Class 9-10 Math - Chapter 2 (Set and Function) Exercise 2.1 Solutions with Explanation

আগে জেনে নিই

• তালিকা পদ্ধতি: উপাদানগুলো তালিকা করে লেখা, যেমন $\{2,4,6\}$। সেট গঠন পদ্ধতি: শর্ত দিয়ে লেখা, যেমন $\{x \in N : x \text{ জোড়}, x<7\}$।
• সংযোগ $A\cup B$: A অথবা B-তে থাকা সব উপাদান। ছেদ $A\cap B$: A ও B উভয়ে থাকা উপাদান। বিয়োগ $A\setminus B$: A-তে আছে কিন্তু B-তে নেই। পূরক $A^{\prime} = U\setminus A$।
• শক্তি সেট $P(A)$: A-এর সব উপসেটের সেট। A-তে n সংখ্যক উপাদান থাকলে $P(A)$-তে $2^n$ সংখ্যক উপাদান থাকে।
• ক্রমজোড় $(a,b)=(c,d)$ হলে $a=c$ এবং $b=d$। কার্তেসীয় গুণজ $A\times B = \{(a,b) : a\in A,\ b\in B\}$।
• নিশ্ছেদ সেট: যে দুই সেটের কোনো সাধারণ উপাদান নেই, অর্থাৎ $A\cap B = \varnothing$।

অনুশীলনী ২.১

১. নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো:

ক) {x ∈ N : x² > 9 এবং x³ < 130}

খ) {x ∈ Z : x² > 5 এবং x³ ≤ 36}

গ) {x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক}

ঘ) {x ∈ N : x³ > 25 এবং x⁴ < 264}

সমাধান:

ক) x স্বাভাবিক সংখ্যা, তাই x = 1, 2, 3, … একটি একটি করে পরীক্ষা করি:

$x=2:\ x^2=4 \not> 9$

$x=3:\ x^2=9 \not> 9$

$x=4:\ x^2=16>9,\ x^3=64<130\ \checkmark$

$x=5:\ x^2=25>9,\ x^3=125<130\ \checkmark$

$x=6:\ x^3=216 \not< 130$

x = 6 থেকে বড় যেকোনো সংখ্যার ঘন 130-এর বেশি, তাই আর পরীক্ষার দরকার নেই।

$\{x\in N : x^2>9,\ x^3<130\} = \{4,5\}$

খ) x পূর্ণসংখ্যা (ঋণাত্মকও হতে পারে)। প্রথমে $x^2>5$ দেখি:

$x=0,\pm1,\pm2:\ x^2 = 0,1,4 \not> 5$

$x=\pm3,\pm4,\ldots:\ x^2 \ge 9 > 5\ \checkmark$

এখন $x^3 \le 36$ দেখি:

$x=3:\ x^3=27 \le 36\ \checkmark$

$x=4:\ x^3=64 > 36\ \times$

x ঋণাত্মক হলে (যেমন −3, −4, …) $x^3$ ঋণাত্মক, তাই সবসময় 36-এর ছোট; অর্থাৎ সব শর্ত সত্য।

$\{x\in Z : x^2>5,\ x^3\le 36\} = \{\ldots,-5,-4,-3,3\}$

গ) 36 এর গুণনীয়ক: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$। এদের মধ্যে 6 এর গুণিতক (6, 12, 18, 36 ইত্যাদি) বেছে নিই:

$6=6\times1,\ 12=6\times2,\ 18=6\times3,\ 36=6\times6$

$\{6,12,18,36\}$

ঘ) x স্বাভাবিক সংখ্যা। পরীক্ষা করি:

$x=1:\ x^3=1 \not> 25$

$x=2:\ x^3=8 \not> 25$

$x=3:\ x^3=27>25,\ x^4=81<264\ \checkmark$

$x=4:\ x^3=64>25,\ x^4=256<264\ \checkmark$

$x=5:\ x^4=625 \not< 264$

$\{3,4\}$

ব্যাখ্যা: সেট গঠন পদ্ধতিতে দেওয়া শর্তগুলো একসাথে সত্য হতে হবে। তাই x-এর ছোট মান থেকে একে একে বসিয়ে দেখি কোনগুলো সব শর্ত মানে। x-এর মান বাড়ার সাথে $x^2$, $x^3$ বড় হতে থাকে, তাই এক জায়গায় গিয়ে শর্ত ভেঙে যায়—সেখানেই থেমে যাই। খ)-তে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য $x^3$ ঋণাত্মক হয়, তাই সেটি সবসময় 36-এর ছোট; এজন্য তালিকা অসীম পর্যন্ত বাঁদিকে চলতে থাকে।

উত্তর: ক) $\{4,5\}$ খ) $\{\ldots,-5,-4,-3,3\}$ গ) $\{6,12,18,36\}$ ঘ) $\{3,4\}$

২. নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করো:

ক) {3, 5, 7, 9, 11}

খ) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

গ) {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40}

ঘ) {±4, ±5, ±6}

সমাধান:

ক) 3 থেকে 11 পর্যন্ত শুধু বিজোড় সংখ্যা আছে। সবগুলোই 1-এর চেয়ে বড় ও 13-এর চেয়ে ছোট:

{x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং 1 < x < 13}

খ) প্রতিটি উপাদান 36 কে নিঃশেষে ভাগ করে (1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×6):

{x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক}

গ) সংখ্যাগুলো 4 এর নামতা: $4=4\times1,\ 8=4\times2,\ \ldots,\ 40=4\times10$:

{x ∈ N : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 40}

ঘ) সংখ্যাগুলোর পরম মান 4, 5 বা 6, অর্থাৎ বর্গ 16, 25 বা 36। তাই বর্গ 16 থেকে 36-এর মধ্যে:

$4 \le |x| \le 6 \quad \text{অর্থাৎ}\quad 16 \le x^2 \le 36$

{x ∈ Z : 16 ≤ x² ≤ 36}

ব্যাখ্যা: সেট গঠন পদ্ধতি লিখতে প্রথমে দেখি উপাদানগুলোর মধ্যে সাধারণ নিয়ম কী (বিজোড়, গুণনীয়ক, গুণিতক ইত্যাদি)। তারপর সেই নিয়মটি শর্ত আকারে $x$ এর সাথে লিখি। শুরু ও শেষের সীমা দিতে অসমতা (< ≤) ব্যবহার করি।

উত্তর: ক) {x ∈ N : x বিজোড় এবং 1 < x < 13} খ) {x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক} গ) {x ∈ N : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 40} ঘ) {x ∈ Z : 16 ≤ x² ≤ 36}

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ২(ঘ)-এর উত্তরমালায় {x ∈ Z : x² ≥ 16 এবং x³ ≤ 216} ছাপা আছে। কিন্তু x = −7 নিলে $x^2=49\ge16$ এবং $x^3=-343\le216$ দুটোই সত্য, অথচ −7 প্রদত্ত সেটে নেই। তাই ওই রূপটি সঠিক সেটকে প্রকাশ করে না; আমাদের লেখা $16 ≤ x² ≤ 36$ সঠিক। (সেট গঠন পদ্ধতির উত্তর একাধিক রূপে লেখা যায়।)

৩. A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a} এবং C = {2, a, b} হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় করো:

ক) B ∖ C     খ) A ∪ B     গ) A ∩ C     ঘ) A ∪ (B ∩ C)     ঙ) A ∩ (B ∪ C)

সমাধান:

ক) B-তে আছে কিন্তু C-তে নেই এমন উপাদান নিই। B-এর 1 ∉ C, 2 ∈ C, a ∈ C।

$B\setminus C = \{1\}$

খ) A ও B-এর সব উপাদান একবার করে লিখি:

$A\cup B = \{1,2,3,4,a\}$

গ) A ও C-এর সাধারণ উপাদান:

$A\cap C = \{2\}$

ঘ) প্রথমে বন্ধনীর ভেতরের অংশ:

$B\cap C = \{2,a\}$

$A\cup(B\cap C) = \{2,3,4\}\cup\{2,a\} = \{2,3,4,a\}$

ঙ) প্রথমে বন্ধনীর ভেতরের অংশ:

$B\cup C = \{1,2,a,b\}$

$A\cap(B\cup C) = \{2,3,4\}\cap\{1,2,a,b\} = \{2\}$

ব্যাখ্যা: সংযোগ (∪) মানে সব উপাদান একসাথে, ছেদ (∩) মানে শুধু সাধারণ উপাদান, আর বিয়োগ (∖) মানে প্রথম সেট থেকে দ্বিতীয় সেটের উপাদান বাদ। বন্ধনী থাকলে বন্ধনীর ভেতরের কাজ আগে করতে হয়।

উত্তর: ক) $\{1\}$ খ) $\{1,2,3,4,a\}$ গ) $\{2\}$ ঘ) $\{2,3,4,a\}$ ঙ) $\{2\}$

৪. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7} হলে, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই করো:

ক) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

খ) (B ∩ C)′ = B′ ∪ C′

গ) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

ঘ) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

সমাধান:

সত্যতা যাচাই মানে বামপক্ষ ও ডানপক্ষ আলাদা আলাদা বের করে মিলিয়ে দেখা।

ক) বামপক্ষ:

$A\cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$

$(A\cup B)^{\prime} = U\setminus(A\cup B) = \{7\}$

ডানপক্ষ:

$A^{\prime} = \{2,4,6,7\},\quad B^{\prime} = \{1,3,5,7\}$

$A^{\prime}\cap B^{\prime} = \{7\}$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ; সুতরাং সত্য।

খ) বামপক্ষ:

$B\cap C = \{4,6\}$

$(B\cap C)^{\prime} = \{1,2,3,5,7\}$

ডানপক্ষ:

$B^{\prime} = \{1,3,5,7\},\quad C^{\prime} = \{1,2\}$

$B^{\prime}\cup C^{\prime} = \{1,2,3,5,7\}$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ; সুতরাং সত্য।

গ) বামপক্ষ:

$A\cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$

$(A\cup B)\cap C = \{3,4,5,6\}$

ডানপক্ষ:

$A\cap C = \{3,5\},\quad B\cap C = \{4,6\}$

$(A\cap C)\cup(B\cap C) = \{3,4,5,6\}$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ; সুতরাং সত্য।

ঘ) বামপক্ষ:

$A\cap B = \varnothing$

$(A\cap B)\cup C = \varnothing\cup C = \{3,4,5,6,7\}$

ডানপক্ষ:

$A\cup C = \{1,3,4,5,6,7\},\quad B\cup C = \{2,3,4,5,6,7\}$

$(A\cup C)\cap(B\cup C) = \{3,4,5,6,7\}$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ; সুতরাং সত্য।

ব্যাখ্যা: ক) ও খ) হলো ডি মরগানের সূত্র: সংযোগের পূরক = পূরকদ্বয়ের ছেদ এবং ছেদের পূরক = পূরকদ্বয়ের সংযোগ। গ) ও ঘ) হলো বণ্টন সূত্র। এখানে সংখ্যা বসিয়ে দেখলাম দুই পক্ষ সবসময় সমান আসছে।

উত্তর: চারটি ক্ষেত্রেই সত্য (প্রমাণিত)

৫. Q = {x, y} এবং R = {m, n, l} হলে, P(Q) এবং P(R) নির্ণয় করো।

সমাধান:

P(Q): Q-এর উপাদান 2টি, তাই উপসেট $2^2=4$টি: ফাঁকা সেট, এক উপাদানের সেট দুটি, এবং Q নিজে।

$P(Q) = \{\varnothing,\ \{x\},\ \{y\},\ \{x,y\}\}$

P(R): R-এর উপাদান 3টি, তাই উপসেট $2^3=8$টি:

$P(R) = \{\varnothing,\ \{m\},\ \{n\},\ \{l\},\ \{m,n\},\ \{m,l\},\ \{n,l\},\ \{m,n,l\}\}$

ব্যাখ্যা: শক্তি সেট হলো সেটের সব উপসেটের সেট। উপসেট লিখতে প্রথমে ফাঁকা সেট (∅), তারপর এক উপাদানের, তারপর দুই উপাদানের, … শেষে পুরো সেটটি লিখি। এতে কোনোটা বাদ পড়ে না।

উত্তর: $P(Q)$ ও $P(R)$ উপরে দেখানো হয়েছে।

৬. A = {a, b}, B = {a, b, c} এবং C = A ∪ B হলে, দেখাও যে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2ⁿ, যেখানে n হচ্ছে C এর উপাদান সংখ্যা।

সমাধান:

$C = A\cup B = \{a,b\}\cup\{a,b,c\} = \{a,b,c\}$

C-এর উপাদান সংখ্যা $n=3$। C-এর সব উপসেট:

$P(C) = \{\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,b\},\ \{a,c\},\ \{b,c\},\ \{a,b,c\}\}$

গুনে দেখি P(C)-তে উপাদান আছে 8টি।

$2^n = 2^3 = 8$

অতএব P(C)-এর উপাদান সংখ্যা $2^n$।

ব্যাখ্যা: এই প্রশ্নে প্রথমে সংযোগ করে C পেলাম। তারপর C-এর সব উপসেট লিখে সংখ্যা গুনলাম; সংখ্যাটি হলো 8, আর $2^3$ ও 8। সুতরাং সূত্রটি মিলে গেল। বই থেকে মনে রাখো: n উপাদানের সেটের উপসেট সংখ্যা সবসময় $2^n$।

উত্তর: প্রমাণিত

৭. ক) (x − 1, y + 2) = (y − 2, 2x + 1) হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ক্রমজোড় সমান হলে প্রথম উপাদান প্রথমের সাথে এবং দ্বিতীয় উপাদান দ্বিতীয়ের সাথে সমান।

$x-1 = y-2 \quad \Rightarrow \quad x-y = -1 \quad \cdots(i)$

$y+2 = 2x+1 \quad \Rightarrow \quad 2x-y = 1 \quad \cdots(ii)$

(ii) থেকে (i) বিয়োগ করে:

$(2x-y)-(x-y) = 1-(-1)$

$x = 2$

(i)-এ $x=2$ বসিয়ে:

$2-y = -1 \quad \Rightarrow \quad y = 3$

ব্যাখ্যা: দুটি ক্রমজোড় সমান হওয়ার অর্থ হলো তাদের জায়গা অনুযায়ী উপাদানগুলো সমান। এতে দুটি সমীকরণ পাই। দুটি সমীকরণ থেকে বিয়োগ করে একটি অজানা (y) কেটে দিলে x পাওয়া যায়।

উত্তর: $x=2,\ y=3$

৭. খ) (ax − cy, a² − c²) = (0, ay − cx) হলে, (x, y) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$ax-cy=0 \quad \cdots(i)$

$a^2-c^2 = ay-cx \quad \cdots(ii)$

(i) থেকে (ধরি a ≠ 0):

$x = \frac{cy}{a}$

(ii)-এ $x$ এর মান বসিয়ে:

$a^2-c^2 = ay - c\cdot\frac{cy}{a}$

$a^2-c^2 = \frac{a^2y-c^2y}{a} = \frac{y(a^2-c^2)}{a}$

দুই পক্ষকে $(a^2-c^2)$ দ্বারা ভাগ করে (ধরি $a^2 \ne c^2$):

$1 = \frac{y}{a} \quad \Rightarrow \quad y = a$

$x = \frac{c\cdot a}{a} = c$

ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণ থেকে x কে y দিয়ে লিখে দ্বিতীয় সমীকরণে বসালে শুধু y থাকে। দুই পক্ষে $(a^2-c^2)$ সাধারণ উৎপাদক থাকায় তা কেটে ফেললাম। উত্তর মিলল কি না যাচাই: $x=c,\ y=a$ হলে $ax-cy=ac-ca=0$ এবং $ay-cx=a^2-c^2$ ✓।

উত্তর: $(x,y) = (c,\ a)$

৭. গ) (6x − y, 13) = (1, 3x + 2y) হলে, (x, y) নির্ণয় করো।

সমাধান:

$6x-y = 1 \quad \cdots(i)$

$3x+2y = 13 \quad \cdots(ii)$

(i) কে 2 দিয়ে গুণ করে (ii)-এর সাথে যোগ করি:

$12x-2y = 2$

$\underline{3x+2y = 13}$

$15x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 1$

(i)-এ $x=1$ বসিয়ে:

$6-y = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 5$

ব্যাখ্যা: এখানে y-এর সহগ −1 ও 2। (i) কে 2 দিয়ে গুণ করলে y-এর সহগ −2 হয়, যা (ii)-এর +2-এর বিপরীত; তাই যোগ করলে y কেটে যায়।

উত্তর: $(x,y) = (1,\ 5)$

৮. নিচের ক্ষেত্রে গুণজ নির্ণয় করো:

ক) P = {a}, Q = {b, c} হলে, P × Q এবং Q × P নির্ণয় করো।

খ) A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6} এবং C = {x, y} হলে, (A ∩ B) × C নির্ণয় করো।

গ) P = {3, 5, 7}, Q = {5, 7} এবং R = P ∖ Q হলে, (P ∪ Q) × R নির্ণয় করো।

সমাধান:

ক) P × Q-তে প্রথম উপাদান P থেকে, দ্বিতীয় উপাদান Q থেকে:

$P\times Q = \{(a,b),\ (a,c)\}$

Q × P-তে প্রথম উপাদান Q থেকে, দ্বিতীয় উপাদান P থেকে:

$Q\times P = \{(b,a),\ (c,a)\}$

খ) প্রথমে বন্ধনীর ভেতরের ছেদ:

$A\cap B = \{4,5\}$

$(A\cap B)\times C = \{(4,x),\ (4,y),\ (5,x),\ (5,y)\}$

গ) প্রথমে R ও $P\cup Q$ বের করি:

$R = P\setminus Q = \{3\},\quad P\cup Q = \{3,5,7\}$

$(P\cup Q)\times R = \{(3,3),\ (5,3),\ (7,3)\}$

ব্যাখ্যা: গুণজ $A\times B$ মানে A-এর প্রতিটি উপাদানকে B-এর প্রতিটি উপাদানের সাথে জোড়া বানানো। প্রথমে যার নাম আগে লেখা, জোড়ার প্রথম অংশ আসবে সেই সেট থেকে। তাই $P\times Q$ আর $Q\times P$ সমান নয়। উপাদান সংখ্যা = প্রথমটির সংখ্যা × দ্বিতীয়টির সংখ্যা (ক-তে 1×2=2, খ-তে 2×2=4, গ-তে 3×1=3) ✓।

উত্তর: ক) $P\times Q=\{(a,b),(a,c)\}$, $Q\times P=\{(b,a),(c,a)\}$ খ) $\{(4,x),(4,y),(5,x),(5,y)\}$ গ) $\{(3,3),(5,3),(7,3)\}$

৯. A ও B যথাক্রমে 35 এবং 45 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, A ∪ B ও A ∩ B নির্ণয় করো।

সমাধান:

$35 = 1\times35 = 5\times7 \quad \Rightarrow \quad A = \{1,5,7,35\}$

$45 = 1\times45 = 3\times15 = 5\times9 \quad \Rightarrow \quad B = \{1,3,5,9,15,45\}$

$A\cup B = \{1,3,5,7,9,15,35,45\}$

$A\cap B = \{1,5\}$

ব্যাখ্যা: প্রথমে সংখ্যাটিকে দুই সংখ্যার গুণফল হিসেবে লিখলে সব গুণনীয়ক পাওয়া যায়। তারপর সংযোগের জন্য সব উপাদান (একবার করে) এবং ছেদের জন্য দুটিতেই থাকা উপাদান লিখি। লক্ষ করো, 35 ও 45-এর সাধারণ গুণনীয়ক 1 ও 5।

উত্তর: $A\cup B=\{1,3,5,7,9,15,35,45\}$,\ $A\cap B=\{1,5\}$

১০. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 এবং 556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, এদের সেট নির্ণয় করো।

সমাধান:

ভাজক কে $d$ ধরি। ভাগশেষ 31, তাই $d$ অবশ্যই 31-এর চেয়ে বড়। আর 346 ও 556 থেকে 31 বাদ দিলে সংখ্যা দুটি $d$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে:

$346-31 = 315,\qquad 556-31 = 525$

315 ও 525 এর সাধারণ গুণনীয়ক বের করি (উৎপাদকে বিশ্লেষণ):

$315 = 3^2\times5\times7,\qquad 525 = 3\times5^2\times7$

$\text{গ.সা.গু.} = 3\times5\times7 = 105$

105 এর গুণনীয়ক: $1,3,5,7,15,21,35,105$। এদের মধ্যে 31 এর চেয়ে বড়:

$35,\ 105$

যাচাই: $346 = 35\times9+31,\ 346=105\times3+31,\ 556=35\times15+31,\ 556=105\times5+31$ ✓

ব্যাখ্যা: ভাগশেষ 31 হলে ভাজক সবসময় 31-এর চেয়ে বড় হয় (ভাজক ≤ ভাগশেষ হলে ভাগ আরও চলত)। তারপর $সংখ্যা − ভাগশেষ$ ভাজক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তাই 315 ও 525-এর সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজি।

উত্তর: $\{35,\ 105\}$

১১. কোনো শ্রেণির 30 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 20 জন ফুটবল এবং 15 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে। দুইটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 10। কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না তা ভেন চিত্রের সাহায্যে নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, ফুটবল পছন্দ করে এমন শিক্ষার্থীর সেট F এবং ক্রিকেট পছন্দ করে এমন শিক্ষার্থীর সেট C। সার্বিক সেট U = সব শিক্ষার্থী।

$n(U)=30,\quad n(F)=20,\quad n(C)=15,\quad n(F\cap C)=10$

ভেনচিত্রে আগে মাঝের অংশ (দুটিই পছন্দ করে) 10 লিখি। তারপর:

$\text{শুধু ফুটবল} = n(F) - n(F\cap C) = 20-10 = 10$

$\text{শুধু ক্রিকেট} = n(C) - n(F\cap C) = 15-10 = 5$

কমপক্ষে একটি খেলা পছন্দ করে:

$n(F\cup C) = 10+10+5 = 25$

দুইটির কোনোটিই পছন্দ করে না (বাইরের অংশ):

$n(U) - n(F\cup C) = 30-25 = 5$

ব্যাখ্যা: ভেনচিত্রে সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি হলো মাঝখানের অংশ (দুটিই) থেকে শুরু করা। তারপর প্রতিটি বৃত্তের মোট থেকে মাঝের অংশ বাদ দিয়ে শুধু-সেই-বিষয়ের সংখ্যা পাওয়া যায়। সব অংশ যোগ করে মোট থেকে বাদ দিলে বাইরের (কোনোটিই না) অংশ পাওয়া যায়। সূত্র: $n(F\cup C) = n(F)+n(C)-n(F\cap C) = 20+15-10 = 25$।

উত্তর: 5 জন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না।

১২. 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 65 শিক্ষার্থী বাংলায়, 48 শিক্ষার্থী বাংলা ও ইংরেজি উভয় বিষয়ে পাস এবং 15 শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।

ক) (1, x + y) = (2x − y, 5) হলে (x, y) নির্ণয় করো।

খ) শুধু বাংলায় ও ইংরেজিতে পাস করেছে তাদের সংখ্যা নির্ণয় করো।

গ) উভয় বিষয়ে পাস এবং উভয় বিষয়ে ফেল সংখ্যাদ্বয়ের মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট দুইটির সংযোগ সেট নির্ণয় করো।

সমাধান:

ক) ক্রমজোড় সমান, তাই:

$2x-y = 1 \quad \cdots(i)$

$x+y = 5 \quad \cdots(ii)$

(i) ও (ii) যোগ করে:

$3x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 2$

(ii)-এ $x=2$ বসিয়ে:

$2+y = 5 \quad \Rightarrow \quad y = 3$

খ) ধরি, বাংলায় পাস করেছে B সেট এবং ইংরেজিতে পাস করেছে E সেট।

$n(B)=65,\quad n(B\cap E)=48,\quad n(U)=100$

উভয় বিষয়ে ফেল 15 জন, তাই অন্তত একটিতে পাস:

$n(B\cup E) = 100-15 = 85$

সূত্র $n(B\cup E)=n(B)+n(E)-n(B\cap E)$ থেকে:

$85 = 65+n(E)-48 \quad \Rightarrow \quad n(E) = 68$

$\text{শুধু বাংলায়} = 65-48 = 17$

$\text{শুধু ইংরেজিতে} = 68-48 = 20$

অর্থাৎ শুধু বাংলায় 17 জন এবং শুধু ইংরেজিতে 20 জন পাস করেছে (মোট $17+20=37$ জন)।

গ) উভয় বিষয়ে পাস করেছে 48 জন, উভয়ে ফেল 15 জন। মৌলিক গুণনীয়কসমূহ:

$48 = 2^4\times3 \quad \Rightarrow \quad \{2,3\}$

$15 = 3\times5 \quad \Rightarrow \quad \{3,5\}$

$\{2,3\}\cup\{3,5\} = \{2,3,5\}$

ব্যাখ্যা: ক) আগের মতো সমীকরণ জোড়া। খ) প্রশ্নে সরাসরি E দেওয়া নেই, তাই সংযোগের সূত্র থেকে E এর সংখ্যা বের করে নিলাম। গ) মৌলিক গুণনীয়ক বের করতে সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে লিখি (48 কে বারবার 2 দিয়ে ভাগ করে)। সংযোগে 3 একবারই লিখতে হয়।

উত্তর: ক) $x=2,\ y=3$ খ) শুধু বাংলায় 17 জন, শুধু ইংরেজিতে 20 জন (মোট 37 জন) গ) $\{2,3,5\}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ২.১-এর ১২ নং প্রশ্নের উত্তর দেওয়া নেই, তাই এই প্রশ্নের উত্তর আমাদের নিজস্ব হিসাব অনুযায়ী। (খ)-এ "শুধু বাংলায় ও ইংরেজিতে" বলতে আমরা "শুধু বাংলায়" ও "শুধু ইংরেজিতে" আলাদা আলাদা ধরেছি।