কত?

সমাধান:

$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$

$=(9m)^2-4\cdot 18m^2=81m^2-72m^2=9m^2$

$a-b=\pm 3m$

ব্যাখ্যা: একই সূত্রের উল্টো রূপ: $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$। বর্গমূল নিলে $\pm$ আসে।

উত্তর: $\pm 3m$

৫. $x-\dfrac{1}{x}=4$ হলে প্রমাণ করো যে, $x^4+\dfrac{1}{x^4}=322$।

সমাধান:

$(x-\dfrac{1}{x})^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}-2$

$4^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}-2$

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=16+2=18$

$(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2=x^4+\dfrac{1}{x^4}+2$

$18^2=x^4+\dfrac{1}{x^4}+2$

$x^4+\dfrac{1}{x^4}=324-2=322$

ব্যাখ্যা: প্রথমে বর্গ করে $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ বের করি। আবার বর্গ করলে $x^4+\dfrac{1}{x^4}$ পাওয়া যায়। প্রতিবার $2$ যোগ বা বিয়োগ হয়।

উত্তর: প্রমাণিত।

৬. $2x+\dfrac{2}{x}=3$ হলে $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ এর মান কত?

সমাধান:

$2(x+\dfrac{1}{x})=3$

$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2}$

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2-2$

$=(\dfrac{3}{2})^2-2=\dfrac{9}{4}-2=\dfrac{1}{4}$

ব্যাখ্যা: আগে সাধারণ উৎপাদক $2$ বের করে সমীকরণকে $x+\dfrac{1}{x}$ আকারে আনি। তারপর বর্গ করে $2$ বিয়োগ করি।

উত্তর: $\dfrac{1}{4}$

৭. $a+\dfrac{1}{a}=2$ হলে প্রমাণ করো যে, $a^2+\dfrac{1}{a^2}=a^4+\dfrac{1}{a^4}$।

সমাধান:

$a^2+\dfrac{1}{a^2}=(a+\dfrac{1}{a})^2-2=2^2-2=2$

$a^4+\dfrac{1}{a^4}=(a^2+\dfrac{1}{a^2})^2-2=2^2-2=2$

অতএব $a^2+\dfrac{1}{a^2}=a^4+\dfrac{1}{a^4}=2$

ব্যাখ্যা: দুই পাশের মানই আলাদা আলাদা বের করে দেখাই যে দুটিই $2$।

উত্তর: প্রমাণিত।

৮. $a+b=\sqrt{7}$ এবং $a-b=\sqrt{5}$ হলে প্রমাণ করো যে, $8ab(a^2+b^2)=24$।

সমাধান:

$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$

$7+5=2(a^2+b^2)$

$a^2+b^2=6$

$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$

$7-5=4ab$

$ab=\dfrac{1}{2}$

$8ab(a^2+b^2)=8\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 6=24$

ব্যাখ্যা: দুটি বর্গ যোগ ও বিয়োগ করে আলাদাভাবে $a^2+b^2$ ও $ab$ বের করি। তারপর রাশিতে বসাই।

উত্তর: প্রমাণিত।

৯. $a+b+c=9$ এবং $ab+bc+ca=31$ হলে $a^2+b^2+c^2$ এর মান কত?

সমাধান:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$81=a^2+b^2+c^2+62$

$a^2+b^2+c^2=81-62=19$

ব্যাখ্যা: তিন চলকের বর্গ সূত্রে মান বসিয়ে অজানা রাশিটি আলাদা করি।

উত্তর: $19$

১০. $a^2+b^2+c^2=9$ এবং $ab+bc+ca=8$ হলে $(a+b+c)^2$ এর মান কত?

সমাধান:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$=9+2\cdot 8=9+16=25$

ব্যাখ্যা: একই সূত্র, এবার সরাসরি মান বসাতে হবে।

উত্তর: $25$

১১. $a+b+c=6$ এবং $a^2+b^2+c^2=14$ হলে $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ এর মান কত?

সমাধান:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$36=14+2(ab+bc+ca)$

$ab+bc+ca=11$

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

$=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)$

$=2\cdot 14-2\cdot 11=28-22=6$

ব্যাখ্যা: বর্গগুলো খুলে যোগ করলে প্রতিটি $a^2$ দুইবার আসে এবং গুণফলের অংশ $-2ab$ ইত্যাদি আসে। আগে $ab+bc+ca$ বের করে নিই।

উত্তর: $6$

১২. $x=3$, $y=4$, $z=5$ হলে $9x^2+16y^2+4z^2-24xy-16yz+12zx$ এর মান কত?

সমাধান:

$9x^2+16y^2+4z^2-24xy-16yz+12zx$

$=(3x)^2+(4y)^2+(2z)^2-2\cdot 3x\cdot 4y-2\cdot 4y\cdot 2z+2\cdot 3x\cdot 2z$

$=(3x-4y+2z)^2$

$=(3\cdot 3-4\cdot 4+2\cdot 5)^2$

$=(9-16+10)^2=3^2=9$

ব্যাখ্যা: রাশিটি তিন পদের পূর্ণবর্গ। আগে এটিকে $(3x-4y+2z)^2$ আকারে লিখলে মান বসানো সহজ হয়।

উত্তর: $9$

১৩. $(a+2b)(3a+2c)$ কে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো।

সমাধান:

$XY=(\dfrac{X+Y}{2})^2-(\dfrac{X-Y}{2})^2$

এখানে $X=a+2b$, $Y=3a+2c$

$\dfrac{X+Y}{2}=\dfrac{4a+2b+2c}{2}=2a+b+c$

$\dfrac{X-Y}{2}=\dfrac{-2a+2b-2c}{2}=b-a-c$

$(a+2b)(3a+2c)=(2a+b+c)^2-(b-a-c)^2$

ব্যাখ্যা: দুটি রাশির গুণফল সবসময় $(\dfrac{X+Y}{2})^2-(\dfrac{X-Y}{2})^2$ আকারে লেখা যায়।

উত্তর: $(2a+b+c)^2-(b-a-c)^2$

১৪. $x^2+10x+24$ কে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো।

সমাধান:

$x^2+10x+24=(x^2+10x+25)-1$

$=(x+5)^2-1^2$

ব্যাখ্যা: $x^2+10x$ এর সঙ্গে $5^2=25$ যোগ করলে পূর্ণবর্গ হয়। তাই $24=25-1$ লিখেছি।

উত্তর: $(x+5)^2-1^2$

১৫. $a^4+a^2b^2+b^4=8$ এবং $a^2+ab+b^2=4$ হলে, ক) $a^2+b^2$ এবং খ) $ab$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

$8=4(a^2-ab+b^2)$

$a^2-ab+b^2=2$

ক) $a^2+b^2$

$(a^2+ab+b^2)+(a^2-ab+b^2)=4+2$

$2(a^2+b^2)=6$

$a^2+b^2=3$

খ) $ab$

$(a^2+ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=4-2$

$2ab=2$

$ab=1$

ব্যাখ্যা: $a^4+a^2b^2+b^4$ কে উৎপাদকে ভেঙে একটি নতুন সমীকরণ পাই। দুটি সমীকরণ যোগ করলে $a^2+b^2$ এবং বিয়োগ করলে $ab$ পাওয়া যায়।

উত্তর: ক) $3$ খ) $1$

সারসংক্ষেপ

• দুই বা তিন পদের বর্গ বের করতে সূত্র মুখস্থ রাখো।
• $x+\dfrac{1}{x}$ বা $x-\dfrac{1}{x}$ দেওয়া থাকলে বর্গ করে $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ বের করো।
• চিহ্ন বসানোর সময় সতর্ক থাকো।