Class 9-10 Math Chapter 16 (Mensuration) Exercise 16.3 Solutions with Explanation

অনুশীলনী ১৬.৩

১. একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে $30\degree$ কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 126 সে.মি. হলে চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{126}{2} = 63$ সে.মি.

চাপের দৈর্ঘ্য $s = \dfrac{\pi r \theta}{180} = \dfrac{3.1416 \times 63 \times 30}{180}$

$= 3.1416 \times 10.5 = 32.987$

ব্যাখ্যা: $\dfrac{30}{360} = \dfrac{1}{12}$ অংশ পরিধি: $\dfrac{2 \times 3.1416 \times 63}{12}$; একই ফল।

উত্তর: চাপের দৈর্ঘ্য প্রায় 32.987 সে.মি.

২. প্রতি মিনিটে 66 মিটার বেগে $1\dfrac{1}{2}$ মিনিটে একটি ঘোড়া একটি মাঠ ঘুরে এলো। ঐ মাঠের ব্যাস নির্ণয় করো।

সমাধান:

মাঠের পরিধি $= 66 \times 1.5 = 99$ মিটার

ধরি, ব্যাস $d$; পরিধি $= \pi d$

$3.1416 d = 99$

$d = \dfrac{99}{3.1416} \approx 31.513$

ব্যাখ্যা: ঘোড়া একবার ঘুরে আসা মানে একবার পরিধি অতিক্রম।

উত্তর: মাঠের ব্যাস প্রায় 31.513 মিটার।

৩. একটি বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল 77 বর্গমিটার এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ 21 মিটার। বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে, তা নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, কোণ $\theta$। $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^2 = 77$

বা, $\dfrac{\theta}{360} \times 3.1416 \times 441 = 77$

বা, $\theta = \dfrac{77 \times 360}{3.1416 \times 441} = \dfrac{27720}{1385.4456}$

$\theta \approx 20.008\degree$

ব্যাখ্যা: এখানে "বৃত্তাংশ" বলতে বৃত্তকলা (sector) ধরা হয়েছে।

উত্তর: কোণ প্রায় $20.008\degree$।

৪. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. এবং বৃত্তচাপ কেন্দ্রে $75\degree$ কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{75}{360} \times 3.1416 \times 14^2$

$= \dfrac{5}{24} \times 3.1416 \times 196 = \dfrac{5 \times 615.7536}{24}$

$\approx 128.282$

ব্যাখ্যা: $\dfrac{75}{360} = \dfrac{5}{24}$।

উত্তর: ক্ষেত্রফল প্রায় 128.282 বর্গ সে.মি.

৫. একটি বৃত্তাকার মাঠকে ঘিরে একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ভিতরের পরিধি অপেক্ষা বাইরের পরিধি 44 মিটার বড়। রাস্তাটির প্রস্থ নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, ভিতরের ব্যাসার্ধ $r$, বাইরের ব্যাসার্ধ $R$; প্রস্থ $w = R - r$।

$2\pi R - 2\pi r = 44$

বা, $2\pi(R - r) = 44$

বা, $w = \dfrac{44}{2 \times 3.1416} \approx 7.003$

ব্যাখ্যা: প্রস্থ জানতে ব্যাসার্ধের আলাদা মান লাগে না, শুধু পার্থক্য লাগে।

উত্তর: রাস্তার প্রস্থ প্রায় 7.003 মিটার।

৬. একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস 26 মিটার। পার্কটিকে বেষ্টন করে বাইরে 2 মিটার প্রশস্ত একটি পথ আছে। পথটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

পার্কের ব্যাসার্ধ $r = 13$ মিটার; পথসহ ব্যাসার্ধ $R = 13 + 2 = 15$ মিটার

পথের ক্ষেত্রফল $= \pi(R^2 - r^2) = 3.1416(225 - 169)$

$= 3.1416 \times 56 = 175.93$

ব্যাখ্যা: $R^2 - r^2 = (R-r)(R+r) = 2 \times 28 = 56$।

উত্তর: পথের ক্ষেত্রফল প্রায় 175.93 বর্গমিটার।

৭. একটি গাড়ির সামনের চাকার ব্যাস 28 সে.মি. এবং পিছনের চাকার ব্যাস 35 সে.মি.। 88 মিটার পথ যেতে সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা কত পূর্ণসংখ্যক বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:

পথ $= 88$ মিটার $= 8800$ সে.মি.

সামনের চাকার পরিধি $= 3.1416 \times 28 = 87.9648$ সে.মি.

সামনের চাকার ঘূর্ণন $= \dfrac{8800}{87.9648} \approx 100.04$ অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যক 100 বার

পিছনের চাকার পরিধি $= 3.1416 \times 35 = 109.956$ সে.মি.

পিছনের চাকার ঘূর্ণন $= \dfrac{8800}{109.956} \approx 80.03$ অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যক 80 বার

পার্থক্য $= 100 - 80 = 20$

ব্যাখ্যা: পূর্ণসংখ্যক ঘূর্ণন নিতে দশমিক অংশ বাদ দেওয়া হয়েছে।

উত্তর: সামনের চাকা 20 বার বেশি ঘুরবে।

৮. একটি বৃত্তের পরিধি 220 মিটার। ঐ বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{220}{2 \times 3.1416} \approx 35.014$

অন্তর্লিখিত বর্গের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস $= 2r$

বর্গের বাহু $a$: $\sqrt{2}a = 2r$

বা, $a = \sqrt{2}r = 1.41421 \times 35.014 \approx 49.517$

ব্যাখ্যা: বর্গের কর্ণ $\sqrt{2}a$ ও বৃত্তের ব্যাস সমান।

উত্তর: বর্গের বাহু প্রায় 49.517 মিটার।

৯. একটি বৃত্তের পরিধি একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমার সমান। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ ও ত্রিভুজের বাহু $a$। $2\pi r = 3a$, অর্থাৎ $r = \dfrac{3a}{2\pi}$

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi \times \dfrac{9a^2}{4\pi^2} = \dfrac{9a^2}{4\pi}$

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

অনুপাত $= \dfrac{9a^2}{4\pi} : \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4} = \dfrac{9}{\pi} : \sqrt{3} = 9 : \pi\sqrt{3}$

$= 3\sqrt{3} : \pi$ [$\sqrt{3}$ দিয়ে গুণ করে]

ব্যাখ্যা: সমান পরিসীমার জন্য বৃত্তের ক্ষেত্রফল সবসময় বেশি; তাই অনুপাতের মান $1$ এর চেয়ে বড়: $\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi} \approx 1.654$।

উত্তর: বৃত্ত : সমবাহু ত্রিভুজ $= 3\sqrt{3} : \pi$

১০. গাঢ় চিহ্নিত ক্ষেত্রগুলোর ক্ষেত্রফল (চিত্র অনুযায়ী)

১০(ক). প্রথম চিত্র: ভূমি 9 সে.মি. ও উচ্চতা 8 সে.মি. বিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজ এবং এর উপর 9 সে.মি. ব্যাসের অর্ধবৃত্ত।

সমাধান:

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 9 \times 8 = 36$

অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ $= 4.5$; ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 3.1416 \times 4.5^2 = \dfrac{1}{2} \times 3.1416 \times 20.25 \approx 31.81$

মোট ক্ষেত্রফল $= 36 + 31.81 = 67.81$

ব্যাখ্যা: চিত্রে 10 সে.মি. দেওয়া থাকলেও ভূমি 9 ও উচ্চতা 8 নিলে অতিভুজ $\sqrt{145} \approx 12.04$ হয়; তাই মাপগুলো একসাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে অতিভুজ লাগে না।

উত্তর: ক্ষেত্রফল প্রায় 67.81 বর্গ সে.মি.

১০(খ). দ্বিতীয় চিত্র: 4 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গ এবং এর উপর অর্ধবৃত্ত।

সমাধান:

চিত্রের সমান চিহ্ন অনুযায়ী আয়তক্ষেত্রটি বর্গ (বাহু 4)।

বর্গের ক্ষেত্রফল $= 16$

অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ $= 2$; ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 3.1416 \times 4 = 6.2832$

মোট $= 16 + 6.2832 = 22.283$

ব্যাখ্যা: অর্ধবৃত্তের ব্যাস বর্গের উপরের বাহু (4 সে.মি.)।

উত্তর: ক্ষেত্রফল প্রায় 22.283 বর্গ সে.মি.

১০(গ). তৃতীয় চিত্র: 12 সে.মি. দৈর্ঘ্য ও 10 সে.মি. উচ্চতার আয়তক্ষেত্রের নিচে 12 সে.মি. ব্যাসের অর্ধবৃত্ত বাদ গেছে; গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল চাই।

সমাধান:

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 12 \times 10 = 120$

অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ $= 6$; ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 3.1416 \times 36 = 56.5488$

গাঢ় অংশ $= 120 - 56.5488 = 63.451$

ব্যাখ্যা: গাঢ় অংশ = আয়তক্ষেত্র – অর্ধবৃত্ত।

উত্তর: ক্ষেত্রফল প্রায় 63.451 বর্গ সে.মি.

১০(ঘ). চতুর্থ চিত্র: 12 সে.মি. বাহুর বর্গের ভিতরে বৃত্ত স্পর্শ করে আছে; কোণার গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল চাই।

সমাধান:

বর্গের ক্ষেত্রফল $= 12^2 = 144$

বৃত্তের ব্যাস $= 12$, ব্যাসার্ধ $= 6$; ক্ষেত্রফল $= 3.1416 \times 36 = 113.0976$

গাঢ় অংশ $= 144 - 113.0976 = 30.902$

ব্যাখ্যা: বৃত্তটি বর্গের চার বাহু স্পর্শ করে, তাই ব্যাস বর্গের বাহুর সমান।

উত্তর: ক্ষেত্রফল প্রায় 30.90 বর্গ সে.মি.

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ১০ নং প্রশ্নের উত্তর বইয়ের উত্তরমালায় নেই; আমরা চিত্র দেখে মাপ ও আকার নির্ধারণ করেছি। (ক)-এর মাপ নিয়ে উপরে নোট আছে।