Class 9-10 Math Chapter 16 (Mensuration) Exercise 16.2 Solutions with Explanation

অনুশীলনী ১৬.২

১. একটি আয়তাকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, বিস্তার $w$ মিটার; দৈর্ঘ্য $2w$ মিটার।

ক্ষেত্রফল: $2w \times w = 512$

বা, $w^2 = 256$

$w = 16$ এবং দৈর্ঘ্য $= 32$

পরিসীমা $= 2(32 + 16) = 96$

ব্যাখ্যা: দৈর্ঘ্য $32$ মিটার ও বিস্তার $16$ মিটার।

উত্তর: পরিসীমা 96 মিটার।

২. একটি জমির দৈর্ঘ্য 80 মিটার এবং প্রস্থ 60 মিটার। ঐ জমির মাঝে একটি পুকুর খনন করা হলো। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার 4 মিটার হয়, তবে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

জমির ক্ষেত্রফল $= 80 \times 60 = 4800$ বর্গমিটার

প্রতি পাড় 4 মিটার হলে পুকুরের দৈর্ঘ্য $= 80 - 2 \times 4 = 72$ এবং প্রস্থ $= 60 - 8 = 52$

পুকুরের ক্ষেত্রফল $= 72 \times 52 = 3744$

পাড়ের ক্ষেত্রফল $= 4800 - 3744 = 1056$

ব্যাখ্যা: পাড় চারদিকে সমান চওড়া, তাই দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ প্রতিটি থেকে $2 \times 4$ মিটার করে কমেছে।

উত্তর: পাড়ের ক্ষেত্রফল 1056 বর্গমিটার।

৩. একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 40 মিটার এবং প্রস্থ 30 মিটার। বাগানের ভিতরে সমান পাড় বিশিষ্ট একটি পুকুর আছে। পুকুরের ক্ষেত্রফল বাগানের ক্ষেত্রফলের $\dfrac{1}{2}$ অংশ হলে, পুকুরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।

সমাধান:

বাগানের ক্ষেত্রফল $= 40 \times 30 = 1200$; পুকুরের ক্ষেত্রফল $= 600$

ধরি, পাড়ের বিস্তার $x$ মিটার। পুকুরের দৈর্ঘ্য $(40 - 2x)$ ও প্রস্থ $(30 - 2x)$।

$(40 - 2x)(30 - 2x) = 600$

বা, $1200 - 140x + 4x^2 = 600$

বা, $x^2 - 35x + 150 = 0$

বা, $(x - 5)(x - 30) = 0$; $x = 30$ হলে প্রস্থ ঋণাত্মক হয়, তাই $x = 5$

পুকুরের দৈর্ঘ্য $= 40 - 10 = 30$ এবং প্রস্থ $= 30 - 10 = 20$

ব্যাখ্যা: $x = 30$ গ্রহণযোগ্য নয় কারণ তখন প্রস্থ $30 - 60 < 0$ হয়।

উত্তর: পুকুরের দৈর্ঘ্য 30 মিটার ও প্রস্থ 20 মিটার।

৪. একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে 5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে, মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, মাঠের বাহু $a$ মিটার; রাস্তাসহ বাহু $(a + 10)$ মিটার।

রাস্তার ক্ষেত্রফল: $(a + 10)^2 - a^2 = 500$

বা, $20a + 100 = 500$

বা, $a = 20$

মাঠের ক্ষেত্রফল $= 20^2 = 400$

ব্যাখ্যা: রাস্তা মাঠের দুই পাশে 5+5 = 10 মিটার যোগ করে।

উত্তর: মাঠের ক্ষেত্রফল 400 বর্গমিটার।

৫. একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। প্রতিটি 40 সে.মি. বর্গাকার পাথর দিয়ে বর্গক্ষেত্রটি বাঁধতে মোট কতটি পাথর লাগবে?

সমাধান:

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $w$ ও দৈর্ঘ্য $3w$; $3w^2 = 768$; $w^2 = 256$; $w = 16$

দৈর্ঘ্য $= 48$; পরিসীমা $= 2(48 + 16) = 128$ মিটার

বর্গের পরিসীমা $= 128$; বর্গের বাহু $= 32$ মিটার; ক্ষেত্রফল $= 1024$ বর্গমিটার

একটি পাথরের ক্ষেত্রফল $= 0.4 \times 0.4 = 0.16$ বর্গমিটার

পাথর লাগবে $= \dfrac{1024}{0.16} = 6400$ টি

ব্যাখ্যা: 40 সে.মি. $= 0.4$ মিটার—একক মিলিয়ে নিতে হবে।

উত্তর: মোট 6400 টি পাথর লাগবে।

৬. একটি আয়তাকারক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কমে, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, প্রস্থ $w$; দৈর্ঘ্য $l = w + 6$ (কারণ $l - 6 = w$)।

$w(w + 6) = 160$

বা, $w^2 + 6w - 160 = 0$

বা, $(w + 16)(w - 10) = 0$

$w = 10$ (ঋণাত্মক $-16$ বাদ) এবং $l = 16$

ব্যাখ্যা: দৈর্ঘ্য 6 কমালে $l - 6 = 10 = w$, তাই বর্গ হয়।

উত্তর: দৈর্ঘ্য 16 মিটার ও প্রস্থ 10 মিটার।

৭. একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার $\dfrac{3}{4}$ অংশ এবং ক্ষেত্রফল 363 বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির ভূমি ও উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, উচ্চতা $h$; ভূমি $\dfrac{3}{4}h$।

ক্ষেত্রফল: $\dfrac{3}{4}h \times h = 363$

বা, $h^2 = 484$; $h = 22$

ভূমি $= \dfrac{3}{4} \times 22 = 16.5$

ব্যাখ্যা: ঋণাত্মক উচ্চতা বাদ।

উত্তর: ভূমি 16.5 মিটার ও উচ্চতা 22 মিটার।

৮. একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 125 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $= 125 \times 5 = 625$ বর্গমিটার

বর্গের বাহু $a$: $a^2 = 625$, $a = 25$

বর্গের কর্ণ $= \sqrt{2}a = 25\sqrt{2} \approx 35.355$

ব্যাখ্যা: বইয়ের উত্তর 35.35 (ছেদন করা মান); আমরা গোলাকরণে 35.36 পাই।

উত্তর: কর্ণ প্রায় 35.36 মিটার (বইয়ে 35.35)।

৯. একটি সামান্তরিকের বাহুর দৈর্ঘ্য 30 সে.মি. এবং 26 সে.মি.। এর ক্ষুদ্রতম কর্ণটি 28 সে.মি. হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

সামান্তরিকের কর্ণের সূত্র: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

$28^2 + d_2^2 = 2(30^2 + 26^2) = 2(900 + 676) = 3152$

বা, $d_2^2 = 3152 - 784 = 2368$

$d_2 = \sqrt{2368} \approx 48.66$

ব্যাখ্যা: $d_2 > d_1$ হওয়ায় এটি দীর্ঘ কর্ণ, যা শর্তের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

উত্তর: অপর কর্ণ প্রায় 48.66 সে.মি.

১০. একটি রম্বসের পরিসীমা 180 সে.মি. এবং ক্ষুদ্রতম কর্ণটি 54 সে.মি.। এর অপর কর্ণ এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

রম্বসের বাহু $= \dfrac{180}{4} = 45$ সে.মি.

কর্ণদ্বয় সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়; ক্ষুদ্র কর্ণের অর্ধেক $= 27$

অপর কর্ণের অর্ধেক $= \sqrt{45^2 - 27^2} = \sqrt{2025 - 729} = \sqrt{1296} = 36$

অপর কর্ণ $= 72$ সে.মি.

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 54 \times 72 = 1944$

ব্যাখ্যা: $27, 36, 45$ হলো $3-4-5$-এর গুণিতক (গুণক 9)।

উত্তর: অপর কর্ণ 72 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল 1944 বর্গ সে.মি.

১১. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর 8 সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব 24 সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 312 বর্গ সে.মি. হয় তবে বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, সমান্তরাল বাহু $a$ ও $b$ ($a > b$)। $a - b = 8$।

ক্ষেত্রফল: $\dfrac{1}{2}(a + b) \times 24 = 312$

বা, $a + b = 26$

যোগ করে: $2a = 34$; $a = 17$

তাই $b = 26 - 17 = 9$

ব্যাখ্যা: যোগফল ও অন্তর জানা থাকলে সংখ্যা দুটি সহজে বের হয়।

উত্তর: বাহু দুইটি 17 সে.মি. ও 9 সে.মি.

১২. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 31 সে.মি. ও 11 সে.মি. এবং অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 12 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

ট্রাপিজিয়ামের বড় সমান্তরাল বাহু থেকে ছোটটি বাদ দিলে $31 - 11 = 20$ সে.মি.। ছোট সমান্তরাল বাহুর এক প্রান্ত দিয়ে অপর বাহুর সমান্তরাল রেখা টানলে একটি ত্রিভুজ পাওয়া যায় যার বাহু $20, 10, 12$ সে.মি.।

অর্ধপরিসীমা $s = \dfrac{20 + 10 + 12}{2} = 21$

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \sqrt{21 \times 1 \times 11 \times 9} = \sqrt{2079} \approx 45.595$

ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা $h = \dfrac{2 \times 45.595}{20} \approx 4.559$

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}(31 + 11) \times 4.559 \approx 95.75$

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের উচ্চতাই ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা; ভূমি 20।

উত্তর: ক্ষেত্রফল প্রায় 95.75 বর্গ সে.মি.

১৩. একটি সুষম অষ্টভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 1.5 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

সুষম অষ্টভুজকে কেন্দ্র থেকে 8 টি সর্বসম সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে ভাগ করা যায়; প্রতিটির শীর্ষকোণ $\dfrac{360\degree}{8} = 45\degree$

প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 1.5 \times 1.5 \times \sin 45\degree = \dfrac{1}{2} \times 2.25 \times 0.7071$

অষ্টভুজের ক্ষেত্রফল $= 8 \times \dfrac{1}{2} \times 2.25 \times 0.7071 = 6.364$

ব্যাখ্যা: এখানে 1.5 হলো কেন্দ্র থেকে শীর্ষের দূরত্ব (পরিব্যাসার্ধ), তাই $\sin 45\degree$ ব্যবহার করা হয়েছে।

উত্তর: ক্ষেত্রফল প্রায় 6.364 বর্গমিটার (বইয়ে 6.363)।

১৪. একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য 150 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 15000 বর্গমিটার। এর বাইরে চারদিকে 3 মিটার চওড়া রাস্তা আছে। জমিটির মধ্যে এর দৈর্ঘ্যের সমান ভূমিবিশিষ্ট একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজাকৃতির জমিতে সবজি চাষ করা হলো। ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল আয়তাকার জমিটির ক্ষেত্রফলের অর্ধেক। (ক) একটি সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। (খ) রাস্তাটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। (গ) সবজি চাষের জমিটির পরিসীমা নির্ণয় করো।

সমাধান:

(ক) সুষম ষড়ভুজ = 6 টি সমবাহু ত্রিভুজ। ক্ষেত্রফল $= 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \dfrac{75\sqrt{3}}{2} \approx 64.95$ বর্গ সে.মি.

(খ) আয়তাকার জমির প্রস্থ $= \dfrac{15000}{150} = 100$ মিটার

রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য $= 150 + 6 = 156$ ও প্রস্থ $= 100 + 6 = 106$

রাস্তাসহ ক্ষেত্রফল $= 156 \times 106 = 16536$

রাস্তার ক্ষেত্রফল $= 16536 - 15000 = 1536$ বর্গমিটার

(গ) ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল $= \dfrac{15000}{2} = 7500$

$\dfrac{1}{2} \times 150 \times h = 7500$; $h = 100$ মিটার

সমান বাহু প্রতিটি $= \sqrt{75^2 + 100^2} = \sqrt{15625} = 125$ মিটার

পরিসীমা $= 150 + 125 + 125 = 400$ মিটার

ব্যাখ্যা: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে শীর্ষ থেকে ভূমির মধ্যবিন্দুতে লম্ব টানলে ভূমির অর্ধেক $75$ ও উচ্চতা $100$ দিয়ে সমান বাহু পাওয়া যায়।

উত্তর: (ক) প্রায় 64.95 বর্গ সে.মি.; (খ) 1536 বর্গমিটার; (গ) 400 মিটার

১৫. নিচের চিত্রের তথ্য থেকে বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

চিত্রে মাঝে $22$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র এবং এর প্রতি বাহুর উপর $22$ সে.মি. ভূমি ও $12$ সে.মি. উচ্চতার একটি করে ত্রিভুজ (মোট 4 টি) আছে।

বর্গের ক্ষেত্রফল $= 22^2 = 484$

প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 22 \times 12 = 132$

4 টি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= 4 \times 132 = 528$

বহুভুজের ক্ষেত্রফল $= 484 + 528 = 1012$

ব্যাখ্যা: চিত্রে $12$ সে.মি. হলো $A$ থেকে বর্গের উপরের বাহুর উপর লম্ব দূরত্ব (ত্রিভুজের উচ্চতা)।

উত্তর: বহুভুজের ক্ষেত্রফল 1012 বর্গ সে.মি.

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের চিত্রে বাইরের আকৃতি দেখতে বর্গের মতো; সেক্ষেত্রে উচ্চতা 11 হতো। 12 দেওয়া থাকায় আমরা চার ত্রিভুজের উচ্চতা 12 ধরেছি। এই অংশে বইয়ে উত্তর নেই।

১৬. চিত্রের তথ্য থেকে বহুভুজসমূহের ক্ষেত্রফল

১৬(ক). প্রথম চিত্র: ট্রাপিজিয়াম $ABCD$, $\angle A = 90\degree$, $AB = 4$, $CD = 1.5$, $AD = 2$ সে.মি. ও $BC = 3$ সে.মি.।

সমাধান:

$AB \parallel CD$ ও $AD \perp AB$; উচ্চতা $AD = 2$ সে.মি.

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}(AB + CD) \times AD = \dfrac{1}{2}(4 + 1.5) \times 2 = 5.5$

ব্যাখ্যা: সঠিক মাপ অনুযায়ী $BC = \sqrt{2.5^2 + 2^2} = 3.2$ হওয়ার কথা; চিত্রে $3$ লেখা আছে, কিন্তু ক্ষেত্রফলে $BC$ লাগে না।

উত্তর: ক্ষেত্রফল 5.5 বর্গ সে.মি.

১৬(খ). দ্বিতীয় চিত্র: চতুর্ভুজ $ABCD$, $\angle A = 90\degree$, $AB = 18$, $AD = 10 = BC$, $CD = 12$ সে.মি.।

সমাধান:

$BD$ কর্ণ যোগ করি। $\triangle ABD$ সমকোণী: $BD = \sqrt{18^2 + 10^2} = \sqrt{424} \approx 20.591$

$\triangle ABD$-এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 18 \times 10 = 90$

$\triangle BCD$-এর বাহু: $BD \approx 20.591, BC = 10, CD = 12$

$s = \dfrac{20.591 + 10 + 12}{2} \approx 21.296$

ক্ষেত্রফল $= \sqrt{21.296 \times 0.705 \times 11.296 \times 9.296} \approx 39.69$

চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল $= 90 + 39.69 = 129.69$

ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল ত্রিভুজে ভাগ করে নির্ণয় করা হয়েছে; $BC = 10$ ধরা হয়েছে কারণ চিত্রে $AD$ ও $BC$-তে সমান চিহ্ন আছে।

উত্তর: ক্ষেত্রফল প্রায় 129.69 বর্গ সে.মি.

১৬(গ). তৃতীয় চিত্র: $\angle B = 60\degree$, $BC = \sqrt{2}$ সে.মি., $\angle C = \angle D = \angle E = 90\degree$ এবং $\angle CAD = \angle DAE = 30\degree$।

সমাধান:

বহুভুজকে তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ $ABC, ACD, ADE$-তে ভাগ করা যায়।

$\triangle ABC$: $\tan 60\degree = \dfrac{AC}{BC}$ ⇒ $AC = \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$; ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{3}$

$\triangle ACD$: $AD = AC \cos 30\degree = \sqrt{6} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$, $CD = AC \sin 30\degree = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$; ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{6}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

$\triangle ADE$: $AE = AD \cos 30\degree = \dfrac{3\sqrt{6}}{4}$, $DE = AD \sin 30\degree = \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$; ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3\sqrt{6}}{4} \times \dfrac{3\sqrt{2}}{4} = \dfrac{9\sqrt{3}}{16}$

মোট ক্ষেত্রফল $= \sqrt{3}\left(1 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{16}\right) = \dfrac{37\sqrt{3}}{16} \approx 4.005$

ব্যাখ্যা: প্রতিটি ত্রিভুজ $30-60-90$ আকারের; পরের ত্রিভুজের অতিভুজ আগের ত্রিভুজের লম্ব।

উত্তর: ক্ষেত্রফল $\dfrac{37\sqrt{3}}{16}$ বর্গ সে.মি. $\approx 4.005$

১৬(ঘ). চতুর্থ চিত্র: $25$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গের চার বাহুর উপর চারটি সমান ত্রিভুজ, যাদের শীর্ষ $A, B, C, D$।

সমাধান:

বাইরের আকৃতি $ABCD$ বর্গ; এর কর্ণ হলো ভেতরের বর্গের বাহুর দ্বিগুণ, অর্থাৎ $AC = BD = 2 \times 25 = 50$

প্রতিটি ত্রিভুজ সমকোণী সমদ্বিবাহু; ভূমি $25$, উচ্চতা $12.5$; ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 25 \times 12.5 = 156.25$

4 টি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= 625$; মাঝের বর্গ $= 625$

মোট $= 625 + 625 = 1250$

বা, বর্গ $ABCD$-এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 50 \times 50 = 1250$

ব্যাখ্যা: দুই পদ্ধতিতে একই ফল (রম্বস/বর্গের কর্ণের সূত্র)।

উত্তর: ক্ষেত্রফল 1250 বর্গ সে.মি.