Class 9-10 Math - Chapter 2 (Set and Function) Exercise 2.2 and Model Questions Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• অন্বয়: $A\times B$-এর যেকোনো উপসেট R কে A থেকে B-তে অন্বয় বলে। অর্থাৎ $R\subseteq A\times B$।
• ডোমেন: অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানগুলোর সেট। রেঞ্জ: ক্রমজোড়গুলোর দ্বিতীয় উপাদানগুলোর সেট।
• ফাংশনের মান: $f(x)$ এ $x$ এর জায়গায় যে সংখ্যা চাওয়া হয়েছে তা বসালেই মান পাওয়া যায়। যেমন $f(x)=x^2+1$ হলে $f(3)=3^2+1=10$।
• বিন্দু স্থাপন: $(x,y)$ বিন্দু বসাতে মূলবিন্দু থেকে x-অক্ষ বরাবর $x$ একক এবং তারপর y-অক্ষ বরাবর $y$ একক যেতে হয় (ধনাত্মক হলে ডান/উপরে, ঋণাত্মক হলে বাম/নিচে)।

অনুশীলনী ২.২

১. 8 এর গুণনীয়ক সেট কোনটি?

ক) {8, 16, 24, ⋯}     খ) {1, 2, 4, 8}     গ) {2, 4, 8}     ঘ) {1, 2}

সমাধান:

$8 = 1\times8 = 2\times4$

অতএব গুণনীয়ক: $1,\ 2,\ 4,\ 8$।

ব্যাখ্যা: গুণনীয়ক মানে যে সংখ্যা দিয়ে 8 নিঃশেষে ভাগ যায়। 1 ও সংখ্যাটি নিজেও গুণনীয়ক। ক)-এর সংখ্যাগুলো 8 এর গুণিতক, গুণনীয়ক নয়। গ)-তে 1 নেই, ঘ)-তে 4 ও 8 নেই।

উত্তর: খ) {1, 2, 4, 8}

২. সেট C হতে সেট B এ একটি সম্পর্ক R হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) R ⊂ C     খ) R ⊂ B     গ) R ⊆ C × B     ঘ) C × B ⊆ R

সমাধান:

C থেকে B-তে অন্বয় (সম্পর্ক) মানে C ও B-এর গুণজ $C\times B$-এর যেকোনো উপসেট।

$R \subseteq C\times B$

ব্যাখ্যা: অন্বয় হলো ক্রমজোড়ের সেট, তাই তা C বা B-এর উপসেট নয়; এটি কার্তেসীয় গুণজ $C\times B$-এর উপসেট। ঘ)-তে দিক উল্টো লেখা হয়েছে।

উত্তর: গ) $R\subseteq C\times B$

৩. A = {1, 2}, B = {2, 5} হলে P(A ∩ B) এর সদস্য সংখ্যা নিচের কোনটি?

ক) 1     খ) 2     গ) 3     ঘ) 8

সমাধান:

$A\cap B = \{2\}$

$P(A\cap B) = \{\varnothing,\ \{2\}\}$

উপাদান সংখ্যা: $2^1 = 2$।

ব্যাখ্যা: ছেদে একটিমাত্র উপাদান (2) আছে, তাই শক্তি সেটে $2^1=2$ টি উপাদান। ফাঁকা সেট (∅) সবসময় উপসেট, তাই গণনা করতে ভুলো না।

উত্তর: খ) 2

৪. নিচের কোনটি {x ∈ N : 13 < x < 17 এবং x মৌলিক সংখ্যা} সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে?

ক) ∅     খ) {∅}     গ) {13, 17}     ঘ) {14, 15, 16}

সমাধান:

13 এবং 17-এর মাঝের স্বাভাবিক সংখ্যা: 14, 15, 16। কোনটি মৌলিক?

$14 = 2\times7,\quad 15 = 3\times5,\quad 16 = 2^4$

তিনটিই যৌগিক সংখ্যা, কোনোটিই মৌলিক নয়।

ব্যাখ্যা: 13 < x < 17 মানে 13 ও 17 নিজেরা অন্তর্ভুক্ত নয় (গ ভুল)। মৌলিক সংখ্যা না থাকায় সেটটি ফাঁকা। খ) {∅} হলো এমন সেট যার একটি উপাদান আছে (ফাঁকা সেট), তাই এটি ফাঁকা সেট নয়।

উত্তর: ক) ∅

৫. যদি A = {3, 4}, B = {2, 4}, x ∈ A এবং y ∈ B হয়, তবে A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে x > y সম্পর্ক বিবেচনা করে অন্বয়টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে সব ক্রমজোড় (A × B):

$A\times B = \{(3,2),\ (3,4),\ (4,2),\ (4,4)\}$

এখন প্রতিটি জোড়ায় $x>y$ শর্ত পরীক্ষা করি:

$(3,2): 3>2\ \checkmark$

$(3,4): 3>4\ \times$

$(4,2): 4>2\ \checkmark$

$(4,4): 4>4\ \times$

$R = \{(3,2),\ (4,2)\}$

ব্যাখ্যা: অন্বয় নির্ণয়ের নিয়ম: (১) প্রথমে $A\times B$ লিখি, (২) প্রতিটি ক্রমজোড় শর্ত মানে কি না দেখি, (৩) যেগুলো মানে সেগুলোই অন্বয়। এখানে $4>4$ সত্য নয়, কারণ 4 নিজেই 4-এর সমান।

উত্তর: $R=\{(3,2),(4,2)\}$

৬. যদি C = {2, 5}, D = {4, 6, 7}, x ∈ C এবং y ∈ D হয়, তবে C ও D এর উপাদানগুলোর মধ্যে x + 1 < y সম্পর্কটি বিবেচনায় থাকে তবে অন্বয়টি নির্ণয় করো।

সমাধান:

$C\times D = \{(2,4),(2,6),(2,7),(5,4),(5,6),(5,7)\}$

প্রতিটি জোড়ায় $x+1 পরীক্ষা করি:$

$(2,4): 2+1=3<4\ \checkmark$

$(2,6): 3<6\ \checkmark$

$(2,7): 3<7\ \checkmark$

$(5,4): 5+1=6<4\ \times$

$(5,6): 6<6\ \times$

$(5,7): 6<7\ \checkmark$

$R = \{(2,4),\ (2,6),\ (2,7),\ (5,7)\}$

ব্যাখ্যা: $x+1 মানে y অবশ্যই x এর চেয়ে অন্তত 2 বড় হতে হবে। x=2 হলে y এর মান 4, 6, 7 সবই 3-এর চেয়ে বড়; x=5 হলে শুধু 7 (6-এর চেয়ে বড়) মেলে।$

উত্তর: $R=\{(2,4),(2,6),(2,7),(5,7)\}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: উত্তরমালায় ৬ নং এর উত্তর {(2,4), (2,6)} ছাপা আছে। কিন্তু বইয়ে প্রশ্নে D = {4, 6, 7} দেওয়া আছে, এবং 7 > 2+1 ও 7 > 5+1 হওয়ায় (2,7) ও (5,7) জোড়া দুটিও শর্ত মানে। তাই প্রদত্ত প্রশ্ন অনুযায়ী সঠিক উত্তর ওপরের চারটি জোড়া। (সম্ভবত প্রশ্ন বা উত্তরমালার একটিতে ছাপার ভুল আছে।)

৭. f(x) = x⁴ + 5x − 3 হলে, f(−1), f(2) এবং f(½) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$f(x)$ এ $x$ এর জায়গায় প্রদত্ত সংখ্যা বসাই।

$f(-1) = (-1)^4 + 5(-1) - 3 = 1-5-3 = -7$

$f(2) = 2^4 + 5\times2 - 3 = 16+10-3 = 23$

$f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 5\times\frac{1}{2} - 3$

$= \frac{1}{16} + \frac{5}{2} - 3$

$= \frac{1+40-48}{16} = -\frac{7}{16}$

ব্যাখ্যা: ঋণাত্মক সংখ্যা বসালে বন্ধনী দিতে ভুলো না: $(-1)^4=1$ (জোড় ঘাত হলে ধনাত্মক)। ভগ্নাংশে 16 হর করে যোগ-বিয়োগ করি: $\frac{5}{2}=\frac{40}{16}$, $3=\frac{48}{16}$।

উত্তর: $f(-1)=-7,\ f(2)=23,\ f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{7}{16}$

৮. যদি f(y) = y³ + ky² − 4y − 8 হয়, তবে k এর কোন মানের জন্য f(−2) = 0 হবে?

সমাধান:

$f(-2) = (-2)^3 + k(-2)^2 - 4(-2) - 8$

$= -8 + 4k + 8 - 8 = 4k - 8$

শর্ত $f(-2)=0$:

$4k-8 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4k = 8 \quad \Rightarrow \quad k = 2$

ব্যাখ্যা: প্রথমে $f(-2)$ এর মান k সহ লিখি। তারপর সেটিকে শূন্যের সমান ধরে সমীকরণ সমাধান করি।

উত্তর: $k=2$

৯. f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 হয়, তবে x এর কোন মানের জন্য f(x) = 0 হবে?

সমাধান:

$f(x)=0$ ধরে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি। $x=1$ বসিয়ে দেখি:

$f(1) = 1-6+11-6 = 0$

তাই $(x-1)$ একটি উৎপাদক:

$x^3-6x^2+11x-6 = x^2(x-1) - 5x(x-1) + 6(x-1)$

$= (x-1)(x^2-5x+6)$

$= (x-1)(x-2)(x-3)$

$f(x)=0$ হলে:

$(x-1)(x-2)(x-3) = 0$

$x = 1,\ 2,\ 3$

ব্যাখ্যা: তিন ঘাতের সমীকরণ ভাঙার জন্য আগে একটি মূল অনুমান করি (1, 2, 3 ইত্যাদি বসিয়ে)। যেটি বসালে শূন্য হয়, সেটিই মূল, আর $(x - মূল)$ একটি উৎপাদক। বাকি অংশ দ্বিঘাত সমীকরণ, যা সহজে ভাঙে। গুণফল শূন্য হলে যেকোনো একটি উৎপাদক শূন্য।

উত্তর: $x=1$ বা $x=2$ বা $x=3$

১০. যদি f(x) = (2x + 1)/(2x − 1) হয়, তবে [f(1/x²) + 1] / [f(1/x²) − 1] এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে $f\left(\frac{1}{x^2}\right)$ বের করি, $x$ এর জায়গায় $\frac{1}{x^2}$ বসিয়ে:

$f\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{\frac{2}{x^2}+1}{\frac{2}{x^2}-1}$

লব ও হর উভয়কে $x^2$ দিয়ে গুণ করে:

$= \frac{2+x^2}{2-x^2}$

এখন নির্ণেয় মান:

$\frac{f+1}{f-1} = \frac{\frac{2+x^2}{2-x^2}+1}{\frac{2+x^2}{2-x^2}-1}$

$= \frac{(2+x^2)+(2-x^2)}{(2+x^2)-(2-x^2)}$

$= \frac{4}{2x^2} = \frac{2}{x^2}$

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশের ভেতরে ভগ্নাংশ থাকলে লব-হরকে $x^2$ দিয়ে গুণ করলে সহজ হয়। পরের ধাপে $(2-x^2)$ হর উভয়ে সমান থাকায় তা কেটে যায়; তখন শুধু লবগুলো যোগ-বিয়োগ করলেই চলে।

উত্তর: $\frac{2}{x^2}$

১১. g(x) = (1 + x² + x⁴)/x² হলে, দেখাও যে g(1/x²) = g(x²)

সমাধান:

বামপক্ষ: $g(x)$ এ $x$ এর জায়গায় $\frac{1}{x^2}$ বসাই:

$g\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^8}}{\frac{1}{x^4}}$

লব ও হরকে $x^8$ দিয়ে গুণ করে:

$= \frac{x^8+x^4+1}{x^4}$

ডানপক্ষ: $g(x)$ এ $x$ এর জায়গায় $x^2$ বসাই:

$g(x^2) = \frac{1+x^4+x^8}{x^4} = \frac{x^8+x^4+1}{x^4}$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ। সুতরাং $g\left(\frac{1}{x^2}\right)=g(x^2)$।

ব্যাখ্যা: এ ধরনের প্রশ্নে বামপক্ষ ও ডানপক্ষ আলাদা আলাদা বের করে মিলিয়ে দেখাতে হয়। বামপক্ষে ভগ্নাংশের ভেতরে ভগ্নাংশ থাকায় সবকিছুকে $x^8$ দিয়ে গুণ করে সহজ করেছি।

উত্তর: প্রমাণিত

১২. নিচের অন্বয়গুলো থেকে ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় করো।

ক) R = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)}

খ) S = {(−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}

গ) F = {(½, 0), (1, 1), (1, −1), (5/2, 2), (5/2, −2)}

সমাধান:

ক) প্রথম উপাদানগুলো 2, 2, 2 এবং দ্বিতীয় উপাদানগুলো 1, 2, 3:

$\text{ডোমেন} = \{2\},\qquad \text{রেঞ্জ} = \{1,2,3\}$

খ) প্রথম উপাদান: −2, −1, 0, 1, 2; দ্বিতীয় উপাদান: 4, 1, 0, 1, 4 (একই সংখ্যা একবারই লিখি):

$\text{ডোমেন} = \{-2,-1,0,1,2\},\qquad \text{রেঞ্জ} = \{0,1,4\}$

গ) প্রথম উপাদান: $\frac{1}{2},1,1,\frac{5}{2},\frac{5}{2}$; দ্বিতীয় উপাদান: $0,1,-1,2,-2$:

$\text{ডোমেন} = \left\{\frac{1}{2},\ 1,\ \frac{5}{2}\right\},\qquad \text{রেঞ্জ} = \{-2,-1,0,1,2\}$

ব্যাখ্যা: ডোমেন হলো ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানের সেট, রেঞ্জ হলো দ্বিতীয় উপাদানের সেট। সেটে একই উপাদান দুবার লেখা হয় না, তাই পুনরাবৃত্ত সংখ্যা একবারই লিখি। ক্রম সুবিধামতো ছোট থেকে বড় সাজালে ভালো।

উত্তর: ক) ডোমেন $\{2\}$, রেঞ্জ $\{1,2,3\}$ খ) ডোমেন $\{-2,-1,0,1,2\}$, রেঞ্জ $\{0,1,4\}$ গ) ডোমেন $\{\frac{1}{2},1,\frac{5}{2}\}$, রেঞ্জ $\{-2,-1,0,1,2\}$

১৩. নিচের অন্বয়গুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো এবং ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো।

ক) R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ A এবং x + y = 1} যেখানে A = {−2, −1, 0, 1, 2}

খ) F = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ C এবং y = 2x} যেখানে C = {−1, 0, 1, 2, 3}

সমাধান:

ক) শর্ত $x+y=1$ থেকে $y=1-x$। A-এর প্রতিটি x এর জন্য y বের করি এবং দেখি y ∈ A কি না:

$x=-2:\ y=3 \notin A\ \times$

$x=-1:\ y=2 \in A\ \checkmark$

$x=0:\ y=1 \in A\ \checkmark$

$x=1:\ y=0 \in A\ \checkmark$

$x=2:\ y=-1 \in A\ \checkmark$

$R = \{(-1,2),\ (0,1),\ (1,0),\ (2,-1)\}$

$\text{ডোমেন} = \{-1,0,1,2\},\qquad \text{রেঞ্জ} = \{-1,0,1,2\}$

খ) শর্ত $y=2x$। C-এর প্রতিটি x এর জন্য y বের করি:

$x=-1:\ y=-2 \notin C\ \times$

$x=0:\ y=0 \in C\ \checkmark$

$x=1:\ y=2 \in C\ \checkmark$

$x=2:\ y=4 \notin C\ \times$

$x=3:\ y=6 \notin C\ \times$

$F = \{(0,0),\ (1,2)\}$

$\text{ডোমেন} = \{0,1\},\qquad \text{রেঞ্জ} = \{0,2\}$

ব্যাখ্যা: এখানে x ও y দুটিই দেওয়া সেট থেকে নিতে হবে। শুধু সূত্র মেনে y বের করলেই হবে না; y সেটে আছে কি না তা-ও দেখতে হয়। যেগুলোতে y সেটের বাইরে যায়, সেই জোড়া অন্বয়ে বাদ।

উত্তর: ক) $R=\{(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)\}$, ডোমেন $\{-1,0,1,2\}$, রেঞ্জ $\{-1,0,1,2\}$ খ) $F=\{(0,0),(1,2)\}$, ডোমেন $\{0,1\}$, রেঞ্জ $\{0,2\}$

১৪. ছক কাগজে (−3, 2), (0, −5), (½, −⅚) বিন্দুগুলো স্থাপন করো।

সমাধান:

ছক কাগজে একটি অনুভূমিক রেখা (x-অক্ষ) ও একটি উল্লম্ব রেখা (y-অক্ষ) আঁকি; ছেদবিন্দুটি মূলবিন্দু O। ছকের প্রতিটি বড় ঘরকে 1 একক ধরি।

১) $(-3,2)$: মূলবিন্দু থেকে x-অক্ষ বরাবর 3 একক বামে এবং তারপর 2 একক উপরে।

২) $(0,-5)$: x = 0 তাই বিন্দুটি y-অক্ষের ওপরে; মূলবিন্দু থেকে 5 একক নিচে।

৩) $\left(\frac{1}{2},-\frac{5}{6}\right)$: x-অক্ষ বরাবর অর্ধেক একক (দুই ছোট ঘরের মাঝে) ডানে এবং $\frac{5}{6}≈0.83$ একক নিচে।

ব্যাখ্যা: বিন্দু $(x,y)$ এ প্রথম সংখ্যা x বলে ডানে-বামে কতটুকু যেতে হবে, দ্বিতীয় সংখ্যা y বলে ওপরে-নিচে কতটুকু যেতে হবে। ঋণাত্মক x মানে বাম দিকে, ঋণাত্মক y মানে নিচের দিকে। ভগ্নাংশ বিন্দু বসাতে এক একককে ছোট ছোট সমান ভাগে ভাগ করে নিতে হয়।

উত্তর: বিন্দু তিনটি ওপরের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

১৫. ছক কাগজে (1, 2), (−1, 1), (11, 7) বিন্দু তিনটি স্থাপন করে দেখাও যে, বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

সমাধান:

বিন্দু তিনটি ছক কাগজে বসাই (নিচের চিত্র)। এবার একটি রুলার দিয়ে প্রথম দুটি বিন্দু যোগ করে রেখাটি বাড়ালে দেখা যায়, তৃতীয় বিন্দুটিও রেখাটির ওপরেই পড়ে।

হিসাব করেও যাচাই করা যায়। ধরি, $A(1,2),\ B(-1,1),\ C(11,7)$। ঢাল (ওপরে ওঠা ÷ ডানে যাওয়া) বের করি:

$\text{AB এর ঢাল} = \frac{2-1}{1-(-1)} = \frac{1}{2}$

$\text{AC এর ঢাল} = \frac{7-2}{11-1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

দুটি ঢাল সমান এবং $A$ সাধারণ বিন্দু, তাই A, B, C একই সরলরেখায় অবস্থিত।

ব্যাখ্যা: তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় থাকলে যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যকার $ঢাল$ সবসময় সমান হয়। ছক কাগজে আঁকলে সেটি চোখে দেখা যায়, আর ঢাল বের করে সংখ্যা দিয়েও প্রমাণ করা যায়।

উত্তর: প্রমাণিত (সরলরেখাটির সমীকরণ $y=\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$)

১৬. নিচের ফাংশনগুলোর লেখচিত্র অঙ্কন করো।

ক) y = 3x + 5

খ) x + y = 2

সমাধান:

ক) x এর কয়েকটি মান নিয়ে y বের করি:

$x=-2:\ y=3(-2)+5=-1$

$x=-1:\ y=3(-1)+5=2$

$x=0:\ y=3(0)+5=5$

$x=1:\ y=3(1)+5=8$

বিন্দুগুলো: $(-2,-1),\ (-1,2),\ (0,5),\ (1,8)$। ছক কাগজে বিন্দুগুলো বসিয়ে একটি রুলার দিয়ে যোগ করলে সরলরেখা পাই।

খ) $x+y=2$ থেকে $y=2-x$।

$x=-1:\ y=2-(-1)=3$

$x=0:\ y=2$

$x=1:\ y=1$

$x=2:\ y=0$

$x=3:\ y=-1$

বিন্দুগুলো: $(-1,3),\ (0,2),\ (1,1),\ (2,0),\ (3,-1)$।

ব্যাখ্যা: $ax+by=c$ আকারের সমীকরণের লেখচিত্র সরলরেখা। সরলরেখা আঁকতে মাত্র দুটি বিন্দু যথেষ্ট, কিন্তু তৃতীয় একটি বিন্দু নিয়ে মিলিয়ে দেখলে ভুল ধরা পড়ে। y-কে x দিয়ে লিখে নিলে (যেমন $y=2-x$) x এর বিভিন্ন মান বসিয়ে y বের করা সহজ হয়।

উত্তর: লেখচিত্র দুটি ওপরের চিত্রে দেখানো হয়েছে (দুটিই সরলরেখা)।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. A = {2, 3, 4} ও B = {1, 2} হলে, (A × B) সেটের উপাদান সংখ্যা কয়টি?

ক) 16টি     খ) 8টি     গ) 6টি     ঘ) 5টি

সমাধান:

$n(A)=3,\quad n(B)=2$

$n(A\times B) = n(A)\times n(B) = 3\times2 = 6$

ব্যাখ্যা: গুণজে প্রতিটি উপাদান প্রথম সেটের ও দ্বিতীয় সেটের উপাদানের সাথে জোড়া বাঁধে, তাই সংখ্যা = প্রথম সেটের সংখ্যা × দ্বিতীয় সেটের সংখ্যা। A থেকে 3টি ও B থেকে 2টি বেছে 6টি জোড়া হয়।

উত্তর: গ) 6টি

২. A ∪ B = {a, b, c} হলে— (i) A = {a, b}, B = {a, b, c} (ii) P(A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা আটটি। (iii) A একটি সসীম সেট। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i) $A\cup B=\{a,b,c\}$ হলেও A অবশ্যই $\{a,b\}$ হতে হবে—এমন নয়। যেমন $A=\{a,c\},\ B=\{b,c\}$ নিলেও সংযোগ $\{a,b,c\}$। তাই (i) সঠিক নয়।

(ii)

$P(A\cup B) = P(\{a,b,c\}),\qquad 2^3 = 8$

অতএব (ii) সঠিক।

(iii) A ⊆ A ∪ B = {a, b, c} এবং এতে মাত্র 3টি উপাদান, তাই A-এর উপাদানসংখ্যা সসীম। (iii) সঠিক।

ব্যাখ্যা: তিনটি বিবৃতি আলাদা আলাদা যাচাই করি। (i)-এ বিশেষ একটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে, কিন্তু সংযোগ জানা থাকলে A ও B এর রূপ একটিই নয়। (ii) ও (iii) সব সময় সত্য।

উত্তর: গ) ii ও iii

A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} হলে, ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

৩. সেট গঠন পদ্ধতিতে A সেটের সঠিক প্রকাশ কোনটি?

ক) {x ∈ N : 6 < x < 13}     খ) {x ∈ N : 6 ≤ x < 13}

গ) {x ∈ N : 6 ≤ x ≤ 13}     ঘ) {x ∈ N : 6 < x ≤ 13}

সমাধান:

সেটে 6 ও 13 দুটিই আছে, তাই সীমা দুটি অন্তর্ভুক্ত; অসমতায় $≤$ ব্যবহার করব:

$6 \le x \le 13$

ব্যাখ্যা: $<$ দিলে সীমার সংখ্যাটি অন্তর্ভুক্ত হয় না। ক)-তে 6 ও 13 দুটিই বাদ যায়, খ)-তে 13 বাদ, ঘ)-তে 6 বাদ। শুধু গ)-তে দুটিই থাকে।

উত্তর: গ) {x ∈ N : 6 ≤ x ≤ 13}

৪. A সেটের মৌলিক সংখ্যাগুলোর সেট কোনটি?

ক) {6, 8, 10, 12}     খ) {7, 9, 11, 13}     গ) {7, 11, 13}     ঘ) {9, 12}

সমাধান:

A-এর প্রতিটি সংখ্যা পরীক্ষা করি:

$6=2\times3,\ 8=2^3,\ 9=3^2,\ 10=2\times5,\ 12=2^2\times3 \quad \text{(যৌগিক)}$

$7,\ 11,\ 13 \quad \text{(মৌলিক)}$

ব্যাখ্যা: মৌলিক সংখ্যার শুধু দুটি গুণনীয়ক থাকে (1 ও নিজে)। 9 যৌগিক কারণ 3×3=9; তাই খ) ভুল।

উত্তর: গ) {7, 11, 13}

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. y = f(x) = (4x − 7)/(2x − 4) একটি ফাংশন।

ক) f(−½) এর মান নির্ণয় করো।

খ) (f(x) + 2)/(f(x) − 1) এর মান নির্ণয় করো।

গ) দেখাও যে, f(y) = x

সমাধান:

ক) $x=-\frac{1}{2}$ বসাই:

$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{4\left(-\frac{1}{2}\right)-7}{2\left(-\frac{1}{2}\right)-4}$

$= \frac{-2-7}{-1-4} = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5}$

খ) $f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}$ বসিয়ে লব ও হরকে $(2x-4)$ দিয়ে গুণ করি:

$\frac{f(x)+2}{f(x)-1} = \frac{\frac{4x-7}{2x-4}+2}{\frac{4x-7}{2x-4}-1}$

$= \frac{(4x-7)+2(2x-4)}{(4x-7)-(2x-4)}$

$= \frac{4x-7+4x-8}{4x-7-2x+4}$

$= \frac{8x-15}{2x-3}$

গ) $y=\frac{4x-7}{2x-4}$। $f(y)$ এ $y$ এর জায়গায় বসিয়ে:

$f(y) = \frac{4y-7}{2y-4}$

$= \frac{4\cdot\frac{4x-7}{2x-4}-7}{2\cdot\frac{4x-7}{2x-4}-4}$

লব ও হরকে $(2x-4)$ দিয়ে গুণ করে:

$= \frac{4(4x-7)-7(2x-4)}{2(4x-7)-4(2x-4)}$

$= \frac{16x-28-14x+28}{8x-14-8x+16}$

$= \frac{2x}{2} = x$

ব্যাখ্যা: ক) শুধু x-এর জায়গায় সংখ্যা বসানো। খ) ও গ)-তে ভগ্নাংশের ভেতরে ভগ্নাংশ; তাই সাধারণ হর $(2x-4)$ দিয়ে লব ও হরকে গুণ করলে সহজ হয়। গ)-তে $y$ কে $x$ দিয়ে প্রকাশ করে $f(y)$ বের করেছি—এটি বিপরীত ফাংশনের ধারণা: $f$ ও $f$ একসাথে ক্রিয়া করলে মূল সংখ্যা ফিরে আসে।

উত্তর: ক) $\frac{9}{5}$ খ) $\frac{8x-15}{2x-3}$ গ) প্রমাণিত

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. ক) সার্বিক সেট U-এর দুটি উপসেট A এবং B হলে (A ∪ B)′ — কে ভেনচিত্র অঙ্কনের মাধ্যমে চিহ্নিত করো।

সমাধান:

একটি আয়তক্ষেত্র আঁকি, যা সার্বিক সেট U। ভেতরে A ও B-এর দুটি পরস্পর ছেদ করা বৃত্ত আঁকি। $A\cup B$ হলো দুটি বৃত্তের মিলিত সম্পূর্ণ অংশ। আর $(A\cup B)^{\prime}$ হলো U-এর যে অংশ দুটি বৃত্তের কোনোটির ভেতরেই নেই, অর্থাৎ বৃত্তের বাইরে আয়তক্ষেত্রের ভেতরের অংশ। নিচের চিত্রে ধূসর অংশটিই $(A\cup B)^{\prime}$।

ব্যাখ্যা: সংযোগ $A\cup B$ মানে A অথবা B তে থাকা সব অংশ। তার পূরক মানে বাকি অংশ—যা A তেও নেই, B তেও নেই। ভেনচিত্রে এটি বৃত্তদ্বয়ের বাইরের অংশ।

উত্তর: চিত্রে ধূসর অংশ

৬. খ) 10 ও 21 এর মৌলিক গুণনীয়কের সেট যথাক্রমে A এবং B হলে, দেখাও যে, (A ∩ B) একটি নিশ্ছেদ সেট।

সমাধান:

$10 = 2\times5 \quad \Rightarrow \quad A = \{2,5\}$

$21 = 3\times7 \quad \Rightarrow \quad B = \{3,7\}$

$A\cap B = \{2,5\}\cap\{3,7\} = \varnothing$

A ও B-এর কোনো সাধারণ উপাদান নেই, অর্থাৎ $A\cap B=\varnothing$। অতএব A ও B নিশ্ছেদ সেট।

ব্যাখ্যা: দুটি সেটের কোনো সাধারণ উপাদান না থাকলে তাদের ছেদ ফাঁকা সেট হয়, এদেরই নিশ্ছেদ সেট বলে। এখানে 10 ও 21 সহমৌলিক (গ.সা.গু. 1), তাই এদের কোনো মৌলিক গুণনীয়ক সাধারণ নয়।

উত্তর: প্রমাণিত

৬. গ) f(x) = x³ − 3x² + 3x − 1 এবং f(a) = 0 হলে, a-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$f(x)$ কে ঘনসূত্রে লিখি:

$x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)^3$

$f(a)=0$ হলে:

$(a-1)^3 = 0 \quad \Rightarrow \quad a-1=0 \quad \Rightarrow \quad a=1$

ব্যাখ্যা: $(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$ একটি পরিচিত সূত্র। এটি শূন্য হলে $(x-1)$ ই শূন্য, তাই $x=1$।

উত্তর: $a=1$

৬. ঘ) A = {a, b, c} সেটের উপসেটগুলো নির্ণয় করে তা থেকে প্রকৃত উপসেটগুলো লিখ।

সমাধান:

A-তে 3টি উপাদান, তাই উপসেট $2^3=8$টি।

$\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,b\},\ \{a,c\},\ \{b,c\},\ \{a,b,c\}$

যে উপসেট A-এর সমান নয়, তাকে প্রকৃত উপসেট বলে। শুধু $\{a,b,c\}$ বাদ দিলে প্রকৃত উপসেট 7টি:

$\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,b\},\ \{a,c\},\ \{b,c\}$

ব্যাখ্যা: উপসেট লেখার সময় প্রথমে ∅, তারপর এক উপাদানের, দুই উপাদানের… শেষে সেট নিজে। প্রকৃত উপসেটে সেট নিজে বাদ যায়, কিন্তু ∅ থাকে।

উত্তর: উপসেট 8টি এবং প্রকৃত উপসেট 7টি (উপরে লিখিত)