Class 9-10 Math Chapter 17 (Statistics) Exercise 17 Solutions with Explanation

অনুশীলনী ১৭

১. উপাত্তসমূহ সারণিভুক্ত করা হলে প্রতি শ্রেণিতে যতগুলো উপাত্ত অন্তর্ভুক্ত হয় তার নির্দেশক নিচের কোনটি?

ক) শ্রেণি সীমা     খ) শ্রেণির মধ্যবিন্দু     গ) শ্রেণি সংখ্যা     ঘ) শ্রেণির গণসংখ্যা

সমাধান:

প্রতি শ্রেণিতে কতগুলো উপাত্ত আছে, তা সেই শ্রেণির গণসংখ্যা দিয়ে বোঝায়।

ব্যাখ্যা: শ্রেণিতে উপাত্তের সংখ্যাই গণসংখ্যা।

উত্তর: ঘ

২. সারণিতে: তাপমাত্রা $6\degree - 8\degree, 8\degree - 10\degree, 10\degree - 12\degree$; গণসংখ্যা $5, 9, 4$। (i) শ্রেণিব্যাপ্তি 3 (ii) মধ্যক শ্রেণি $8\degree - 10\degree$ (iii) তাপমাত্রা অবিচ্ছিন্ন চলক। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i) ভুল: শ্রেণিব্যাপ্তি $= 8 - 6 = 2$

(ii) সঠিক: $n = 18$, $\dfrac{n}{2} = 9$; ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $5, 14, 18$; তাই মধ্যক শ্রেণি দ্বিতীয় শ্রেণি

(iii) সঠিক: তাপমাত্রা যেকোনো মান নিতে পারে, তাই অবিচ্ছিন্ন চলক

ব্যাখ্যা: শুধু ii ও iii সঠিক।

উত্তর: গ

৩. উপাত্তের ক্ষেত্রে প্রচুরক— (i) কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ (ii) সবচেয়ে বেশি বার উপস্থাপিত মান (iii) সব ক্ষেত্রে অনন্য নাও হতে পারে। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

তিনটি বক্তব্যই প্রচুরকের সংজ্ঞা/ধর্ম হিসেবে সঠিক।

একাধিক মানের গণসংখ্যা সমান ও সর্বোচ্চ হলে প্রচুরক একাধিক হয়, তাই (iii) সঠিক।

ব্যাখ্যা: প্রচুরক কেন্দ্রীয় প্রবণতার একটি পরিমাপ; এটি এক বা একাধিক হতে পারে।

উত্তর: ঘ

৪. সারণিভুক্ত শ্রেণিবিন্যস্ত উপাত্তের সংখ্যা $n$, মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমা $L$, মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $F_c$, মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা $F_m$ এবং শ্রেণিব্যাপ্তি $h$; এই তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি মধ্যক নির্ণয়ের সূত্র?

ক) $L + \left(\dfrac{n}{2} - F_c\right) \times \dfrac{h}{F_m}$     খ) $L + \left(\dfrac{n}{2} - F_m\right) \times \dfrac{h}{F_c}$     গ) $L - \left(\dfrac{n}{2} - F_c\right) \times \dfrac{h}{F_m}$     ঘ) $L - \left(\dfrac{n}{2} - F_m\right) \times \dfrac{h}{F_c}$

সমাধান:

মধ্যক $= L + \left(\dfrac{n}{2} - F_c\right) \times \dfrac{h}{f_m}$

এখানে বিয়োগ হয় পূর্ববর্তী ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $F_c$, আর ভাগ হয় মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা $F_m$ দিয়ে

ব্যাখ্যা: সূত্র $L$ এর সাথে যোগ হয়; তাই (ক) সঠিক।

উত্তর: ক

৫. ১০ম শ্রেণির ৫০ জন শিক্ষার্থীর গণিত বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ ও অজিভ রেখা আঁকো। (শ্রেণিব্যাপ্তি: 31–40, 41–50, 51–60, 61–70, 71–80, 81–90, 91–100; গণসংখ্যা: 6, 8, 10, 12, 5, 7, 2)

সমাধান:

শ্রেণিগুলোকে অবিচ্ছিন্ন করি: $30 - 40, 40 - 50, 50 - 60, 60 - 70, 70 - 80, 80 - 90, 90 - 100$

শ্রেণি মধ্যমান: $35, 45, 55, 65, 75, 85, 95$; গণসংখ্যা: $6, 8, 10, 12, 5, 7, 2$

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: $6, 14, 24, 36, 41, 48, 50$

গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকার ধাপ: $x$ অক্ষে শ্রেণিব্যাপ্তি (ছেদ চিহ্ন দিয়ে 0 থেকে 30) ও $y$ অক্ষে গণসংখ্যা নিই। প্রথম শ্রেণির আগের কাল্পনিক শ্রেণির মধ্যমান $25$ ও শেষ শ্রেণির পরের কাল্পনিক শ্রেণির মধ্যমান $105$ (গণসংখ্যা 0) নিই। বিন্দু: $(25,0), (35,6), (45,8), (55,10), (65,12), (75,5), (85,7), (95,2), (105,0)$—এগুলো সরলরেখায় যোগ করলেই বহুভুজ।

অজিভ রেখা আঁকার ধাপ: $x$ অক্ষে শ্রেণির উর্ধ্বসীমা ও $y$ অক্ষে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা। বিন্দু: $(30,0), (40,6), (50,14), (60,24), (70,36), (80,41), (90,48), (100,50)$—এগুলো মসৃণভাবে যোগ করলেই অজিভ রেখা।

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে আয়তলেখ ও বহুভুজ একসাথে আঁকা হয়েছে; অজিভ রেখা আলাদা চিত্রে দেখানো হলো। গণসংখ্যা বহুভুজ যেহেতু প্রথম ও শেষ বিন্দুতে $x$ অক্ষ ছুঁয়ে থাকে, তাই দুই প্রান্তে শূন্য গণসংখ্যার কাল্পনিক শ্রেণি নেওয়া হয়।

উত্তর: চিত্র দুইটি নিচে দেওয়া হলো।

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালায় ৫ নং প্রশ্নের উত্তর "নিজে কর"; আমরা বিন্দুগুলোর তালিকা ও চিত্র দিয়েছি।

৬. নিচে ৫০ জন শিক্ষার্থীর ওজনের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। মধ্যক নির্ণয় করো। (ওজন কেজি: 45, 50, 55, 60, 65, 70; গণসংখ্যা: 2, 6, 8, 16, 12, 6)

সমাধান:

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: ওজন $45 → 2$, $50 → 8$, $55 → 16$, $60 → 32$, $65 → 44$, $70 → 50$

$n = 50$ জোড় সংখ্যা। মধ্যক (25-তম পদ + 26-তম পদ) ÷ 2

25-তম ও 26-তম পদ উভয়ই 17তম থেকে 32তম পদের মধ্যে পড়ে, যেখানে ওজন $60$ (কারণ $16 < 25 \leq 32$ ও $16 < 26 \leq 32$)

মধ্যক $= \dfrac{60 + 60}{2} = 60$

ব্যাখ্যা: ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 25 ও 26-কে প্রথম ছাড়িয়ে যায় 60 কেজির সারিতে।

উত্তর: মধ্যক 60 কেজি (বইয়ের উত্তরের সাথে মিলেছে)।

৭. কোনো বিদ্যালয়ের বার্ষিক পরীক্ষায় ৯ম শ্রেণির ৫০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরগুলো: 76, 65, 98, 79, 64, 68, 56, 73, 83, 57, 55, 92, 45, 77, 87, 46, 32, 75, 89, 48, 97, 88, 65, 73, 93, 58, 41, 69, 63, 39, 84, 56, 45, 73, 93, 62, 67, 69, 65, 53, 78, 64, 85, 53, 73, 34, 75, 82, 67, 62। (ক) প্রদত্ত তথ্যটির ধরন কীরূপ? কোনো নিবেশনে একটি শ্রেণির গণসংখ্যা কী নির্দেশ করে? (খ) উপযুক্ত শ্রেণিব্যাপ্তি নিয়ে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করো। (গ) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করো।

সমাধান:

(ক) প্রদত্ত তথ্যটি অবিন্যস্ত (অশ্রেণিবদ্ধ, raw) উপাত্ত, কারণ নম্বরগুলো ক্রমহীনভাবে দেওয়া আছে। কোনো নিবেশনে একটি শ্রেণির গণসংখ্যা নির্দেশ করে ওই শ্রেণির ব্যাপ্তির মধ্যে যতগুলো উপাত্ত আছে তার সংখ্যা।

(খ) সর্বনিম্ন নম্বর $32$, সর্বোচ্চ $98$; পরিসর $= 98 - 32 = 66$। শ্রেণিব্যাপ্তি $10$ নিলে শ্রেণি সংখ্যা $7$।

$31 - 40$: $32, 34, 39$ ⇒ গণসংখ্যা $3$

$41 - 50$: $45, 45, 46, 48, 41$ ⇒ $5$

$51 - 60$: $56, 57, 55, 58, 56, 53, 53$ ⇒ $7$

$61 - 70$: $65, 64, 68, 69, 63, 62, 67, 69, 65, 65, 64, 67, 62$ ⇒ $13$

$71 - 80$: $76, 79, 73, 77, 75, 73, 73, 73, 78, 75$ ⇒ $10$

$81 - 90$: $83, 87, 89, 88, 84, 85, 82$ ⇒ $7$

$91 - 100$: $98, 92, 97, 93, 93$ ⇒ $5$

মোট $3 + 5 + 7 + 13 + 10 + 7 + 5 = 50$ ✓

(গ) শ্রেণি মধ্যমান $x_i$: $35.5, 45.5, 55.5, 65.5, 75.5, 85.5, 95.5$। আনুমানিক গড় $a = 65.5$; $h = 10$।

ধাপ বিচ্যুতি $u_i = \dfrac{x_i - 65.5}{10}$: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$

$f_i u_i$: $3 \times (-3) = -9$, $5 \times (-2) = -10$, $7 \times (-1) = -7$, $0$, $10$, $14$, $15$

$\sum f_i u_i = -9 - 10 - 7 + 0 + 10 + 14 + 15 = 13$

গড় $= 65.5 + \dfrac{13}{50} \times 10 = 65.5 + 2.6 = 68.1$

ব্যাখ্যা: সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে শ্রেণি মধ্যমান ধরে গড় করায় মানটি প্রকৃত গড় ($67.82$) থেকে সামান্য আলাদা হয়েছে—এটাই শ্রেণিবিন্যাসের আনুমানিকতা।

উত্তর: (ক) অবিন্যস্ত উপাত্ত; শ্রেণির গণসংখ্যা = ওই শ্রেণিতে উপাত্তের সংখ্যা; (গ) গড় নম্বর প্রায় 68.1

৮. চিত্রে আয়তলেখ ও গণসংখ্যা বহুভুজ দেওয়া আছে (শ্রেণি: 30–40, 40–50, 50–60, 60–70, 70–80; গণসংখ্যা: 3, 6, 11, 8, 2)। (ক) উপরের চিত্রে, প্রথম শ্রেণিটির শ্রেণি মধ্যমান ও শেষ শ্রেণিটির গণসংখ্যা কত? (খ) চিত্রে প্রদর্শিত তথ্যটিকে ছকের মাধ্যমে প্রকাশ করো। (গ) উপরে প্রাপ্ত ছক থেকে নিবেশনটির মধ্যক নির্ণয় করো।

সমাধান:

(ক) প্রথম শ্রেণি $30 - 40$; শ্রেণি মধ্যমান $= \dfrac{30 + 40}{2} = 35$। শেষ শ্রেণি $70 - 80$-এর স্তম্ভের উচ্চতা $2$, তাই গণসংখ্যা $2$।

(খ) ছক: $30 - 40 → 3$, $40 - 50 → 6$, $50 - 60 → 11$, $60 - 70 → 8$, $70 - 80 → 2$; ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $3, 9, 20, 28, 30$; মোট $n = 30$

(গ) $\dfrac{n}{2} = 15$; ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $9 < 15 \leq 20$, তাই মধ্যক শ্রেণি $50 - 60$

$L = 50, F_c = 9, f_m = 11, h = 10$

মধ্যক $= 50 + (15 - 9) \times \dfrac{10}{11} = 50 + \dfrac{60}{11} = 50 + 5.45 = 55.45$

ব্যাখ্যা: চিত্রের স্তম্ভের উচ্চতা থেকে গণসংখ্যা পড়া হয়েছে; এখানে শ্রেণিগুলো অবিচ্ছিন্ন রূপে (30–40, 40–50, …) দেওয়া, তাই $L = 50$।

উত্তর: (ক) শ্রেণি মধ্যমান 35, শেষ শ্রেণির গণসংখ্যা 2; (খ) ছক উপরে; (গ) মধ্যক প্রায় 55.45

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ৮ নং প্রশ্নের চিত্রের স্তম্ভগুলো থেকে গণসংখ্যা 3, 6, 11, 8, 2 পড়া হয়েছে; উত্তর বইয়ের উত্তরমালায় নেই।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. পরিসংখ্যানের অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জীভূত হয়। উপাত্তের এই প্রবণতাকে বলা হয়—

ক) প্রচুরক     খ) কেন্দ্রীয় প্রবণতা     গ) গড়     ঘ) মধ্যক

সমাধান:

উপাত্ত মাঝামাঝি কোনো মানের কাছে জড়ো হওয়ার প্রবণতার নামই কেন্দ্রীয় প্রবণতা।

ব্যাখ্যা: গড়, মধ্যক, প্রচুরক হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ; প্রবণতাটির নাম কেন্দ্রীয় প্রবণতা।

উত্তর: খ

২. আয়তলেখ অঙ্কন করতে দরকার— (i) $x$ অক্ষ বরাবর অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিব্যাপ্তি (ii) $y$ অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা (iii) শ্রেণির মধ্যমান। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i) সঠিক

(ii) সঠিক

(iii) ভুল: শ্রেণির মধ্যমান লাগে গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকতে, আয়তলেখে নয়।

ব্যাখ্যা: আয়তলেখে শ্রেণিব্যাপ্তি ও গণসংখ্যা লাগে।

উত্তর: ক

শীতকালে বাংলাদেশের কোনো একটি অঞ্চলের 10 দিনের তাপমাত্রার (সে.) পরিসংখ্যান: $10, 9, 8, 6, 11, 12, 7, 13, 14, 5$ (ডিগ্রি সেলসিয়াস)। ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

৩. উপরের সংখ্যাসূচক উপাত্তের গড় তাপমাত্রা কোনটি?

ক) $8\degree$     খ) $8.5\degree$     গ) $9.5\degree$     ঘ) $9\degree$

সমাধান:

যোগফল $= 10 + 9 + 8 + 6 + 11 + 12 + 7 + 13 + 14 + 5 = 95$

গড় $= \dfrac{95}{10} = 9.5$

ব্যাখ্যা: যোগফল $95$, উপাত্ত সংখ্যা $10$।

উত্তর: গ

৪. উপাত্তসমূহের মধ্যক কোনটি?

ক) $9.5\degree$     খ) $9\degree$     গ) $8.5\degree$     ঘ) $8\degree$

সমাধান:

মান অনুযায়ী সাজালে: $5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14$

$n = 10$ জোড়; মধ্যক (5-তম পদ + 6-তম পদ) ÷ 2 $= \dfrac{9 + 10}{2} = 9.5$

ব্যাখ্যা: দুই মধ্যপদ $9$ ও $10$-এর গড়।

উত্তর: ক

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. কোনো শ্রেণির ৬০ জন শিক্ষার্থীর ওজনের (কেজি) গণসংখ্যা নিবেশন সারণি: $45 - 49 → 4$, $50 - 54 → 8$, $55 - 59 → 10$, $60 - 64 → 20$, $65 - 69 → 12$, $70 - 74 → 6$। (ক) উপাত্তের মধ্যক শ্রেণি নির্ণয় করো। (খ) প্রদত্ত তথ্য থেকে প্রচুরক নির্ণয় করো। (গ) বিবরণসহ উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন করো।

সমাধান:

(ক) $n = 60$, $\dfrac{n}{2} = 30$। ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: $4, 12, 22, 42, 54, 60$।

$22 < 30 \leq 42$, তাই মধ্যক শ্রেণি $60 - 64$।

(খ) সর্বোচ্চ গণসংখ্যা $20$ আছে $60 - 64$ শ্রেণিতে।

$L = 60, f_1 = 20 - 10 = 10, f_2 = 20 - 12 = 8, h = 5$

প্রচুরক $= 60 + \dfrac{10}{10 + 8} \times 5 = 60 + \dfrac{50}{18} = 60 + 2.78 = 62.78$

(গ) শ্রেণি মধ্যমান: $47, 52, 57, 62, 67, 72$; গণসংখ্যা $4, 8, 10, 20, 12, 6$। প্রথম শ্রেণির আগে মধ্যমান $42$ ও শেষ শ্রেণির পরে মধ্যমান $77$ (গণসংখ্যা 0) ধরি।

বিন্দু: $(42,0), (47,4), (52,8), (57,10), (62,20), (67,12), (72,6), (77,0)$; এগুলো সরলরেখায় যোগ করলে বহুভুজ।

ব্যাখ্যা: চিত্রে স্তম্ভের উপর বহুভুজ দেখানো হয়েছে; স্তম্ভ ছাড়াও শুধু মধ্যমান ও গণসংখ্যার বিন্দু যোগ করে বহুভুজ আঁকা যায়।

উত্তর: (ক) $60 - 64$; (খ) প্রায় 62.78; (গ) বহুভুজ চিত্রে দেখানো হয়েছে।

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. (ক) উপাত্তের পরিসর 42 এবং সর্বোচ্চ মান 79 হলে, সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করো। (খ) কোনো শ্রেণিব্যাপ্তির নিম্নসীমা $a$ এবং শ্রেণি মধ্যমান $c$ হলে, এর উর্ধ্বসীমা নির্ণয় করো। (গ) প্রচুরক নির্ণয়ের ক্ষেত্রে $L = 40, f_1 = 3, f_2 = 5$ এবং $h = 8$ হলে, প্রচুরক নির্ণয় করো।

সমাধান:

(ক) পরিসর = সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান

$42 = 79 - m$

বা, $m = 79 - 42 = 37$

(খ) ধরি, উর্ধ্বসীমা $b$। মধ্যমান $c = \dfrac{a + b}{2}$

বা, $b = 2c - a$

(গ) প্রচুরক $= L + \dfrac{f_1}{f_1 + f_2} \times h = 40 + \dfrac{3}{3 + 5} \times 8 = 40 + 3 = 43$

ব্যাখ্যা: (ক) এখানে $m$ হলো সর্বনিম্ন মান; (খ) মধ্যমানের সূত্র উল্টে উর্ধ্বসীমা বের করা হয়েছে।

উত্তর: (ক) সর্বনিম্ন মান 37; (খ) উর্ধ্বসীমা $2c - a$; (গ) প্রচুরক 43

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: নমুনা প্রশ্নের উত্তর বইয়ের উত্তরমালায় নেই; সব উত্তর আমাদের গণনা। বইয়ের উত্তরমালায় অনুশীলনী ১৭-এর অন্য কোনো উত্তর পাওয়া যায়নি।