Class 9-10 Math Chapter 16 (Mensuration) Exercise 16.4 Solutions with Explanation

অনুশীলনী ১৬.৪

১. একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 5 সে.মি. হলে, এর পরিসীমার অর্ধেক কত সে.মি.?

ক) 12     খ) 20     গ) 24     ঘ) 28

সমাধান:

সামান্তরিকের পরিসীমা $= 2(7 + 5) = 24$

পরিসীমার অর্ধেক $= 12$

ব্যাখ্যা: পরিসীমার অর্ধেক হলো সন্নিহিত দুই বাহুর যোগফল।

উত্তর: ক

২. সমতলীয় জ্যামিতিতে— (i) সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ এক সমকোণ অপেক্ষা ছোট (ii) সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি এক সমকোণ (iii) ত্রিভুজের যে কোনো বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ প্রত্যেকটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i) সঠিক: সমবাহুর প্রতিটি কোণ $60\degree < 90\degree$

(ii) সঠিক: $90\degree + A + B = 180\degree$ থেকে $A + B = 90\degree$

(iii) সঠিক: বহিঃস্থ কোণ = দুই বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি, তাই প্রতিটি থেকে বড়

ব্যাখ্যা: তিনটি বক্তব্যই সঠিক।

উত্তর: ঘ

৩. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 16 মিটার, প্রস্থ 12 মিটার ও উচ্চতা 4.5 মিটার। এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, কর্ণের দৈর্ঘ্য ও আয়তন নির্ণয় করো।

সমাধান:

পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $= 2(lw + wh + hl) = 2(16 \times 12 + 12 \times 4.5 + 4.5 \times 16)$

$= 2(192 + 54 + 72) = 2 \times 318 = 636$

কর্ণ $= \sqrt{16^2 + 12^2 + 4.5^2} = \sqrt{256 + 144 + 20.25} = \sqrt{420.25} = 20.5$

আয়তন $= 16 \times 12 \times 4.5 = 864$

ব্যাখ্যা: $20.5^2 = 420.25$ বলে কর্ণ পূর্ণ বর্গ থেকে পাওয়া গেছে।

উত্তর: পৃষ্ঠতল 636 বর্গমিটার, কর্ণ 20.5 মিটার, আয়তন 864 ঘনমিটার।

৪. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত $21 : 16 : 12$ এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 87 সে.মি. হলে, ঘনবস্তুটির তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, দৈর্ঘ্য $21k$, প্রস্থ $16k$, উচ্চতা $12k$।

কর্ণ $= k\sqrt{21^2 + 16^2 + 12^2} = k\sqrt{441 + 256 + 144} = k\sqrt{841} = 29k$

$29k = 87$, তাই $k = 3$

দৈর্ঘ্য $63$, প্রস্থ $48$, উচ্চতা $36$ সে.মি.

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2(63 \times 48 + 48 \times 36 + 36 \times 63) = 2(3024 + 1728 + 2268) = 2 \times 7020 = 14040$

ব্যাখ্যা: $29^2 = 841$ সহজে মনে রাখার মতো মান।

উত্তর: তলের ক্ষেত্রফল 14040 বর্গ সে.মি.

৫. একটি আয়তাকার ঘনবস্তু 48 বর্গমিটার ভূমির উপর দণ্ডায়মান। এর উচ্চতা 3 মিটার এবং কর্ণ 13 মিটার। আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, দৈর্ঘ্য $l$, প্রস্থ $w$; $lw = 48$

কর্ণ: $l^2 + w^2 + 3^2 = 13^2$

বা, $l^2 + w^2 = 160$

$(l + w)^2 = l^2 + w^2 + 2lw = 160 + 96 = 256$, তাই $l + w = 16$

$(l - w)^2 = 160 - 96 = 64$, তাই $l - w = 8$

যোগ করে $l = 12$ এবং $w = 4$

ব্যাখ্যা: যোগফল ও অন্তর দুটি থেকেই সংখ্যা দুটি পাওয়া যায়।

উত্তর: দৈর্ঘ্য 12 মিটার ও প্রস্থ 4 মিটার।

৬. একটি আয়তাকার কাঠের বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 8 সে.মি., 6 সে.মি. ও 4 সে.মি.। এর ভিতরের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সে.মি.। বাক্সটির কাঠের পুরুত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, কাঠের পুরুত্ব $t$ সে.মি.। ভিতরের মাপ: $(8 - 2t), (6 - 2t), (4 - 2t)$।

ভিতরের পৃষ্ঠ: $2[(8-2t)(6-2t) + (6-2t)(4-2t) + (8-2t)(4-2t)] = 88$

বা, $(48 - 28t + 4t^2) + (24 - 20t + 4t^2) + (32 - 24t + 4t^2) = 44$

বা, $104 - 72t + 12t^2 = 44$

বা, $12t^2 - 72t + 60 = 0$

বা, $t^2 - 6t + 5 = 0$

বা, $(t - 1)(t - 5) = 0$

$t = 5$ হলে ভিতরের মাপ ঋণাত্মক হয়, তাই $t = 1$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $t = 1$ হলে ভিতরের মাপ $6, 4, 2$ এবং পৃষ্ঠ $2(24 + 8 + 12) = 88$।

উত্তর: কাঠের পুরুত্ব 1 সে.মি.

৭. একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য 25 মিটার, উচ্চতা 6 মিটার এবং পুরুত্ব 30 সে.মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি., প্রস্থ 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 3 সে.মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরি করতে প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়ালের মাপ সে.মি.-তে: $2500 \times 600 \times 30$

দেওয়ালের আয়তন $= 2500 \times 600 \times 30 = 45000000$ ঘন সে.মি.

একটি ইটের আয়তন $= 10 \times 5 \times 3 = 150$ ঘন সে.মি.

ইটের সংখ্যা $= \dfrac{45000000}{150} = 300000$

ব্যাখ্যা: সব মাপ একই এককে (সে.মি.) আনা জরুরি।

উত্তর: প্রয়োজনীয় ইট 300000 টি।

৮. 12 সে.মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সে.মি.। এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করো।

সমাধান:

সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r(r + h) = 2 \times 3.1416 \times 5 \times 17$

$= 534.072$ (প্রায়)

আয়তন $= \pi r^2 h = 3.1416 \times 25 \times 12 = 942.48$

ব্যাখ্যা: পৃষ্ঠতল = বক্রতল + দুই বৃত্তাকার ভূমি।

উত্তর: পৃষ্ঠতল প্রায় 534.07 বর্গ সে.মি.; আয়তন প্রায় 942.48 ঘন সে.মি.

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরে পৃষ্ঠতল 534.071 দেওয়া আছে; আমাদের গণনায় 534.0720 পাওয়া যায়, তাই পার্থক্য শেষ অঙ্কে গোলাকরণের।

৯. একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে.মি. এবং আয়তন 150 ঘন সে.মি.। বেলনের উচ্চতা এবং ভূমির ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

সমাধান:

বক্রতল: $2\pi r h = 100 ... (1)$

আয়তন: $\pi r^2 h = 150 ... (2)$

(২) ÷ (১): $\dfrac{\pi r^2 h}{2\pi r h} = \dfrac{150}{100}$

বা, $\dfrac{r}{2} = 1.5$; $r = 3$

(১) থেকে $h = \dfrac{100}{2 \times 3.1416 \times 3} = \dfrac{100}{18.8496} \approx 5.305$

ব্যাখ্যা: ভাগ করলে $\pi$ ও $h$ কেটে যায়—এটাই কৌশল।

উত্তর: ব্যাসার্ধ 3 সে.মি. এবং উচ্চতা প্রায় 5.305 সে.মি.

১০. একটি লোহার পাইপের ভিতরের ও বাইরের ব্যাস যথাক্রমে 12 সে.মি. ও 14 সে.মি. এবং পাইপের উচ্চতা 5 মিটার। এক ঘন সে.মি. লোহার ওজন 7.2 গ্রাম হলে পাইপের লোহার ওজন নির্ণয় করো।

সমাধান:

বাইরের ব্যাসার্ধ $R = 7$, ভিতরের ব্যাসার্ধ $r = 6$ সে.মি.; উচ্চতা $h = 500$ সে.মি.

লোহার আয়তন $= \pi(R^2 - r^2)h = 3.1416(49 - 36) \times 500 = 3.1416 \times 6500 = 20420.4$ ঘন সে.মি.

ওজন $= 20420.4 \times 7.2 = 147027.9$ গ্রাম

$= 147.028$ কিলোগ্রাম (প্রায়)

ব্যাখ্যা: ফাঁপা পাইপের আয়তন = বাইরের সিলিন্ডার – ভিতরের সিলিন্ডার।

উত্তর: ওজন প্রায় 147.03 কিলোগ্রাম (বইয়ে 147.027)।

১১. চিত্রটি বর্গক্ষেত্র ও বৃত্তকলায় বিভক্ত (বর্গের বাহু $AD = 12$ সে.মি.; $A$ কেন্দ্র, $\angle DAE = 30\degree$)। (ক) বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য ও পরিসীমা নির্ণয় করো। (খ) সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। (গ) বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট কোনো সুষম ষড়ভুজ কোনো বৃত্তে অন্তর্লিখিত হলে বৃত্তের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

(ক) কর্ণ $= 12\sqrt{2} \approx 16.97$ সে.মি.; পরিসীমা $= 4 \times 12 = 48$ সে.মি.

(খ) বর্গের ক্ষেত্রফল $= 144$

বৃত্তকলা $ADE$-এর ব্যাসার্ধ $= 12$, কোণ $= 30\degree$; ক্ষেত্রফল $= \dfrac{30}{360} \times 3.1416 \times 144 = 37.699$

সম্পূর্ণ ক্ষেত্র $= 144 + 37.699 = 181.699$

(গ) সুষম ষড়ভুজের বাহু $= 12$ = বৃত্তের ব্যাসার্ধ $R$

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= 3.1416 \times 144 = 452.389$

ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল $= 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 374.123$

অনধিকৃত অংশ $= 452.389 - 374.123 = 78.266$

ব্যাখ্যা: সুষম ষড়ভুজের বাহু ও পরিব্যাসার্ধ সমান; তাই বৃত্তের ব্যাসার্ধ $12$ সে.মি.।

উত্তর: (ক) কর্ণ প্রায় 16.97 সে.মি., পরিসীমা 48 সে.মি.; (খ) প্রায় 181.70 বর্গ সে.মি.; (গ) প্রায় 78.27 বর্গ সে.মি.

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১১ নং প্রশ্নের চিত্র থেকে আমরা A-কে বৃত্তকলার কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ AD = 12 ধরেছি; বইয়ের উত্তরমালায় এই প্রশ্নের উত্তর নেই।

১২. একটি সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$ এবং একটি আয়তক্ষেত্র $BCEF$ উভয়ের ভূমি $BC$। (ক) একই উচ্চতা বিবেচনা করে সামান্তরিক ও আয়তক্ষেত্রটির চিত্র আঁকো। (খ) দেখাও যে, $ABCD$ ক্ষেত্রটির পরিসীমা $BCEF$ ক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর। (গ) আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত $5 : 3$ এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা 48 মিটার হলে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

(ক) $BC$ ভূমি আঁকি। $B$ ও $C$ বিন্দুতে $BC$-এর উপর লম্ব $BF$ ও $CE$ আঁকি যেন $BF = CE = h$; $FE$ যোগ করি—আয়তক্ষেত্র $BCEF$। $FE$ রেখা বরাবর $A$ ও $D$ নিই যেন $AD = BC$; $AB, DC$ যোগ করি—সামান্তরিক $ABCD$ (চিত্র দেখো)।

(খ) $BC$ সাধারণ বাহু; সামান্তরিকের $AB = CD$, আয়তক্ষেত্রের $BF = CE$।

$\triangle ABF$-এ $\angle F = 90\degree$, তাই $AB > BF$ (অতিভুজ সবচেয়ে বড়)।

সামান্তরিকের পরিসীমা $= 2(BC + AB)$; আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= 2(BC + BF)$

$AB > BF$ হওয়ায় সামান্তরিকের পরিসীমা বড়।

(গ) আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $5x$, প্রস্থ $3x$; পরিসীমা $2(5x + 3x) = 16x = 48$, $x = 3$

দৈর্ঘ্য $15$, প্রস্থ $9$; আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 135$

একই ভূমি $BC$ ও একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে থাকায় সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $= 135$

ব্যাখ্যা: (গ) অংশে ভূমি $BC = 15$ (দৈর্ঘ্য) হলে উচ্চতা $9$; ভূমি $9$ হলে উচ্চতা $15$—উভয় ক্ষেত্রেই ক্ষেত্রফল $15 \times 9 = 135$।

উত্তর: (খ) প্রমাণিত; (গ) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 135 বর্গমিটার

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক) $3\sqrt{3}$     খ) $4\sqrt{3}$     গ) $6\sqrt{3}$     ঘ) $9\sqrt{3}$

সমাধান:

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}$

ব্যাখ্যা: সূত্রে $a = 6$ বসালে $9\sqrt{3}$।

উত্তর: ঘ

২. বর্গক্ষেত্রে প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ এবং কর্ণ $d$ হলে— (i) ক্ষেত্রফল $a^2$ বর্গ একক (ii) পরিসীমা $2ad$ একক (iii) $d = \sqrt{2}a$। নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) i ও iii     গ) ii ও iii     ঘ) i, ii ও iii

সমাধান:

(i) সঠিক

(ii) ভুল: বর্গের পরিসীমা $4a$

(iii) সঠিক: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$

ব্যাখ্যা: শুধু i ও iii সঠিক।

উত্তর: খ

চিত্রের তথ্য অনুসারে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: $ABCD$ আয়তক্ষেত্রের $AB = 12$ সে.মি. ও $BC = 8$ সে.মি.; $AB$ ব্যাসের উপর $AGB$ অর্ধবৃত্ত অঙ্কিত।

৩. $ABCD$ আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক) 13     খ) 14     গ) 14.4     ঘ) 15

সমাধান:

কর্ণ $= \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208}$

$\approx 14.42$

ব্যাখ্যা: $14.4$ বিকল্পের সবচেয়ে কাছাকাছি।

উত্তর: গ

৪. $AGB$ অর্ধবৃত্তের পরিধি কত সে.মি.?

ক) 18     খ) 18.85 (প্রায়)     গ) 37.7 (প্রায়)     ঘ) 96

সমাধান:

অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ $= 6$

অর্ধবৃত্তাকার চাপের দৈর্ঘ্য $= \pi r = 3.1416 \times 6 = 18.85$

ব্যাখ্যা: এখানে "অর্ধবৃত্তের পরিধি" বলতে চাপের দৈর্ঘ্য ধরা হয়েছে (বিকল্প অনুযায়ী); ব্যাসসহ ধরলে $30.85$ হতো যা বিকল্পে নেই।

উত্তর: খ

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. দৃশ্যকল্প ১: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1200 বর্গ সে.মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. হ্রাস করলে এটি একটি বর্গক্ষেত্র হয়। দৃশ্যকল্প ২: বৃত্তে অন্তর্লিখিত একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 40 সে.মি.। (ক) একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 5 সে.মি. ও 4 সে.মি. এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য $5\sqrt{2}$ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা নির্ণয় করো। (খ) আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা নির্ণয় করো। (গ) দৃশ্যকল্প ২-এ উল্লেখিত বর্গটির বাহু বৃত্তটি থেকে যে চাপ ছিন্ন করে তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

(ক) ধরি, উচ্চতা $h$। কর্ণ: $5^2 + 4^2 + h^2 = (5\sqrt{2})^2$

বা, $25 + 16 + h^2 = 50$

বা, $h^2 = 9$; $h = 3$

(খ) ধরি, প্রস্থ $w$, দৈর্ঘ্য $l = w + 10$ (কারণ $l - 10 = w$)

$w(w + 10) = 1200$; $w^2 + 10w - 1200 = 0$; $(w + 40)(w - 30) = 0$

$w = 30$, $l = 40$; পরিসীমা $= 2(40 + 30) = 140$

(গ) অন্তর্লিখিত বর্গের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস: $40\sqrt{2} = 2r$

ব্যাসার্ধ $r = 20\sqrt{2} \approx 28.284$ সে.মি.

বর্গের বাহু বৃত্তের কেন্দ্রে $90\degree$ কোণ উৎপন্ন করে (কারণ বর্গের কর্ণদ্বয় লম্ব)

চাপের দৈর্ঘ্য $= \dfrac{\pi r \times 90}{180} = \dfrac{3.1416 \times 28.284}{2} \approx 44.43$

ব্যাখ্যা: (গ) বর্গের চার বাহু বৃত্তকে চারটি সমান চাপে ভাগ করে; প্রতিটি চাপ পরিধির এক-চতুর্থাংশ: $\dfrac{2\pi r}{4}$।

উত্তর: (ক) 3 সে.মি.; (খ) 140 সে.মি.; (গ) প্রায় 44.43 সে.মি.

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. (ক) একটি সুষম চতুর্ভুজের কেন্দ্র থেকে যেকোনো শীর্ষের দূরত্ব 4 সে.মি. হলে, চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। (খ) কোনো সামান্তরিকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল 18 বর্গ সে.মি. হলে, এর কর্ণের বিপরীত শীর্ষ থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। (গ) একটি ঘনক আকৃতির বস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 2400 বর্গ সে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? (ঘ) একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 4400 বর্গ সে.মি.। এর উচ্চতা 30 সে.মি. হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

(ক) সুষম চতুর্ভুজ (বর্গ): কেন্দ্র থেকে শীর্ষের দূরত্ব $= 4$, তাই কর্ণ $= 8$

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$

(খ) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = কর্ণ × লম্ব

$6 \times h = 18$; $h = 3$

(গ) ঘনকের বাহু $a$: $6a^2 = 2400$; $a^2 = 400$; $a = 20$

কর্ণ $= \sqrt{3}a = 20\sqrt{3} \approx 34.64$

(ঘ) $2\pi r h = 4400$ ⇒ $r = \dfrac{4400}{2 \times 3.1416 \times 30} \approx 23.343$

দুই ভূমির ক্ষেত্রফল $= 2\pi r^2 = 2 \times 3.1416 \times 544.88 \approx 3423.6$

সমগ্রতল $= 4400 + 3423.6 = 7823.6$

ব্যাখ্যা: (খ) সামান্তরিকের কর্ণ তাকে দুই সমান ত্রিভুজে ভাগ করে; দুই ত্রিভুজের উচ্চতা সমান, তাই $6 \times h = 18$।

উত্তর: (ক) 32 বর্গ সে.মি.; (খ) 3 সে.মি.; (গ) প্রায় 34.64 সে.মি.; (ঘ) প্রায় 7823.6 বর্গ সে.মি.

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: নমুনা প্রশ্নের উত্তর বইয়ের উত্তরমালায় নেই; উপরের সব উত্তর আমাদের গণনা। ৪ নং বহুনির্বাচনিতে "পরিধি" বলতে চাপের দৈর্ঘ্য ধরা হয়েছে।